高数3试题、答案汇总

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 1 页 共 36 页

安徽大学2008—2009学年第一学期

《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）

（闭卷 时间120分钟）

一、单项选择题（每小题2分，共10分）

1、下列陈述正确的是（ ）。

(A) 若方程组0m n A x ?=有唯一解，则方程组m n A x b ?=有唯一解

(B) 若方程组m n A x b ?=有唯一解，则方程组0m n A x ?=有唯一解

(C) 若方程组0m n A x ?=有无穷多解，则方程组m n A x b ?=有无穷多解

(D) 若方程组m n A x b ?=无解，则方程组0m n A x ?=无解

2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥ 线性相关，则下列选项中必正确的是( )。

(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= (B) 12,,,s ααα 中任何两个向量线性相关

(C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= (D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出

3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。

(A) 事件A 与事件B 互不相容 (B) 事件A 与事件B 对立 (C) 事件A 与事件B 不独立 (D) 事件A 与事件B 独立

4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。

(A) }{max 1i n

i X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X

5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。

(A) 22

2

11

()~()n i

i X

n μχσ

=-∑ (B) 2

21

1()

~(1)n

i i X X n n

χ=--∑

(C) 2

2

2

1

1

()~()n

i

i X

X n χ

σ

=-∑ (D)

2

2

1

1

()~(1)1

n

i

i X X n n χ=---∑

院/系 年级 专业 姓名 学号

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 2 页 共 36 页 二、填空题（每小题2分，共10分）

6、若齐次线性方程组1231231

230020kx x x x kx x x x x +-=??--=??-+=? 有非零解，则k ＝ 。

7、矩阵0

011

10210A ?? ?= ? ???的逆矩阵为 。

8、若3阶方阵A 的特征值分别为1-、0、1，则行列式3222A A E ++= 。

9、已知~()X P λ（泊松分布），0λ>，且(1)2(2)P X P X ===，则(35)D X -+= 。

10、从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（单位：毫米）为：

19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3

设零件直径服从正态分布2(,)N μσ，其中μ未知，0.21σ=（毫米），(1.96)0.975Φ=，则这批零件平均直径μ的对应于置信度为0.95的置信区间为 。

三、计算题（本大题共4小题，共46分）

11、(本小题10分) 计算下列行列式

1

231

231

23123(,1,2,,)n n n n i i n x a a a a x a a D a a x a x a i n a a a x =≠=

《 高等数学A(三) 》 （A 卷）

第 3 页 共 36 页 12、(本小题14分) 已知三阶矩阵

4

00042024A ?? ?= ? ???

求: (1) 矩阵A 的特征值及特征向量（6分）；

(2) 正交矩阵Q ，使得1Q AQ -为对角矩阵，并写出相应的对角阵（4分）；

(3) k A (k 为正整数)(4分)。

13、（本小题10分）已知二次型

222

12312132325448x ax x x x x x x x +++--

正定，求a 的取值范围。

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 4 页 共 36 页

14、(本小题12分) 设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为

22,1(,)0,C x y x y f x y ?≤≤=??其它

求：(1) 常数C (6分)；

(2) (0)P X Y ≤≤(6分)。

四、证明题（本大题共2小题，共24分）

15、(本小题12分) 设A 为n n ?实矩阵，且满足2670A A E --=。

（1）若0A E +≠，证明7A E -不可逆（5分）；

（2）证明A E -可逆，并求其逆（7分）。

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 5 页 共 36 页

16、(本小题12分) 设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密

度函数

为

33

1,||1,||1(,)4

0,x y xy x y f x y ?-+≤≤?=???其它 证明：(1) X 与Y 不相关(6分)；

(2) X 与Y 不独立(6分)。

五、综合分析题（本大题共10分）

17、 设总体2~(,)X N μσ，其中μ和2σ为未知参数，12(,,,)n X X X 是

总体X 的一个子样。

(1) 求参数μ和2σ的极大似然估计?μ

和2?σ(6分)； (2) 判断2?σ是否为2σ的无偏估计量(4分)。

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 6 页 共 36 页

安徽大学2008—2009学年第一学期 《高等数学A （三）》考试试卷（B 卷）

（闭卷 时间120分钟）

一、选择题（每小题2分，共10分）

1、设A 为n 阶方阵，0T A B αα??= ?

??

