解析几何高考数学总复习(五年高考)(三年联考)精品题库：第九章 解析几何

解析几何高考数学总复习

第九章 解析几何 第一节 直线和圆

第一部分 五年高考荟萃

2009年高考题

一、选择题

1.（辽宁理，4）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为

A.(x 1)2 (y 1)2 2 B. (x 1)2 (y 1)2 2 C.(x 1)2 (y 1)2 2 D. (x 1)2 (y 1)2 2

【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离2即可. 【答案】B

2.（重庆理，1）直线y x 1与圆x2 y2 1的位置关系为（ ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心

D．相离

【解析】圆心(0,0)为到直线y x 1，即x y 1 0的距

离d

，

而 20

1，选B。 【答案】B

3.（重庆文，1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A．x (y 2) 1 B．x (y 2) 1 C．(x 1) (y 3) 1

2

2

2

2

2

2

D．x (y 3) 1

22

解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,b

) 1，解得b 2，

故圆的方程为x (y 2) 1。

解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x (y 2) 1

解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C。 【答案】A

2

2

22

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4.（上海文，17）点P（4，－2）与圆x2 y2 4上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A.(x 2)2 (y 1)2 1 B.(x 2)2 (y 1)2 4 C.(x 4)2 (y 2)2 4 D.(x 2)2 (y 1)2 1

s 2x 4【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），

解得：，

t 2y 2代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：(x 2)2 (y 1)2 1 【答案】A

5. （上海文，15）已知直线l1:(k 3)x (4 k)y 1 0,与l2:2(k 3)x 2y 3 0,平行，则k得值是（ ）

A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2

【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3

－3，解得：k＝5，故选C。 【答案】C

6. (上海文，18)过圆C：(x 1) (y 1) 1的圆心，作直线分 别交x、y正半轴于点A、B， AOB被圆分成四部分（如图）， 若这四部分图形面积满足S S¥ S S|||,则直线AB有（ ） （A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 【解析】由已知，得：SIV SII SIII SI,，第II，IV部分的面 积是定值，所以，SIV SII为定值，即SIII SI,为定值，当直线 AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB只有一条，故选B。 【答案】B

7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为60 的直线被圆x y 4y 0所截得的弦长为

k22

22

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2

解析：x2 y2 4y 0 x2 （y 2） 4，

A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1, 弦长【答案】D 二、填空题

8. （广东文，13）以点（2， 1）为圆心且与直线x y 6相切的圆的方程是【解析】将直线x y 6化为x y 6 0,

圆的半径r

2

2

所以圆的方程为(x 2) (y 1) 【答案】(x 2) (y 1)

2

2

25

2

25 2

9.（天津理，13）设直线l1的参数方程为 则l1与l2的距离为_______

x 1 t

（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4

y 1 3t

【解析】由题直线l1的普通方程为3x y 2 0，故它与与l2的距离为

|4 2|

3。 5

【答案】

3 5

10. （天津文，14）若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0(a 0)的公共弦长为2，则a=________.

【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y

1

， a

1|22a利用圆心（0，0）到直线的距离d 为2 3 1，解得a=1. |

【答案】1

11.（全国Ⅰ文16）若直线m被两平行线l1:x y 1 0与l2:x y 3 0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是

①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

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【解析】解：两平行线间的距离为d

|3 1| 1

2，由图知直线m与l1的夹角为30o，l1

o

o

的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角等于30 45 75或45 30 15。 【答案】①⑤

12.（全国Ⅱ理16）已知AC、BD为圆O:x2 y2

4的两条相互垂直的弦，垂足为

o

M,则四边形ABCD的面积的最大值为。

【解析】设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22 OM2 3. 四边形ABCD

的面积S 【答案】5

13.（全国Ⅱ文15）已知圆O：x2 y2 5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

1

|AB| |CD| 8 (d12 d22) 5 2

1

(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上2

51525

的截距分别是5和，所以所求面积为 5 。

2224

25

【答案】

4

【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=

14.（湖北文14）过原点O作圆x2+y－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，

2-

则线段PQ的长为 。

【解析】可得圆方程是(x 3) (y 4) 5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ 4. 【答案】4

