概率论和数理统计期末考试题库

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集美大学概率论与数理统计期末考推荐度：
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第1页，共26页

数理统计练习题

一、填空题

1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为

8180，则此射手的命中率3

2。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2

)]

([)(X E X D 1/3 。 4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。 5、一次试验的成功率为p ，进行

100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(2

22121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(2

1σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数

?????≤≤≤≤=其他

010,20,

),(2y x xy y x f ，则E (X )=

4。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX

，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)?()?(2

θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。

2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。

5、设随机变量X 的概率密度是：

?<<=其他0

103)(2x x x f ，且{}784.0=≥αX P ，则α=0.6 。

6、利用正态分布的结论，有

∞

+∞

---=+-dx e x x x 2

)2(22

)44(21

1 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数

?????≤≤≤≤=其他

010,20,

),(2y x xy y x f ，则E (Y )= 3/4 。

8、设（X ，Y ）为二维随机向量，D (X )、D (Y )均不为零。若有常数a >0与b 使

{}1=+-=b aX Y P ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ-1 。

9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 10、设随机变量X ～N (1/2，2)，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“2/1≤X ”出现的次数，则}2{=Y P = 3/8 。

1、设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.7，P (A －B)=0.3，则=?)(B A P 0.6 。

2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为

,31,41,51，则密码能被译出的概率是 11/24 。 3、射手独立射击8次，每次中靶的概率是0.6，那么恰好中靶3次的概率是533

84.06.0??C ＝0.123863 。 4、已知随机变量X 服从[0, 2]上的均匀分布，则D (X )= 1/3 。 5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}423===X P X

P ，则

λ= 6 。

6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则{}=<2X P 0.6247 。

7、随机变量X 的概率密度函数

)(-+-=

x x

e x

f π

，则E (X )= 1 。

8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的简单随机样本，则∑=n

i i

2~)(2

n x

。

9、设T 服从自由度为n 的t 分布，若{}αλ=>T P

，则{}=-<λT P 2

a 。

第2页，共26页 10、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数???≤≤≤≤=其他

,010,20,),(y x xy y x f ，则E (X )= 4/3 。 1、设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.6, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 0.4 。

2、设随机变量X 与Y 相互独立，且5.05.011P X

-，5.05.011P Y

-，则P (X =Y )=_ 0.5_。

3、设随机变量X 服从以n , p 为参数的二项分布，且EX =15，DX =10，则n = 45 。

4、设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数644261

)(+--=x x e x f π，则μ= 2 。

5、设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /

)(-=，则D Y= 1 。 6、设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，Y 服从5=λ的指数分布，且X ，Y 相互独立，则(X , Y )的联合密度函数f (x , y )=

???≥≤≤-其它0

0,505y x e y

。 7、随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 8、设n X X X ,,,21 是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则∑=-n i i X X 12

)(服从的分布为)1(2-n x 。

9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为

31,41,51，则目标能被击中的概率是3/5 。 10、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度

???>≤≤=-其它0

0,10,4),(2y x xe y x f y ，则E Y = 1/2 。 1、设A,B 为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P(

AB )=__0.6 __。 2、设随机变量X 的分布律为212110p

X ，且X 与Y 独立同分布，则随机变量Z ＝max{X ,Y }的分布律为4341

10P Z 。 3、设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝0.3，则P {X < 0}＝0.2 。

4、设随机变量X 服从2=λ

泊松分布，则{}1≥X P =21--e 。 5、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X

Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为)2(21y f X -。 6、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)

(X D 2.4 。 7、X 1，X 2，…，X n 是取自总体()2,σμN 的样本，则212

)(σ∑=-n i i X X

～)1(2-n x 。

8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度???>≤≤=-其它00,10,4),(2y x xe y x f y ，则E X = 2/3 。 9、称统计量θθ

为参数?的无偏估计量，如果)(θ E =θ。 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。

1、设A 、B 为两个随机事件，若P (A)=0.4，P (B)=0.3，6.0)(=?B A P ，则=)(B A P 0.3 。

2、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(2X

E 18.4 。 3、设随机变量X ～N (1/4，9)，以Y 表示对X 的5次独立重复观察中“

4/1≤X ”出现的次数，则}2{=Y P = 5/16 。

4、已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P(X =2)=P(X =4)，则λ=32。

5、称统计量θθ

为参数?的无偏估计量，如果)(θ E =θ 。 6、设)(~),1,0(~2n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则~n Y X t(n) 。

7、若随机变量X ～N (3，9)，Y ～N (－1，5)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －2Y ＋2，则Z ～ N (7，29) 。

第3页，共26页

8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度??

