景荣春版流体力学习题及答案

第一章 绪论

1-1 连续介质假设的条件是什么？

答：所研究问题中物体的特征尺度L，远远大于流体分子的平均自由行程l，即l/L<<1。 1-2 设稀薄气体的分子自由行程是几米的数量级，问下列二种情况连续介质假设是否成立？ （1）人造卫星在飞离大气层进入稀薄气体层时； （2）假象地球在这样的稀薄气体中运动时。 答：（1）不成立。 （2）成立。

1-3 粘性流体在静止时有没有切应力？理想流体在运动时有没有切应力？静止流体没有粘性吗？ 答：（1）由于

dvdv?0，因此????0，没有剪切应力。 dydydv?0，没有剪切应力。 dy（2）对于理想流体，由于粘性系数??0，因此???（3）粘性是流体的根本属性。只是在静止流体中，由于流场的速度为0，流体的粘性没有表现出来。

Re?1-4 在水池和风洞中进行船模试验时，需要测定由下式定义的无因次数（雷诺数）

UL?，

L为船模长度，L?4m，其中U为试验速度，如果U?20m/s，?为流体的运动粘性系数。

温度由10?C增到40?C时，分别计算在水池和风洞中试验时的Re数。（10?C时水和空气的运动粘性系数为0.013?10和0.014?10，40?C时水和空气的运动粘性系数为

?4?40.0075?10?4和0.179?10?4）。

答：10?C时水的Re为：Re?UL??20(m/s)?4?m?7?6.154?10。 ?420.013?10m/s??10?C时空气的Re为：Re?UL???20(m/s)?4?m??5.714?107。 ?420.014?10m/s??40?C时水的Re为：Re?

UL?20(m/s)?4?m?8?1.067?10。 ?420.0075?10m/s?? - 1 -

40?C时空气的Re为：Re?UL??20(m/s)?4?m?6。 ?4.469?10?420.179?10m/s??21-5 底面积为1.5m的薄板在静水的表面以速度U?16m/s做水平运动（如图所示），已

知流体层厚度h?4mm，设流体的速度为线性分布u?中水温为20?C）。

Uy，求移动平板需要多大的力（其h答：平板表面受到剪切应力作用，根据牛顿内摩擦定律，剪切应力为：???du。 dy由于u?UUduUy，得到?，因此???。

hhdyh作用于平板上的粘性切向力为：F????dS????dS???SSUhUS；其中水的密度为：h??1.0?103?kg/m3?；

20?C时水的运动粘性系数为：??1.0037?10?6m2/s；代入上式得到：

??F?1.0?103kg/m3?1.0037?10?6m2/s?????16?m/s??1.5m2?6.02?N? 0.004?m???1-6 设物面附近流体的流动如图所示，如果边界层?内流速按抛物线分布：

?yy2?v?U??2???2??，当U?20m/s，??10cm，温度为15?C，试问流体分别为水和空

??气时，作用于壁面OAB上的剪切应力。 答：物体表面的剪切应力为：??????dv??。 ??dy?y?0?dv?2U???。 ?dy????y?0dvd??yy2???22y????U2??U由于：??2?，当y?0时， ??2??dydy??????????因此：????2U??2??U?。

（1）当流体为水时：

15?C时水的密度?和运动粘性系数?分别为：

??1.0?103?kg/m3?，??1.139?10?6?m2/s?，

- 2 -

?Pa?。 ??2?1.0?103?kg/m3??1.139?10?6?m2/s??20?m/s?/0.1?m??0.4556（2）当流体为空气时：

15?C时空气的密度?和运动粘性系数?分别为：

??1.226?kg/m3?，??1.455?10?5?m2/s?，

??2?1.226?kg/m3??1.455?10?5?m2/s??20?m/s?/0.1?m??7.14?10?3?Pa?。

1-7 有一旋转粘度计如图所示。同心轴和筒中间注入牛顿流体，筒与轴的间隙?很小，筒以

?等角速度转动。设间隙中的流体速度沿矢径方向且为线性分布，l很长，底部影响不计。

如测得轴的扭矩为M，求流体的粘性系数。 答：轴承受的剪切应力：???则轴受到的剪切力为：

dv?d； ??dy2????ld2F????dl?；

2?由于轴受到的扭矩为M，则：

d???ld3F??M，即?M；

24?所以：

??

4M?。

??ld3- 3 -

第二章 流体静力学

2-1如果地面上空气压力为0.101325MPa，求距地面100m和1000m高空处的压力。 答：取空气密度为??1.226kg/m3，并注意到1?MPa??106?Pa?。 （1）100米高空处：

??p?p0??gh?1.01325?105?Pa??1.226kg/m3?9.81m/s2?100?m??101325?Pa??1203?Pa??1.00122?10?Pa?5????

（2）1000米高空处：

p?p0??gh?1.01325?105?Pa??1.226kg/m3?9.81m/s2?1000?m??101325?Pa??12027?Pa??0.89298?10?Pa?5????

