数字信号处理课后答案

1.4习题与上机题解答

1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。

题1图

解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)

2．给定信号：

?

?

?

?

?

≤

≤

-

≤

≤

-

+

=

其它

4

6

1

4

5

2

)

(n

n

n

n

x

(1) 画出x(n)序列的波形，标上各序列值；

(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；

(3) 令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形；

(4) 令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；

(5) 令x3(n)=x(2

－n)，试画出x3(n)波形。

解：(1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。

(2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－

3)+6δ(n－4)

（3

）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

(5) 画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移

2位，x3(n)波形如题

2解图（四）所示。

3．判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的，确定其周期。

(1)

是常数

A

n

A

n

x

8

π

7

3

cos

)

(?

?

?

?

?

-

=

π

(2)

)

8

1

(j

e

)

(

π-

=n

n

x

解：（1）因为ω=7

3

π, 所以3

14

π2

=

ω, 这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。

（2）因为ω=8

1

, 所以ω

π2

=16π, 这是无理数，因此是非周期序列。

4．对题1图给出的x(n)要求：

(1) 画出x(－n)的波形；

(2) 计算x e(n)=1/2［x(n)+x(－n)］，并画出x e(n)波形；

(3) 计算x o(n)=1/2［x(n)－x(－n)］，并画出x o(n)波形;

(4) 令x1(n)=x e(n)+x o(n), 将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？

解：（1）x(－n)的波形如题4解图（一）所示。

(2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到x e(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。x e(n)的波形如题4解图（二）所示。

(3) 画出x o(n)的波形如题4解图（三）所示。

(4) 很容易证明：x(n)=x1(n)=x e(n)+x o(n)

上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。

5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3

（3）y(n)=x(n－n0) n0为整常数（4）y(n)=x(－n)

（5）y(n)=x2(n)

（6）y(n)=x(n2)

（7）y(n)=∑

=

n

m

m

x

)

(

（8）y(n)=x(n)sin(ωn)

解：（1令输入为x(n－n0)

输出为:

y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)

y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n)

故该系统是非时变系统。

因为y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］

=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］

T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)

T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)

所以T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

故该系统是线性系统。

（2）令输入为x(n－n0)

输出为y′(n)=2x(n－n0)+3

y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)

故该系统是非时变的。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3

T［ax1(n)］=2ax1(n)+3

T［bx2(n)］=2bx2(n)+3

T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

故该系统是非线性系统。

(3) 这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为x(n－n1) 输出为: y′(n)=x(n－n1－n0)

y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)

故延时器是非时变系统。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

故延时器是线性系统。

(4) y(n)=x(－n)

令输入为：x(n－n0)

输出为y′(n)=x(－n+n0)

y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)

因此系统是线性系统。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

因此系统是非时变系统。

（5）y(n)=x2(n)

令输入为：x(n－n0)

输出为：y′(n)=x2(n－n0)

y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)

故系统是非时变系统。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］=ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。

（6）y(n)=x(n2)

令输入为：x(n－n0)

输出为：y′(n)=x((n－n0)2)

y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)

故系统是非时变系统。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

故系统是线性系统。

（7）y(n)= ∑

=

n

m

m

x

)

(

令输入为x(n－n0)

输出为：y′(n)=∑

=

n

m0x(m-n0)

y(n－n0)=∑-

=

n

n

m x(m)≠y′(n)

故系统是时变系统。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=∑

=

n

m0［ax1(m)+bx2(m)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

故系统是线性系统。

（8）y(n)=x(n) sin(ωn)

令输入为：x(n－n0)

输出为：y′(n)=x(n－n0) sin(ωn)

y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n)

故系统不是非时变系统。由于

T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

故系统是线性系统。

6．给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）

∑-

=

-

=

1

)

(

1

)

(

N

k

k

n

x

N

n

y

（2）y(n)=x(n)+x(n+1)

（3）

∑+

-

=

=0

)

(

)

(

n

n

n

n

k

k

x

n

y

（4）y(n)=x(n－n0)

（5）y(n)=e x(n)