?>≤≤=-其它

0,10,

6),(3y x xe y x f y

，则E Y = 1/3 。

9、已知总体

n X X X N X ,,,),,(~212

σμ是来自总体X 的样本，要检验2

σ=：o H ，则采用的统计量是

)1(σ

S n -。

10、设随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，若{}αλ=>T P

，则{

}=<λT P 2

-。 1、设A 、B 为两个随机事件，P (A)=0.4, P (B)=0.5，7.0)(=B A P ，则=)(B A P 0.55 。 2、设随机变量X ~ B (5, 0.1)，则D (1－2X )＝ 1.8 。

3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为

，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。 4、设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望E X = 2.3。

5、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于－1。

6、设(X , Y )的联合概率分布列为

－1 0 4

－2 1/9 1/3

2/9

1/18

a b

若X 、Y 相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。 7、设随机变量X 服从[1，5]上的均匀分布，则{}=≤≤42X P

1/2 。

8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为

,41,51，则密码能被译出的概率是3/5 。 9、若n X X X N X ,,,),,(~2121 σμ是来自总体X 的样本，2

,S X 分别为样本均值和样本方差，则

n X )(μ-~ t (n-1) 。

10、θθθ是常数21?,?的两个无偏估计量，若)?()?(2

1θθD D <，则称1?θ比2?θ 有效。 1、已知P (A)=0.8，P (A －B)=0.5，且A 与B 独立，则P (B) ＝ 3/8 。 2、设随机变量X ～N (1，4)，且P{ X ≥ a }= P{ X ≤ a }，则a ＝ 1 。 3、随机变量X 与Y 相互独立且同分布，21)1()1(=

-==-=Y P X

P ，2

)1()1(====Y P X P ，则()0.5P X Y ==。 4、已知随机向量(X , Y )的联合分布密度?

?≤≤≤≤=其它01

0,104),(y x xy y x f ，则EY = 2/3 。 5、设随机变量X ～N (1，4)，则{}2>X P

＝ 0.3753 。

（已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332） 6、若随机变量X ～N (0，4)，Y ～N (－1，5)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X ＋Y －3，则Z ～ N (－4，9) 。

7、设总体X ～N (1，9)，n X X X , , ,21 是来自总体X 的简单随机样本，2

,S X 分别为样本均值与样本方差，则∑=-n

i i X X 1

2~)(912(8)χ；

；∑=-n i i X 1

2~)1(912

9χ（）。 8、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}423===X P X P ，则λ= 6 。

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。

10、在假设检验中，把符合H 0的总体判为不合格H 0加以拒绝，这类错误称为一错误；把不符合H 0的总体当作符合H 0而接受。这类错误称为二

错误。

1、设A 、B 为两个随机事件，P (A)=0.8，P (AB)=0.4，则P (A －B)= 0.4 。

2、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(X D 2.4 。

3、设随机变量X 的概率分布为

X －1 0 1 2 P 0.1 0.3 0.2 0.4

第4页，共26页则{}12≥X P = 0.7 。

4、设随机变量X 的概率密度函数1221)(-+-=x x e x f π，则)(X D =21 。

5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X ，则P {X ＝10}＝ 0.39*0.7 。

6、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是1445

3.07.0??C 。 7、设随机变量X 的密度函数2)2(221)(+-=x e x f π，且{}{}c X P c X P ≤=≥，则c = -2 。

8、已知随机变量U = 4－9X ，V = 8＋3Y ，且X 与Y 的相关系数XY ρ＝1，则U 与V 的相关系数UV ρ＝－1。 9、设)(~),1,0(~2n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则~n Y

X t (n) 10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。

1、随机事件A 与B 独立，===)(5.0)(,7.0)

(B P A P B A P 则， 0.4 。 2、设随机变量X 的概率分布为则X 2的概率分布为

3、设随机变量X 服从[2，6]上的均匀分布，则{}=<<43X P 0.25 。

4、设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则2EX =_18.4__。

5、随机变量)4,(~μN X ，则~2μ-=X Y N(0,1) 。

6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能被击中的概率是 59/60 。

7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是81

80，则袋中白球的个数是 4 。 8、已知随机变量U = 1＋2X ，V = 2－3Y ，且X 与Y 的相关系数XY ρ ＝－1，则U 与V 的相关系数UV ρ ＝ 1 。

9、设随机变量X ～N (2，9)，且P{ X ≥ a }= P{ X ≤ a }，则a ＝ 2 。

10、称统计量θθ

为参数?的无偏估计量，如果)(θ E = θ 二、选择题

1、设随机事件

A 与

B 互不相容，且0)()(>>B P A P ，则（ D ）。Ａ. )(1)(B P A P -= B. )()()(B P A P AB P = Ｃ. 1)(=?B A P Ｄ. 1)(=AB P

2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。 A. 224

2 B. 24

12C C C. 24!2P D. !4!2 ３、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ D ）。

A. )2(2y f X -

B. )2(y f X -

C. )2(21y f X --

D. )2

(21y f X - ４、设随机变量)(~x f X ，满足)()(x f x f -=，)(x F 是x 的分布函数，则对任意实数a 有（ B ）。

A. ?-=-a dx x f a F 0)(1)(

B. ?-=-a dx x f a F 0

)(21)( C. )()(a F a F =- D. 1)(2)(-=-a F a F ５、设)(x Φ为标准正态分布函数，

100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则；，

发生；事件且8.0)(=A P ，10021X X X ，，，相互独立。令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．)4

80(-Φy C ．)8016(+Φy D ．)804(+Φy １、设A ，B 为随机事件，0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有（ A ）。

A. )()(A P B A P =?

B. B A ?

C. )()(B P A P =

D. )()(A P AB P =

第5页，共26页２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43

，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ C ）。 A. 343

）（ B. 41432?）（ C. 4

3412?）（ D. 22441C ）（ 3、设

12, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。 A. 121122X X μ=+ B. 121233X X μ=+ C. 121344X X μ=+ D. 122355

X X μ=+ 4、设)(x Φ为标准正态分布函数， 100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则。，