2-2 如果海面压力为一个工程大气压，求潜艇下潜深度为50m、500m和5000m时所承受海水的压力分别为多少？

答：取海水密度为??1.025?103kg/m3，并注意到所求压力为相对压力。 （1）当水深为50米时：

??p??gh?1.025?103kg/m3?9.81m/s2?50?m??5.028?105?Pa?。

（2）当水深为500米时：

????p??gh?1.025?103kg/m3?9.81m/s2?500?m??5.028?106?Pa?。

（3）当水深为5000米时：

?????m??5.028?107?Pa?。 p??gh?1.025?103kg/m3?9.81m/s2?50002-3试决定图示装置中A，B两点间的压力差。已知：h1?500mm，h2?200mm，

????h3?150mm，h4?250mm，h5?400mm；酒精重度?1?7848N/m3，水银重度

?2?133400N/m3，水的重度?3?9810N/m3。

答：设A，B两点的压力分别为pA和pB，1,2,3,4各个点处的压力分别为p1，p2，p3和p4。根据各个等压面的关系有：

p1?pA??3h1， p1?p2??2h2，

- 4 -

p3?p2??1h3， p3?p4??2h4， p4?pB??3?h5?h4?；

整理得到：

pA?pB??3?h5?h4???2h4??1h3??2h2??3h1， pA?pB???1h3??2?h2?h4???3?h5?h4?h1???7848?0.15?133400??0.25?0.2??9810??0.4?0.25?0.5? ?55419.3?Pa?2-4有闸门如图所示，其圆心角??60，转轴位于水面上。已知闸门宽度为B，半径为R，试求闸门受到的合力及合力与自由面的夹角?。 答：（1）求水平分力Px???hc?Sx

由于H?R?sin?，则hc??11H?R?sin?；Sx?H?B?R?sin??B。因此：22211?3?32????R2B?Px???Rsin??RBsin?????RB。 ?22?28??（2）求垂向分力Pz???V

其中：V????13?2????RB， ??R2?Rsin??Rcos???B?????2?2???68???3?2?RB??0.523?0.217??R2B?0.306?R2B。 ??68???因此Pz???V????（3）求合力P

合力大小：P?Px2?Pz2?0.484?R2B；

?合力方向：tan??PzPx?0.306?R2B0.375?R2B?0.816，??39.2。

2-5设水深为h，试对下述几种剖面形状的柱形水坝，分别计算水对单位长度水坝的作用力。（1）抛物线：z?ax，（a为常数）；

（2）正弦曲线：z?asinbx，（b/a?1，a，b为常数）。 答：（1）z?ax，a为常数。

- 5 -

22

水平分力：Px???hc?Sx； 其中hc?111h，Sx?h?1?h；因此Px???h?h??h2。 222垂直分力：Pz???V； 其中V?S?1?S，而S?h?xh??xh0ax2dx，并注意到xh?h/a，于是得到：

3V?h?h?a?0haha?h?2h2??h。 axdx?h?????a3?a3a??因此，Pz?2h。 ?h3a（2）z?asinbx，（b/a?1，a，b为常数）。

水平分力：Px???hc?Sx?垂直分力：Pz???V； 其中V?S?1?S，而S?h?xh?xh12?h。 2?xh01h并注意到xh?arcsin，于是得到： asinbxdx，

baV?xh?h??asinbxdx?xh?h?aaax?cosbx0h?xh?h?cosbxh?0bbbhhah?a?1?arcsin?cos?b?arcsin?? babbab??hh12a?arcsin?a?h2?babb因此，Pz???h?h?arcsin?a2?h2?a?。 ?b?a?2-6试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。已知水的重度??9810（N/m3），水渠

2左壁为y??x的直线，右壁为y?x的抛物线。

答：（1）水渠左壁面受力

①采用平板公式计算

作用力大小：P???hc?S?9810?1?2?1?6935.67(N)； 2作用力方向：垂直作用于平板OA，并指向OA。 作用点：

- 6 -

y?f?yc?Ic21，其中yc?，Ic??ycS212?2??1?32，S?2?1?2。 6因此，y?f?2222??2?0.9427（m）；h?。 ?ysin45?2??（m）ff3323②采用柱面公式计算

水平分力：Px???hc?Sx?9810?垂直分力：Pz???V?9810?合力：P?1?1?1?4905?N?； 21?1?1?1?4905?N?； 2Px2?Pz2?4905?2?6936.72?N?。

（2）水渠右壁面受力

水平分力：Px???hc?Sx?9810?垂直分力：Pz???V；

11?1?1?1?4905?N?； 2而V?S?1?S，S?1?1?x2dx?1??012?； 33因此Pz???V?9810?合力：P?2?6540?N?。 3Px2?Pz2?8175?N?。

2-7 一圆筒形容器的半径R，所盛水的高度H。若该容器以等角速度?绕其中心轴转动，设r=0，z=h点的压力为p0，试求容器内水的压力分布及自由表面方程（设容器足够高，旋转时水不会流出）。

答：（1）作用于筒内流体的质量力包括两项：

第一项：与z坐标方向相反的重力，重力加速度为g； 第二项：沿r坐标方向的离心力，离心加速度为?r。 因此单位质量力为：

2?????f??2r?er?g?ez，其中：er、ez分别为r、z方向的单位向量。

?1?p??p??er??ez； （2）对于静止流体微分方程：f??p，其中压力梯度：?p??r?z??将质量力f和压力梯度?p代入，则得到：

- 7 -

??2r?er??g?ez????p??p??er??ez； ?r?z比较方程两端，则得到：

?p?p???2r，???g。 ?r?z?p?p?p?pdr?dz，将???2r和???g代入其中，有： （3）压力的全微分：dp??r?z?r?zdp???2rdr??gdz；

