自测题（1-7章附参考答案）-高等数学上册

第一章 函数与极限

一、 选择题：

8、设a0,b0?0,则当（ ）时有

x?11．函数y?1?x?arccos的定义域是（ ）

2(A)x?1； (B)?3?x?1； (C)(?3,1)； (D)xx?1?x?3?x?1.

a0xm?a1xm?1?........?ama0 lim? . x??bxn?bxn?1?.........?bb001n (A)m?n ； (B)m?n ；

(C)m?n ； (D)m,n任意取 . 9、设??????x?3,?4?x?02.函数?2的定义域是（ ）

?x?1,0?x?3(A)?4?x?0；(B)?3;(C)(?4,3); (D)x?4?x?0?x0?x?3. 3、函数y?xcosx?sinx是（ ） (A)偶函数； (B)奇函数；

(C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 4、函数f(x)?1?cos?x?1,?1?x?0,则limf(x)?( )

x?0?x,0?x?1x（ ） x (A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 . 10、limx?0????(A)1； (B)-1；(C)0； (D)不存在. 二、求下列函数的定义域：

1、y?sin(2x?1)?arctanx;

?29x?x2)2、?(x)?lg(?1 . 2三、 设g(x?1)?2x?3x?1 （1） 试确定a,b,c的值使

g(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c ；

22x的最小正周期是（ ）

1 . 2 (A)2?； (B)?； (C) 4 ； (D)

5、函数

x在定义域为（ ）

1?x2（2） 求g(x?1)的表达式 .

四、 求f(x)?(1?x)sgnx的反函数f五、 求极限：

2?1(A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且 12?f(x)?12(x).

；

x?2 . (D)有界，且 ?2?1?x26、与f(x)?1?x?22n2?n?1 1、lim ； 2、 ； limx?3n??(1?n)2x?33、lim(1?x) ； 4、limx(e?1) ；

x?0x??2x1xx2等价的函数是（ ）

(A) x； (B) (x)2； (C) (3x)3； (D) x . 7、当x?0时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ）

（A）x； （B）1?cosx； （C）x?tanx； （D）ln(1?x).

25、当x?0时，limcosn??xxxcos........cosn ； 242x2sin6、limx???1x . 2x2?1第 1 页 共 11 页

?sinax,x?1六、 设有函数f(x)??试确定a?a(x?1)?1,x?1的值使f(x)在x?1连续 .

(D) arctanx?arccotx.

?eax,x?0? 5、如果f(x)??处处可导，那末（ ） 2??b(1?x),x?0 （A）a?b?1； （B）a??2,b??1； （C）a?1,b?0； （D）a?0,b?1. 6、已知函数f(x)具有任意阶导数，且 f?(x)??f(x)?,则当n为大于2的正整数时， f(x)的n阶导数f(n)(x)是（ ） （A）n![f(x)]n?121xarctanx?1的连续性，并判七、 讨论函数f(x)??sinx2断其间断点的类型 . 八、 证明奇次多项式：

P(x)?a0x2n?1?a1x2n???a2n?1(a0?0)至少存在一个实根 .

第二章 导数与微分

一、 选择题：

1、函数f(x)在点x0的导数f?(x0)定义为（ ）

； （B） n[f(x)]2nn?1；

（C） [f(x)]； （D）n![f(x)].

7、若函数x?x(t),y?y(t)对t可导且x?(t)?0,又

2nf(x0??x)?f(x0) （A）；

?x （B）limx?x0f(x0??x)?f(x0)；

?xf(x)?f(x0)；

?x x?x(t)的反函数存在且可导，则

dy=（ ） dx （A）

（C）limy?(t)y?(t)； （B）?； x(t)x?(t)y?(t)y(t)； （D）. ??x(t)x(t)x?x0 （D）limx?x0f(x)?f(x0)；

x?x0 （C）

8、若函数f(x)为可微函数，则dy（ ） （A）与?x无关；

（B）为?x的线性函数；

（C）当?x?0时为?x的高阶无穷小； （D）与?x为等价无穷小.