解：（1）只要N≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤M，因此系统是稳定系统。

（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统。

（3）如果|x(n)|≤M，则

M

n

k

x

n

y

n

n

n

n

k

|1

2|

|)

(

|

)

(

+

≤

≤∑+

-

=，因此系统是稳定的；假设n0>0，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。

（4）假设n0>0，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M，因此系统是稳定的。

（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|e x(n)|≤e|x(n)|≤e M，因此系统是稳定的。

7．设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。

解：解法（一）采用列表法。∑∞

-∞

=

-

=

=

m

m

n

h

m

x

n

h

n

x

n

y)

(

)

(

)

(

*)

(

)

(

y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

解法（二）采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为

x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)；h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ 1/2δ(n－2)

由于x(n)*δ(n)=x(n)；x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)

故y(n)=x(n)*h(n)

=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+1/2δ(n－2)］

=2x(n)+x(n－1)+1/2 x(n－2)

将x(n)的表示式代入上式，得到

y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5) 8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。

（1）h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)

（2）h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2)

（3）h(n)=0.5n u(n), x n=R5(n)

解：（1）

∑∞

-∞

=

-

=

=

m

m

R

m

R

n

h

n

x

n

y)

5(

)

(

)

(

*)

(

)

(

5

4

先确定求和域。由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的非零区间如下：

0≤m ≤3；－4≤m ≤n

根据非零区间， 将n 分成四种情况求解：

① n<0时，y(n)=0

② 0≤n ≤3时， 11)(0+==∑=n n y n

m

③ 4≤n ≤7时，n n y n m -==

∑-=81)(34

④ n>7时， y(n)=0 最后结果为??

???≤≤-≤≤+><=748301

7

00)(n n n n n n n y 或 y(n)的波形如题8解图（一）所示。

(2) y(n) =2R 4(n)*［δ(n)－δ(n －2)］=2R 4(n)－2R 4

(n －2) =2［δ(n)+δ(n －1)－δ(n+4)－δ(n+5)］

y(n)的波形如题8解图（二）所示

(3) y(n)=x(n)*h(n)

=∑∑∞

-∞=-∞-∞=--=-m m n m m n m n u m R m n u m )(5.0)(5.0)(5.0)(R 55 y （n ）对于m 的非零区间为 0≤m ≤4，m ≤n ① n<0时， y(n)=0

②0≤n ≤4时，

∑=------==n m n m n

n y 0115.015.015.05.0)(

=－(1－0.5－n －1)0.5n=2－0.5n

③ n ≥5时

n n m m n

n y 5.0315.05.015.015.05.0)(4015?=--==∑=--- 最后写成统一表达式： y(n)=(2－0.5n)R 5(n)+31×0.5n u(n －5)

10． 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5n u(n)， 系统的输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)={x 0, x 1, x 2, …, x k , …}， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。 解：

0n 5.083)

(5.083

)

()()(0≥=-=*=-=-∞

-∞

=∑∑m

n n m m m n m m x m n u x n h n x n y

n=0时， 083

)( x n y =

n=1时， )

5.0(835.083)( 1011

0x x

x n y m m m +=-=∑

n=2时， )

5.05.0(83

5.083

)( 210222

0x x x x n y m m m ++==-=∑

… 最后得到∑=-=n

m m

n m x n y 05.083)(

11． 设系统由下面差分方程描述：)1(21

)()1(21)(-++-=n x n x n y n y 设系统是因果的，

利用递推法求系统的单位脉冲响应。

解： 令x(n)=δ(n), 则)

1(21

)()1(21

)(-++-=n n n h n h δδ

n=0时， 1)1(21

)0()1(21

)0(=-++-=δδh h

n=1时， 1

21

21)0(21)1()0(21)1(=+=++=δδh h

n=2时， 21

)1(21

)2(==h h

n=3时， 2

21)2(21)3(???