15.（江西理16）．设直线系M:xcos (y 2)sin 1(0 2 ),对于下列四个命题： A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n(n 3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

2

2

s y( 【解析】因为xco 2) si n所以点P(0,2到)M中每条直线的距离

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d

1

即M为圆C:x2 (y 2)2 1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以A错误；

又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意n 3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】B,C

三、解答题

16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x 3)2 (y 1)2 4和圆C2:(x 4)2 (y 5)2 4.（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C

1截得的弦长为线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆

C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足

条件的点P的坐标。解 (1)设直线l的方程为：y k(x 4)，即kx y 4k 0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l

的距离d 1，

1,

化简得：24k 7k 0,k 0,or,k 求直线l的方程为：y 0或y

2

7 24

7

(x 4)，即y 0或7x 24y 28 0 24

(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：

111

y n k(x m),y n (x m)，即：kx y n km 0, x y n m 0

kkk

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得：：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。

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41| 5 n m|

化简得：(2 m n)k m n 3,或(m n 8)k m n 5 关于k的方程有无穷多解，有：

2 m n 0 m-n+8=0

,或

m n 3 0m+n-5=0

解之得：点P坐标为( 3,13)或(5, 1)。

2222

2005—2008年高考题

一、选择题

1.（2008年全国Ⅱ理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x y 2 0与x-7y-4=0, 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 A．3 B．2 答案 A

解析 l1:x y 2 0,k1 1，l2:x 7y 4 0,k2 由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有再将A、B、C、D代入验证得正确答案 是A。

2.（2008年全国Ⅱ文3）原点到直线x 2y 5 0的距离为

A．1 答案 D 解析 d

B．

C．2

（ ）

C．

（ ）.

1

3

D．

1 2

1

，设底边为l3:y kx 7

k1 kk k2k 17k 1

1 k1k1 k2kk 17 3

D．

5 2

2

。

3.（2008四川４）将直线y 3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移１个单位长度，所得到的直线为 A.y

( )

11

x 33

B.y D.y

1

x 1 3

C.y 3x 3 答案 A

1

x 1 3

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4.（2008上海15）如图，在平面直角坐标系中， 是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P (x ，y )满足x≤x 且y≥y ，则称P优于P ．如果 中的点Q满足：不存在 中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 （ ） Ａ． B．答案 D

C．

D．

5.（2007重庆文）若直线 与圆x2 y2 1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为 A.-3或 答案 A

6.（2007天津文）“a 2”是“直线ax 2y 0平行于直线x y 1”的 （ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 C

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

（ ） D.2

B.3 C.-2或2

7．（2006年江苏）圆(x 1)2 (y )2 1的切线方程中有一个是

A.x－y＝0

答案 C

B.x＋y＝0

C.x＝0

（ ） D.y＝0

8. （2005湖南文）设直线的方程是Ax By 0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两

个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是

D．16 答案 C

9. (2005全国Ⅰ文)设直线l过点( 2,0)，且与圆x y 1相切，则l的斜率是 工

B.

C.

（ ）

2

2

（ ）

C．18

A．20 B．19

A. 1 答案 C

1

2

3 3

D.