9、设函数y?f(x)在点x0处可导，当自变量x由x0增加到x0??x时，记?y为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，lim 2、若函数y?f(x)在点x0处的导数f?(x0)?0，则 曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的法线（ ） （A）与x轴相平行；（B）与x轴垂直； （C）与y轴相垂直；（D）与x轴即不平行也不垂直： 3、若函数f(x)在点x0不连续，则f(x)在x0 ( ) （A）必不可导； （B）必定可导； （C）不一定可导； （D）必无定义. 4、如果f(x)=（ ），那么f?(x)?0. (A) arcsin2x?arccosx； (B) secx?tanx； (C) sinx?cos(1?x)；

2222?y?dy等于（ ）

?x?0?x （A）-1； （B）0； （C）1； （D）?.

10、设函数y?f(x)在点x0处可导，且f?(x0)?0，

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?y?dy 则 lim等于（ ）.

?x?0?x （A）0； （B）-1； （C）1； （D）? . 二、求下列函数的导数：

1、y?sinxlnx2； 2、y?acoshx （a?0）； 3、y?(1?x2)secx ； 4、y?ln[cos(10?3x2)]； 5、设y为x的函数是由方程ln确 定的；

（C） 它们都先肯定了?点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 .

（D） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 .

2、 若f(x)在(a,b)可导且f(a)?f(b),则（ （A） 至少存在一点??(a,b)，使f?(?)?0； （B） 一定不存在点??(a,b)，使f?(?)?0； （C） 恰存在一点??(a,b)，使f?(?)?0； （D） 对任意的??(a,b)，不一定能使f?(?)?0 . 3．已知f(x)在[a,b]可导，且方程f(x)=0在(a,b)有

）

x2?y2?arctanyxdy 6、设x?y?y，u?(x?x)，求.

du2232t三、证明x?esint，y?ecost满足方程

t 两个不同的根?与?，那么在(a,b)（

）

d2ydy?2(x?y) . (x?y)2dxdx2

f?(x)?0.

?g(x)?cosx,x?0?四、已知f(x)??其中g(x)有二阶x??a,x?0连续导数，且g(0)?1，

1、确定a的值，使f(x)在X?0点连续；

（A） 必有；

（B） 可能有； （C） 没有； （D） 无法确定.

4、如果f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，c为介于 a,b之间的任一点，那么在(a,b)（

）找到两点

2、求f?(x)

x2,x1，使f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(c)成立.

(n)五、设y?xlnx,求f(1).

六、计算39.02的近似值 .

七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？

（A）必能； （B）可能；

（C）不能； （D）无法确定能 .

5、若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 x?(a,b)时，f?(x)?0，又f(a)?0,则（ ）. （A） f(x)在[a,b]上单调增加，且f(b)?0； （B） f(x)在[a,b]上单调增加，且f(b)?0； （C） f(x)在[a,b]上单调减少，且f(b)?0； （D） f(x)在[a,b]上单调增加，但f(b)的

第三章 微分中值定理

一、 选择题：

1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ） （A） 它们都给出了ξ点的求法 . （B） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

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正负号无法确定.

6、f?(x0)?0是可导函数f(x)在x0点处有极值的（ ）. （A） 充分条件； （B） 必要条件 （C） 充要条件； （D） 既非必要又非充 分 条件.

7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则（ ）.

（A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； （B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； （C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值；

（D）极大值必大于极小值 .

8、若在(a,b)内，函数f(x)的一阶导数f?(x)?0， 二阶导数f??(x)?0,则函数f(x)在此区间内( ). （A） 单调减少，曲线是凹的； （B） 单调减少，曲线是凸的； （C） 单调增加，曲线是凹的； （D） 单调增加，曲线是凸的.