，其中α

为n 维列向量， 且()()r A r B =，则( )。

(A) Ax α= 必有无穷多解 (B) Ax α=

必有唯一解

(C) 0By = 仅有零解 (D) 0By =

必有非零解

2、设123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,2,1)αααα==-=--=，则α在123,,ααα下的坐标为( )。

(A) 1

1

(1,,)2

2

- (B) 11

(1,,)22

- (C) 1

1

(1,,)2

2

-- (D) 1

1

(1,,)2

2

--

3、设随机变量)(~λP X [泊松分布],则方差=-)12(X D ( )。

(A) λ (B) λ4 (C) λ2 (D) 14+λ

4、设),0(~θU X ，n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数θ的矩估计是( )。

(A) }{max 1i n

i X ≤≤ (B)X 2 (C)}{min 1i n

i X ≤≤ (D) X

5、设n X X X ,,,21 是总体X 的样本，且2)(,)(σμ==X D X E ，则( )是2σ 的无偏估计。

(A) 2

1

1)

(1X X n

n i i -

∑-= (B)

2

1

1

)

(1

1

X X n n i i

--∑-= (C)2

1

1

)

(1X X

n

n i i

-∑-= (D)

2

1

)

(1

1

X X n n

i i

--∑=

二、填空题（每小题2分，共10分）

院/系 年级 专业 姓名 学号

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 7 页 共 36 页

6、若齐次线性方程组???

??=-++=+-+=+--0

)1(0

)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解，则λ＝ 。

7、矩阵???

?

?

?

?=32

3513

123

A 的逆矩阵为 。

8、 设n 阶方阵A 可逆，且12,,,n λλλ 为其特征值，则矩阵1A -的特征值为 。

9、设随机变量X 的分布函数为

1,0

2

()11,0

2

x

x e x F x e x -?≤??=?

?->??

则 (11)P X -≤≤= 。

10、已知()1/4P A =,()1/3P B =,(|)1/6P A B =, 则()P A B = 。

三、计算题（本大题共4小题，共46分） 11、(本小题10分) 计算行列式

a

b

b

b

b a b b

b b a b b b b a D n

=

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 8 页 共 36 页

12、(本小题12分) 求一个正交线性替换，化二次型222123232334f x x x x x =+++为标准形。

13、(本小题12分) 设连续型随机变量X 的概率密度函数为

9,

0()0,0

x Ae x f x x -??>=??≤? 试求：(1) 常数A (4分)；

(2) }93{<

(3) 分布函数)(x F (4分)。

14、(本小题12分) 设一个人有n把钥匙，其中只有一把钥匙能把门打开，现每次开门时随机地任取一把，直到把门打开，用X表示直到把门打开时的次数，求在每次打不开门钥匙放回的情形下X的分布律及其数学期望)

(X

E。

四、综合分析题（本大题共14分）

15、对于线性方程组

1234

234

124

321

1

233

x x x x

x ax ax

x x x

+++=

?

?

+-=-

?

?++=

?

，问a取何值时，方程组有解？并在有解时求出

其通解。

《高等数学A(三) 》（A卷）第9 页共36 页

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 10 页 共 36 页

五、证明题（本大题共2小题，每题10分，共20分）

16、设A 为n n ?实矩阵，,0T B E A A λλ=+>，求证：B 为正定矩阵。

17、设随机变量X 的概率密度函数为

22,0()0,0x e x f x x -?>=?

≤?

证明：随机变量21X Y e -=-服从区间(0,1)上的均匀分布。

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 11 页 共 36 页

安徽大学2009—2010学年第一学期

《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）

（闭卷 时间120分钟）

院/系 年级 专业 姓名 学号

一、选择题（每小题2分，共10分）

1.设,A B 均为n 阶方阵，且满足等式0AB =，则必有（ ）. (A ) 0A =或0B = (B ) 0A B += (C ) 0A =或0B = (D ) 0A B +=

2.设向量组

Ⅰ：12,,,s ααα ； Ⅱ：1212,,,,,,,s s s s t αααααα+++

则下列说法必正确的是（ ）.

(A )Ⅰ线性无关，则Ⅱ线性无关； (B ) Ⅰ线性无关，则Ⅱ线性相关； (C ) Ⅱ线性相关，则Ⅰ线性相关； (D ) Ⅱ线性无关，则Ⅰ线性无关.

3.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）.

(A ) 23(1)p p - (B ) 26(1)p p - (C ) 23(1)p p - (D ) 223(1)p p - 4.设随机变量X 与Y 相互独立，且1

(0,)2

X N ，1

(1,)2

Y N ，则与随机变量Z Y X =-同分布

的随机变量是（ ）.