将上式两端同时积分，得到：

p?1??2r2??gz?C，其中C为常数。 2将条件r?0、z?h时p?p0代入上式，则得到：

C?p0??gh。

即流体内部的压力分布为：

p?11??2r2??gz?p0??gh?p0??g(h?z)???2r2； 22又由于在自由表面上：p?p0，代入到上述压力分布式中，则得到：

1??2r2??g(h?z)?0； 2该式便是筒内流体的自由面方程。

2-8底面积a×a=200×200mm2的正方形容器的质量为m1=4kg，水的高度为h=150mm，容器的质量为m2=25kg的重物作用下沿平板滑动，设容器底面与平板间的摩擦系数为0.13，试求不使水溢出的最小高度H。 答：（1）求水平加速度ax：

建立如图所示坐标系，且设倾斜后不使水溢出的最小高度为H。

?，容器和水的总质量为m，则： 设容器内水的质量为m1???a2h?1.0?103?0.2?0.2?0.15?6（kg）， m1??4?6?10（kg）m?m1?m1。

由牛顿第二定律：

m2g??mg?(m?m2)ax，

- 8 -

其中??0.13为摩擦系数，则水平加速度为：

ax?1?m2??m?g?1?25?0.13?10?g?0.667g。

m?m235（2）求作用于流体上的单位质量力：

???1?单位质量力为：f??axi?gk。代入到静止流体平衡微分方程f??p中，有：

??1??p??p????axi?gk??i?k?；

???x?z?比较方程两端，可以得到：

?p?p???ax，???g。 ?x?z（3）求自由表面方程

压力的全微分为：dp??p?pdx?dz。 ?x?z在自由液面上，p?p0?const，dp?0。代入到上式中得到：??axdx?g?dz?0。对其进行积分，得到自由表面方程：

axx?gz?C

其中C为常数。

*** （确定常数C和高度H）：

由于自由表面方程通过两点：(0,H)、(a,h1)，代入到自由面方程中，则有：

0?ax?gH?C (1) a?ax?gh1?C (2)

将（1）代入到（2）中，得到：

a?ax?gh1?gH (3)

又由于倾斜前后，水体积（质量）保持不变，则有：

a2h?12a(H?h1) 2整理得到：h1?2h?H （4） 将（4）代入（3）中，得到：

- 9 -

a?ax?g(2h?H)?gH，

整理得到：

H?ax0.667g， ?a?h??0.2?0.15?0.218（m）

2g2g即不使水溢出的最小高度为0.218m。

2-9 一物体位于互不相容的两种液体的交界处。若两液体的重度分别为?1，?2（?2＞?1），物体浸入液体?1中的体积为V1，浸入液体?2中的体积为V2，求物体的浮力。

答：设微元面积dS上的压力为p，其单位外法向量为n，则作用于dS上的流体静力为

???dP??pndS。

??沿物体表面积分，得到作用于整个物体表面的流体静力为P????pndS。

S设V1部分的表面积为S1，设V2部分的表面积为S2，两种液体交界面处物体的截面积为S0，交界面处的压力为p0。

并建立下述坐标系，即取交界面为xoy平面，z轴垂直向上为正，液体深度h向下为正，显然h??z。

????因此P????pndS????pndS???pndS。

SS1S2在S1上p?p0??1h?p0??1z，在S2上p?p0??2z；代入到上式中得到：

???P?????p0??1z?ndS????p0??2z?ndS????????p0ndS?????1z?ndS???p0ndS?????2z?ndSS1S1S2S2S1S2

???????????????????p0ndS???p0ndS?????1z?ndS?????2z?ndS??S??S??S?S2?1??1??2???在此，需要注意到，由于在交界面上z?0，因此有????1z?ndS?????2z?ndS?0。将这两

S0S0项分别加入到上式的第二个括号和第三个括号中，则原式成为：

- 10 -

??????????????????P????p0ndS???p0ndS?????1z?ndS?????1z?ndS?????2z?ndS?????2z?ndS??S??S??S?S2S0S0?1??1??2????????p0ndS?????1z?ndS?????2z?ndSSS1?S0S2?S0利用高斯公式，可以得到：

?P???????p0?dV???????1z?dV???????2z?dVVV1V2?0???????1V1k??2V2k?1V1??2V2?k即物体受到的浮力为P?????1V1??2V2?k。

- 11 -

第三章 流体运动学

3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？ 答：对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：

???u????v???0； ?x?y存在函数：

P(x,y,t)???v和Q?x,y,t???u，

并且满足条件：

??Q???P??。 ?x?y因此，存在流函数，且为：

??x,y,t???Pdx?Qdy?????v?dx???u?dy。

3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?

