林初中2017届中考数学压轴题专项汇编:专题16对角互补模型(附答案)
更新时间:2023-11-24 07:54:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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专题16 对角互补模型
破解策略 1.全等型之“90°”
如图,∠AOB=∠DCE=90°,OC平分∠AOB,则
ADCOEB
(1)CD=CE;
(2)OD+OE=2OC; (3)S?OCD?S?OCE?1OC2. 2证明 方法一:如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N.
由角平分线的性质可得CM=CN,∠MCN=90°. 所以∠MCD=∠NCE, 从而△MCD≌△NCE(ASA), 故CD=CE.
易证四边形MONC为正方形.
所以OD+OE=OD+ON+NE=2ON=2OC. 所以S?OCD?S?OCE?S正方形MONCAMDCEONB1?ON?OC2.
22方法二:如图,过C作CF⊥OC,交OB于点F.
易证∠DOC=∠EFC=45°,CO=CF,∠DCO=∠ECF. 所以△DCO≌△ECF(ASA)
ADC所以CD=CE,OD=FE,
【拓展】如图,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时,则:
可得OD+OE=OF=2OC. 所以S?OCD?S?OCE?S?OCF1?OC2. 2OEFBACBEOD
(1)CD=CE;
(2)OE-OD=2OC; (3)S?OCE?S?OCD?如图,证明同上.
AMODCBNEACBFE1OC2. 2OD
2.全等型之“120”
如图,∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠AOB,则:
CADEOB
(1)CD=CE;
(2)OD+OE=OC; (3)S?OCD?S?OCE?3OC2. 4证明 方法一:如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N. 所以S?OCD?S?OCE?2S?ONC?易证△MCD≌△NCE(ASA), 所以CD=CE,OD+OE=2ON=OC.
3OC2 4CAMDONEBADOCEFB
方法二:如图,以CO为一边作∠FCO=60°,交OB于点F,则△OCF为等边三角形. 易证△DCO≌△ECF(ASA). 所以CD=CE,OD+OE=OF=OC, ∴S△OCD+S△OCE=S△OCF=
3OC 2 4【拓展】如图,当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时,则: (1)CD=CE;(2)OD-OE=OC;(3)S△OCD-S△OCE=如图,证明同上.
ADCE3OC 2 4ADMECADCE
OB
ONB
OFB
3、全等型之“任意角”
如图,∠AOB=2?,∠DCE=180°-2?,OC平分∠AOB,则:
(1)CD=CE;( 2)OD+OE=2OC·cos?;(3)S△ODC+S△OEC=OC 2·sin?cos?
ADCBOE
证明:方法一:如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足
MDOA分别为M,N
C
NEB
易证△MCD≌△NCE(ASA)
∴CD=CE,OD+OE=2ON=2OC·cos? ∴S△ODC+S△OEC=2S△ONC=OC 2·sin?cos?
方法二:如图,以CO为一边作∠FCO=180°-2?,交OB于点F.
ADCBOEF
易证△DCO≌△ECF(ASA)
∴CD=CE,OD+OE=OF=2OC·cos? ∴S△ODC+S△OEC=S△OCF=OC 2·sin?cos?
【拓展】如图,当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时,则:
(1)CD=CE;(2)OD-OE=2OC·cos?;(3)S△ODC-S△OEC=OC 2·sin?cos? 如图,证明同上
DADAMDACEOCB
EONB
EOCFB
4、相似性之“90°”
如图,∠AOB=∠DCE=90°,∠COB=?,则CE=CD·tan?
ADCOEB
方法一:如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M、N
ADMOCEN
易证△MCD∽△NCE,∴
NECECNtan? ???tan?,即CE=CD·
MDCDCM方法二:如图,过点C作CF⊥OC,交OB于点F.
ADCB
OEF
易证△DCO∽△ECF,∴
FECECFtan? ???tan?,即CE=CD·
ODCDCO方法三:如图,连接DE.
ADCOEB
易证D、O、E、C四点共圆
∴∠CDE=∠COE=?,故CE=CD·tan?
【拓展】如图,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时,则CE=CD·tan?
ACBOED 如图,证明同上.
AMODACBACB
ODCBNEO
FEDE
例题讲解
例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,在∠BAC所对弧BC上任取一点D,连接AD,BD,CD.
(1)如图1,若∠BAC=120°,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么? (2)如图2,若∠BAC=?,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么?
DDBCOCOBA
图1
A图2
解:(1)BD+CD=3AD
DOACF图3BE
如图3,过点A分别向∠BDC的两边作垂线,垂足分别为E、F. 由题意可得∠ADB=∠ADC=30° 易证△AEB≌△AFC ∴BD+CD=2DE=3AD ⑵BD+CD=2AD
sin
?. 2如图4,作∠EAD=∠BAC,交DB的延长线于点E.
D B E F O C
A 图4
AMODACBACB
ODCBNEO
FEDE
例题讲解
例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,在∠BAC所对弧BC上任取一点D,连接AD,BD,CD.
(1)如图1,若∠BAC=120°,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么? (2)如图2,若∠BAC=?,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么?
DDBCOCOBA
图1
A图2
解:(1)BD+CD=3AD
DOACF图3BE
如图3,过点A分别向∠BDC的两边作垂线,垂足分别为E、F. 由题意可得∠ADB=∠ADC=30° 易证△AEB≌△AFC ∴BD+CD=2DE=3AD ⑵BD+CD=2AD
sin
?. 2如图4,作∠EAD=∠BAC,交DB的延长线于点E.
D B E F O C
A 图4
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