2014届高考数学（文科，大纲版）一轮复习随堂检测：8.3 抛物线 Word版含解析

1. 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )

3

A．y2＝x B．y2＝9x

29

C．y2＝x D．y2＝3x

2

解析：选D.分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，

∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，

13

∴F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.故

22

选D.

2．(2011·高考山东卷)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )

A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

2

解析：选C.∵x＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.

由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4

＋2，∴y0>2.

3．(2013·南宁模拟)已知曲线f(x)＝x3＋x2＋x＋3在x ＝－1处的切线恰好与抛物线y＝2px2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为( )

1

A．4 B.

41

C．8 D.

8

解析：选A.由已知可得k＝f′(－1)＝3×(－1)2＋2×(－1)＋1＝2，又由切点为(－1,2)得其切线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4.设此直线与抛物线切于点(x0,2px20)，则k＝4px0

112

＝2得px0＝－，又2x0＋4＝2px20，解得x0＝－4，p＝－，由此可得抛物线的方程为x＝28

－4y，其过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为4，故应选A.

4．(2011·高考湖北卷)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )

A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3

p解析：选C.如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(，0)，设A(m，2pm)(m>0)，

2

则由抛物线定义，|AF|＝|AA1|，

p

即m＋＝|AF|.

2

又|AF|＝|AB|＝22pm，

pp22

∴m＋＝22pm，整理，得m－7pm＋＝0，①

24

2p

∴Δ＝(－7p)2－4×＝48p2>0，∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，

4

p2

m1·m2＝>0，

4

∴m1>0，m2>0，∴n＝2.

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