发生；事件且()0.1P A =，10021X X X ，，，相互独立。令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y

的分布函数)(y F 近似于（ B ）。 A. )(y Φ B ．10(

y -Φ C ．(310)y Φ+ D ．(910)y Φ+ 5、设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）。 A. )(~/21

n t n X -； B. )1,(~)1(4112n F X n i i ∑=-； C. )1,0(~/21N n X -； D. )(~)1(41212n X n i i χ∑=-；１、已知A 、B 、C 为三个随机事件，则A 、B 、C 不都发生的事件为（A ）。 A. C B A B. ABC C. A +B +C D. ABC

２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。 A. ∞<<-∞+=x x x F ,11)(2 B. ?????≥+<=0100)(x x

x x x F C. ∞<<-∞=-x e x F x ,)( D. ∞<<∞-+=x arctgx x F ,2143)(π

3、),(Y X 是二维随机向量，与0),(=Y X Cov 不等价的是（ D ）

A. )()()(Y E X E XY E =

B. )()()(Y D X D Y X D +=+

C. )()()(Y D X D Y X D +=-

D. X

和Y 相互独立

4、设)(x Φ为标准正态分布函数， 100, ,2, 1, 0A ,1 =?

??=i X i 否则，发生事件且()0.2P A =，10021X X X ，，，相互独立。令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．20()4

y -Φ C ．(1620)y Φ- D ．(420)y Φ- 5、设总体)2,(~2μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ，样本方差为2s ，则下列各式中不是统计量

的是（ C ）。 A. X 2 B. 22σ

s C. σμ-X D. 22)1(σs n - 1、若随机事件A 与B 相互独立，则)(B A P +＝（ B ）。

A. )()(B P A P +

B. )()()()(B P A P B P A P -+

C. )()(B P A P

D. )()(B P A P + 2、设总体X 的数学期望E X ＝μ，方差D X ＝σ2，X 1，X 2，X 3，X 4是来自总体X 的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ D ）

1233123123412341111111A. B. 6633333

34111111C. D. 55554444X X X X X X X X X X X X X X X ++++++--+++ 3、设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则，

发生事件且()0.3P A =，10021X X X ，，，相互独立。

第6页，共26页令∑==100

1i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）

。 A. )(y Φ B ．30(

)21

y -Φ C ．30()21y -Φ D ．(30)y Φ- 4、设离散型随机变量的概率分布为101)(+==k k X P ，3,2,1,0=k ，则)(X E ＝（ B ）。 A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4

5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。

A. 1H 真时拒绝1H 称为犯第二类错误。

B. 1H 不真时接受1H 称为犯第一类错误。

C. 设α=}|{00

真拒绝H H P ，β=}|{00不真接受H H P ，则α变大时β

变小。 D. α、β的意义同（C ），当样本容量一定时，α变大时则β变小。 1、若A 与B 对立事件，则下列错误的为（ A ）。

A. )()()

(B P A P AB P = B. 1)(=+B A P C. )()()(B P A P B A P +=+ D. 0)(=AB P 2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。 A. A B BA B += B. A B BA B +=

C. A B BA B +=

D. B B -=1

3、设)(x Φ为标准正态分布函数， 100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则，

发生事件且()0.4P A =，10021X X X ，，，相互独立。令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定

理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。 A. )(y Φ B ．40(

)24

y -Φ C ．(40)y Φ- D ．40()24y -Φ 4、若)()()(Y E X E XY E =，则（D ）。

A. X 和Y 相互独立

B. X 与Y 不相关

C. )()()(Y D X D XY D =

D. )()()(Y D X D Y X D +=+

5、若随机向量（Y X ,）服从二维正态分布，则①Y X ,一定相互独立； ② 若0=XY ρ，则Y X ,一定相互独立；③X 和Y 都服从一维正态分布；④若Y X ,相互独立，则 Cov (X , Y ) =0。几种说法中正确的是（ B ）。

A. ① ② ③ ④

B. ② ③ ④

C. ① ③ ④

D. ① ② ④

1、设随机事件A 、B 互不相容，q B P p A P ==

)( ,)(，则)(B A P ＝（ C ）。 A. q p )1(- B. pq C. q D.p

2、设A ，B 是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。

A. )()()

(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 B. )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P C. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 D. )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P

3、设)(x Φ为标准正态分布函数，

100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则，发生事件且()0.5P A =，10021X X X ，，，相互独立。令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理

知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．50()5y -Φ C ．(50)y Φ- D ．50()25

y -Φ 4、设随机变量X 的密度函数为f (x )，则Y = 5 — 2X 的密度函数为（ B ）

1515A. () B. ()2222

1515C. () D. ()2222

y y f f y y f f -----++--- 5、设xx x n

12,,, 是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。

第7页，共26页 A. ∑=--n i i x x n 12)(1

1 B. ∑=--n i i x x n 12)(11 C. ∑=-n i i x x n 12)(1 D. ∑=-n i i x x n 1)(1 1、若A 、B 相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。 A. )()()(B P A P B A P =

B. 0)(=AB P

C. )|()|(A B P B A P =

D. )()|(B P B A P = 2、若随机事件A B ,的概率分别为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（D ）。

A. 相互对立

B. 相互独立

C. 互不相容

D.相容

3、设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X

i 否则，

发生事件且()0.6P A =，10021X X X ，，，相互独立。令∑==1001

i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（B ）

。 A. )(y Φ B ．60(

)24y -Φ C ．(60)y Φ- D ．60()24y -Φ 4、设随机变量X ～N(μ，81)，Y ～N(μ，16)，记}4{},9{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。

