动力系统模型

A First Course in Mathematical Modeling (Third Edition) Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, William P. Fox China Machine Press

数学建模(原书第3版) 叶其孝 姜启源 等译 机械工业出版社

第1章 对变化进行建模

引言

为了更好地了解世界,人们常常用数学来描述某种特定现象.这种数学模型是现实世界现象的理想化,但永远不会是完全精确的表示.尽管任何模型都有其局限性,但是好的模型能够提供有价值的结果和结论.在本章中我们将重点介绍对变化进行建模. 简化 比例性

多数模型简化了现实的情况.一般情况下,模型只能近似地表示实际的行为.一种非常强有力的简化关系就是比例性.

定义 两个变量y和x是(互成)比例的,如果y?kx,我们记为y?x.从几何上看,y关于x的图形位于通过原点的一条直线上.

例1 测试比例性

做一个测量弹簧的伸长作为置于弹簧末端的质量的函数的实验,表1-1为该实验收集到的数据

表1-1 弹簧—质量系统

质50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 量 伸1.000 1.875 2.750 3.250 4.375 4.875 5.675 6.500 7.250 8.000 8.750 长 弹簧的伸长对于置于弹簧末端的质量的散点图展现了它近似是过原点的一条直线.

图1-1 来自弹簧—质量系统的数据

看来该数据遵从比例性法则，伸长e与质量m成比例，或者说e?m。该直线看似通过原点。在本例中，假设这两种数据成比例看来是合理的，我们选位于

直线上的两点(200,3.25)和(300,4.875)来估计比例系数k（直线斜率）：

k?4.875?3.25300?200?0.01625

因此比例系数约为0.0163，于是可以建立以下估算模型：

e?0.0163m

然后把表示该模型的直线图形重叠画到散点图上，以考察模型对这些数据的拟合效果。从图中可以看出这个简化的比例模型是合理的。

图1-2来自弹簧—质量系统的数据和比例性模型直线

对变化进行建模

对变化进行建模的一个非常有用的范例就是：

未来值=现在值+变化

人们往往希望从现在知道的东西加上精心观测到的变化来预测未来。在这种情形中，可以先按照公式：

变化=未来值-现在值

来研究变化。

1.1 用差分方程对变化进行建模

定义 数列A??a0,a1,?,an??的一阶差分是

?a0?a1?a0?a1?a2?a1??an?an?1?an;

例1 储蓄存单

考虑一开始价值为1000美元的储蓄存单在月利率为1%的条件下的累积价值。下面的数列表示该储蓄存单逐月的价值：

A??1000,1010,1020.10,1030.30,??

其一阶差分为： ?a0?a1?a0?1010?1000?10

?a1?a2?a1?1020.10?1010?10.10

注意，一阶差分表示在一个时间周期里数列的变化，在储蓄存单的例子中即是所得的利息。

如果n是月数而an是n个月后储蓄存单的价值，那么每个月价值的变化（或者利息增长）由第n个差分

?an?an?1?an?0.01an

来表示。即有如下的差分方程

an?1?an?0.01an?1.01an

我们还知道一开始的存款（初值），于是就得出了以下动力系统模型

an?1?1.01an,a0?1000n?0,1,2,?

其中，an是n个月后储蓄存单的价值。由于n表示非负整数，故上面的方程可以表示为无穷多个代数方程，称为动力系统。动力系统能够描述从一个周期到下一个周期的变化。知道了该序列中的某一项，就可以通过差分方程算出紧接着它的下一项，但是不能直接算出任意特定项的值（例如，100个周期后的储蓄值a100）。 修改一下这个例子，如果要从账户中每月提款50美元，那么一个周期里存款的变化就应该是该周期里挣的利息减去月提款：

?an?an?1?an?0.01an?50

在大多数例子中，用数学方式描述变化不会像这里所说的那样精确，常常需要画出变化，观察模式，然后用数学术语来描述变化。即，试图寻求

变化??an?某个函数f

变化可能是数据序列中前一项的函数（就象没有月提款的情形），或者还包含某些外来项（诸如上面提到的题款数或涉及周期n的一个表达式）。即

变化??an?f(该序列中的项，外来项)