答：如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数，满足拉普拉斯方程。

3-3 就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。 （1）u?mxmy ?2, v??2222?x?y2?x?y（2）u?Kty2?x2?x?2?y22??, v??2Ktxy?x2?y22?，其中m，K为常数。

答：（1）流场的加速度表达式为：

ax??u?u?u?v?v?v?u?v, ay??u?v。 ?t?x?y?t?x?y?u?v?0, ?0，因此： ?t?t由速度分布，可以计算得到：

?um?2xy?umy2?x2，； ????222222?y2??x?y??x2?x?y???vm?2xy???x2?x2?y2??2?vmx2?y2，。 ??222?y2?x?y?? - 12 -

代入到加速度表达式中：

mxmy2?x2mym?2xyax?0??2??????2?x?y22?x2?y222?x2?y22?x2?y2????2x?m???????2??x2?y22

??2mxm?2xyay?0??2??2?x?y22?x2?y2??2mymx2?y2??2??22?x?y2?x2?y22??y?m??????2?2??x?y22

??2（2）由速度分布函数可以得到：

?uKy2?x2?v?2Kxy ?, ?222223?t?tx?yx?y???????ux2?3y2?u3x2?y2，； ?2Ktx??2Kty?332222?x?yx?yx?y?????????vy2?3x2?vx2?3y2，。 ??2Kty???2Ktx?332222?x?yx?yx?y????????代入到加速度表达式中：

ax?K??Kt??K?y2?x2?x22?y22??Kt?y2?x2?x22?y22??2Ktx?x2?3y2?x2?y2?32xy?x?x?y22??2Kty???Kt?23x2?y2?x?x?y2x23?

y2?x22?y2?22?y2?3ay??K??Kt??x2xy2?y2222??Kt??xy2?x22?y222????2Kty???xy2?3x22?y2?3?x2xy2??K??x?y2xy2????2Ktx????Kt?2?x2x2?3y2?y2y?y223?

?y2?2?x?33-4已知欧拉参数表示的速度场分布为u?x?t，v?y?t，试求质点位移和速度的拉格朗日表达式。已知t?0时x?a，y?b。

- 13 -

答：（1）流体质点的轨迹方程为：

?dx?udt， ??dy?vdt将速度分布带入，得到：

?dx??x?t?dt ???dy?y?tdt?两个方程除了自变量之外，完全一致，只需要解一个即可。将第一个方程改写为：

dx?x?t dt该方程为一阶非齐次常微分方程，非齐次项为t。先求齐次方程的通解，齐次方程为：

dxdx?x，即?dt； dtx两端同时积分得到：

lnx?t?C，x?Cet。

（2）令非齐次方程的特解为：

x*?t??C?t??et，

对其两端求导得到：

dx*?t??C??t??et?C?t??et； dtdx*?t?将上述x?t?和代入到原非齐次方程中，有： dt

*C??t??et?C?t??et?C?t??et?t。

整理得到：

C??t??t?e?t，

两端同时积分：

C?t???t?e?tdt???t?1?e?t?C1

代入到特解中得到：

x*?t??C?t??et???t?1?e?t?C1et???t?1??C1et。

（3）将初始条件t?0时x?a代入上式，得到：

?? - 14 -

C1?a?1，

因此：

x*?t????t?1???a?1?et，

同理可得：

y*?t????t?1???b?1?et。

轨迹方程为：

?????r?t??x*?t?i?y*?t?j???t?1??(a?1)eti???t?1??(b?1)etj。

????（4）用拉格朗日法表达的速度为：

?????r?t?ttv?t????a?1?ei??b?1?ej。

?t3-5 绘出下列流函数所表示的流动图形（标明流动方向），计算其速度、加速度，并求势函数，绘出等势线。（1）??x?y；（2）??xy；（3）??xy；（4）??x2?y2。 答：（1）??x?y

①流动图形：流线方程为x?y?C，流线和流动方向如图中实线所示；

②速度：u???????1， ?1，v???x?y?????v?ui?vj?i?j，流场为均匀流动；

③加速度：a?axi?ayj?0； ④求速度势函数：

由于平均旋转角速度：?z?数?(x,y)存在：

?x,y??x,0?0,0???1??v?u?1?????2?0?0??0，因此流场为无旋流场，势函2??x?y???x,y?x,0?(x,y)?udx?vdy??udx??vdy?x?y； ???????0,0⑤等势线：等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。 （2）??xy

①流动图形：流线方程为xy?C，流线和流动方向如图中实线所示；

- 15 -

②速度：u???????y； ?x，v???x?y?????v?ui?vj?xi?yj；

③加速度：

?u?u?v?x?1?y?0?x?x?y

?v?vay?u?v?x?0?y???1??y?x?yax?u?????a?axi?ayj?xi?yj；

④求速度势函数：

由于平均旋转角速度?z?1??v?u?1?????0?0??0，流场为无旋流场，势函数??2??x?y?2?(x,y)存在：

?x,y??x,0??x,y??(x,y)??0,0??udx?vdy????0,0xdx??x,0??ydy?12x?y2； 2??⑤等势线：等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。 （3）??xy

①流动图形：流线方程为x/y?C，流线和流动方向如图中实线所示； ②速度：u???1??x??， ??2，v???xy?yy???x?1?v?ui?vj??2i?j；

yy③加速度：

?u?ux?v??4?x?yy

?v?v1ay?u?v??3?x?yyax?u???x?1?a?axi?ayj??4i?3j；

yy - 16 -

④求速度势函数：

由于?z?1??v?u?1??????0，流场为有旋流场，势函数?(x,y)不存在。 3??2??x?y?y（4）??x2?y2

①流动图形：流线方程为x2?y2?C，流线和流动方向如图中实线所示； ②速度：u???????2x， ?2y，v???x?y?????v?ui?vj?2yi?2xj。