A. p 1

B. p 1＝p 2

C. p 1>p 2

D. p 1与p 2的关系无法确定

5、设随机变量X 的密度函数为f (x )，则Y = 7 — 5X 的密度函数为（ B ） 1717A. () B. ()55551717C. () D. ()5555y y f f y y f f ---

--++--- 1、对任意两个事件

A 和

B ，若0)(=AB P ，则（ D ）

。 A. φ=AB B. φ=B A C. 0)()(=B P A P D. )()(A P B A P =-

2、设A 、B 为两个随机事件，且1)(0<

3、设)(x Φ为标准正态分布函数， 100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则，发生事件且()

0.7P A =，10021X X X ，，，相互独立。令∑==1001i i

X Y ，则由中心极限定

理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．70(

)21y -Φ C ．(70)y Φ- D ．70()21y -Φ 4、已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则=)(XY E （ A ）

。 A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 5、设随机变量X ～N (μ，9)，Y ～N (μ，25)，记

}5{},3{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。 A. p 1

p 2 D. p 1与p 2的关系无法确定 1、设21,A A 两个随机事件相互独立，当21,A A 同时发生时，必有A 发生，则（ A ）

。 A. )()(21A P A A P ≤ B. )()(21A P A A P ≥ C. )()(21A P A A P = D. )()()(21A P A P A P =

2、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令32+-=X Y ，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ A ）。 A. )23(21---y f X B. )23(21--y f X C. )23(21+--y f X D. )2

3(21+-y f X 3、两个独立随机变量Y X ,，则下列不成立的是（ C ）。

A. EXEY EXY =

B. EY EX Y X E +=+)(

C. DXDY DXY =

D. DY DX Y X D +=+)(

4、设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则，

发生事件且()0.9P A =，10021X X X ，，，相互独立。

第8页，共26页令∑==100

1i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）

。 A. )(y Φ B ．90()3y -Φ C ．(90)y Φ- D ．90()9

y -Φ 5、设总体X 的数学期望E X ＝μ，方差D X ＝σ2，X 1，X 2，X 3是来自总体X 的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ B ）

123123123123111111A. B. 424333

342121C. D. 555662

X X X X X X X X X X X X +++++-++ 1、若事件

321,,A A A 两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。 A. 321,,A A A 相互独立 B. 321,,

A A A 两两独立

C. )()()()(321321A P A P A P A A A P =

D. 321,,A A A 相互独立

2、连续型随机变量X 的密度函数f (x )必满足条件（ C ）。 A. 0() 1 B. C. () 1 D. lim ()1x f x f x dx f x +∞-∞→+∞≤≤==?

在定义域内单调不减

3、设21,X X 是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)(1x f 和)(2x f ，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则（ B ）

。 A. )()(21x f x f +必为密度函数 B. )()(21x F x F ?必为分布函数

C. )()(21x F x F +必为分布函数

D. )()(21x f x f ?必为密度函数

4、设随机变量X , Y 相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。

A. X Y

B. （X , Y ）

C. X — Y

D. X + Y

5、设)(x Φ为标准正态分布函数，

, ,2, 1, 0A ,1n i X i =???=否则，

发生事件且()P A p =，12n X X X ，，，相互独立。令1n i i Y X ==∑，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．()(1)

y np np p -Φ- C ．()y np Φ- D ．()(1)y np np p -Φ- 三（1）、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。现随机地挑选一人，求此人恰好是色盲者的概率。

设A ：表示此人是男性； B ：表示此人是色盲。则所求的概率为()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+

0.50.050.50.00250.02625=?+?= 答：此人恰好是色盲的概率为0.02625。

三（2）、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。若随机地挑选一人，发现此人不是色盲，问此人是男性的概率。设A ：表示此人是男性； B ：表示此人是色盲。

则所求的概率为

()(|)()(|)(|)()1()

P A P B A P A P B A P A B P B P B ==-()(|)1[()(|)()(|)]P A P B A P A P B A P A P B A =-+

0.50.950.487810.02625?=≈-

答：此人是男人的概率为0.4878。。

三（3）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，求第二次取得白球的概率。解设i A 表示表示第i 次取得白球，i =1,2。

则所求事件的概率为

2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+ 3273931091093010=

?+?==

答：第二次取得白球的概率为3/10。

第9页，共26页三（4）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，若第二次取得白球，则第一次也是白球的概率。

解设i A 表示表示第i 次取得白球，i =1,2 。

则所求事件的概率为 12121122121121()()(|)(|) = ()()(|)()(|)P A A P A P A A P A A P A P A P A A P A P A A =+32210939

?== 答：第二次摸得白球，第一次取得也是白球的概率为2/9。

三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？解设i A 表示产品由第i 家厂家提供，i =1, 2, 3；B 表示此产品为次品。

则所求事件的概率为

1111112233(|)()(|)(|) ()()(|)()(|)()(|)P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++＝10.0220.41110.020.020.04244

?=?+?+? 答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？解：设1A ，2A ，3A 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。

（1）所求事件的概率为

112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.030.350.020.40.010.0185=?+?+?=