10.（2005辽宁）若直线2x y c 0按向量 (1, 1)平移后与圆x y 5相切，则

c的值为 （ ） A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8 答案 A

22

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11.（2005北京文）“m=

1

”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂2

( )

直”的 A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题

12. （2008天津文15，）已知圆C的圆心与点P( 2,1)关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0

与圆C相交于A,B两点，且AB 6，则圆C的方程为_______. 答案 x2 (y 1)2 18

13.（2008四川文14）已知直线l:x y 4 0与圆C: x 1 y 1 2，则C上各

点到l的距离的最小值为_______. 答案 2

14.（2008广东理11）经过圆x2 2x y2 0的圆心C，且与直线x y 0垂直的直线

程是 ． 答案 x y 1 0

15.（2007上海文）如图，A，B是直线l上的两点，且AB 2与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧面积S的取值范围是 ．

答案

2

2

0,2

2

16.（2007湖南理）圆心为(11)，且与直线x y 4相切的圆的方程是

22

答案 (x-1)+(y-1)=2 17. ( 2006重庆理)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其

中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___. 答案 a＞1

x y 2 0

y

18.（2005江西）设实数x,y满足 x 2y 4 0,则 .

x 2y 3 0

答案

3 2

第二部分 三年联考汇编

2009年联考题

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一、选择题

1.(西南师大附中高2009级第三次月考)“a= 3”是“直线ax 2y 1 0与直线

6x 4y c 0平行”的（ ）条件

A．充要 B．充分而不必要 D．既不充分也不必要

C．必要而不充分 答案 C

2.(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)直线x+y+1=0与圆 x 1 y2 2的位置

2

关系是 （ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定

答案 C

x 3 2cos x 3cos

与 3.(西南师大附中高2009级第三次月考)两圆 的位置关系

y 4 2sin y 3sin

是

A．内切 答案 B

4. (西南师大附中高2009级第三次月考)已知点P（x，y）是直线kx+y+4 = 0（k > 0）

上一动点，PA、PB是圆C：x2 y2 2y 0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 A．3 答案 D

5. (福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知实系数方程

x2+ax+2b=0,

的一个根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则1

A．1）

4

答案 A

6.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)点(4,t)到直线

B

B．外切

C．相离

D．内含

（ ）

C

． （ ）

D．2

b 2

的取值范围是 （ ） a 1

1111

B．（，１） Ｃ．（－） Ｄ．（０，）

2243

4x 3y 1的距离不大于3，则t的取值范围是 （ ）

A．

131

t 33

B．0 t 10 D．t 0或t 10

C．0 t 10 答案 C

7. (四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知圆的方程为x y 6x 8y 0，设圆

22

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CD，中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB、则直线AB与CD的斜率之和为( )

A. 1

答案 B

B.0 C. 1 D. 2

8.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)直线l:y 1 k(x 1)和圆x2 y2 2y 0 的关系是 A.相离 答案 C

9. (福建省宁德市2009届高三上学期第四次月考)过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)+y=9分成 两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是

A．x 1

B．y 1

（ ）

2

2

B.相切或相交

C.相交

（ ） D.相切

C．x y 1 0 答案 D

D．x 2y 3 0

二、填空题

10.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一

点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为 ． 答案 2

11.(江苏省赣榆高级中学2009届高三上期段考)直线x 2y 3 0与直线ax 4y b 0

关于点A(1,0)对称，则b＝___________。 答案 2

12.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)过点C(６,-８)作圆x y 25的切线，切点为A、B，那么点C到直线AB的距离为___________________。 答案

2

2

5

2

13. (四川省成都市2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点P(2,3)射到直

线x y 1上,反射后过点Q(1,1),则反射光线方程为 . 答案 4x－5y＋1＝0

14.(安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)过M(,1)的直线l与圆C：(x-1)2+y2=4

交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线的方程为 .

1

2

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答案 2x 4y 3 0

2007—2008年联考题

一、选择题

1. (四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)已知点A（3,2），B（-2,7），若直线y=ax-3与线段AB的交点P分有向线段AB的比为4:1，则a的值为 （ ） A．3 B．-3 C．9 D．-9 答案 D

2.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)由直线y x 1上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1 引切线，则切线长的最小值为

A

B

. C

D

.答案 A

3.(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)圆 x 1 2 y2 1被直线x y 0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 （ ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 答案 B

4.(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)直线y x b平分圆x2+y2-8x+2y-2=0 的周长，则b A．3 答案 D

B．5

C．－3

（ ） D．－5

( )