例2 抵押贷款买房

六年前，你的父母筹措月利率为1%、每月还款为880.87美元的20年贷款资金80000美元买了房子。他们已经还款72个月，同时想知道他们还欠多少抵押贷款，他们正在考虑用他们得到的一笔遗产来付清欠款。或者他们可以重新根

据偿还期长短，以不同利率偿还抵押贷款。每个周期欠款额因要付的利息而增加，又因每月还款而减少：

?bn?bn?1?bn?0.01bn?880.87

求解bn?1并加进初始条件就给出了下面的动力系统模型

bn?1?bn??bn?1.01bn?880.87b0?80000

其中bn表示第n个月后的欠款.因此:

b1?b0??b0?80000?0.01(80000)?880.87?79919.13b2?b1??b1?79919.13?0.01(79919.13)?880.87?79837.45

就给出了序列

B?(80000,79919.13,79837.45,?)

该序列的前13项数据如表1-2所示

表1-2 欠款额度表

月0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n bn 80000.00 79919.13 79837.45 79754.96 79671.64 79587.48 79502.49 79416.64 79329.94 79242.37 也可以用图1-3表示

图1-3 逐月欠款额

我们来总结一下例1和例2中介绍的重要思路.

定义 一个动力系统就是序列各项之间的一种关系.动力系统的数值解就是满足该动力系统的一张数据表.

习题1

写出能对所述情景的变化确切建模的动力系统的公式

1.目前你在储蓄账户上有月付利息为0.5%的存款5000美元,你每个月再存入200美元.

2.你的信用卡上有月付利息1.5%的欠款500美元.你每月偿还50美元并且不再有新的欠款.

3.你的父母正在考虑一项贷款期限30年、每月要支付0.5%利息的100 000美元抵押贷款，试建立一个能够在360次付费后还清借款的用月供p表示的模型。提示：如果an表示n个月后的欠款，那么a0和a360表示什么呢？

4.你的祖父母有一份养老金（年金）。每月把上一个月结余的1%作为利息自动存入养老金。你的祖父母每月初要取出1000美元作为生活费用。目前他们的养老金为50 000美元。试用动力系统对养老金建模。养老金会用光吗？什么时候用光？提示：当养老金用光时，an的值为多少？

研究课题

你希望买一辆新车而且选择范围只限于Saturn、Cavalier和Hyundai三家公司。每家公司都向你提供其最优惠的交易条件：

Saturn 车价13 990美元 预付定金1000美元 月利率3.5%直到60个月 Cavalier车价13 550美元 预付定金1500美元 月利率4.5%直到60个月 Hyundai 车价12 400美元 预付定金500美元 月利率6.5%直到48个月 你每个月为买车最多能支付475美元。利用动力系统模型决定你应该买哪家公司的车。

1.2 用差分方程近似描述变化

在大多数例子中，数学地描述变化不会像前节给出的储蓄存单和抵押贷款案例中那样有确切的步骤。一般情况下，我们必须画出变化，观察模式，然后再用数学术语来近似描述变化：

变化??an?某个函数f

例1 酵母培养物的增长

图1-4中的数据是从测量酵母培养物增长的实验收集来的。图形显示可以假设种群量的变化和当前种群量的大小成比例。即，?pn?pn?1?pn?kpn，其中pn表示n小时后种群生物量的多少，而k是一个正常数。k的值依赖于时间的测量。

表1-3 酵母培养物随时间变化的数据

时间n（以小时计） 酵母生物量pn 生物量的变化?pn?pn?1?pn 0 9.6 8.7 1 18.3 10.7 2 29.0 18.2 3 47.2 23.9 4 71.1 48.0 5 119.1 55.5 6 174.6 82.7 7 257.3

908070生物量变化delta pn6050403020100020406080100生物量pn120140160180

图1-4 酵母培养物增长对以小时计的时间

虽然该数据的图形并不恰好位于过原点的一条直线上,但是可以用一条过原点的直线来近似.我们估算出该直线的斜率大约为0.5.利用直线斜率的估计

k?0.5,我们假设比例模型为

?pn?pn?1?pn?0.5pn

它给出预测pn?1?1.5pn.这个模型预测种群量总是增长的,这是可疑的.