??==h h

归纳起来， 结果为)

()1(21)(1

n n u n h n δ+-??? ??=-

2.5 习题与上机题解答

1． 设X (e j ω)和Y (e j ω

)分别是x (n )和y (n )的傅里叶变换， 试求下面序列的傅里叶变换：

(1) x (n －n 0) (2) x *(n )

(3) x (－n ) (4) x (n )*y (n )

(5) x (n )y (n ) (6) nx(n ) (7) x (2n ) (8) x 2(n ) (9)???===奇数偶数n n n x n x 0 )2/()(9

解：（1） ∑∞-∞=--=

-n n n n x n n x ωj 00e )()]([FT 令n ′=n －n 0, 即n =n ′+n 0， 则 )e (e )()]([FT j j )(j 000ωωωX e n x n n x n n n n -∞-∞=+'-='=

-∑ (2))e (e )(e )()]([FT j j j ωωω-**

∞-∞=∞-∞=-**

=????????==∑

∑X n x n x n x n n n n (3)∑∞-∞=--=

-n n n x n x ωj e )()]([FT 令n ′=－n ， 则

)e (e )()]([FT j j ωω-∞-∞=''='=

-∑X n x n x n n

（4） FT ［x (n )*y (n )］=X (e j ω)Y (e j ω)

下面证明上式成立：

∑∞-∞=-=

*m m n y m x n y n x )()()()( ∑∑∞-∞=-∞-∞=-=*m n

n m n y m x n y n x ωj e

)]()([)]()([FT 令k =n －m , 则 )

e ()e (e )(e )(e

e )]()([)]()(FT[j j j j j j ωωωωωωy x m x k y k y m x n y n x m n k

k m n k k ===

*∑∑∑∑∞-∞=--∞-∞=∞-∞=--∞-∞= (5)n

n n n n

Y n x n y n x n y n x ωππωωωωj j j j e d e )e (π21)( e )()()]()([FT -∞-∞=-''∞-∞=-∑?∑??????'==

??∑-'-'-∞-∞='--''='=

π

ωωωωωωωωπ)(j ππ)(j d )e ()e (π21

d e )()e (π21X Y n x Y j n n

j

或者

?-'-''=

ππ)(j j d )e ()e (π21)]()([FT ωωωωY X n y n x

（6） 因为 ∑∞-∞=-=n n n x X ωω

j j e )()e (

对该式两边ω求导， 得到

)]([jFT e )(j d )e (d n nx n nx X n n j j -=-=∑∞-∞=-ωωω

因此

ωωd )e (d j )]([FT j X n nx =

(7)

∑∞-∞=-=

n n n x n x ωj e

)2()]2([FT 令n ′=2n ， 则 )](e )e ([21)(e e )(21e )]()1()([21e )()]2([FT )π(21j 21j 21

j 21j 2

1

j ， 2/j -∞

-∞=∞-∞=--∞-∞=-∞

-∞='-+=????????+=-+='=

∑∑∑∑ωωωπωωωX X e n x n x n x n x n x n x n n n j n n n n n n n n 取偶数

或者

)]e ()e ([21)]2([FT 21j 21j ωω-+=X X n x

(8)

∑∞-∞=-=n n

n x n x ωj 22

e )()]([FT

利用（5）题结果， 令x (n )=y (n ), 则 ωωωωωω'=*='--'?d )e ()e (π21)e ()e (π21)]([FT j π

πj j j 2X X X X n x

(9)

∑∞-∞=-=

n n n x n x ωj e )2/()]2/([FT

令n ′=n /2， 则

)e (e )(

)]2/([FT 2j 2j ωωX n x n x n n ='∑∞-∞='-

4．设 ???==其它01.01)(n n x

将x (n )以4为周期进行周期延拓， 形成周期序列)(~n x ， 画出x (n )和)(~n x 的波形， 求

出)(~n x 的离散傅里叶级数)(~k X 和傅里叶变换。

解： 画出x (n )和)(~n x 的波形如题4解图所示。

为周期以4) (~ e )4πcos(2)e e (e e 1e e )(~)](~[DFS )(~4π

j 4j 4j 4j 2j 10

2j 42j 30k X k n x n x k X k

k k k k

n kn kn n ----=--=?=+=+====∑∑ππππ

ππ

题4解图

或者

为周期

以4)(~ π41

sin π21

sin e )

e (e e )

e e (e e 1e 1e )(~π41

41

j π41j π41j π21

j π21j π21j 2πj π102π

j k X k k

k X k j πk k k k k k k k j n kn -------=-=--=--==∑

)

2π(δ e )4πcos(π)

2

π

(δ)(~2π)

4

π

2δ()(~4π2)](~[FT )e (4πj j k k k k X k k X n x X k k

k k -?=-=-==∑∑∑∞

-∞=-∞-∞=∞-∞=ωωωω

5. 设题5图所示的序列x (n )的FT 用X (e j ω)表示，

不直接求出X (e j ω)， 完成下列运算或工作：

(1)X(e j0)

(2)

?