9、设limf(x)?limF(x)?0，且在点a的某

x?ax?a 体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？ 四、若x?0,试证

x?ln(1?x)?x. 1?x五、设f(x)?ax3?bx2?cx?d有拐点（1，2），并在该点有水平切线，f(x)交x轴于点（3，0），求f(x). 六、确定a,b,c的值，使抛物线y?ax2?bx?c与正弦曲线在点(?2,1)相切，并有相同的曲率.

4(x?1)?2的图形. x2七、绘出函数f(x)?八、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

f(0)?0,f(1)?1,试证：对任意给定的正数a,b在(0,1)内存在不同的?,?，使

ab??a?b ''f(?)f(?) 邻域中（点a可除外），f(x)及F(x)都存在，

第四章 不定积分

一、 选择题：

1、 设F1(x),F2(x)是区间I内连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)?0,则在区间I内必有（ ） （A） F1(x)?F2(x)?C； （B） F1(x)?F2(x)?C； （C） F1(x)?CF2(x)；

f'(x)f(x) 且F(x)?0,则lim存在是lim'

x?aF(x)x?aF(x) 存在的（ ）.

（A）充分条件； （B）必要条件； （C）充分必要条件；（D）既非充分也非必要条件 . 10、limcoshx?1?（ ）.

x?01?cosx11； （C）1； （D）. 22 （A）0； （B）?二、求极限： 1、lim?x?a（D） F1(x)?F2(x)?C.

'2、若F(x)?f(x),则dF(x)=（ ）

x?a?x?ax?a1?22 （a?0）；

（A） f(x)；（B） F(x)； （C） f(x)?C；（D） F(x).

3、f(x)在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原

1?tanxx3 2、lim()；

x?01?sinx三、一个半径为R的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥

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函数一定存在 （A） 有极限存在； （B）连续； （B） 有界； （D）有有限个间断点 4、下列结论正确的是（ ） （A） 初等函数必存在原函数； （B） 每个不定积分都可以表示为初等函数； （C） 初等函数的原函数必定是初等函数； （D） A,B,C都不对 .

5、函数f(x)?(x?x)2的一个原函数F(x)?(

)

（C）

1111lnx??C； （D）?lnx??C. xxxx ）

10、

dx?(4x?1)10?（

（A）

1111； （B）?C?C； 999(4x?1)36(4x?1)1111；（D）?C??C.

36(4x?1)1136(4x?1)9（C）?（A）

443x; （B）xx2;

33二、求下列不定积分： 1、

22222（C)x(x?x); （D）x(x?x) .

336、已知一个函数的导数为y??2x，且x?1时y?2,这个函数是（

2?11dxcosdx; 2、?x2?2x?5; x2x 3、

?ln(x?1?x2)?51?x2x2dx; 4、?dx; 22(1?x)x?12 ）

2 （A）y?x?C; （B）y?x?1;

5、

?1?dx1?x2; 6、

?xx?12dx;

x2?C; （D）y?x?1 （C）y?27、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A）e 7、

dx2xarccosxdx; ; 8、?x2x?e(1?e)??x2dx； （B）?dx1?x3；

arccosxx11dx 9、?8; 10、?(1?x2)3dx.

x?3x4?22??xln(1?x),x?0三、设f(x)??2，求?f(x)dx. ?x??(x?2x?3)e,x?0 （C）

1lnxdx； （D）?lnx?xdx.

四、设f(e)?asinx?bcosx,(a,b为不同时为零的

8、

'x?f(x)dx?F(x)?C,且x?at?b,则

）

常数)，求f(x).

五、设当x?0时，f(x)连续，求

'?f(t)dt?（

（A）F(x)?C； （B） F(x)?C;

（C）

1F(at?b)?C; （D）F(at?b)?C . a）

xf'(x)?(1?x)f(x)dx. ?2xxe 9、

lnx?x2dx?（

第五章 定积分

一、 选择题： 1、lim?第 5 页 共 11 页

（A）

1111lnx??C; （B）lnx??C; xxxxnn??n????? ( ) 2222?n??n2?1n?2n?n??

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