③加速度：

?u?u?v??4x?x?y

?v?vay?u?v??4y?x?yax?u?????a?axi?ayj??4xi?4yj；

④求速度势函数：

?z???????2?0，为有旋流场，势函数?(x,y)不存在。 2??x?y??3-6 已知平面不可压缩流体的速度分布为（1）u?y，v??x；（2）u?x?y，v?x?y；（3）u?x?y?x，v???2xy?y?。判断是否存在势函数?和流函数?，若存在，则

221??v?u?求之。

答：（1）u?y，v??x ①求速度势函数：

?z???????1?1???1?0，为有旋流动，势函数?(x,y)不存在。 ??2??x?y?2②求流函数：

由于

1??v?u?1?u?v??0?0?0，满足不可压缩流体的连续方程，流函数?(x,y)存在： ?x?y - 17 -

?x,y??x,0??x,y??(x,y)??0,0???vdx?udy????0,0xdx??x,0??ydy?12x?y2。 2??（2）u?x?y，v?x?y ①求速度势函数：

?z??????2?1?1??1?0，为有旋流动，势函数?(x,y)不存在。 2??x?y??②求流函数：

由于

1??v?u?1?u?v不满足不可压缩流体的连续方程，流函数?(x,y)不存在。 ??1?1?2?0，

?x?y（3）u?x2?y2?x，v???2xy?y? ①求速度势函数：

?z??????2??2y???2y???0，为无旋流动，势函数?(x,y)存在： 2??x?y???x,y??x,0?0,01??v?u?1?(x,y)???0,0??udx?vdy??x???2?xdx???x,y??x,0?122????2xy?ydy?x?y?2

112122?x?xy?y322x②求流函数：

由于存在：

?x,y??x,0??x,y??u?v???2x?1???2x?1??0，满足不可压缩流体的连续方程，流函数?(x,y)?x?y?(x,y)??0,0???vdx?udy????0,02xydx??x,0???x21?y2?ydy?2x2y?xy?y3。

3?3-7 已知欧拉参数表示的速度分布为u?Ax，v??Ay，求流体质点的轨迹。 答：由轨迹方程

dxdy??dt，并将u?Ax和v??Ay代入得到： uvdx?Axdt

dy??aydt或者写成：

- 18 -

dx?Adtx

dy??Adty两端同时积分，得到：

lnx?At?C1lny??At?C2，即

x?C1eAty?C2e?At

3-8 已知流场的速度分布为u?x?t，v??y?t，求t?0时通过??1, 1, 1?点的流线。 答：将速度分布函数代入连续方程：

?u?v?w???0 ?x?y?z得到：

?w?0 ?z因此可知，速度分布与z坐标无关，流动为二维流动。由流函数定义式得到：

?x,y??x,0?0,0?(x,y)??vdx?udy???y?t?dx???x?t?dy??y?t?x??x?t?y。 ???????0,0x,0?x,y?由于流函数为常数时??C表示流线，因此流线方程为：

?y?t?x??x?t?y?C。

将将条件：当t?0，x??1、y?1代入上式，得C??2；因此该瞬时过??1, 1, 1?的流线方程为：

xy?1?0。

23-9已知平面不可压缩流体的速度分布为u?xt，v??2xyt，求t?1时过??2, 1?点的流

线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。 答：（1）求流线方程：

由于

?u?v??2xt?2xt?0，流函数?(x,y,t)存在，且为： ?x?y?x,y??x,0?0,0?x,y?22?(x,y,t)??vdx?udy??0?dx??xtdy?x???????0,0x,0yt；

- 19 -

则流线方程为：

x2yt?C；

将条件：当t?1时，x??2、y?1代入，得C?4；则该瞬时过将(?2, 1)点的流线方程为：

x2y?4。

（2）求加速度：

?u?u?u?u?v?x2?x2t?2xt???2xyt??0?x21?2xt2?t?x?y

?v?v?vay??u?v??2xy?x2t???2yt????2xyt????2xt???2xy?2x2yt2?t?x?yax???将条件：t?1时，x??2、y?1代入，得到该瞬时过将(?2, 1)点的流体质点的加速度为：

ax??12ay?12

（3）轨迹方程：

x??24, y?t。 2t2223-10 设不可压缩流体的速度分布为（1）u?ax?by?cz,v??dxy?eyz?fzx;

?y2z2??x2z2?（2）u?ln??b2?c2??,v?sin??a2?c2?? 。其中a、b、c、d、e、f为常数，试求第三个

????速度分布w。

答：（1）将速度分布代入连续方程：

?u?v?w???0，得到： ?x?y?z?w?ez??d?2a?x， ?z两端同时积分得到：

1w?x,y,z??ez2??d?2a?xz?C1?x,y?。

2（2）将速度分布代入连续方程：由于：

?u?v?w???0， ?x?y?z - 20 -

5v??，?C?r2?5?rd??10?。 ?r03-16 设在?1,0?点置有???0的旋涡，在??1,0?点置有????0的旋涡，试求下列路线的速度环量：（1）x2?y2?4，（2）(x?1)2?y2?1，(3)x??2,y??2的一个方形框，（4）

x??0.5,y??0.5的一个方形框。

答：（1）???0??0?0 （2）???0 （3）???0??0?0 （4）??0

- 26 -

第四章 流体动力学基本定理及其应用

4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？ 答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：

???1?v???v???v?f??p ?t?其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。

（2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流

V2p线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：??gz?C，从左至右方程

2?每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。

4-2 设进入汽化器的空气体积流量为Q?0.15m3/s，进气管最狭窄断面直径D=40mm，喷油嘴直径d=10mm。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm，汽油液面距喷油嘴高度为50cm，试计算喷油量。汽油的重度??7355N/m3。 答：（1）求A点处空气的速度：