-

π

π

j d)

e(ω

ω

X

(3)X(e jπ)

(4) 确定并画出傅里叶变换实部Re［X(e jω)］的时间序列x a(n)；

(5)

?

-

π

π

2

j d

|)

(e

|ω

ω

X

(6)

ω

ω

ω

d

|

d

)

e(

d

|2

π

π

j

?

-

X

解(1)6

)

(

)

e(

7

3

0j=

=∑

-

=

n

n

x

X

(2)

π4

π2

)0(

d)

e(

π

π

j=

?

=

?

-

x

Xω

ω

(3)

2

)

(

)1

(

e)

(

)

e(

7

3

j

jπ=

-

=

=∑

∑

-

=

∞

-∞

=

-

n

n

n

n n

x

n

x

Xπ

(4) 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即

∑∞

-∞

=

-

=

n

n

j n

x

e

X

Rω

ωj

e

e

e)

(

)]

(

[

))

(

)

(

(

2

1

)

(e n

x

n

x

n

x-

+

=

按照上式画出x e(n)的波形如题5解图所示。

(5)

π

28

)

(

π2

d

)

e(

7

3

2

π

π

2

=

=∑

?

-

=

-

n

j n

x

Xω

ω

(6) 因为

)]

(

j

[

FT

d

)

e(

d j

n

nx

X

-

=

ω

ω

因此

π316)(π2d d )e (d 7322ππj ==∑

?-=-n n nx X ωωω

6． 试求如下序列的傅里叶变换：

(1) x 1(n )=δ(n －3) (2))1(δ21)(δ)1(δ21)(2-+++=n n n n x (3) x 3(n )=a n u (n ) 0

(4) x 4(n )=u (n +3)－u (n －4)

解

(1)ωωω3j j j 1e e )3(δ)e (-∞-∞=-=-=

∑n n n X (2)

ωωωωωωω

cos 1)e e (211 e 2

11e 21e )()e (j j j j j 2j 2+=++

=++==--∞-∞=-∑n n n x X (3)

ωωωωj 0j j j 3e 11e

e )()e (-∞=-∞-∞=--===

∑∑a a n u a X n n n n n n

(4)∑∑-=--∞-∞==--+=33j j j 4e

e ])4()3([)e (n n n

n n u n u X ωωω ωωωωωωωωωj j 3j j 4j 31j 30j 31j 30j e e 1e 1e 1e 1e e e e

--+--=+=+=--==---=-=-∑∑∑∑n n n n n n n n )21sin()27sin(e )e e (e )e e (e e e

1e 1e 1e e e 1e 1e 1e 13j 21j 21j 21j 27j 27j 27j 3j j 7j j 4j 3j j 3j j 4j ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω=--=--=--=-----=----------- 或者:

)3()4()3()(73+=--+=n R n u n u n x

n n n R X ωωj 7j 4e )3()e (-∞-∞=+=

∑

ωωωj 7j 60

j 7e 1e 1e

)]([FT --=---==∑n n n R n n n R X ωω

j 7j 4e )3()e (-∞

-∞

=+=∑ωωω3j j 7j e e 1e 1----= )21sin()27sin()e e (e )

e e (e e )e e (e )e e (e 2j 2j 2j 27j 27j 2j 3j 2j 2j 227j 2727j ωωωω

ω

ωωω

ωω

ω

ω

ωωω=--=--=

--------j j 12． 设系统的单位脉冲响应h (n )=a n u (n ), 0

完成下面各题：

(1) 求出系统输出序列y (n )；

(2) 分别求出x (n )、 h (n )和y (n )的傅里叶变换。

解 (1)

