2017-2018学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷（理科）

2017-2018学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知双曲线（ ） A．

B．2

C．2

D．10

=1的一条渐近线方程为y=

，则双曲线的焦距为

2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin

x的图

象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．

3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（ ） A．

B． C．

D．

4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 用水量y 1 4 2 5 3 a 4 7 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是

，则a等于（ ）

第1页（共26页）

A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95

5．（5分）下列四个命题：

①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” ②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件 ③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

④对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，则?p：?x∈R，使得x2+x+1≥0． 其中，错误的命题个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（ ） A．4

B．8

C． D．

7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（ ） A．40 B．100 C．80 D．50

8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（ ）

A． B． C． D．

9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：

+

=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端

点为焦点，则双曲线C1的方程为（ ） A．

﹣

=1 B．

﹣

=1

C．﹣=1 D．﹣=1

10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ） A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生” B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”

第2页（共26页）

C．“至少1名男生”与“全是男生” D．“至少1名男生”与“全是女生”

11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组 的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）

A．32 B．40 C．48 D．56 12．（5分）设双曲线C：

的左、右焦点分别为F1，F2，

，|恒成

|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．

二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）. 13．（5分）已知向量

=（k，12，1），

=（4，5，1），

B．

C．

D．

=（﹣k，10，1），

且A、B、C三点共线，则k= ．

14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，xA+xB=6，则p= ．

15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是 ．

第3页（共26页）

16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 ．

三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）

17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}． （1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率； （2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率． 18．（12分）命题p：

；命题q：方程

表

示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．

19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．

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（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数； （2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率． 20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值．

21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

=1上的点，设动点P满足

．

22．（12分）已知椭圆（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

=1（a＞b＞0）过点，离心率为．

（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．

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①求证：OA⊥OB；

②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．

第6页（共26页）

2017-2018学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知双曲线（ ） A．

B．2

C．2

D．10

=1的一条渐近线方程为y=

，则双曲线的焦距为

【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出m，然后求解双曲线的焦距即可． 【解答】解：曲线可得：

=1的一条渐近线方程为y=

．

，

=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=

．

双曲线的焦距为2故选：B．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin

x的图

象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）

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A． B． C． D．

【分析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可．

【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin

x的周期，且T=

=12，

面积为S=π?=36π，

一个小圆的面积为S′=π?12=π，

在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为： P=

=

=

．

故选：B．

【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．

3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（ ） A．

B． C．

D．

【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，由方程ax2+bx+1=0有实数解，得到△=b2﹣4a≥0，利用列举法求出方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）的个数，由此能求出方程ax2+bx+1=0有实数解的概率．

【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b， 基本事件总数n=6×6=36， ∵方程ax2+bx+1=0有实数解， ∴△=b2﹣4a≥0，

∴方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），

（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个， ∴方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=故选：C．

第8页（共26页）

．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 用水量y 1 4 2 5 3 a 4 7 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是

，则a等于（ ）

A．6

B．6.05 C．6.2 D．5.95

【分析】求出，，代入回归方程，求出a的值即可． 【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+ ∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2， 故选：C．

【点评】本题考查了回归方程的应用，考查方程过样本点的中心，是一道基础题．

5．（5分）下列四个命题：

①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” ②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件 ③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

④对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，则?p：?x∈R，使得x2+x+1≥0． 其中，错误的命题个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】①根据逆否命题的定义进行判断即可． ②根据充分条件和必要条件的定义进行判断． ③根据复合命题真假关系进行判断．

④根据特称命题的否定是全称命题进行判断．

【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，

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②由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，

③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，

④对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，则?p：?x∈R，使得x2+x+1≥0．正确， 故错误的个数为2个， 故选：B

