孤立奇点的应用
更新时间:2023-09-16 18:32:01 阅读量: 高中教育 文档下载
3 孤立奇点类型的应用
孤立奇点的一个重要应用就是孤立奇点处的留数的计算,不同孤立奇点处的留数计算方法不同,所以我们必须正确判断孤立奇点的类型,我们通常遇到的是极点处的留数计算. 3.1 留数的定义
定义6:设z0是解析函数f(z)的孤立奇点,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C?1称为f(z)在z0处的留数.记作
Res[f(z),z0],
即
Res[f(z),z0]=C?1.
显然,留数C?1就是积分绕z0的闭曲线.
从留数的定义可以看到,如果z0是f(z)的可去奇点,那么Res[f(z),z0]?0.如果
1f(z)dz的值,其中C为解析函数f(z)的z0的去心邻域内2?i?Cz0是本质奇点,那就往往只能用把f(z)在z0展开成洛朗级数的方法来求C?1.若z0是极
点的情形,则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 3.2 函数在极点处的留数
在求极点处的留数时,为了避免每求一个极点处的留数,都要去求一次洛朗展式,所以,给出下面的几个定理来求n阶极点处留数的公式. 3.2.1 简单法则
法则1:设a为f?z?的n阶极点,
f?z??其中,??z?在a点解析,??a??0,则
??z??z?a?lim??z?an,
n?1?Resf?z??z?a?z??n?1??
法则2:设a为f?z?的一阶极点,
??z???z?a?f?z?
则 Resf?z????a?
z?a 法则3:设a为f?z?的二阶极点,
??z???z?a?f?z?
则 Resf?z?????a?
z?a2 法则4:设 3.2.2 例题
1所有孤立奇点处的留数: z1 解:函数f(z)?z2sin有孤立奇点0和?,而且易知在R?z???内有洛朗展开式
z例3.1 求f?z??z2sinz2sin1?11111??z2?????? 35z!5!zz?z3? ?z?1111??? 33!z5!z 这既可以看成是函数z2sin函数z2sin1在z?0的去心邻域内的洛朗展开式,也可以看成是z1在z??的去心邻域内的洛朗展开式.所以 z1??11?1??Res?z2sin,0??,Res?z2sin,???
z?3!z???3!3.3 函数在无穷远点处的留数 3.3.1 无穷远点处的孤立奇点的定义
定义4:设函数f(z)在无穷远点(去心)领域N-{?}:???z?r?0内解析,则称点?为f(z)的一个孤立奇点.设点?为?(z)f(z)的一个孤立奇点,利用变换z??1,z111于是??z???f(),在去心邻域K??0?:0?z??(如r?0规定??? )内解析,
z?rrz??0就为?(z?)的一个孤立奇点.
3.3.2 无穷远点处的留数
定义5:设?为f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在圆环域R?z???内解析,则称
1f(z)dz (C: z???R) ?C2?i为f(z)在点?的留数,记为Res[f(z),?],这里C?是指顺时针方向(这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向).
如果f(z)在R?z???的洛朗展开式为f(z)?n????Czn?n,则有Res[f,?]???C?1.
这里,我们要注意,z??即使是f(z)的可去奇点,f(z)在z??的留数也未必是 0,这是同有限点的留数不一致的地方.
定理5.8 如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),设为z1,z2,?zn,?,则f(z)在各点的留数总和为零. 关于在无穷远点的留数计算,我们有以下的规则.
11fz),?]??Res[f()?2,0] 法则4:Res[(zz
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