（2）221()(|)0.350.02(|) = 0.38 ()0.0185

P A P B A P A B P B ?=≈ 答：这件产品是次品的概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。

三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B 。加工零件A 时停机的概率是0.3，加工零件A 时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A 时发生停机的概率。解：设1C ，2C ，表示机床在加工零件A 或B ，D 表示机床停机。

（1）机床停机夫的概率为

1122()().(|)().(|

)P B P C P D C P C P D A =+12110.30.43330

=?+?= （2）机床停机时正加工零件A 的概率为 11110.3().(|)33(|) = 11()11

P C P D C P C D P D ?== 三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的零件合格率依次为94％，90％，95％。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。

解设1A ，2A ，3A 表示由甲乙丙三机床加工，B 表示此产品为废品。

（2分）则所求事件的概率为

111131

(|)()(|)(|) ()()(|)i i

i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑＝10.06320.50.060.30.100.20.057?=?+?+? 答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。（10分）

解：设1A ，2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B 表示误期到达。

第10页，共26页则222241

(|)()(|)(|) ()()(|)

i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑＝0.150.30.2090.0500.150.30.30.40.50.1?=?+?+?+? 答：此人乘坐火车的概率为0.209。

三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。求该人如期到达的概率。

解：设

1A ，2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B 表示如期到达。

则41

()()(|)i i

i P B P A P B A ==∑ 0.0510.150.70.30.60.50.90.785=?+?+?+?= 答：如期到达的概率为0.785。

四（1）设随机变量X 的概率密度函数为

, 01()0 Ax x f x ≤≤?=??，其它

求（1）A ；（2）X 的分布函数F (x )；（3） P (0.5 < X <2 )。

解： 121001 ()| 1 22 2

f x dx Axdx x A +∞-∞=====??（）

2020 ()()0

01 ()()2

1 ()()x

x x

x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<===≥==????（）当时，当时，当时，1022 1

0, 0

(), 0 1

1, 1

tdt x F x x x x =

四（2）、已知连续型随机变量X 的概率密度为

求（1）k ；（2）分布函数F (x )；

（3）P (1.5

2 1/2

k f x dx kx dx x x k k +∞-∞=+=+=+==-?? 2

020 ()()0

02 ()()(0.51)

4 2 ()() 1 x

x x x

x F x f t dt x x F x f t dt t dt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<==-+=-+≥==????（）当时，当时，当时，2

0, 0 (), 02

1, 2

x x F x x x x

?=-+≤

四（3）、已知连续型随机变量X 的概率密度为

???≤≤+=其它 ,020 ,1)(x kx x f

第11页，共26页 ?????≤≤=其它

,010 ,)(x x a x f 求（1）a ；（2）X 的分布函数F (x )；（3）P ( X >0.25)。解：102(1) () 1 3

3/2

f x dx a xdx a a +∞-∞====?? 3/232020 ()()0 01 ()()

1 ()() 1 x x x x

x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞

-∞-∞<==≤<===≥==??

??（）当时，当时，当时，3/2 0, 0 (), 01

1, 1x F x x x x

故

(3) P （X>1/4）=1—F(1/4)=7/8

四（4）、已知连续型随机变量X 的概率密度为

???∈=其它

,0),0( ,2)(A x x x f 求（1）A ；（2）分布函数F (x )；（3）P (－0.5 < X <1)。）解：20

(1) ()2 1 1 A f x dx xdx A A +∞-∞====?? 2020 ()()0 01 ()()2 1 ()() 1 x x x x

x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞

-∞

-∞<==≤<===≥==??

??（）当时，当时，当时，2 0, 0 (), 0 1

1, 1x F x x x x

故

(3) P （-0.5

四（5）、已知连续型随即变量X 的概率密度为

???≤-=其它 ,01 ,1)(2x x c x f

求（1）c ；（2）分布函数F (x )；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。解：1112

1(1) () arcsin | 1 1- 1/ c f x dx dx c x c x c ππ+∞--∞-=====??

第12页，共26页 12121 ()()0 11 11 ()()arcsin |

11 (arcsin 2x

x x x x F x f t dt x F x f t dt dt t t x ππππ-∞

--∞-<-==-≤<===-=+

?（）当时，当时，) 1 ()() 1

0, 11 ()(arcsin ), 12x

x F x f t dt x F x x x ππ

-∞≥==<-=+≤

x ?????≥?? (3) P （-0.5

?????>+=-其它 ,00 ,)(22

x Be A x F x

求（1）A ，B ；（2）密度函数f (x )；（3）P (1

解：0(1) lim () 1 lim ()0 1

x x F x A F x A B B +→+∞

→===+==-

/22, 0 () () 0, 0

x xe x f x F x x -?>?'==?≤??（）

(3) P （1

四（7）、已知连续型随机变量X 的分布函数为 x B A x F arctan )(+=

求（1）A ，B ；（2）密度函数f (x )；（3）P (1

2 lim ()02

A 1/2, 1/

x x F x A B F x A B B ππ

π→+∞→-∞=+==-=== 221 () () (1)

f x F x x π'==+（）

(3) P （0

???≥<<≤=1 ,110 ,0 ,0)(x x x A x x F

求（1）A ；（2）密度函数f (x )；（3）P (0< X < 0.25 )。

第13页，共26页解：1(1) lim () 1 1 x F x A A →===21, 01 () () 20, x f x F x x ?<

（）

其他 (3) P （0

四（9）、已知连续型随机变量X 的分布函数为

?????≤>-=2

,02 ,1)(2

x x x A x F 求（1）A ；（2）密度函数f (x )；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。