)2(2)( )]

2(δ)[δδ)()()()(2-+=-+*=*=-n u a

n u a n n n u a n x n h n y n n n

（2）

ωωω

2j j j e 21e )]2(δ2)(δ[)e (-∞-∞=-+=-+=∑

n n n n X ω

ωωω

j 0j j j e 11e e )()e (-∞=-∞-∞=--===∑∑a a n u a H n n n n n n ω

ωωωωj 2j j j j e 1e 21)e ()e ()e (---+=?=a X H Y 14． 求出以下序列的Z 变换及收敛域:

(1) 2-n u (n ) (2) －2-n u (－n －1)

(3) 2-n u (－n ) (4) δ(n )

(5) δ(n －1) (6) 2-n ［u (n )－u (n －10)］

解 (1)

21 2112)(2)](2[ZT 110>-===

--∞=--∞-∞=---∑∑z z z z n u n u n n n n n n n

（2）

2

1 21121222)1(2)]1(2[ZT 1111<-=--=-=

-=---=

-----∞=-∞--=--∞-∞=--∑∑∑z z z z z z z n u n u n n n n n n n

n n n

（3）

2

1 2112

2)(2)](2[ZT 00<-===-=

-∑∑∑∞=-∞

=--∞-∞=---z z z z z n u n u n n n n n n n n n n (4) ZT ［δ(n )］=10≤|z |≤∞

(5) ZT ［δ(n －1)］=z －10<|z |≤∞

(6)

∞≤<--==-------=--∑ 0 2121 2))]10()((2[ZT 1

110

1090z z z z n u n u n n n n

19． 用部分分式法求以下X (z )的反变换： （1）

2

1||,252311)(2

11

>+--=---z z z z z X （2） 21||,4

1121)(2

1

<--=--z z z z X

解： (1) 21z 4

11311)(2

1>--=--z z z X 4

131)(22--=z z z z X 21652161 )21)(21(31 4131)(2++-=+--=--

=z z z z z z z z z X )(]2165)21(61[)(2

1165

21161)(11n u n x z z z X n n ??? ??-+=++-=--

（2）

21z 4

1121)(2

1<--=--z z z X

21252123 2121z 2z 412)(2??

? ??++??? ??--=??? ??+??? ??--=--=z z z z z z z X 1

12112521123)(--++--

=z z z X )1()21(25)2

1(23)(--??????--=n u n x n n 21． 用Z 变换法解下列差分方程：

(1) y (n )－0.9y (n －1)=0.05u (n )， y (n )=0 n ≤－1

(2) y (n )－0.9y (n －1)=0.05u (n )， y (－1)=1， y (n )=0 n <－1

(3) y (n )－0.8y (n －1)－0.15y (n －2)=δ(n )

y (－1)=0.2, y (－2)=0.5, y (n )=0, 当n ≤－3时。 解：

(1) y (n )－0.9y (n －1)=0.05u (n )， y (n )=0 n ≤－1 )

1)(9.01(05

.0)(1105

.0)(9.0)(1111------=-=-z z z Y z z z Y z Y ()()

()()1111119.005.019.0105.0)()(+------=--==n n n z z z z z z z z Y z F n ≥0时，

()5

.09.05.0 1.005.0)9.0(1.005.0]1),([s Re ]9.0),([s Re )(11+?-=+-=

+=++n n z F z F n y n <0时， y (n )=0

最后得到y (n )=［－0.5 · (0.9)n +1+0.5］u (n )

(2) y (n )－0.9y (n －1)=0.05u (n ), y (－1)=1, y (n )=0 n <－1 1

11

105.0])()([9.0)(---∞=---=+-∑z z k y z Y z z Y k k 11111105

.09.0)(9.0)(105.0])1()([9.0)(-----=---=

-+-z z Y z z Y z z y z Y z z Y

)1)(9.01(9.095.0)(111

------=z z z z Y

n n n z z z z z z z z z

z Y z F )1)(9.0(9.095.0)1)(9.01(9.095.0)()(11111---=---==----- n ≥0时，

)()5.0)9.0(45.0( ]