5.(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)把直线 x y 2 0按向量a (2,0)平移后恰与x y 4y 2x 2 0相切，则实数 的值为

2

2

（ ）

A

B

．

C

D

．

答案 C

6.（2007岳阳市一中高三数学能力题训练） 若圆(x 3) (y 5） r上有且仅有两个点到直线4x－3y－2=0的距离为1，则半径r的取值范围是 （ ） A.（４，6） Ｂ.［４，６） Ｃ.（４，６］ Ｄ.［４，６］ 答案 A

7. (2007海淀模拟)已知直线ax+by-1=0(a,b不全为0)与圆x2+y2=50有公共点，且公共点横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）条

A.66 B.72 C.74 D.78 答案 C

2

2

2

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二、填空题

7.(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)光线从点P（－3，5）射到直线l:3x-4y+4=0 上，经过反射，其反射光线过点Q（3，5），则光线从P到Q所走过的路程为 . 答案 8

8.(河北省正定中学2008年高三第四次月考)圆

x 1 cos

( 为参数）的标准方程

y 1 sin

是 ，过这个圆外一点P 2,3 的该圆的切线方程是 。 答案 (x－1)2＋(y－1)2＝1；x＝2或3x－4y＋6＝0

9. (湖北省鄂州市2008年高考模拟)与圆x2 (y 2)2 1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条.

答案 4

10.(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)设直线ax y 3 0与圆(x-1)+(y-2)=4 相交于A、B两点，且弦长为2，则a= 。 答案 0

11. (江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)设直线l1的方程为x 2y 2 0， 将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90得到直线l2，则l2的方程是答案 2x－y＋2＝0

12.(2007石家庄一模)若x 5≠kx+2对一切x≥5都成立，则k的取值范围是________. 答案 k>1/10或k<2/5 13.（唐山二模）⊙M:x2+y2=4,点P(x0,y0)在圆外，则直线x0x+y0y=4与⊙M的位置关系是_____ 答案 相交 三、解答题

2

14.(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的

t圆与x轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点． （1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程．

2

2

4． 2t

22422

设圆C的方程是 (x t) (y ) t 2

tt4

令x 0，得y1 0,y2 ；令y 0，得x1 0,x2 2t

t

解 （1） 圆C过原点O， OC t

2

2

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S OAB

114

OA OB || |2t| 4，即： OAB的面积为定值． 22t

（2） OM ON,CM CN, OC垂直平分线段MN． kMN 2, koc

11

， 直线OC的方程是y x． 22

21

t，解得：t 2或t 2 t2

当t 2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC 5， 此时C到直线y 2x 4的距离d

9 ，

圆C与直线y 2x 4相交于两点．

当t 2时，圆心C的坐标为( 2, 1)，OC 5， 此时C到直线y 2x 4的距离d

9 5

圆C与直线y 2x 4不相交，

t 2不符合题意舍去．

圆C的方程为(x 2)2 (y 1)2 5．

15.（广东地区2008年01月期末试题） 已知点A,B的坐标分别是(0, 1)，(0,1)，直线

AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为

（1）求点M轨迹C的方程；

1． 2

（2）若过点D 2,0 的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求 ODE与 ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）． 解（1）设点M的坐标为(x,y)， ∵kAM kBM

1

2x 0），这就是动点M的轨迹方程． （2）方法一 由题意知直线l的斜率存在，

设l的方程为y k x 2 （k

1

） ① 2

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y2 1， 将①代入2

得(2k2 1)x2 8k2 x (8k2 2) 0，

2

由 0，解得0 k

1． 2

8k2x1 x2 2, 2k 1 ②

设E x1,y1 ，F x2,y2 ，则 2

xx 8k 2.12 2k2 1

令

|BE|S OBE

，则 ，即BE BF，即x1 2 x2 2 ，且0 1.

