中考数学锐角三角函数-经典压轴题及答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？

（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形23

15688

t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165

t =

时，OE OQ ⊥. 【解析】

【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．

（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．

（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出

EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题．

【详解】

（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，

∴22108-=6（cm ），

∵OD 垂直平分线段AC ，

∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，

∵CD ∥AB ，

∴∠BAC=∠DCO ，

∵∠DOC=∠ACB ，

∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD

==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），

∵PB=t ，PE ⊥AB ， 易知：PE=34

t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，

∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，

∴PE=EC ，

∴

34

t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．

（2）如图，连接OE ，PC ．

S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ） =1414153154338838252

524524t t t t t ??????????-?+??-+?-?-??- ? ? ? ??????????? =28

1516(05)33

t t t -+

+<<． （3）存在． ∵2

8568(05)323S t t ??=--+<< ???， ∴t=52

时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683． （4）存在．如图，连接OQ ．

∵OE ⊥OQ ，

∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，

∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQ

OC OG

=，

∴

3

5

8

5

4

4

34

5

t

t

t

-

=

-

，

整理得：5t2-66t+160=0，

解得

16

5

t=或10（舍弃）

∴当16

5

t=秒时，OE⊥OQ．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

【答案】．

【解析】

试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．

试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，

∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，

∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，

∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

3．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为

1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，

2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？ 【答案】

【解析】

过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可．

4．已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，连结BE 、AD 交于点P ，

设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：

（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；

（2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．

（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.

【解析】

分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出

△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出

△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出

△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，

∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴AF=AC．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE≌△ACD，

∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．

∵AD ∥BF ，

∴∠EFB=90°．

∵EF=BF ，

∴∠FBE=45°，

∴∠APE=45°．

（2）（1）中结论不成立，理由如下：

如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，

∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF ，BF=AD ．

∵3BD ，3AE ， ∴

3AC CD BD AE

==． ∵BD=AF ， ∴

3AC CD AF AE

==． ∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE ∽△ACD ， ∴

3AC AD BF AF EF EF

===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ．

∵AD ∥BF ，

∴∠EFB=90°． 在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=

3EF BF = ∴∠FBE=30°，

∴∠APE=30°，

（3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，

∴∠APE=∠ADH ，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH 是平行四边形，

∴BE=DH ，EH=BD ．

∵3BD ，3AE ， ∴

3AC CD BD AE

==． ∵∠HEA=∠C=90°，

∴△ACD ∽△HEA ， ∴

3AD AC AH EH

==∠ADC=∠HAE ． ∵∠CAD+∠ADC=90°，

∴∠HAE+∠CAD=90°，

∴∠HAD=90°． 在Rt △DAH 中，tan ∠ADH=

3AH AD = ∴∠ADH=30°，

∴∠APE=30°．

点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．

5．如图，反比例函数() 0k y k x

=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=?.

(1)求k 的值及点B 的坐标；

(2)求tanC 的值.

【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2.

【解析】

【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数()0k y k x

=≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标；

（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可.

【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上，

∴a =2，∴A (1，2)，

把A (1，2)代入 k y x =

得2k =， ∵反比例函数()0k y k x

=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称，

∴()1

2B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，

∵90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，∴C ABH ∠∠=，

∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 22OD 1

tanC tan AOD =∠===.

【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD是关键.

6．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度为1：3，DE ＝3米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）

【答案】该停车库限高约为2.2米．

【解析】

【分析】

据题意得出

3

tan B=，即可得出tan A，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可

得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF3的长．【详解】

解：由题意得，

3 tan

3

B=

∵MN∥AD，

∴∠A＝∠B，

∴tan A3，

∵DE⊥AD，

∴在Rt△ADE中，tan A＝DE

AD

，∵DE＝3，

又∵DC＝0.5，

∴CE＝2.5，

∵CF⊥AB，

∴∠FCE+∠CEF＝90°，

∵DE⊥AD，

∴∠A+∠CEF＝90°，

∴∠A＝∠FCE，

∴tan∠FCE＝3

3

．

在Rt△CEF中，设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，

代入得（5

2

）2＝x2+3x2，

解得x＝1.25，

∴CF＝3x≈2.2，

∴该停车库限高约为2.2米．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．

7．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．

（1）求A、B之间的路程；

（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据：2 1.414,3 1.73

≈≈）．

【答案】

【小题1】73.2

【小题2】超过限制速度．

【解析】

解：（1）100(31)

AB=-73.2 (米)．…6分

(2) 此车制速度v==18.3米/秒

8．3米/秒 =65.88千米/小时>60千米/小时．

∴此车超过限制速度．…4分

9．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线

于点，．

（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；

（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），

①当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；

②求出使为直角三角形时的值；

（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．

【答案】（1），；

（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为3或；（3）点，，，构成的四边形的面积为：6或或.

【解析】

【分析】

（1）把点A坐标代入直线表达式y＝，求出a＝?3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）①设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求

解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三种情况，求解即可；

（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．

【详解】

解：（1）把点坐标代入直线表达式，

解得：，则：直线表达式为：，令，则：，

则点坐标为，

将点的坐标代入二次函数表达式得：，

把点的坐标代入二次函数表达式得：，

解得：，

故：抛物线的解析式为：，

故：答案为：，；

（2）①∵在线段上，且轴，

∴点，，

∴，

∵，

∴抛物线开口向下，

∴当时，有最大值是3，

②当时，点的纵坐标为-3，

把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），∴；

当时，∵，两直线垂直，其值相乘为-1，

设：直线的表达式为：，

把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，

将上式与抛物线的表达式联立并解得：或0（舍去），

当时，不合题意舍去，

故：使为直角三角形时的值为3或；

（3）∵，，

在中，，则：，，

∵轴，

∴，

若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，

则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.

当过点的直线与抛物线有一个交点，

点的坐标为，设：点坐标为：，

则：，过点作的平行线，

则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，

解得：过点直线表达式为：，

将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，

，

将代入上式并整理得：，

解得：，则点的坐标为，

则：点坐标为，则：，

∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，

即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，

直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：

，解得：，

则点、的横坐标分别为，，

作交直线于点，

则，

作轴，交轴于点，则：，，

，

则：，

同理：，

故：点，，，构成的四边形的面积为：6或或.

【点睛】

本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过△＝0，确定图中N点的坐标．

10．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5?方向上，距离5千米处是村庄M，在点A北偏东53.5?方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产收购站P(取点P在AB上)，使得M，N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出P的位置（不写作法）并计算：

（1）M，N两村庄之间的距离；

（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）

【答案】(1) M，N两村庄之间的距离为29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是55千米．

【解析】

【分析】

（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．

（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．

【详解】

解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．

（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°

∴NE=AN?sin∠NAB=10?sin36.5°=6，

AE=AN?cos∠NAB=10?cos36.5°=8，

过M作MC⊥AB于点C，

在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5°

∴AC=MA?sin∠AMB=MA?sin36.5°=3，

MC=MA?cos∠AMC=MA?cos36.5°=4，

过点M作MD⊥NE于点D，

在Rt△MND中，MD=AE-AC=5，

ND=NE-MC=2，

∴MN

即M，N

（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．

DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得

MN

∴村庄M、N到P站的最短距离和是

【点睛】

本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

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