【导与练】2010-2012年高考数学 试题汇编 第五节 二次函数、函数

第五节 二次函数、函数与方程、函数模型及其应用

二次函数

二次函数是高考的重点内容,主要考查二次函数的图象与性质应用,特别是二次函数、考一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系及应用,同时对数形结合、函数与方程向 等数学思想方法的考查也蕴含其中. 聚对二次函数的考查主要以选择题、填空题的形式出现,多为中档题,所占分值为5分左焦 右

1.(2011年天津卷,理8)对实数a和b,定义运算“?”:a?b=

2

设函数f(x)=(x-2)?

2

(x-x),x∈R,若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( ) (A)(-∞,-2]∪(-1,)

(B)(-∞,-2]∪(-1,-)

(C)(-1,)∪(,+∞)

(D)(-1,-)∪[,+∞)

解析:f(x)=y=f(x)的图象如图.

,

由图可知当c≤-2或-1

1

该题主要考查了对数学语言的理解能力、分段函数及数形结合的思想,立意明确、

设计新颖.

2

2.(2010年安徽卷,理6)设abc>0,二次函数f(x)=ax+bx+c的图象可能是( )

解析:由abc>0知,当c>0时ab>0, ∴f(0)=c>0,对称轴x=-<0无对应选项; 当c<0时,ab<0,

∴f(0)=c<0,对称轴x=->0,由图象知选D.

答案:D.

3.(2012年陕西卷,理13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽 米.

解析:如图,建立平面直角坐标系, 设C(0,2),A(-2,0),B(2,0)

2

则抛物线y=ax+bx+c(a≠0)满足:

得a=-,b=0,c=2

∴y=-x+2.

设水位下降1米,至线段EF处时,F(x,-1),

2

2

代入上式:-1=-x+2,

2

∴x=答案:2

,有|EF|=2

.

函数的零点与方程的根

函数的零点与方程的根是高考的一个热点内容,近几年高考在这个考点上常考常新,主考要从以下几个方面进行考查:一是求函数零点的个数(可能是具体函数也可能是抽象函向 数);二是判断函数零点(方程的根)所在的区间;三是已知函数零点(方程的根)的个数聚或范围,求解析式中参数的取值范围.一般以选择题或填空题的形式出现,所占分值为5焦 分左右 备考 要强化这个考点以上三个方面的训练,同时要注意数形结合思想、函数与方程思想以及指分类讨论思想方法的训练与应用 津 2

4.(2012年湖北卷,理9,5分)函数f(x)=xcos x在区间[0,4]上的零点个数为( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

2

解析:令f(x)=0,得x=0或cos x=0,

2

因为x∈[0,4],所以x∈[0,16]. 由于cos(+kπ)=0(k∈Z),

故当x=,,,,时,cos x=0. 所以零点个数为6. 答案:C.

求解函数的零点个数通常有两种方法:一、直接法,即求解出所有的零点,再来数其

个数;二、数形结合法,即转化为函数的图象与x轴的交点个数,此法适用于零点的具体值不好求解时,本题用的就是第一种方法.

x3

5.(2012年天津卷,理4,5分)函数f(x)=2+x-2在区间(0,1)内的零点个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

22

解析:由f(x)=2+x-2=0得: x3

2=-x+2,

3

令h(x)=-x+2,

2

则h'(x)=-3x<0,

∴h(x)在(0,1)上单调递减,

x3

∴h(x)∈(1,2),在同一坐标系内画出y=2与h(x)=-x+2的图象知,

x

3

3

其图象在(0,1)上只有一个交点,

x3

故f(x)=2+x-2在(0,1)上只有1个零点.故选B. 答案:B.

6.(2012年辽宁卷,理11,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在[-,]上的零点个数为( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解析:由f(-x)=f(x)知y=f(x)为偶函数,

由f(x)=f(2-x)知y=f(x)关于直线x=1对称, 由f(-x)=f(2-x)知y=f(x)的周期T=2.

3

g(x)=|xcos(πx)|=

h(x)=g(x)-f(x)的零点个数等价于y=f(x)与y=g(x)的图象交点个数.作出图象易知选B. 答案:B.

7.(2011年陕西卷,理6)函数f(x)=

-cos x在[0,+∞)内( )

(A)没有零点 (B)有且仅有一个零点

(C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点 解析:在同一坐标系中作出函数y=

(x≥0)及y=cos x(x≥0)的图象,数形结合知两个函数

-cos x在[0,+∞)内有且只有一个零点.故选B.

的图象只有一个交点,所以函数f(x)=

答案:B.

x

8.(2010年天津卷,理2)函数f(x)=2+3x的零点所在的一个区间是( ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)

解析:f(-1)·f(0)<0,故选B. 答案:B.

9.(2010年福建卷,理4)函数f(x)=(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

2

解析:①x≤0时,f(x)=0?x+2x-3=0, ∴x=-3(x=1舍去).

的零点个数为( )

4

②x>0时,f(x)=0?-2+ln x=0,

2

∴x=e.因此函数共有两个零点.故选C. 答案:C.