|BF|S OBF

4

(x 2) (x 2) ,2 12k2 1

由②得，

2 x 2) (x 2) xx 2(x x) 4 （.1212122

2k 1 4 1 x 2 , 2 2 2k 1即

2 x 2 2 .22

2k 1

2k2 14 12

． ,即k 22

(1 )8(1 )2

0 k2

114 114 112

且k 0 且 ．

42(1 )222(1 )224

解得3 3

1

3

1． 3

0 1， 3 22 1且

∴△OBE与△OBF

面积之比的取值范围是 3 方法二 由题意知直线l的斜率存在，

设l的方程为x sy 2(s 2) ①

1 1

,1 ． 3 3

解析几何高考数学总复习

y2 1， 将①代入2

整理，得(s2 2)y2 4sy 2 0，

2

由 0，解得s 2．

4s

y y ,122 s 2

设E x1,y1 ，F x2,y2 ，则 ②

yy 2.12 s2 2

S OBE

S OBF

1

OB y1

y 1，且0 1 .

1

OB y2y22

令

4s

1y , 22 s 2

将y1 y2代入②，得

2 y2 .22

s 2

1 ∴

2

2 1 8s2

．即s2 ． 2

2

s 26 1

2

2

2

2 1 2 1 22

∵s 2且s 4，∴且 2 4． 22

6 16 1

2

即 6 1 0且

1．

3

解得3 3

1． 3

1

0 1， 3 22 1且 ．

3

故△OBE与△OBF

面积之比的取值范围是 3

1 1

,1 ． 3 3

16. (江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知过点A（0，1），且方向向量为a (1,k)的直线l与

C:(x 2)2 (y 3)2 1，相交于M、N两点.

（1）求实数k的取值范围； （2）求证：AM AN 定值；

（3）若O为坐标原点，且OM ON 12,求k的值.

解析几何高考数学总复习

直线l过点(0,1)且方向向量a (1,k),

直线l的方程为y kx 1

1,得

. k

2 设焦点的C的一条切线为AT,T为切点,则

AT2=7

解 （1）

AM AN AMANcos0 AT2 7 AM AN为定值.

(3)设M(x1,y1),N(x2,y2)

将y kx 1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0

4(1+k2)7

x1+x2=,xx 12

1 k21 k2

OM ON x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 k(x1 x2) 1

4k(1+k)

4,解得k 1又当k 1时, 0, k 1.

1 k2

4k(1+k)

8 122

1 k

17.（2007北京四中模拟一）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动． （1）求△ABC外心的轨迹方程；

（2）设直线l∶y＝3x＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值．并求出此时b的值．

解 （1）设B点的坐标为（0，y0），则C点坐标为（0，y0＋2）（-3≤y0≤1）， 则BC边的垂直平分线为y＝y0＋1 ①y

|EF|

d

y033

(x ) ②由①②消去y0，得2y02

y2 6x 8．∵ 3 y0 1，∴ 2 y y0 1 2．故所求的△ABC外心的轨迹方程为：y2 6x 8( 2 y 2)．

2222

（2）将y 3x b代入y 6x 8得9x 6(b 1)x b 8 0．由y 6x 8及

2 y 2，得

44

x 2．所以方程①在区间[，2]有两个实根．设33

4

f(x) 9x2 6(b 1)x b2 8，则方程③在[，2]上有两个不等实根的充要条件是：

3

解析几何高考数学总复习

[6(b 1)]2 4 9(b2 8) 0，

f(4) 9 (4)2 6(b 1) 4 b2 8 0，得 4 b 333 22

f(2) 9 2 6(b 1) 2 b 8 0， 4 6(b 1)

2．

29 3

3

22

∵|x x| 2(b 1)]2 4 b 8 2 2b 7∴|EF| k|x1 x2|

12

393

2

2b 7 3

又原点到直线l的距离为d

|b|

， 111

∴|EF| 20 2b 7 20 7 2 20 7(1 1)2 1∵ 4 b 3，∴ ．

22

d

3

b

3

b

b

3

b

7

7

3b4

∴当

11EF5

，即b 4时，||max ． b4d3

第二节 圆锥曲线

第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题

2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线

一、选择题

x2y22

1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，

ab

则该双曲线的离心率等于( )