、解：2(1) lim ()1/40 4 x F x A A →=-==328, 2 () () 0, 2

x f x F x x x ?>?'==??≤?（）

(3) P （0

四（10）、已知连续型随机变量X 的密度函数为

???∈=其它 ,0),0( ,2)(2a x x x f π 求（1）a ；（2）分布函数F (x )；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。解：202(1) () 1 a x f x dx dx a ππ+∞-∞===??222020 ()()0 2 0 ()() ()() 1 x

x x

x x F x f t dt t x x F x f t dt dt x F x f t dt ππππ-∞-∞-∞

<==≤<===≥==????（）当时，当时，当时，22 0, 0 (), 0 1, x x F x x x ππ

41π 五（1）、设系统L 由两个相互独立的子系统L 1，L 2并联而成，且L 1、L 2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。求系统L 的寿命Z 的密度函数。

解：令X 、Y 分别为子系统L 1、L 2的寿命，则系统L 的寿命Z ＝max (X , Y )。

显然，当z ≤0时，F Z (z )＝P (Z ≤z )＝P (max (X , Y )≤z )＝0；

当z >0时，F Z (z )＝P (Z ≤z )＝P (max (X , Y )≤z )

＝P (X ≤z , Y ≤z )＝P (X ≤z )P (Y ≤z )＝dy e dx e z y z

x ??--00βαβα＝)1)(1(z z e e βα----。

因此，系统L 的寿命Z 的密度函数为

f Z (z )＝???≤>+-+=+---0

0,0 ,)()()(z z e e e z F dz d z z z Z βαβαβαβα 五（2）、已知随机变量X ～N （0，1），求随机变量Y ＝X 2的密度函数。

解：当y ≤0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (X 2≤y )＝0；

当y >0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (X 2≤y )＝)(y X y P ≤≤-

第14页，共26页

＝

dx e

x y

/2221221---?

=π

因此，f Y (y )＝??

??≤>=- 0. 0,0, , 2)(2

/y y y

e y F dy d y Y π 五（3）、设系统L 由两个相互独立的子系统L 1、L 2串联而成，且L 1、L 2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。求系统L 的寿命Z 的

密度函数。

解：令X 、Y 分别为子系统L 1、L 2的寿命，则系统L 的寿命Z ＝min (X , Y )。

显然，当z ≤0时，F Z (z )＝P (Z ≤z )＝P (min (X , Y )≤z )＝0；

当z >0时，F Z (z )＝P (Z ≤z )＝P (min (X , Y )≤z )＝1－P (min (X , Y )>z ) ＝1－P (X >z , Y >z )＝1－P (X >z )P (Y >z )＝dy e dx e z

y z

x ??

+∞

-+∞

βαβα1＝z e )(1βα+--。

因此，系统L 的寿命Z 的密度函数为

f Z

(z )＝??

?≤>+-=+-0

0,0 ,)()()(z z e z F dz d

z Z βαβα

五（4）、已知随机变量X ～N （0，1），求Y ＝|X |的密度函数。

解：当y ≤0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (|X |≤y )＝0；

当y >0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (|X |≤y )＝)(y X y P ≤≤-

＝

dx e dx e x

221

----?

=ππ

因此，f Y (y )＝??

???≤>=- 0. 0,0, 2)(2

/2y y e

y F dy d y Y π

五（5）、设随机向量（X ，Y ）联合密度为

f (x , y )= ???>>+-.

,0;

0,0 ,)32(其它y x Ae y x

（1）求系数A ；

（2）判断X ，Y 是否独立，并说明理由；

（3）求P{ 0≤X ≤2，0≤Y ≤1}。解：（1）由1＝

dy e dx e A dxdy e A dxdy y x f y x y x ?

+∞

-+∞-+-+∞

+∞

+∞∞-+∞

∞

-?==0

2)32(0

),(＝,6

1)(2

2A e e A y

--+∞

-+∞

- 可得A ＝6。

（2）因（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为

f X (x )＝???>-. ,0; 0 ,22其它x e x 和 f Y (y )＝ ???>-.

,0; 0 ,33其它y e y ，

则对于任意的,),(2

R y x ∈ 均成立f (x , y )= f X (x )* f Y (y )，所以X 与Y 独立。

（3）P { 0≤X ≤2，0≤Y ≤1}＝dy e dx e

dxdy e

y x

y x ????--+-?=1

32(20

326

＝).1)(1())((341

2------=--e e e e

y x

五（6）、设随机向量（X ，Y ）联合密度为

f (x , y )= ???>>+-.

,0;

0,0 ,)43(其它y x Ae y x

（1）求系数A ；

（2）判断X ，Y 是否独立，并说明理由；

第15页，共26页（3）求P { 0≤X ≤1，0≤Y ≤1}。解：（1）由1＝dy e dx e A dxdy e A dxdy y x f y x y x ???

??+∞-+∞-+-+∞+∞+∞∞-+∞

∞-?==0403)43(00),( ＝,12

)41)(31(0403A e e A y x =--+∞-+∞- 可得A ＝12。（2）因（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为

f X (x )＝???>-. ,0; 0 ,33其它x e x 和 f Y (y )＝ ???>-.

