《离散数学》试题及答案

《离散数学》试题及答案

一、填空题

1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝ {3} ; {3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .

2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |?(A×A)| = 2 .

3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是?1= {(a,1), (b,1)}, ?2= {(a,2), (b,2)},?3= {(a,1), (b,2)}, ?4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是 ?3, ?4 .

4. 已知命题公式G＝?(P?Q)∧R，则G的主析取范式是 (P∧?Q∧R) 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为 12 ，分枝点数为 3 .

6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝ {4} ; A?B＝{1,2,3,4}; A－B＝ {1,2} .

7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 自反性 , 对称性 传递性 .

8. 设命题公式G＝?(P?(Q?R))，则使公式G为真的解释有 (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0) 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则

R1?R2 = {(1,3),(2,2),(3,1)} , R2?R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _ R12 = {(2,2),(3,3). m?n?(A) - ?(B)＝

n2

10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |?(A?B)| = 2 .

11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x?R}, B = {x | 0≤x < 2, x?R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x?R} , A∩B = {x | 0≤x≤1, x?R} , .

13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为 {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .

14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)??xQ(x)，则G的前束范式是 ?x(?P(x)∨Q(x)) . 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加 21 条边才能把G变成完全图。(完全图的边数

n(n?1)，树的边数为n-1) 216. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除 ，写成与之对应的命题公式是_ (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) _.

17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则

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R?S＝ {(1, 3),(2, 2)} , R2＝ {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.

二、选择题

1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是( C )。 (A){2}?A (B){a}?A (C)??{{a}}?B?E (D){{a},1,3,4}?B.

2 设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R不具备( D ). (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性

3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( B )。

6 (A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对

5 4 下列语句中，( B )是命题。

4 3 (A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人

(C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？ 5 设I是如下一个解释：D＝{a,b},

2 1 P(a,a) P(a,b) P(b,a) P(b,b)

1 0 1 0则在解释I下取真值为1的公式是( D ).

(A)?x?yP(x,y) (B)?x?yP(x,y) (C)?xP(x,x) (D)?x?yP(x,y).

6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( C ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).

7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝?xP(x), H＝?xP(x),则一阶逻辑公式G?H是( C ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.

8 设命题公式G＝?(P?Q)，H＝P?(Q??P)，则G与H的关系是( A )。 (A)G?H (B)H?G (C)G＝H (D)以上都不是. 9 设A, B为集合，当( D )时A－B＝B. (A)A＝B (B)A?B (C)B?A (D)A＝B＝?.

10 设集合A = {1,2,3,4}, A上的关系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R具有( B )。 (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对 11 下列关于集合的表示中正确的为( B )。

(A){a}?{a,b,c} (B){a}?{a,b,c} (C)??{a,b,c} (D){a,b}?{a,b,c} 12 命题?xG(x)取真值1的充分必要条件是( A ).

(A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.

13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( A ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.

14. 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( A )条边可以得到树. (A)6 (B)5 (C)10 (D)4.

?01111??10100??，则G的顶点数与边数分别为( D ). 15. 设图G的相邻矩阵为??11011???10101????10110??

(A)4, 5

(B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.

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三、计算证明题

1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。

(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；

(2) 写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界； (3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。 解：（1）

842112639

（2） B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3 （3） A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 9; 极小元是1

2. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, y?A 且 x ? y}, 求 (1) 画出R的关系图； (2) 写出R的关系矩阵.

1 4 解：（1）

2 ?1?13 （2）MR???1??1011100110?0?? 0??1?

3. 设R是实数集合，?,?,?是R上的三个映射，?(x) = x+3, ?(x) = 2x, ?(x) ＝ x/4,试求复合

映射???，???, ???, ???，?????. 解： (1)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝2x+3＝2x+3.

(2)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝(x+3)+3＝x+6, (3)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3, (4)???＝?(?(x))＝?(x)/4＝2x/4 = x/2,

(5)?????＝??(???)＝???+3＝2x/4+3＝x/2+3.

▲4. 设I是如下一个解释：D = {2, 3},

a 3

b 2

f (2) 3

f (3) 2

P(2, 2) 0

P(2, 3) 0

P(3, 2) 1

P(3, 3) 1

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试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));

(2) ?x?y P (y, x).

解：

(1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))

= P(3, 2)∧P(2, 3) = 1∧0 = 0.

(2) ?x?y P (y, x) = ?x (P (2, x)∨P (3, x))

5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。

(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；

(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；

(3) 写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.

解：(1) (2)无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1. (3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.

= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3)) = (0∨1)∧(0∨1) = 1∧1 = 1.

6. 设命题公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。 解：

G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R))

= ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧?Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)

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= (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R) = (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ?(3, 4, 5, 6, 7).

7. (9分)设一阶逻辑公式：G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)，把G化成前束范式. 解：

G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)

9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},

(1) 求出r(R), s(R), t(R)； (2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图. 解：（1）

r(R)＝R∪IA＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},

s(R)＝R∪R1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},

－

= ?(?xP(x)∨?yQ(y))∨?xR(x) = (??xP(x)∧??yQ(y))∨?xR(x) = (?x?P(x)∧?y?Q(y))∨?zR(z) = ?x?y?z((?P(x)∧?Q(y))∨R(z))

t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}； (2)关系图:

11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价： (1) G = (P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R)) 解： G＝(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

abr(R)dcabs(R)dabt(R)dc c第 5 页 共 13 页

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