设进气管最狭窄处的空气速度为v1，压力为p1，则根据流管的连续方程可以得到：

1?D2?d2v1?Q， 4??因此：v1?4Q。

?D2?d2??（2）求真空度pv

选一条流线，流线上一点在无穷远处F，一点为A点；并且： 在F点：pF?p0，vF?0； 在A点：pA?p1??，vA?v1。 将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：

p0v12 ?0????2gp1- 27 -

因此真空度为：

?8?Q2121?4Q1pv?p0?p1??v1?????22??D2?d2??2D2?d2?????2

若取空气的密度为??1.226kg/m3，那么计算得到：

8?1.226?0.1521pv??3.1420.042?0.012??2?9.95?103Pa。

（3）求喷油量：

设喷油嘴处汽油的速度为v2，并设空气的密度为?1，重度为?1，汽油的重度为?2。选一条流线，流线上一点为上述的A点，另一点为汽油液面上的B点；并且：

在A点：pA?p1?p0?12?v1，vA?v2??，zA?h?50cm?0.5m； 2在B点：pB?p0，vB?0，zB?0； 代入到伯努利方程中，可以得到：

2p1?12?v2?h?0?0?0； ?p0??v1???2?2?2?2g整理得到：

2v2??12v1?2gh； ?2因此汽油喷出速度为：

v2??12v1?2gh； ?24Q，并注意到喷油嘴的22?D?d其中空气重度?1??1g?1.226?9.81?12N/m3；v1?直径是6mm，而不是原来的10mm，则计算得到：

??1.226?9.8116?0.152v2???2?9.81?0.5?24.366?9.81222 73553.14?0.04?0.006???3.817m/s因此汽油流量为：

11Q2???d2v2??3.14?0.0062?3.817?1.079?10?4m3/s?107.9cm3/s。

44

- 28 -

4-3 如图所示，水流流入U形弯管的体积流量Q=0.01m3/s，弯管截面由S1=50cm2减小到

S2=10cm2，流速v1和v2均匀，若S2截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作

用力及作用点的位置。??1000kg/m3。 答：（1）求截面S1和S2上的流速v1和v2：

由连续方程可知：

Q0.01m3/sv1???2m/s， ?42S150?10mQ0.01m3/sv2???10m/s；

S210?10?4m2（2）求S1上的压力p1：

?10Pa； 已知S2上的压力p2?1个工程大气压?0.981由伯努利方程：

5p12v12p2v2 ????2g?2g得到：

p1?p2?112?v12?v2?0.981?105??1000??100?4??1.461?105Pa。 22??（3）求水流对弯管的作用力P：

由动量定理可以得到：

2P-P1-P2??v12S1??v2S2。

其中P1和P2分别为在S1和S2上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。因此：

S1截面上作用力为：

P1??p1?p0?S1??1.164?105?0.981?105??50?10?4?240N， S2截面上作用力为：

P2??p2?p0?S2?0。

- 29 -

因此：

2P?P1??v12S1?v2S2?240?103?22?50?10?4?102?10?10?4????240?120?360N（4）求作用力P的作用点：

设作用点距S1截面中心线的距离为e，两管中心线之间的距离为L。 由动量矩定理可以得到：

2P?e???v2?S2?L；

?

即：

2?S2103?102?10?10-4100e??v2????0.278。 LP3603604-4 如图所示，弯管的直径由d1=20cm减小到d2=15cm，偏转角为60°，设粗端表压力p1=7840N/m2，流过弯管流体的体积流量Q=0.08m3/s，求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。

答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说，S1截面处压力p1和利用伯努利方程得到的S2截面的压力p2的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为0，因此在S1和S2截面上，均应以相对压力值计算。 （1）利用连续方程求截面S1和S2上的流速v1和v2：

v1?Q4QQ4Q?2，v2??2； S1?d1S2?d2（2）利用伯努利方程求S2截面的相对压力 p2： 根据伯努利方程：

p12v12p2v2 ????2g?2g可以得到：

p2?p1?12?v12?v2； 2??（3）求管壁对流体的作用力Fx和Fy：

- 30 -

①求x方向作用力分量Fx：

由动量定理：

Fx?P2?sin???v2?v2sin??S2?0

其中P2?p2S2为S2截面上外界对管内流体的作用力；整理得到：

22Fx?sin?P2??v2S2?p2??v2sin??S2???22?1?2??p1??v12?v22?1?2??p1??v12?v22??????v??sin??S2??2???sin??S?1?16Q216Q2????p1????24? 24???sin??S22?d?d12?????8?Q2?11?????p1??4?2?4??sin??S2?dd2???1??8?103?0.082?11??31??7840??????3.142?0.152??244?43.1420.15??2?0.2??326N②求y方向作用力分量Fy：

由动量定理：

?Fy?P1?P2cos?????v1??v1S1???v2v2cos??S2，

其中P1?p1S1为S1截面上外界对管内流体的作用力，整理得到：

2Fy?P1??v12S1?P2??v2S2cos?2?p1??v12S1?p2??v2S2cos????????16?0.082?1326 32??7840?10???3.142?0.2?24?3.142?0.2?43??450?188?262N（4）求力的作用点：