(A ) X Y - (B ) X Y + (C ) 2X Y - (D ) 2Y X -

5. 在假设检验中，记0H 为原假设，则称 为犯第一类错误． （ ） (A )0H 为真时接受0H (B ) 0H 不真时接受0H (C )0H 为真时拒绝0H (D ) 0H 不真时拒绝0H

二、填空题（每小题2

分，共10分）

6.方程

2

315461001247

1

2

4

7

x x ---=----的根为 .

7.设3阶矩阵A 有3个特征值1，2，3，且矩阵B 与A 相似，则||B E += .

8. 设随机变量X 的分布函数为

院/系 年级 专业 姓名 学号

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 12 页 共 36 页

20,0

(),011,1x F x A x x x ?

则概率1

(1)2P X -<≤= . 9.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2和2-,方差分别为1和4,而相关系数为0.5-,则根据切比雪夫不等式有(||6)P X Y +≥≤ .

10.设某农作物的平均亩产量X （单位：kg ）服从2(,100)N μ，现随机抽取100亩进行试验，观察亩产量，得到500x =kg ，则总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间为 ． ((1.96)0.975,(1.645)0.95Φ=Φ=)

三、计算题（本大题共10分）

11.（本小题10分）计算下列行列式

1111(1)()(1)

()1

111n n n n n n n a

a a n a a a n D a a a n ---+----=--

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 13 页 共 36 页

四、分析题（本大题共5小题，共62分） 12.（本小题13分）已知线性方程组

12345123452

3451

23453230

22654332

x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=??

+++-=??

+++=??+++-=? 问：,a b 取何值时，方程组有无穷多解？并在此时求其通解.

13.（本小题14分）设二次型

2

2

2

121213233

()254485f X x x x x x x x x x =++--+

（1）求正交变换X Q Y =，使()f Q Y 为标准形； （2）判定二次型()f X 的正定性.

院/系 年级 专业 姓名 学号

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 14 页 共 36 页

14.（本小题10分）设某人按如下原则决定某日的活动：如该天下雨则以0.2的概率外出购物，以0.8的概率去探访朋友；如该天不下雨，则以0.9的概率外出购物，以0.1的概率去探访朋友.已知该日下雨的概率为0.3. （1）试求那天他外出购物的概率；

（2）若已知他那天外出购物，试求那天天下雨的概率.

(,)X Y (,)X Y ,X Y (2)判断,X Y 的独立性； (3)判断,X Y 的相关性。

院/系 年级 专业 姓名 学号

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 15 页 共 36 页

16.（本小题12分）设总体X 的概率密度为

2,

0()0,0x axe x f x x λ-??>=??≤?

其中a 是常数，0λ>是未知参数.从总体X 中抽取样本12,,,n X X X . （1）求常数a 的值；

（2）求参数λ的最大似然估计量?λ；

（3）判断?λ是否为λ的无偏估计量.

五、证明题（本大题共8分）

17.（本小题8分）设,A B 均为(1)n n >阶方阵，且满足

2220A A B E +-=.

证明：

（1）2A B +可逆；

（2）AB BA =.

院/系 年级 专业 姓名

学号 答 题 勿 超 装 订 线

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-

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--

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-

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-装-

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订-

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-

--

线---

--

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--

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-

--

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《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 16 页 共 36 页

安徽大学2009—2010学年第一学期

《高等数学A （三）》考试试卷（B 卷）

（闭卷 时间120分钟）

一、选择题（每小题2分，共10分）

1. 设线性方程组,A x b =其中A 为m n ?矩阵，0,b ≠且,m n <则方程组Ax

(A ) 有唯一解 (B ) 有无穷多解 (C ) 无解 (D ) 2.

设向量组1212:,,:,,s t M N αααβββ 与的秩都是,r 则( ).

(A ) 向量组M N 与 等价 (B ) 1212(,,,,,)2s t r αααβββ= 秩 (C ) 如果 ,s t r ==则M N 与 等价 (D ) 如果M N 可由线性表出，则M N 与等价 3. 设随机事件A B 与互不相容，并且()0,()0,P A P B >>则( ).

(A ) ()1()P A P A =- (B ) ()()()P AB P A P B = (C ) ()1P A B = (D ) ()1P A B =

4. 设总体2(1,3)X N ，129,,,X X X 是来自于X 的样本，则下列结论正确的是( ) （A ） 1(0,1)

3

X N - （B ）

1(0,1)1

X N - （C ）

1(0,1)

9

X N - （D ）(0,1)

N

5. 在假设检验中，记1H 为备择假设，则称 为犯第一类错误. （ ） （A ）1H 为真时接受1H （B ）1H 不真时接受1H （C ）1H 为真时拒绝1H （D ）1H 不真时拒绝1H

二、填空题（每小题2分，共10分）

6. 方程

1

432389603213

2

5

1

x x +=---的解为 .