模型的改进:对出生、死亡和资源的建模

如果在一个周期里出生和死亡都和种群量成正比，那么例1所说明的那样种群量的变化应该和种群量成正比。但是，某些资源（例如食物）只能支持某个最大限度的种群量而不能支持无限增长的种群量。当接近这个最大限度时，增长就会慢下来。

例2 再论酵母培养物的增长

表1-4 酵母培养物随时间变化的数据

时间n 酵母生物量pn ?pn?pn?1?pn 0 9.6 8.7 8 1 18.3 10.7 9 2 29.0 18.2 10 513.3 46.4 18 661.8 3 47.2 23.9 11 4 71.1 48.0 12 5 119.1 55.5 13 629.4 11.4 6 174.6 82.7 14 640.8 10.3 7 257.3 93.4 15 651.1 4.8 时间n 酵母生物量pn ?pn?pn?1?pn 350.7 441.0 90.3 16 72.3 17 559.7 594.8 35.1 34.6 时间n 酵母生物量pn ?pn?pn?1?pn 655.9 659.6 3.7 2.2

图1-5酵母生物量趋近一个极限种群量水平

从上面的数据表可以看出当资源变得更为有限或受到更多限制时，每小时种群量的变化就变得比较小。从种群量对时间的图形看，种群量趋于一个极限值或容纳量，我们根据图形估计容纳量为665（实际上，图形并不能确切地告诉我们容纳量是665而不是664或666）。然而pn趋近665时，变化确实大大减慢了。因为

当pn趋近665时，665?pn变得更小了，我们尝试以下模型

?pn?pn?1?pn?k(665?pn)pn

这造成了当pn趋近665时，变化?pn变得越来越小。数学上，这个假设的模型说明变化?pn和乘积(665?pn)pn成比例。为测试模型，画出?pn?pn?1?pn对(665?pn)pn的图形，看看是否存在合理的比例性，然后来估算比例系数k。

10090807060delta pn504030201000246pn(665-pn)81012x 104

图1-6测试受限制的增长模型

考察图1-6,我们看到?pn?pn?1?pn对(665?pn)pn的图形确实合理地近似于过原点的一条直线.我们估计该直线的斜率约为k?0.00082,这样我们就给出如下的动力系统模型:

?pn?pn?1?pn?0.00082(665?pn)pnp0?9.6

上面的模型也可以写成

pn?1?pn?0.00082(665?pn)pnp0?9.6

该模型右边关于pn是二次的，这种动力系统是非线性的。而且一般不能求得解析解。即通常不能直接求出用n来表示pn的公式解。但是，给定初值

p0?9.6，我们可以依次代入该模型得出数值解（一张数据表）。

模型的检验

将模型预测的数值解与观察值在画在同一幅图形中比较，可以看出我们的模型很好地抓住了所观察到的数据的趋势。

700 600500酵母生物量400观察值预测值3002001000 0246810以小时计的时间12141618

图1-7模型的检验

例3 接触性传染病的传播

假定学院宿舍里有400个学生而且一个或更多个学生得了严重的流感。令in表示n个时间周期后（例如n天后）受感染的学生数。假设在已经感染的学生和尚未感染的学生之间存在某种相互作用使疾病得以传播,如果所有人对于该传染病都是易感的,那么400?in就表示易感而尚未感染的学生.如果已经感染的学生在继续传播疾病,那么我们可以认为变化的已感染者数量(新增的感染者)?in?in?1?in和已感染者与尚未感染者的乘积成比例:

?in?in?1?in?kin(400?in)

这里我们虽然没有数据,但从酵母生物量的例子中可以想到,感染者的数量曲线也是S形的.

这个模型可以有许多改进.例如,我们可以假设一部分人不易被感染、或者感染周期是有限制的、或者为防止和未感染者的相互作用，已感染的学生都搬出了宿舍。更复杂的模型甚至能分别处理已感染人口和易感染人口。

例4 血流中地高辛的衰减 地高辛用于治疗心脏病，医生开的处方上的剂量应能保持血流中地高辛的浓度高于一个有效水平值而又不能超过一个安全水平值（对不同的病人，这些值会有所不同）。对于血流中初始剂量为0.5毫克的情形,表1-5展示了该病人n天后其血流中地高辛的剩余量an,以及每天的变化量?an.