如图所示，设流体对弯管的作用力Fx和Fy与x轴和y轴的距离分别为ey和ex，由于

S1和S2上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知ex?ey?0，即合力作

用点通过坐标原点。

- 31 -

4-5 如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为v0=30m/s，水柱的体积流量Q=294m3/s，分流量Q1=118 m3/s。试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角?。设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。 答：（1）由伯努利方程可知v1?v2?v0；

（2）设流束宽度分别为b0，b1和b2，则有b0?Q/v0，b1?Q1/v1?Q1/v0；又由连续方程可知：

Q2?Q-Q1

因此：

b2??Q-Q1?/v2??Q-Q1?/v0；

（3）应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角： ①求偏转角度?：

在y方向，平板对流体的作用力Fy?0，即：

0??v1??v1?b1??v2?v2sin??b2；

整理得到：

2??v12b1??v2sin?b2?0

将v1?v2?v0代入，可以得到：

sin??Q1/v0b1Q1118????0.67， b2?Q?Q1?/v0Q?Q1294?118?即：??41.8。

②求x方向作用力分量Fx：

由动量定理得到：

?Fx????v0?v0b0??v2?v2cos??b2

整理得到：

?QQ?Q1?2??b0?b2cos????v02?Fx??v0?cos??v???v0?Q??Q?Q1?cos?? v0?0??103?30?294??294?118?cos41.8??4.88?106(N)?? - 32 -

4-6 图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为h1，水箱2中的水位高度为h2，两孔口中心重合，而且直径d1=d2/2。若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当已知h1和水的密度?时，求保持平板封盖住水箱2的孔口是h2最大值。 答 ：（1）求水箱1出口处速度V1：

在水箱1的自由液面上选取A点，在出口截面上选取B点； A点：pA?p0，VA?0，hA?h1， 其中p0为大气压力； B点：pB?p0，VB?V1??，hB?0。 由过A、B两点的伯努利方程：

12pA1pVA??ghA?VB2?B?ghB 2?2?得到：

1p1p?0?0?gh1?V12?0?g?0； 2?2?因此：

V12?2gh1，V1?2gh1；

（2）求水流对封板的作用力P：

由动量定理，沿垂直于封板的方向：

11112P?0?(?vB)?vB?d12???d12vB???d12?2gh1???gh1d12；

4442（3）求水箱2的最大高度hmax：

在封板右侧，水箱2形心处的静压力为p??ghmax，因此封板受到水箱2的静水压力：

1212P??p??d2???ghmaxd2。

44当封板左右两侧压力相同时，即P?P?时：

112 ??gh1d12???ghmaxd224注意到d1?1d2，整理可得： 2- 33 -

hmax?11h1。即水箱2 液面最大高度为h1。 224-7 工程中常用文丘里（Venturi）管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为 S1、S2，水的密度和U形测压计中液体的密度分别为?、?m，且???m。若不计水的粘性， 试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。 答：设正常管路截面1-1和收缩段截面2-2的流速分别为v1和v2，则由连续方程可知：

v1S1?v2S2；

又设管路的流量为Q，则：

v1?Q/S1，v2?Q/S2；

选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到：

p1??12v2p121??z1?z2??2??2v2， 整理得到：

?p121?p2??2??v22?v1???g?z1?z2?； 取U形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面，则有：

pA?p1??g(z1?h1)，

pB?p2??g(z2?h?h1)??mgh；

由于pA?pB，则可得到：

p1??g?z1?h1??p2??g(z2?h?h1)??mgh；

整理可得：

?p1?p2????g?z1?z2??gh??m???； 将（2）代入到（1）中，可得：

??g?z1?z2??gh??m????12????Q?S2?Q?2???g?z1?z2?； 2S1??再经整理得到：

Q2?2???ghS22m??1S2??S22?，Q?2???m???ghS22S1S2。 1?S2?1?S2? - 34 -

1）

（2）

（ 4-8 圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速U均匀，在某截面x处为抛物形速度分布：u?r??cr02?r2U，其中r为离管轴的径向距离，c为一未知常数。入口处和x处管截面压力均匀分布，分别为p0和px，流体密度为?，不计重力。（1）试确定常数c； （2）证明作用在o至x间，管壁上总的摩擦阻力D??r02?p0?px?????1??U2?。 3?答：（1）入口处流量为：Q??r02U；由连续方程可知，x处截面的流量也是Q??r02U。 又由于通过x截面半径r处环形微元面积ds?2?rdr上的流量为：

dQ?2?ru?r?dr

对其积分可得到：

Q??2?ru?r?dr?2??r?cr02?r2Udr?2?cU?r02?r2dr?000r0r0??r0???2cr04U ；

即：

?2cr04U??r02U；

因此得到：

c?2； r02则速度分布为：

?r2?222。 u?r??2r0?rU?2U?1?2???r0?r0???（2）入口处流体的动量为：??r02U?U???r02U2；x截面上，通过半径为r处的环形面积流体的动量为：

dM?2??rdr?u?r??u?r??2??ru2(r)dr；

将上式积分得到：

M??2??ru2(r)dr?2???0r0r00r2?42?22?r?4U?1?dr???rU； 0?r2?30??2由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此：

4??r02U2???r02U2?p0??r02?px??r02?D； 3其中D为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到：

