超级画板的介绍

什么是Z+Z《超级画板》？

它是为我国量身定做的基础教育数学教学软件；

它是“数学工具+课程资源”式的智能教育平台；

它提供了数学探索、数学研究和数学创作的环境；

它是每天都用到的圆规、直尺、三角板、练习本。

超级画板的主要功能 （1）动态几何构图 （2）动态图形变换 （3）函数方程曲线 （4）动态测量计算 （5）符号运算编程 （6）模拟随机事件 （7）自动推理运算 （8）课件制作平台 （9）..........

我们不对这些功能一一介绍了，而是通过几个例子，了解一下超级画板的特色之处

二、动态几何作图环境

利用数学教育软件Z+Z超级画板可以直接绘制点、线、圆、线上的点、圆上的点、 平行线、垂线、垂足、中点、相等的切线、切线，等等几十种常见的几何图像。

利用Z+Z超级画板作图：首先能够节约时间，然后能够绘制的更加准确，更重要的是 图形在变化过程中图形之间的集合关系保持不变。 这就是动态几何环境作图

线面我们举一个例子：

画任意线段AB，然后以点A为圆心绘制一个经过点B的圆。 绘制一条与AB垂直的半径AC。

在圆A上任意取一点D，过点D分别向AB、AC做垂线段DE、DF。 连接线段EF。

根据作图过程我们知道，四边形AEDF是矩形，根据矩形的性质很容易知道它的对角

线EF等于AD，因此当点D在圆上运动的过程中，EF的长度保持不变。当然，我们也可以 通过测量的方式观察到这一结论。

通过这么简单的一个作图过程，就构造出了一条两端点变化而长度固定的线段。 实际上这就是数学上著名的梯子模型：如果将AB当作地面，将AC当作墙面，那么 线段EF就像一个沿着墙面和地面下滑的梯子。

例如在平面解析几何中，通常会出现这个情景：如果在梯子的正中间位置有一个小猫， 当梯子在下滑过程中，小猫紧紧捉住梯子不放，也就是说当梯子下滑过程中， 小猫在梯子的重点位置保持不变。

请问：在梯子下滑过程中，小猫经过的路径是什么图形？

其实要解决这个问题并不困难。利用初中所学的几何知识能够推导出它是一个四分之一 圆周，在高中阶段还能够推导出该曲线的函数表达式。

然而在《超级画板》中，可以直观地观察到梯子滑动的动态过程。从而观察到跟中梯子的中点G动态生成圆弧的过程。

这可以让枯燥的数学变得更加形象，更加生动，更加有趣。 可以说，基于动态几何原理的《超级画板》软件为数学学习提供了一个动手操作、实验发现、探索验证的环境.

因此我们很容易就想到将原来的问题推广到一般的情况或者提出各种各样的问题，例如： 1； 若小猫不在梯子的中点，例如在点H的位置，那么当梯子下滑过程中，小猫 所经过路径是什么形状的曲线？

2； 刚开始学习几何的时候我们就知道：点动成线、线动成面、面动成体。

那么在这里，梯子沿着墙面和地面滑动的过程中，梯子经过的区域是什么的图形？

3；梯子上哪一点到墙角的距离最短？当梯子滑动过程中，这一点的位置是否会发生变化？ 这一点的位置会如何进行变化？

等等，你还可以提出更多的可以探索的问题。

通过《超级画板》跟踪命令和动画按钮，我们可以很容易动态观察到上述问题的结果。 单击动画按钮，我们就可以看到点H的轨迹。这是什么图形呢？现实问题当中，点D是 右上侧四分之一圆弧上的动点，而利用《超级画板》所构成的梯子滑动模型当中，点D 却可以在整个圆上运动，这样我们就能够更加清楚地观察到点H经过的路径所表示的图形。

在我们单击动画按钮之前，请你猜测一下梯子下滑的过程中，梯子扫过的区域可能 是什么图形？现在让我们单击“动画”按钮，看一看计算机帮我们自动生成的结果吧。 现在我们看一看梯子所扫过的区域。当然，若让点C在整个圆周上运动，就看到了这 个图形的全部。当点D在圆周上运动的过程中，梯子EF的滑动所形成的区域是什么形 状的图形呢？它有哪些特点？具有哪些性质？我们能否描述一下它的特征？或者给它 取个名字？

过墙角A向梯子做垂线段，垂足I就是梯子上到墙角距离最短的点，线段AI即为 最短距离。那么当梯子滑动的过程中，点I的位置、线段AI的距离如何变化呢？

这些在传统教学手段下难以想象得清楚的问题，在超级画板中可以非常轻松地展示动态的形成过程。

可见，在《超级画板》这种动态几何环境中，我们通过学生非常熟悉的点、线、圆、垂直等几何对象

或关系，以及圆周运动等方式，可以得到学生未必非常熟悉的对象，而这些对象看起来又非常有趣、

并且一时难以说得清楚。

因此我们可以说《超级画板》能够让数学变得：

更形象、更容易理解；更有趣，更有吸引力；更开放，更有挑战性！

三、函数方程曲线

在超级画板中，直接输入函数表达式或者方程，即可直接做出对应的曲线。 例如直接输入这个方程即可做出对应的曲线。当字母a变化时，曲线会同时 发生变化。我们可以进一步研究字母a对椭圆的性质的影响。