7. 设,A B 同为5阶方阵，||1,||2A B ==，则()2

12T A B -= . 8. 设A 为正交矩阵,且1,A =-则伴随矩阵A *= .

9. 一部四卷的文集，按任意次序放到书架上，则自左向右或自右向左恰好为1，2，3，4的概率为 .

10.在贝努利每次试验成功的概率为p ，(01)p <<,进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的概率为 . 三、计算题（共10分）

院/系 年级 专业 姓名 学号

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 17 页 共 36 页

11.（本小题10分）计算下列行列式

22

2

1112223

3

3

n n

n n

D n

n

n

=

四、分析题（共62分）

12.（本小题13分）求下列线性方程组的通解.

12345123451

23452355043035670

x x x x x x x x x x x x x x x +++-=??

+++-=??+++-=?

13.（本小题14分）已知实二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =-+，试利用正交线性替换

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 18 页 共 36 页

X Q Y =将二次型123(,,)f x x x 化为标准形，并写出正交线性替换X Q Y =.

14.（本小题10分）发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号“*”和“－”．由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，接收台不一定收到信号“*”，而是以概率0.8和0.2收到信号“*”和“－”．同样地，当发报台发出信号“－”时，接收台以0.9和0.1的概率收到信号“－”和“*”．试求：（1）接收台收到信号“*”的概率；（2）当接收台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率．

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 19 页 共 36 页

15.（本小题13

分）设随机变量1

01,(1,2)1

114

24i X i -?? ?

= ???

,且满足12(0)1P X X ==, （1）求12()P X X =；（2）判断1X 和2X 是否独立.

16.（本小题12分）设总体X 的概率密度为

,01()1,

120,x f x x θθ<

=-≤

其他

其中θ是未知参数（01θ<<），12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值

12,,,n

x x x 中小于1的个数，求

（1）θ的矩估计； （2）θ的最大似然估计．

五、证明题（本大题共8分） 17.（本小题8分）设n 阶方阵A 满足23A A =.证明： （1）4E A -可逆；

（2）若0A ≠，则3E A -不可逆.

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 20 页 共 36 页

安徽大学2008—2009学年第一学期

《高等数学A （三）》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题2分，共10分）

1、B

2、C

3、 D

4、D

5、A

二、填空题（每小题2分，共10分）

6、-1，-2

7、0110

2110

0-??

?

- ? ??

?

8、30 9、9 10、（19.77，20.05）

三、计算题（本大题共4小题，其中第11题和第13题各10分，第12题14分，第14题12分，共46分）

11、解：将第一行的-1倍加到其余各行，得

12311

22

11

33

11

00000

0n n n n

x a a a a x x a D a x x a a x x a --=----

……………………………………(4分)

再将第(2,3,,)i i n = 列的

11i i

x a x a --倍加到第一列，得

111232

22

33()0000000

n

i n i i i n n n

a x a x a a a x a x a D x a x a =-+--=

--∑

………………………(8分)

11122332()()()()()

n

i n n i i i a x a x x a x a x a x a =-=+----∑

1122331

(1)()()()()

n

i

n n i i i

a x a x a x a x a x a ==+

-----∑

…………………(10分)

12、 解：(1)

4

0||04

2

(2)(4)(6)0

2

4

E A λλλλλλλ--=

--=-----

《 高等数学A(三) 》 （A 卷） 第 21 页 共 36 页

令(2)(4)(6)0λλλ---=，得1232,4,6λλλ===. ………………………(3分)

当12λ=时，解下列方程组

1232320220220

x x x x x -=??

--=??--=?

得特征向量1(0,1,1)T α=-；

当24λ=时，解下列方程组

3220

20

x x -=??

-=? 得特征向量2(1,0,0)T α=； 当36λ=时，解下列方程组

1232320220220

x x x x x =??

-=??-+=?

得特征向量3(0,1,1)T α=。 ………………………………………………………(6分)

(2) 由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，所以只需将(1)中得到的特征向量单位化即可得到正交矩阵。将特征向量123,,ααα单位化得

1(0,

22T

β=-

，2(1,0,0)T β=

，32

2

T

β=

令0100220

2

2Q ?? ? ?

?=

? ? ?- ??

?

，从而Q 为正交矩阵，并且12000

4000

6Q A Q -??

?

= ? ??

?

， 即所求的对角矩阵为 2

000

4000

6??

? ? ??

?

。 …………………………………………(10分)

(3) 由(2)知

12002000

4004000

600

6T A Q Q Q Q -????

? ?== ? ? ? ??

??

?

所以

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