- 35 -

11??D?p0?r02?px?r02???r02U2??r02?p0?px??U2?。

33??4-9 一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算R、P、Q三点的诱导速度。

答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：V?（1）求涡线对R点的诱导速度：

诱导速度由3部分涡线产生，即涡线1、2和3： 涡线1：方向垂直纸面向外：

??cos?2?cos?1?； 4?RVR1???cos?2?cos?1?； 4?l其中?2?0，cos?2?1；cos?1?因此：

dl?d22；

??d?1?VR1?4?l?l2?d2???。 ??涡线2：方向垂直纸面向内：

cos?2?则：

ll?d22，cos?1?cos????2???cos?2??ll?d22；

VR2????ll????2?4?d?l2?d2?l?d2????l????； ?22?2?dl?d??涡线3：方向垂直纸面向外：

VR3?VR1

则对R点总诱导速度为：

VR?2VR1?VR2???d?1?2?l?l2?d2??????2?d?ll?d22

（2）求涡线对Q点的诱导速度：

涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：

cos?2?1，cos?1??

dl?d22；

- 36 -

则：

????l?cos?2?cos?1???1??VQ1?VQ3???4?l4?l?l2?d2??涡线2方向垂直纸面向外：

????l????1???l2?d2???4?l???； ??VQ2?VR2??l； ?222?dl?d则对Q点总诱导速度为：

VQ?2VQ1?VQ2??d?1??2?l?l2?d2??????2?d?ll?d22；

（3）求涡线对P点的诱导速度：

涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：

cos?2?1，cos?1?0；

VP1?VP3?则：

????1?0??； 4?l4?l?。 2?lVP?2VP1?

- 37 -

第五章 势流理论

5-1流速为u0=10m/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。已知驻点位于(0，-5)，试求： (1)点涡的强度；(2) (0,5)点的流速以及通过驻点的流线方程。 答：（1）求点涡的强度?：

设点涡的强度为?，则均匀流的速度势和流函数分别为：

?1?u0x，?1?u0y；

点涡的速度势和流函数为：

?y???2??arctg，?2?ln(x2?y2)2?lnr；

2?x2?2?因此，流动的速度势和流函数为：

1???1??2?u0x??y?arctg?u0rcos???， 2?x2?1??222???1??2?u0y?ln(x?y)?u0ysin??lnr；

2?2?则速度分布为：

u??????y， ??u0??2?x?y2?x?y2?????x； ????22?y?x2?x?yv?由于(0,?5)为驻点，代入上式第一式中则得到：

u0???5?2?0， 22?0?(?5)整理得到：

??10?u0?100?。

（2）求(0,5)点的速度：

将??100?代入到速度分布中，得到：

u?u0??y100?y50y?2?10???10?， 222222?x?y2?x?yx?y - 38 -

v??x100?x50x； ?2???222222?x?y2?x?yx?y将x?0、y?5代入上述速度分布函数，得到：

u?10?50?5?10?10?20（m/s），

02?5250?0v?22?0（m/s）；

0?5（3）求通过(0,5)点的流线方程：

由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程??C，则流线方程为：

1?222u0y?ln(x?y)?C；

2?将x?0、y?5代入，得到：

1100?222C?10?5??ln(0?5)?50?50ln5；

2?则过该点的流线方程为：

1100?10y?ln(x2?y2)2?50?50ln5，

2?整理得到：

y?5ln(x?y)?5?5ln5

5-2 平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为θ1=20m3/s，点汇位于（2,0）点，其流量为θ2=40m3/s，已知流体密度为ρ=1.8kg/m3，流场中（0，0）点的压力为0，试求点（0,1）和（1,1）的流速和压力。 答：（1）求(0,0)、(0,1)和(1,1)点的速度：

2122m22点源的速度势为：?1?1ln?x?1??y2???12?m12ln?x?1??y2， 4???m12ln?x?2??y2； 4???m22点汇的速度势为：?2??2ln?x?2??y2???12??u??x?1??m2??x?2?， ????1??2m1?????x?x?x2??x?1?2?y22??x?2?2?y2- 39 -

v?????1??2m1ym2y； ??????2222?y?y?y2??x?1??y2??x?2??y①将x?0、y?0代入，并注意到m1??1及m2??2，得到(0,0)点的速度为：

u??0?1??m2??0?2??m1?1?m2?20?1?40?20， m1?2??0?1?2?022??0?2?2?022?22?2?22??m10m20????0； 2??0?1?2?022??0?2?2?02v?其合速度为：

V(0,0)?u2?v2?20?（m/s）。

②将x?0、y?1代入，得到(0,1)点的速度为：

u??0?1??m2??0?2??1?m1?2?m2?1?20?2?40?13， m1?2??0?1?2?122??0?2?2?1222?52?22?52??m11m211201401????????； 22222??0?1??12??0?2??122?52??v?其合速度为：

V(0,1)170?13??1??u?v???????（m/s）。

???????2222③将x?1、y?1代入，得到(1,1)点的速度为：

u??1?1??m2??1?2??2?m1?1?m2?2?20?1?40?14， m1?2??1?1?2?122??1?2?2?1252?22?52?22??m11m211201408； ?????????22222??1?1??12??1?2??152?22??v?其合速度为：

V(1,1)260?14??8??u2?v2????????（m/s）。

???????22（2）设(0,0)、(0,1)和(1,1)点的压力分别为p0、p1和p2，且由题意知p0?0，则由伯努利方程：

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