表1-5 病人血流中地高辛的变化an

n an ?an 0 0.5 1 0.345 2 0.238 3 0.164 4 0.113 5 0.078 6 0.054 7 0.037 8 0.026 -0.155 -0.107 -0.074 -0.051 -0.035 -0.024 -0.017 -0.011 图1-8是根据上表数据画出的?an对an的散点图.图形展示了在一个时间段里的变化?an和该时间段开始时血流中地高辛的含量an大致成比例.过原点的比例直线的斜率k??0.107/0.345??0.310,所以我们有?an??0.310an.从而得到下面的动力系统模型:

?an?an?1?an??0.31anan?1?0.69ana0?0.5

图1-8 ?an对an的图形表明其为过原点的直线

习题2

1. 从引进到塔斯马尼亚岛的新环境里的羊群数量的增长得到下面的数据。

年 1814 1824 1834 1844 1854 1864 275 830 1200 1750 1650 数量 125

根据数据画出图形.能看出某种趋势么?画出1814年后数量变化对年份 的图形.构建一个能合理描述你所观察到的变化的离散动力系统.

2. 下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口 3 929 000 5 308 000 7 240 000 9 638 000 12 866 000 17 069 000 23 192 000 31 443 000 38 558 000 50 156 000 62 948 000 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 75 995 000 91 972 000 105 711 000 122 755 000 131 669 000 150 697 000 179 323 000 203 212 000 226 505 000 248 710 000 281 416 000 求能够相当好地拟合该数据的动力系统模型。通过画出模型的预测值和 数据值来测试你的模型。

3. 社会学家识别出一种称为社会扩散的现象，即在人群中传播一段信息、 一项技术革新或者一种文化时尚。人群可以分为两类：知道该信息的人 和不知道该信息的人。在人群数目已知的情形下，可以合理地假设扩散 率与知道该信息的人数和不知道该信息的人数的乘积成比例。然后记an 为总数为N的人群在n天后已经知道该信息的人数，构建一个能近似表 示人群中已经知道该信息的人数变化的动力系统。

4. 虑在人口总数为N的孤岛上一种传染性很强的疾病的传播问题。一部 分岛上的人到岛外旅行并患上这种疾病回到岛内。构建一个能近似表示 患病人数变化的动力系统。

5. 假设我们考虑鲸鱼的生存问题，如果鲸鱼数目降至低于最小生存水平m 的话，那么该物种将会灭绝。还假设由于环境的容纳量M，鲸鱼的数量 是受到限制的。即，如果鲸鱼的数量高于M，因为环境无法支持，数量 将会下降。在下面的模型中，an表示n年后的鲸鱼数量；试讨论模型

?an?an?1?an?k(M?an)(an?m)

6. 假设存在某种药物,当其浓度大于100毫克/升时,可以治疗疾病,药物的

初始浓度为640毫克/升.从实验知道该药物以每小时现有量的20%的比 率衰减.

(a)构造一个表示每小时浓度的模型.

(b)建立一张浓度值表并确定何时浓度达到100毫克.

7. 利用习题6研制的模型开一个初始剂量处方,以及一个能把浓度保持在 高出有效水平500ppm(即百万分之500或万分之五)但低于安全水平 1000ppm的维持剂量处方.用不同的值来做实验,直到结果满意为止. 8. 附表的数据展示了一辆汽车的速率n(以5英里/小时的增量计)以及从刹

车到停止的(滑行)距离an,例如,n?6(表示6×5=30英里/小时)时所需

的停止距离为a6?47ft.

(a)计算并画出变化?an对n的图形,该图形能合理地近似表示一种线性 关系么?

(b)根据你在(a)中的计算,对停止距离数据求一个差分方程模型,通过画 出与n相对应的预测值的误差来测试你的模型,讨论模型的正确性.

n an n an 1 2 3 4 5 6 7 8 3 6 11 21 32 47 65 87 9 10 11 12 13 14 15 16 112 140 171 204 241 282 325 376

1.3 动力系统的解法

例1 再论储蓄存单

在储蓄存单例子中,储蓄存单一开始存有1000美元,每月按结存的1%付给利息.如果既不存款也不取款,那么就确定了以下动力系统.

an?1?1.01ana0?1000

容易看出该动力系统的解为an?(1.01)n1000,n?0,1,2,?