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识较多较多，综合性较强，但难度不大．

6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（ ） A．4

B．8

C． D．

【分析】化抛物线方程为标准方程，求其准线方程，再由准线方程是y=﹣2列式求得a值．

【解答】解：由抛物线y=ax2，得

，

由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0． ∴2p=，则∴

．

，得a=．

故选：C．

【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．

7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（ ） A．40 B．100 C．80 D．50

【分析】利用分层抽样性质列出方程，能求出样本的容量．

【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5， 已知抽到10位中年人， 则10

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则，

解得样本的容量n=100． 故答案为：100．

【点评】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（ ）

A． B． C． D．

【分析】此框图为循环结构，故可运行几次寻找规律求解． 【解答】解：由程序框图可得：

A i 第一次循环后 第二次循环后 第三次循环后 …

观察规律可知A的值为第九次循环后

，可得：

10

．

2 3 4

不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为故选：A．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图、归纳推理等知识．属于基础题．

9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：

+

=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端

点为焦点，则双曲线C1的方程为（ ）

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A．﹣=1 B．﹣=1

C．﹣=1 D．﹣=1

【分析】根据题意，求出椭圆C2的焦点坐标以及长轴的端点坐标，分析可得双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），即可得a、c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入双曲线的方程，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆C2：端点坐标为（0，±5），

若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点， 则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3）， 则双曲线中c=5，a=3， 则b2=c2﹣a2=16， 则双曲线的方程为：故选：B．

【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及椭圆的标准方程，关键是依据椭圆的标准方程求出椭圆的焦点以及端点的坐标．

10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ） A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生” B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生” C．“至少1名男生”与“全是男生” D．“至少1名男生”与“全是女生”

【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．

【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛， 在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故

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+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的

﹣=1，

A错误；

在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误； 在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误； 在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确． 故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组 的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）

A．32 B．40 C．48 D．56

【分析】设第一小组的频率为a，由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，求出a=0.125．再由第1小组的频数为6，能求出报考飞行员的学生人数． 【解答】解：设第一小组的频率为a， 由频率分布直方图，得：

a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1， a=0.125．

∵第1小组的频数为6， ∴报考飞行员的学生人数为：故选：C．

【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．

第13页（共26页）

=48．

12．（5分）设双曲线C：

的左、右焦点分别为F1，F2，

，|恒成

|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】将x=c代入双曲线的方程，求得A的纵坐标，由|F2Q|＞|F2A|，结合a，b，c和离心率公式可得e的范围；再由双曲线的定义和恒成立思想，讨论F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|，结合离心率公式可得e的范围，再由e＞1，取交集即可得到所求范围．

【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b由|F2Q|＞|F2A|，可得

＞

，

=±

，

即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2）， 即有e=＜

①

又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，

由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立， 由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=可得3c＜2a+

，

，

即有e=＜②

由e＞1，结合①②可得， e的范围是（1，）． 故选：B．

【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题．

第14页（共26页）

二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）. 13．（5分）已知向量

=（k，12，1），

．

=（4，5，1），

=（﹣k，10，1），

且A、B、C三点共线，则k=

【分析】利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出． 【解答】解：∵向量∴

=（k，12，1），

=（4，5，1），

=（﹣k，10，1），

=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．

，

又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得

∴，解得．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量共线定理，属于基础题．

14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，xA+xB=6，则p= 3 ．

【分析】由题意画出图形，由已知结合抛物线的过焦点的弦长公式列式求得p值．

【解答】解：如图，

∵AB过焦点F，且|AB|=9，xA+xB=6， ∴|AB|=xA+xB+p=6+p=9，即p=3． 故答案为：3．

第15页（共26页）

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线弦长公式的应用，是基础题．

15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是 1 ．

【分析】根据计分规则去掉一个最高分和一个最低分，计算余下7个数字的平均数，

由此列方程求出x的值．

【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，

即×（89+89+92+93+90+x+92+91）=91， ∴636+x=91×7=637， 解得x=1． 故答案为：1．

【点评】本题主要考查了茎叶图以及平均数的计算问题，是基础题．

16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为

+

=1 ．

第16页（共26页）

【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．

【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），

∵AQ的垂直平分线交CQ于M，

∴|MA|=|MQ|． 又|MQ|+|MC|=半径5， ∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．