1 ),([s Re ]9.0 ),([s Re )(n u z F z F n y n +=+=

n <0时， y (n )=0

最后得到y (n )=［0.45(0.9)n +0.5］u (n )

(3) y (n )－0.8y (n －1)－0.15y (n －2)=δ(n )

y (－1)=0.2, y (－2)=0.5, y (n )=0, 当n <－2时

Y (z )－0.8z －1［Y (z )+y (－1)z ］－0.15z －2［Y (z )+y (－1)z +y (－2)z 2］=1

2

11

15.08.013.091.1)(-----+z z z z Y n n n z z z z z z z z z z Y z F )

5.0)(3.0(3.091.115.08.013.091.1)()(12

11

1--+=--+==----- n ≥0时，

n

n z F z F n y 5.02.0275.13.02.0873.0 ]

5.0 ),([s Re ]3.0 ),([s Re )(?+?-=+=

y (n )=－4.365 · 0.3n +6.375 · 0.5n

n <0时, y (n )=0

最后得到y (n )=(－4.365 · 0.3n +6.375 · 0.5n )u (n )

23． 设系统由下面差分方程描述：

y (n )=y (n －1)+y (n －2)+x (n －1)

（1） 求系统的系统函数H (z )， 并画出极零点分布图；

（2） 限定系统是因果的， 写出H (z )的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h (n )；

（3） 限定系统是稳定性的， 写出H (z )的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h (n )。 解：

（1） y (n )=y (n －1)+y (n －2)+x (n －1)

将上式进行Z 变换，得到Y (z )=Y (z )z －1+Y (z )z －2+X (z )z －1 因此2

11

1)(-----=z z z z H 1

1)(2211--=--=---z z z z z z z H 零点为z =0。令z 2－z －1=0， 求出极点：

2511+=z 2

512-=z 极零点分布图如题23解图所示。

(2) 由于限定系统是因果的，收敛域需选包含∞点在内的收敛域， 即2/)51(+>z 。 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法， 一种是令输入等于单位脉冲序列， 通过解差分方程， 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应； 另一种方法是求H (z )的逆Z 变换。 我们采用第二种方法。

z z z H z H T Z n h c n d )(πj 21)]([)(11?

--=

= 式中 ()() 1)(2

12z z z z z z z z z H --=--= 2511+=z ，2

512-=z 令

()()

211)()(z z z z z z z H z F n

n --==- n ≥0时，h (n )=Res ［F (z ), z 1］+Res ［F(z ), z 2］

()()()()()()()()???????

????? ??--???? ??+=-+-=---+---===n n n n z z n z z n z z z z z z z z z z z z z z z z z z 25125151z z 12221122112121 因为h (n )是因果序列, n <0时， h (n )=0， 故

)(25125151)( n u n h n n ???

????????? ??--???? ??+= (3) 由于限定系统是稳定的， 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域， 即|z 2|<|z |<|z 1|, ()()

211)()(z z z z z z z H z F n n --==- n ≥0时， c 内只有极点z 2， 只需求z 2点的留数，

n z z F n h )251(51]),([s Re )(2--

==

n <0时， c 内只有两个极点： z 2和z =0， 因为z =0是一个n 阶极点， 改成求圆外极点留数， 圆外极点只有一个， 即z 1, 那么

n

z z F n h ???

?

??

+-=-=25151]),([s Re )(1

最后得到

)1(25151)(25151)(--??

?

? ??+-????

??

--=n u n u n y n

n

3.5 教材第3章习题与上机题解答

1． 计算以下序列的N 点DFT ， 在变换区间0≤n ≤N －1内，

序列定义为 (1) x (n )=1

(2) x (n )=δ(n )

(3) x (n )=δ(n －n 0) ,0

(4) x (n )=R m (n ) ,0

(5) N m n x mn

N <<=0,e )(π2j

(6) N m mn N n x <

2cos )(

(7) x (n )=e j ω0n R N (n)

(8) x (n )=sin(ω0n )R N (n )

(9) x (n )=cos(ω0n )R N (N )

(10) x (n )=nR N (n )

解： (1) kN

N kN N N n kn N N n kn N W k X π

2j π

2j 1

0π2j 10e 1e 1e 1)(---=--=--==?=∑∑

???-===1

,,2,1 00N k k N

(2)11

00()δ()δ() 1 0,1,,1N N kn N n n X k n W n k N --======-∑∑

(3)

100

100()δ() δ() 0,1,,1N kn N n N kn kn N N n X k n n W W n n W k N -=-==-=-==-∑∑ (4)

π1j (1)0πsin 1()e

()

π1sin km m m k kn N N N N k n N mk W N X k W R k W k N ---=??