Th1 对r为非零常数的线性动力系统an?1?ran,它的解为

ak?ra0,k?0,1,2,?

k例2 污水处理

一家污水处理厂通过去掉污水中所有的污染物来处理未经处理的污水,以生产有用的肥料和清洁的水.该处理过程每小时去掉处理池中剩余的污物的12%.1天后处理池中将留下百分之几的污物?要多长时间才能把污物的量减少一半?要把污物减少为原来的10%,要多长时间？

an?1?ra0n，r为常数时的长期行为

(1)r?0的情形;(2)r?1的情形

(3)r?1的情形:此时序列?ak?rka0?是无界的（例如储蓄存单例子）

(4)r?0的情形：此时序列?ak?rka0?是振荡的（即相邻两项相差一个符号） 例如：ak?(?1.01)k1000的图形

(5) r?1的情形：

①如果0?r?1，那么limak?limrka0?0，地高辛的例子提供了一个例证。

k??k??

k ②如果?1?r?0，那么limak?limra0?0，但此时序列?ak?rka0?将变

k??k??号地趋于0。例如线性动力系统an?1?(?0.5)nan,a0?0.6

(6) r??1的情形

an?1?ran?b的动力系统，其中r和b均为常数

定义：当a0?a时，如果对所有的k?1,2,3,?有ak?a，则将数a称为动力系统an?1?f(an)的平衡点或不动点。即ak?a是该动力系统的常数解。

推论：a是an?1?f(an)的平衡点的充要条件是当a0?a时，a?f(a)。 例3 地高辛处方

再次考虑地高辛问题。如何考虑地高辛在血流中的衰减问题，以开出能使地高辛浓度保持在可接受（安全而且有效）的水平上的剂量处方呢？

假定开了每日0.1毫克的地高辛剂量处方，而且知道在每个剂量周期末还剩余一半地高辛。这就导致了下面的动力系统

an?1?0.5an?0.1

现在考虑三个初始剂量

A：a0?0.1；B：a0?0.2；C：a0?0.3；

表1-6以及图1-9给出了三种初始剂量下的数值解

表1-6 三种地高辛初始剂量的数值解

n 0 1 2 3 A an B an C an 0.1 0.15 0.175 0.1875 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.25 0.225 0.2125 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.19375 0.196875 0.1984375 0.19921875 0.199609375 0.1998046875 0.19990234375 0.199951171875 0.1999755859375 0.19998779296875 0.199993896484375 0.199996948242188 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.20625 0.203125 0.2015625 0.20078125 0.200390625 0.2001953125 0.20009765625 0.200048828125 0.2000244140625 0.20001220703125 0.200006103515625 0.200003051757813

图1-9三种地高辛初始剂量的数值解

注意到0.2是一个平衡点，因为一旦达到了这个值，系统永远停在0.2处。此外，如果从低于平衡点或高于平衡点的初值开始，那么显然会趋于平衡点作为其极限。

例4 投资年金

讨论活期存款账户问题并考虑年金（养老金）问题。年金常常是为退休目的而规划的。年金基本上是活期存款账户，对现有的存款付给利息而且允许每月有固定数额的提款，直到提尽为止。一个有趣的问题是确定每月必须存入的存款数以建立一笔允许提款的年金，使得在账户中的存款用尽之前，能在计划的年数期间从某个年龄开始每月提取规定的款项。

现在考虑月利率为1%以及月提款额为1000美元的情形。可以建立如下动力系统模型：

混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。 蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。其大意为：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。蝴蝶效应是混沌学理论中的一个概念。它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象。输入端微小的差别会迅速放大到输出端。

习题3

1.建立下列初值问题的数值解.画出数据的图形以观察解的模式.存在平衡点吗?平衡点是稳定的还是不稳定的? (a) an?1??1.2an?50(b) an?1?0.8an?100(c) an?1?0.8an?100(d) an?1??0.8an?100(e) an?1?an?100(f) an?1??3an?4a0?1000a0?500;

; ; ;

a0??500a0?1000a0?1000a0?5.

;

2.你目前有一个月付利息0.5%的活期储蓄账户，其中存款5000美元。你每月加进200美元。建立一个模型并求数值解以确定何时账户中的存款能达到20 000美元。

3.你在一张信用卡上欠款500美元，每月要收取1.5%的利息。你可以每月付给50美元而不再对你有新的利息收费。什么是平衡点？有什么意义？求数值解，以确定什么时候能够还清欠款？最后付费为多少？ 4.求解习题1中的3、4两题的平衡点。

研究课题

1.你计划拿出一部分薪水作为子女的教育经费。你希望在账户里有足够的存款，使得从现在起20年后开始的8年里，每月能提出1000美元。账户每月付给你0.5%的利息。

(a)为完成你的目标，从现在起20年里你总共需要积累多少钱？ (b)在以后的20年里你每月必须存入多少钱?