10.(2011年山东卷,理16)已知函数f(x)=1ogax+x-b(a>0,且a≠1).当2

f(x)的零点xN*

0∈(n,n+1),n∈,则n= . 解析:对函数f(x), ∵2

∴f(2)=loga2+2-b<1+2-b=3-b<0, f(3)=loga3+3-b>1+3-b=4-b>0. 即f(2)f(3)<0,

易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,

∴f(x)存在唯一的零点x0,且x0∈(2,3), ∴n=2. 答案:2

11.(2012年陕西卷,理21,14分)设函数fn

n(x)=x+bx+c(n∈N+,b,c∈R). (1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(,1)内存在唯一零点;

(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围;

(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在(,1)内的零点,判断数列x2,x3,?,xn,?的增减性.

(1)证明:∵f'n-1

n(x)=nx+1>0在(,1)上恒成立,

∴fn(x)在(,1)上单调递增,

又当n≥2且n∈N+时,fn()=()n

-<0,fn(1)=2-1>0,

∴fn()f(1)<0,

∴fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点. 解:(2)当n=2时,f2

2(x)=x+bx+c

?x1、x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4成立, 等价于:f2(x)max-f2(x)min≤4

下面只需求f2(x)在[-1,1]上的最值即可. f2(x)的对称轴方程为:x=-

①当-≤-1,即b≥2时,f2(x)在[-1,1]上递增,

5

(1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

解:(1)令y=0,得kx-(1+k)x=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,

2

2

故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.

所以炮的最大射程为10千米.

(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标?存在k>0,使3.2=ka-(1+k)a成立?关于k的方程ak-20ak+a+64=0有正根?判别式Δ=(-20a)-4a(a+64)≥0?a≤6. 所以当a不超过6千米时,可击中目标.

本题把函数、不等式放在应用题中,设计新颖,考法独特.

17.(2012年湖南卷,理20,13分)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;

(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.

解:(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有 T1(x)=

=

,T2(x)=

,

22

2

2

2

2

2

2

T3(x)=,

其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.

(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为{x|0

,x∈N},

*

易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,注意到T2(x)=T1(x),于是 ①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时

11

f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{,}.

由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取得最小值,解得x=.由于44<<45,

而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)

且最短时间为f(44)=.

②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数, 故k≥3,此时

≥

=

.

记T(x)=

, ? (x)=max{T1(x),T(x)},

易知T(x)是增函数,则

f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)} =? (x)=max{

,

}.

由函数T1(x),T(x)的单调性知, 当

=

时? (x)取最小值,

解得x=.由于36<

<37,而? (36)=T1(36)=

>

, 此时完成订单任务的最短时间大于.

③当k<2时,T1(x)

,

}.

(37)=T(37)=

>.

12

?

由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取最小值,解得x=,类似(1)的讨论,此

时完成订单任务的最短时间为,大于.

综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.

18.(2011年湖北卷,理17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下.大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.

(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;

(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时) 解:(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;

当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b(a≠0,a、b为常数), 再由已知得

解得

故函数v(x)的表达式为 v(x)=

(2)依题意并由(1)可得 f(x)=

当0≤x<20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200; 当20≤x≤200时, f(x)=x(200-x)≤[

]=

2

,

当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.

所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值

.

综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333,

即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.

13

19.(2011年湖南卷,理20)如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;(2)其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离

d=100,面积S=时,

(1)写出y的表达式;

(2)设0

y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).

(2)由(1)知,

当0

-15;

当c

故y=

当0

当

时,ymin=.

14

(2011年浙江卷,理10)设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R},若|S|,|T|分别为集合S,T的元素个数,则下列结论不可能的是( ) (A)|S|=1且|T|=0 (B)|S|=1且|T|=1 (C)|S|=2且|T|=2 (D)|S|=2且|T|=3

难题特色:本题看似集合问题,实则研究方程根的个数问题,由于两个方程都是三次方程,且方程中都含有a,b,c三个参数,导致考生无法对给出的结论进行真假判断.

难点突破:(1)合理采用选择题的解法,对各个结论逐一进行分析判断;(2)通过对参数a,b,c取特殊值,帮助分析根的情况,对结论作出判断.

22

解析:当|S|=1时,由f(x)=(x+a)(x+bx+c)=0得b-4c<0,且根为x=-a.

2

当a=0时,g(x)=(ax+1)(cx+bx+1)=0无根,|T|=0,∴A可能成立.

当a≠0时,g(x)=(ax+1)(cx+bx+1)=0有一根为x=-,|T|=1,∴B可能成立.

当|S|=2时,不妨取a=1,b=c=4,f(x)=(x+a)(x+bx+c)=(x+1)(x+4x+4)=0,有两根为-1或-2. 而g(x)=(ax+1)(cx+bx+1)=(x+1)(4x+4x+1)=0,有两根为-1或-,|T|=2,∴C可能成立.

2

2

2

2

2

2

2

若|T|=3,则有

2

2

由b-4c>0知方程x+bx+c=0有两个不等的实根.

由-+1≠0知,a-ab+c≠0,即-a不是方程x+bx+c=0的根,∴|S|=3,D不正确.故选D.

2

2

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aw87.html