,0; 0 ,44其它y e y ，则对于任意的,),(2R y x ∈ 均成立f (x , y )= f X (x )* f Y (y )，所以X 与Y 独立。

（3）P { 0≤X ≤1，0≤Y ≤1}＝

dy e dx e dxdy e y x y x ????+∞-+∞-+-?=0403)43(10104312 ＝).1)(1())((4310

03------=--e e e e y x 五（7）、设随机向量（X ，Y ）联合密度为

f (x , y )= ???≤≤≤. ,0; 10 ,6其它y x x

（1）求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x )，f Y (y )；

（2）判断X ，Y 是否独立，并说明理由。

解：（1）当x <0或x >1时，f X (x )＝0；

当0≤x ≤1时，f X (x )＝).1(66),(1

x x xdy dy y x f x -==??+∞

∞- 因此，（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度f X (x )＝???≤≤-.

,0,10 ,662其它x x x 当y <0或y >1时，f Y (y )＝0；

当0≤y ≤1时，f Y (y )＝.3|36),(2020y x xdx dx y x f y y

===??+∞

∞- 因此，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度f Y (y )＝???≤≤.

,0,10 ,32其它y y （2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而f X (1/2) f Y (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2)，所以，X 与Y 不独立。五（8）、设二维随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为

f (x , y )=???<<-.

,0; 0 ,其它y x e y （1）求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x )，f Y (y )；

（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由。解：（1）当x ≤0时，f X (x )＝0；

当x >0时，f X (x )＝.),(x x y e dy e dy y x f -+∞

-+∞

∞-==?? 因此，（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度f X (x )＝???>-.

,0,0 ,其它x e x

当y ≤0时，f Y (y )＝0；

当y >0时，f Y (y )＝.),(0y y

y ye dx e dx y x f --+∞

∞-==?? 因此，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度f Y (y )＝???>-.

,0,0 ,其它y ye y （2）因为f (1, 2)＝e -2，而f X (1) f Y (2)＝e -1*2e -2＝2 e -3≠f (1, 2)，

第16页，共26页所以，X 与Y 不独立。五（9）、设随机变量X 的概率密度为

??>=-其它,00,)(x e x f x 设F (x )是X 的分布函数，求随机变量Y =F (X )的密度函数。解：当y <0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (F (X )≤y )＝0；

当y >1时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (F (X )≤y )＝1；当0≤y ≤1时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P ((F (X )≤y )＝))((1y F X

P -≤ ＝y y F

F =-))((1 因此，f Y (y )＝???≤≤=

. 0,,10 ,1)(其它y y F dy d Y 五（10）、设随机向量（X ，Y ）联合密度为

f (x , y )= ???≤≤≤. ,0; 10 ,8其它y x xy

（1）求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x )，f Y (y )；

（2）判断X ，Y 是否独立，并说明理由。

解：（1）当x <0或x >1时，f X (x )＝0；

当0≤x ≤1时，f X (x )＝).1(4|48),(2121

x x y x xydy dy y x f x x -=?==??+∞

∞- 因此，（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度f X (x )＝?

??≤≤-. ,0,10 ,443其它x x x 当y <0或y >1时，f Y (y )＝0；

当0≤y ≤1时，f Y (y )＝.4|48),(3020y x y xydx dx y x f y y

=?==??+∞

∞- 因此，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度f Y (y )＝?

??≤≤. ,0,10 ,43其它y y （2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而f X (1/2) f Y (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)，所以，X 与Y 不独立。

六（1）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为7 66 9??

???

求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。解：D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=7+9+2*6=28

D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=7+9-2*6=4 Cov(X +Y , X -Y )= DX -DY =7-9= -2 281

4*282

)()()

,(,-=-=-+-+=-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

所以，（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 28 -2-2 4?? ??? 和 -11

28-1 128?? ? ? ? ???

六（2）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为9 22 1??

???

求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。解：D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=9+1+2*2=14

D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=9+1-2*2=6

第17页，共26页

Cov(X +Y , X -Y )= DX -DY =9-1=8

*148)

()(),(,=

-+-+=

-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

所以，（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 14 88 6?? ??? 和 41 214 1

?? ?

? ?

???

六（3）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 9 66 6??

???

－－

求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=9+6-2*(-6)=27

D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=9+6+2*(-6)=3 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =9-6= 3

*273)

()(),(,=

+-+-=

+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 27 33 3?? ??? 和 11 31 13

?? ?

? ?

???

六（4）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 4 55 9??

???

－－

求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。解：D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=4+9-2*(-5)=23

D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=4+9+2*(-5)=3 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =4-9= -5

*235)

()(),(,-=

+-+-=

+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 23 -5-5 13?? ??? 和 -51

69-5

169??

? ?

???

六（5）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 1 11 4?? ???

－

求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=1+4-2*(-1)= 7

D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=1+4+2*(-1)=3 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =1-4= -3

*73)

()(),(,-=

+-+-=

+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 7 -3-3 3?? ??? 和 -31 21-3 1

?? ? ? ?

???

第18页，共26页

六（6）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 4 11 25??

???

求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=4+25+2*1=31

D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=4+25-2*1=27 Cov(X +Y , X -Y )= DX -DY =4-25= -21

727

*3121)

()(),(,-=

-+-+=

-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

所以，（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为31 -21-21 27?? ??? 和 -71

93-7

193??

? ? ???

