安徽省定远县启明中学高二上学期质量测评数学（理）试题

比知识你海纳百川，比能力你无人能及，比心理你处变不惊，比信心你自信满满，比体力你精力充沛，综上所述，高考这场比赛你想不赢都难，祝高考好运，考试顺利。定远启明中学2017-2018学年上学期高二质量测评卷

数学（理科）

第I卷（选择题）

一、选择题

1. 设a?0且a?1，则“a?1”是“?a?1?b?0”的（ ）

bA．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

x2y22.已知椭圆C的方程为2?2?1?a?b?0?,F1,F2为其左、右焦点，e为离心率，P为

ab椭圆上一动点，则有如下说法： ①当0?e?2时，使?PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个； 2②当e?2时，使?PF1F2为直角三角形的点P有且只有6个； 2③当

2?e?1时，使?PF1F2为直角三角形的点P有且只有8个； 2以上说法中正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

x2y23. 双曲线－?1的离心率为（ ）

6436A．

4354 B． C． D．

43544.过点A?2,3?且垂直于直线2x?y?5?0的直线方程为（ ） A．x?2y?4?0 B．2x?y?7?0 C．x?2y?3?0 D．x?2y?5?0

5.已知点A?2,?3?、B??3,?2?，直线l过点P?1,1?，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A．k?331或k??4 B．k?或k?? 444

C．?4?k?233 D．?k?4 446.设抛物线y?4x的焦点为F， P为其上的一点， O为坐标原点，若OP?PF，则

OPF的面积为（ ）

A.

22 B. C. 422 D. 22 ??????则,f'????（ ） 3???3?7.已知函数f?x??sinx?2xf'?A. ?311 B. 0 C. D.

222228. 方程x?y?1（xy?0）的曲线形状是（ ）

A. B. C. D.

2

9.设函数f?x?在R上存在导数f??x?， ?x?R，有f??x??f?x??x，在?0,???上

f??x??x，若f?2?m??f??m??m2?2m?2?0，则实数m的取值范围为（ ）

A. ?1,1 B. 1,??? C. 2,??? D. ??,?2???2,??

10. 设圆?x?1??y2?25的圆心为C， A?1,0?是圆内一定点， Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（ ）

2??????

4x24y24x24y24x24y24x24y2??1 B. ??1 C. ??1 D. ??1 A. 2125212525212521

11.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( ) A.

3或－3 B. －3或33 C. －33或3 D. －33或33 12.圆x2＋y2－2y－1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是 ( ) A. (x－1)2＋y2＝2 B. (x＋1)2＋y2＝2 C. (x－1)2＋y2＝4 D. (x＋1)2＋y2＝4

第II卷（非选择题）

二、填空题 13.设函数f(x)???(x?a)lnx,x?0,且f'(?1)?f'(1)，则当x?0时，f(x)的导函数

?2ax?2?a,x?0,f'(x)的极小值为 ．

14. 如图，设P是圆x?y?25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，当P在圆上运动时，则点M的轨迹C的方程是（ ）

22

15.设f?x?为可导函数且满足limf?1?2?x??f?1??x??x?x?0?3，则函数y?f?x?图象上

在点1,f?1?处的切线的倾斜角为_______________;

16. .在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 . ①函数y?2x?3x?1的图象关于点?0,1?成中心对称；

3??②对?x,y?R,若x?y?0，则x?1,或y??1；

③若实数x,y满足x?y?1,则

223y的最大值为；

3x?2④若?ABC为钝角三角形，则sinA?cosB.

三、解答题

17.在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y?4x相交于点A、B两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)． （1）求证：y1y2为定值；

（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由． 18.已知函数f(x)?212x?2alnx?(a?2)x． 2（1）当a?1时，求函数f(x)在[1,e]上的最小值和最大值； （2）当a?0时，讨论函数f(x)的单调性；

（3）是否存在实数a，对任意的x1,x2?(0,??)，且x1?x2，都有成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

19.已知抛物线C:y?2px(p?0)的焦点F,C上一点(3,m)到焦点的距离为5. （1）求C的方程；

（2）过F作直线l，交C于A,B两点，若直线AB中点的纵坐标为?1，求直线l的方程. 20．如图F1(?c,0),F2(c,0)为双曲线E的两焦点，以F1F2为直径的圆O与双曲线E交于

2f(x2)?f(x1)?a恒

x2?x1M,N,M1,N1,B是圆O与y轴的交点，连接MM1与OB交于H，且H是OB的中点，

（1）当c?1时，求双曲线E的方程；

（2）试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数．

x2y221．如图，椭圆C： 2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，右顶点、

ab

上顶点分别为点A、B，且AB?(1)求椭圆C的离心率；

5BF. 2(2)若斜率为2的直线l过点?0,2?，且l交椭圆C于P、Q两点， OP?OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.