数学教师和学生都有这样的体会：在绝大多数软件中，如果要做出这么一个常见的方程对应的曲线，却是非常地困难。从这方面可以说，Z+Z《超级画板》是专一为数学教育量身定做的教学软件，它能大大减轻教师和学生劳动负担，节约他们的工作时间。

四、与生活有关的例子

我们经常说数学来自于生产生活，数学服务生产生活。但是我们能否举出了一些让学生信 服而他们又非常熟悉的例子呢？

我们还是以生活常见的自行车情景为例子：若向前行驶的自行车压在了一个香口胶P的上面，结果是香口胶粘在了车轮子边沿。那么请问：当车轮继续向前滚动的过程中，车轮边沿上的香口胶经过的路径是一条什么形状的曲线呢？ 不妨先让学生思考一下这个问题，同时拿起笔在纸上画一画。学生们能否给出正确的结果并 不重要，重要的是激发学生们认真思考问题的积极性。

事实上，在传统教学手段下，若要准确地绘制点P

经过的路径，绝非易事而超级画板通过跟踪命令就可以轻松实现。

而利用超级画板得到了点P运动过得路径，问题还不算得到了解决，

我们还需要说清楚它是什么？圆弧？半个椭圆？抛物线？还是其他什么曲线？ 不同的学生可能有不同的答案。

看来通过我们非常熟悉的生活情境，提出了我们未必马上就能解决的数学问题。

事实上，它既不是圆弧、也不是半个椭圆，更加不是抛物线。它的名字实际上非常容易理解， 旋轮线：即由于旋转的车轮而得到的曲线。旋轮线也叫做摆线。

摆线有很多奇特的性质，例如它叫最速降线。也就是说，在所有形状斜坡中，沿着摆线下滑，能够最早到达地面。摆线也叫等时线，也就是说沿着摆线形状的斜坡下滑，无论从任何位置同时出发，都在同一时刻到达底部。因此摆线在生产、制造中有非常广泛的应用。难怪，在欧洲17世纪被称为“摆线的世纪”。

滑梯是儿童乐园中常见的玩具。有的滑梯的滑板是平直，还有一种滑梯是弯曲的，它的画面是旋轮线。

这两个滑梯的高度一样，有两个体重完全一样的小朋友同时分别自滑梯的顶点处下滑，这两个小朋友哪一个先到达地面？ 旋轮线的性质告诉我们，先到达地面的不是平直滑板上的小朋友，而是旋轮线画面上的小朋友！这是什么原因呢？你是否想去游乐场体验、对比一下？

当然，圆在圆上的滚动时，滚动圆边沿上一点所生成的曲线也叫摆线。若定圆的大小和位置固定，而滚动圆的半径不同时，所得到的摆线也不尽相同。现在，我们继续研究与车轮有关的问题。

在水平路上行驶的车辆，它们的车轮都是圆形的，对于这些现象我们已经是司空见惯的 但仔细想想未必马上就能说清楚；车轮为什么是圆的？

反过来，我们可以看一看，如果车轮不是圆形的，而是三角形的，那么在水平路面上行驶的汽车，结果会如何呢？如果车轮是四边形的呢？五边形呢？六边形呢？看到这些过程，学生们就能认识到车轮不做成圆形的后果了。这会帮助他们更加深刻理解车轮坐车圆形的道理了。

在现实世界中，是先有了水平的路面才需要造出圆形车轮的车。假如在一个数学主题公园中， 我们就可以不完全遵照现实世界的规则。例如我们已经制造出了一个正三角形的车轮的汽车，如果要求汽车还能平稳的行驶，那么路面应该是什么形状的？原来是先有路再造车，现在是先有车再铺路。

我们可以看看正三角车轮对应的路面。 还可以看看正四边形、正五边形、正六边形、正七边形车轮对应的汽车以及对应的路面等等。

五、超级画板在数学教育中的作用

这是前面我们见到过的三个问题：圆在圆上滚动生成的摆线、梯子经过的区域、椭圆扫过 的区域。你认为后两个区域的边界以及前面的摆线形状相同吗？

我们暂时认定他们是相同的。由此赞叹数学的美妙和有趣，三种完全不同的对象分别用过 三种完全不同的变换或运动竟然得到了相同的结果。

事实上，它们是否真的完全相同呢？这需要我们进行推理和证明，与物理实验、化学实验 和生物实验不同的是，数学通过实验得到了结果还需要进行推理和证明。而不能单靠直观 观察就得出结论，因为有时候眼睛会骗人。

请见：怎么少了一块？ 可以看出，上面的图形的底边长是蓝色三角形的底边长之和，它的高是两个三角形的高之和；下图也是一样，因此，上下两个图形的底边和高是一样的。但是为什么由上面的图案分割后重新拼接成下面的图案，就少了一块呢？ 可见，超级画板不但让数学变得更直观、更形象、更容易理解，还能让数学变得更有吸引力、更有挑战性。

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