六（7）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 5 22 4??

???

求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=5+4+2*2=13

D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=5+4-2*2=5 Cov(X +Y , X -Y )= DX -DY =5-4=1

*131)

()(),(,=

-+-+=

-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

所以，（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为13 11 5?? ??? 和 11

651

165??

? ? ???

六（8）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 9 22 4??

???

－－

求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=9+4-2*(-2)= 17

D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=9+4+2*(-2)=9 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =9-4= 5

153

*175)

()(),(,=

+-+-=

+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为17 55 9?? ??? 和 51

1535

1153??

? ?

???

六（9）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 4 33 9??

???

－－

求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y ) = 4+9-2*(-3)= 19

D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y ) = 4+9+2*(-3)=7 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =4-9= -5

133

*195)

()(),(,-=

+-+-=

+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

第19页，共26页

所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 19 -5-5 7?? ??? 和 -51

133-5

1133??

? ?

???

六（10）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为9 33 4??

???

求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D (X -Y )= DX +DY -2Cov(X , Y )=9+4-2*3= 7

D (X +Y )= DX +DY +2Cov(X , Y )=9+4+2*3=19 Cov(X -Y , X +Y )= DX -DY =9-4= 5

133

519

*75)

()(),(,=

+-+-=

+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ

所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 7 55 19?? ??? 和 51

1335

1133??

? ?

???

七（1）、设总体X 的概率密度函数是

1, 01

(;)0, x x f x a αα-?<<=?

?其它

其中0α>为未知参数。12, , , n x x x 是一组样本值，求参数α的最大似然估计。

解：似然函数1

i i L

x x αααα--===∏=∏ 1

ln ln (1)ln n

i i L

n x αα==+-∑

ln ln 0n

i i d L n x d αα==+=∑

?ln n

i n

==-∑

七（2）、设总体X 的概率密度函数是

1 01

(;)0 x x f x a αα?+<<=?

?（）其它

123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数α的最大似然估计。

解：似然函数1

(1)(1)n

i i

i i L

x x αα

αα===∏+=+∏ 1

ln ln(1)ln n

i L n x α

α==++∑

ln ln 01n

i i d L n

x d αα==+=+∑ 1

?1ln n

i n

==--∑

七（3）、设总体X 的概率密度函数是

22exp{}, 0

()0, x x x f x λλ?->=?

?其它

λ>0为未知参数，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。

解：似然函数2

(2exp{})(2exp{})n

n i i i i i i i L

x x x x λλλλ====∏-=∏-∑ 21

ln ln(2)ln n

i i i i L n x x λλ===+-∑∑

第20页，共26页 21

ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 21?n i

i n x α==∑ 七（4）、设总体的概率密度函数是 233exp{}, 0()0, x x x f x λλ?->=??其它

其中λ>0是未知参数，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。解：似然函数2323111(3exp{})(3exp{})n n n n n i i i i i i i L x x x x λλλλ====∏-=∏-∑ 2311ln ln(3)ln n n i i i i L n x x λλ===+-∑∑ 31

ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 31?n i i n

x λ==∑ 七（5）、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()!x

P e x λλλ-=（x =0，1，），其中0λ>为未知参数，123,,,,n x x x x 是一组样本值，

求参数λ的最大似然估计。解：似然函数111!

!n i i x n

n i

n i i i i x L e e x x λλλλ=--==∑=∏=∏ 11ln ln ln(!)n n

i i i i L x x n λλ===--∑∑ 1ln 0n i i x d L n d αλ

==-=∑ 1?n i i x x n λ

===∑ 七（6）、设总体X 的概率分布为1-P{= }=(1-),0,1x x X x p

p x =。设123,,,,n x x x x 为总体X 的一组简单随机样本，试用最大似然估计法求p 的估计值。

解：()111i i

n x x i L p p -==∏- ()11ln ln ln 1n n i i i i L x p n x p ==????=∑+-∑- ? ????? 11ln 1101n n i i i i d L x n x dp p p

==????=∑--∑= ? ?-???? 11?n i i p x x n ==∑= 七（7）、设总体X 服从参数为1θ的指数分布，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数θ的最大似然估计。解： 111111n i i i n n x x i L e e θθθθ=--∑=??=∏= ??? 111ln ln n i i L n x θθ=??=-∑ ??? 21

ln 10n i i d L n x d θθθ==-+∑= 11?n i i x x n θ==∑= 七（8）、设总体X 服从参数为λ的指数分布，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。解：似然函数11n i i i n x x n n i L e e λλλλ=-∑-==∏= 1ln ln n

i i L n x λλ==-∑ 1ln 0n i i d L n x d λλ==-∑= 1

1?n i i n x x λ===∑ 七（9）、设总体X 的概率密度函数是

第21页，共26页 21

()21(;), 2x f x e x μμπ

--=-∞<<+∞ 12,,,n x x x 是一组样本值，求参数μ的最大似然估计？

解：似然函数 ()()

()21

2211111exp 222i n n x i n i i L e x μμππ--==??=∏=-∑-???? ()211ln ln 2()22n i i n L x πμ==--∑- 1

ln ()0n i i d L x d μμ==∑-= 11?n i i x x n μ==∑= 七（10）、设总体X 的概率密度函数是

221(;), 2x f x e x δδπδ-=

-∞<<+∞ 123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数δ

的最大似然估计？解：似然函数 ()