2.假设我们正在考虑鲸鱼的生存问题，又假设如果鲸鱼数目降至低于最小生存水平m的话，那么该物种将会灭绝。还假设由于环境的容纳量M，鲸鱼的数量 是受到限制的。即，如果鲸鱼的数量高于M，因为环境无法支持，数量将会下降。在下面的模型中，an表示n年后的鲸鱼数量。对M?5000,m?100,k?0.0001以及a0?4000求数值解

?an?an?1?an?k(M?an)(an?m)

再对不同的M，m，k做实验。试着对若干个a0的起始值做实验。你的模型有什么预测？

1.4 差分方程组

例1 汽车租赁公司

一家汽车租赁公司在奥兰多和坦帕都有分公司,这家公司是专门为满足在这两个城市开展旅游活动的旅行社的需要而开设的.因此,游客可以在一个城市租车而在另一个城市还车.游客可能在两个城市都有旅行计划.该公司想确定对这种方便的借还车方式的收费应该是多少.因为汽车可以在两个城市归还,每个城市就要有足够的车辆以满足用车需要.如果置放的车辆不够了,那么要从奥兰多运送多少车辆到坦帕或者要从坦帕运送多少车辆到奥兰多呢?对这些问题的回答 将有助于该公司计算出它的期望成本.

在分析了历史数据后,可以确定约有60%在奥兰多出租的车辆还到了奥兰多,另外40%的车辆还到了坦帕.在坦帕分公司出租的车中,有70%仍旧还到了坦帕,另外30%的车辆还到了奥兰多.下图是对这种情况的总结.

动力系统模型

我们来研究该系统的一个模型.令n表示营业天数.定义

On:第n天营业结束时在奥兰多的车辆数

Tn:第n天营业结束时在坦帕的车辆数 因此历史记录显示该系统应该是

On?1?0.6On?0.3TnTn?1?On?1??0.6?????????0.4On?0.7Tn?Tn?1??0.40.3??On??? ???0.7??Tn??平衡点

该系统的平衡点就是使系统不再发生变化的On和Tn的值.如果它们存在的话,分别称之为平衡点O和T.同时有O?On?1?On和T?Tn?1?Tn.代入到我们的模型中,可以得出O和T应该满足的方程组:

O?0.6O?0.3TT?0.4O?0.7T

容易看出O?0.75T满足这个方程组.

例如,假设公司有7000辆车而且开始时在奥兰多有3000辆车而在坦帕有4000辆车,那么我们的模型预测

O1?0.6(3000)?0.3(4000)?3000T1?0.4(3000)?0.7(4000)?4000

因此该系统如果在(O,T)?(3000,4000)处开始,将保持不变.

下面我们研究如果从不同于平衡点的值开始,系统将会怎样.我们取下面四种不同初始值的情形

下图给出了四种情形下,系统的数值解.

情形1 (O0,T0)?(7000,0)

n 奥兰多 坦帕 0 7000 0 1 4200 2800 2 3360 3640 3 3108 3892 4 5 6 7 3032.4 3009.72 3002.916 3000.875 3967.6 3990.28 3997.084 3999.125

情形2(O0,T0)?(5000,2000)

n 奥兰多 坦帕 0 5000 2000 1 3600 3400 2 3180 3820 3 3054 3946 4 5 6 7 3016.2 3004.86 3001.458 3000.437 3983.8 3995.14 3998.542 3999.563

情形3(O0,T0)?(2000,5000)

n 奥兰多 坦帕 0 2000 5000 1 2700 4300 2 2910 4090 3 2973 4027 4 5 6 7 2991.9 2997.57 2999.271 2999.781 4008.1 4002.43 4000.729 4000.219

情形4(O0,T0)?(0,7000)

n 奥兰多 坦帕 0 0 7000 1 2100 4900 2 2730 4270 3 2919 4081 4 5 6 7 2975.7 2992.71 2997.813 2999.344 4024.3 4007.29 4002.187 4000.656

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