依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆， 且2a=5，c=1， ∴b=

，

+

=1，即

+

=1．

故椭圆方程为

故答案为：

【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MA|=5＞|AC|，是解题的关键和难点．

三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）

17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}． （1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；

第17页（共26页）

（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．

【分析】（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率．

（2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x，y∈Z，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率

【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．

则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．

其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=． 故x，y∈Z，x+y≥0的概率为． （2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，

∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．

基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣= ∴P（B）=

=．

【点评】本题主要考查几何概型中的面积类型和古典概型，两者最明显的区别是古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的．

18．（12分）命题p：

；命题q：方程

表

示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取

第18页（共26页）

值范围．

【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行判断即可．

【解答】解：命题p：?x∈R，x2+mx+1≥0为真， ∴△=m2﹣4≤0?﹣2≤m≤2…（2分） 命题q为真，即方程∴0＜m＜2…（4分）

又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，

∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分） ∴

或

…（10分），

是焦点在y轴上的椭圆，

∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）

【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．

19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．

（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数； （2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．

【分析】（1）由茎叶图，利用频数、频率与样本容量的关系求出全班人数，计算该班的平均分；

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（2）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．

【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2， 频率为0.008×10=0.08，全班人数为

；

所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4， 分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；

分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；

分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747； 分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340； 分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193； 所以，该班的平均分数为

；

（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，

在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6），

（4，5），（4，6），（5，6）共15个，

其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个， ∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是

．

【点评】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是综合性题目．

20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值．

【分析】（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由

．，得x=2x1，y=2y1，即

=1上的点，设动点P满足

．

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，动点P的轨迹C的方程为

（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得设A（x3，y3），B（x4，y4），则可得点

O

到直线

， ，

．

，

的距离

=

d=

，|AB|=，

利用不等式即可求解． ．，得x=2x1，y=2y1， ，故

，

A：x﹣y+m=0=

所以S×=

【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由因为点M在椭圆圆

=1上，所以

．

即动点P的轨迹C的方程为

（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，

消y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点， 所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12． 设设A（x3，y3），B（x4，y4），则因为点O到直线A：x﹣y+m=0的距离d=|AB|=所以S

×

=2

×

==

，

，，

=

，

，

，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，

所以△OAB面积的最大值为2

【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式的合理运

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用．属于中档题．

21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．

【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 从而AC⊥平面BDE．…（4分）

解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．

因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°， 所以

．

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由AD=3，可知则A（3，0，0），所以

，． ，

，B（3，3，0），C（0，3，0）， ．

，即

．

，

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则令

，则=

．

因为AC⊥平面BDE，所以所以cos

为平面BDE的法向量，

．

．

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）． 则

．

．…（8分）

因为AM∥平面BEF， 所以

=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．

此时，点M坐标为（2，2，0）， 即当

时，AM∥平面BEF．…（12分）

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【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（I）的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．

22．（12分）已知椭圆（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点． ①求证：OA⊥OB；

②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值． 【分析】（Ⅰ）由e=可得联立解得a=2，

，再由

在椭圆上，得

，

=1（a＞b＞0）过点

，离心率为．

，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）①设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合平面向量数量积证明OA⊥OB；

②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n，由OA⊥OB，可得OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合平面向量数量积可得|n|=

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，结合

OH⊥CD，利用点到直线的距离公式可得为定值．

【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，

又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，

∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2， 联立方程

，消去y得：x2﹣2kx﹣4=0，

∴x1x2=﹣4，则∴

=x1x2+y1y2=﹣4+4=0，

，

∴OA⊥OB；

②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n， ∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0． 联立

，消去y得：（3m2+4）x2+6mnx+3n2﹣12=0，

∴，，

∴．

由，

得7n2=12（1+m2），即|n|=

，

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∵OH⊥CD，∴∴|OH|为定值．

．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属压轴题．

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