?-??

===-?? ???∑

(5) )(π2j

)(π2j 10)(π2j 10π2j e 1e 1

e e )(k m N N k m N

N n n k m N

kn N N n mn N W k X -----=--=--==?=

∑∑

???≠==m k m k N 0 0≤k ≤N －1 (6) kn N N n N n mn N mn N kn N W mn N k X π

2j -1010π2j -π2j e )e e (21π2cos )(∑∑-=-=+=???? ??= 2

π2

π11j ()j ()0011e e 22N N m k n m k n N N n n ----+===+∑∑

????

??????--+--=+-+---)(π2j )(π2j )(π2j )(π2j e 1e 1e 1e 121k m N N k m N k m N N k m N

,20 ,N k m k N m k m k N m ?==-?=??≠≠-? 0≤k ≤N －1 (7) 00002πj()2π11j()j 72πj()001e ()e e 1e k N N

N N k n n kn N N k n n N X k W ωωωω-----==-===-∑∑

02π10j()()2

02πsin ()2e 0,1,,12πsin ()/2N k N N k N k N k N ωωω--??-????==-??-???? 或1,,1,0e 1e 1)()2(j j 700-=--=

-N k k X k N N πωω (8) 解法一 直接计算：

)(]e e [j

21)()sin()(00j j 08n R n R n n x N n n N ωωω--=

?= kn N N n n n N n kn N W n x n X π2j 10j j 1088e ]e e [j 21)()(00--=--=∑

∑-==ωω

002

π2

π11j()j()001e e 2j N N k n k n N N n n ωω----+==??=-????∑∑

0000j j 22πj(-k)j()N 11e 1e 2j 1e 1e N N ωk N ωωπω--+??--??=-??--?? 解法二 由DFT 的共轭对称性求解。 因为)()]sin(j )[cos()(e )(00j 70n R n n n R n x N N n ωωω+==

所以)](Im [)()sin()(708n x n R n n x N ==ω

所以)()]](Im[j [DFT )](j [DFT o 778k X n x n x =

= 即)]()([2

1j )(j )(*77o 78k N X k X k X k X ---=-= 结果与解法一所得结果相同。 此题验证了共轭对称性。

(9) 解法一 直接计算:

]e [21)()cos()(00j j 09n

n N e n R n n x ωωω-+=

∑-==1099)()(N n kn

N W n x k X ∑-=--+=10

π

2j j j e ]e [e 210

0N n kn N n n ωω 0000j j 2π2πj()j()11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω----??--??=+??--??

解法二 由DFT 共轭对称性可得同样结果。 因为

)](Re[)()cos()(709n x n R n n x N =?=ω

*

97e 771()()[()()]2X k X k X k X N k ==+-

???

??

?????--+--=+---k N N

k N N )π2(j j )π2(j j 0000e 1e 1e 1e 121ωωωω

（10） 解法一

∑-=-==1

1,,1,0)(N n kn N N k nW k X

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X (k )。 因为x (n )=nRN (n )， 所以 x (n )－x ((n －1))N R N (n )+N δ(n )=R N (n )

等式两边进行DFT ， 得到

X(k)－X(k)W k N +N=N δ(k)

故

1,,2,1 1]

1)(δ[)(-=--=N k W k N k X k N

当k =0时， 可直接计算得出X (0)为

∑∑-=-=-==

?=101

002)1()0(N n N n N N N n W n X

这样， X (k )可写成如下形式：

???????-=--=-=1,,2

,1,102

)1()(N k

W N

k N N k X k N

解法二 k =0时，

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