参考答案

1. A 2.D 3. B 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A 13.2

x2y214. ??1

251615.?

416.①②③

17.

（1）设直线AB的方程为my?x?2，由?得y?4my?8?0，∴y1y2??8， 因此有y1y2??8为定值．

2?my?x?2,?y?4x,2

x1?2y1 ,)，AC?(x1?2)2?y12，22111因此以AC为直径圆的半径r?AC?(x1?2)2?y12?x12?4，E点到直线

222x?2x?a的距离d?|1?a|，

2（2）设存在直线l：x?a满足条件，则AC的中点E(所以所截弦长为2r?d?222x?212(x1?4)?(1?a)2?x12?4?(x1?2?2a)2 42??4(1?a)x1?8a?4a2．

当1?a?0，即a?1时，弦长为定值2，这时直线方程为x?1． 18. 解：

（1）当a?1时，f(x)?12x?2lnx?x. 22x2?x?2(x?1)(x?2)?则f(x)?x??1?，x?[1,e]

xxx'∴当x?(1,2)时，f(x)?0，当x?(2,e)时，f(x)?0，

''

∴f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,e)上是增函数.

∴当x?2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)??2ln2.

1ex?e?2. 又f(1)??，f(e)?22e21e2?2e?3f(e)?f(1)??e?2???0，∴f(e)?f(1)

222∴f(x)max?f(1)??1. 2（2）f(x)的定义域为(0,??)，

ax2?(a?2)x?2a(x?2)(x?a)f(x)?x??a?2??，

xxx'①当?2?a?0时，f(x)在(0,?a)上是增函数，在(?a,2)上是减函数，在(2,??)上是增函数.

②当a??2时，在(0,??)上是增函数.

③当a??2时，则f(x)在(0,2)上是增函数，在(2,?a)上是减函数，在(?a,??)上是增函数.

（3）假设存在实数a，对任意的x1,x2?(0,??)，且x1?x2，都有成立，

不妨设0?x1?x2，若

f(x2)?f(x1)?a恒

x2?x1f(x2)?f(x1)?a，即f(x2)?ax2?f(x1)?ax1，

x2?x1令g(x)?f(x)?ax?121x?2alnx?(a?2)x?ax?x2?2alnx?2x 22只要g(x)在(0,??)为增函数

2ax2?2x?2a(x?1)2?1?2ag(x)?x??2??

xxx'要使g(x)?0在(0,??)恒成立，只需?1?2a?0，a??'1， 2

故存在a?(??,?]满足题意. 19.

（1）抛物线C: y?2px(p?0)的焦点F的坐标为(212p,0)， 2?m2?2p?3?由已知? p22?(3?)?m?52?解得p?4或p??16 ∵p?0，∴p?4 ∴C的方程为y?8x.

（2）由（1）得抛物线C的方程为

，焦点F(2,0)

2设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，

2??y1?8x1则?2 ??y2?8x2两式相减。整理得

y2?y18?

x2?x1y2?y1∵线段AB中点的纵坐标为?1 ∴直线l的斜率kAB?88???4

y2?y1(?1)?2直线l的方程为y?0??4(x?2)即4x?y?8?0

20．

（1）由c?1有B(0,1),H(0,),M(1231,) 22x2y2设E：2?2?1(a?0,b?0),M在E上，

ab?21?a2?b2?1?a?2??22则?3解得? E:2x?2y?1 1?2?2?1?b2?1?4a4b??2

（2）F1(?c,0),B(0,c),H(0,),M(c23cc,) 22?a2?b2?c2xy?2设E2?2?1(a?0,b?0),?3c2,即3e4?8e2?4?0 cab?2?2?1?4a4b22e2?2或e2?21．

2(舍),?e?2为常数 355a，BF，即a2?b2?22c3?． a2（Ⅰ）由已知AB?，

4a2?4a2?c2?5a2，∴e???x2y2??1．设P?x1,y1?， Q?x2,y2?， （Ⅱ）由（1）知a?4b，∴ 椭圆C：

4b2b222直线l的方程为y?2?2?x?0?，即2x?y?2?0．

2x?y?2?0由{x24b22?y?12b2 ?x2?4?2x?2??4b2?0，即17x2?32x?16?4b2?0．

216?4b221732??32?16?17b?4?0?b?． x1?x2??， x1x2?．

171717?2?∵OP?OQ，∴OP?OQ?0，

即x1x2?y1y2?0， x1x2??2x1?2??2x2?2??0， 5x1x2?4?x1?x2??4?0．

从而

516?4b217???128?4?0，解得b?1，∴ 椭圆C的方程为x1724?y2?1．

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