【解析】设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y由题意有

'

|x x0 2x0.

y0

2x0又y0 x02 1 x0

2

解得

: x0 1, 【答案】C

b 2,e .a

解析几何高考数学总复习

x2

y2 1的右焦点为F,右准线为l，点A l，线段2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:2

AF交C于点B，若FA 3FB,则|AF|=( )

【解析】过点B作BM l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA 3FB,故|BM|

22.又由椭圆的第二定义,

得|BF|

|AF| 故选A33【答案】A

x2y2

3.（2009浙江理）过双曲线2 2 1(a 0,b 0)的右顶点A作斜率为 1的直线，该直

abB C线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C．若A

1

2

，则双曲线的离心率是 ( )

A

B

C

D

【解析】对于A a,0 ，则直线方程为x y a 0，直线与两渐近线的交点为B，C，

a2ab a2ab

B ,,C(, )则有

a ba b a ba b

2a2b2a2bab ab22

，因BC (22, 22),AB ,2AB BC, 4a b, e

a ba b a ba b

【答案】C

x2y2

4.（2009浙江文）已知椭圆2 2 1(a b 0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭

ab

圆上，且BF x轴，直线AB交y轴于点P．若AP 2PB，则椭圆的离心率是（ ）

A

11 B

． C． D．

322

1

2

【解析】对于椭圆，因为AP 2PB，则OA 2OF, a 2c, e

【答案】D

2

5.（2009北京理）点P在直线l:y x 1上，若存在过P的直线交抛物线y x于A,B两

点，且|PA |AB|，则称点P为

“（ ）

点”，那么下列结论中正确的是

解析几何高考数学总复习

A．直线l上的所有点都是“ B．直线l上仅有有限个点是“ C．直线l上的所有点都不是“

点” 点” 点”

点”

D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“

【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.

本题采作数形结合法易于求解，如图， 设A m,n ,P x,x 1 ， 则B 2m x,2n x 2 ， ∵A,B在y x2上，

n m2∴ 2

2n x 1 (2m x)

消去n,整理得关于x的方程x2 (4m 1)x 2m2 1 0 （1） ∵ (4m 1) 4(2m 1) 8m 8m 5 0恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A. 【答案】A

2

2

2

x2y22

6.(2009山东卷理)设双曲线2 2 1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，

ab

则双曲线的离心率为( ).

A.

55

B. 5 C. D. 42

b

y xbx2y2

【解析】双曲线2 2 1的一条渐近线为y x,由方程组 a,消去y,得

aab2 y x 1

x2

bb

x 1 0有唯一解,所以△=()2 4 0, aa

bc所以

2,e 2 ,故选D.

aa【答案】

D

解析几何高考数学总复习

【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

7.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线y2 ax(a 0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

A.y2 4x B.y2 8x C. y2 4x D. y2 8x

【解析】 抛物线y2 ax(a 0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y 2(x ),它与y轴的交点为A(0, ),所以△OAF的面积为方程为y2 8x,故选B.

a4a4

a21aa

|| || 4,解得a 8.所以抛物线242

【答案】B

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.

x2y2

1的渐近线与圆(x 3)2 y2 r2(r 0)相切，8.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线63

则r= ( )

A. B.2 C.3 D.6

【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=. 【答案】A

2

9.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线y k(x 2)(k 0)与抛物线C:y 8x相交A、B两点，

F为C的焦点。若 2FB,则k= ( )

Ａ.

12222 Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3333

【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由

FA 2FB及第二定义知xA 2 2(xB 2)联立方程用根与系数关系可求

【答案】D

.

解析几何高考数学总复习

1０.（2009

22x2y2x2y2x2y2xyＡ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 1 1 1 1

244246410

b23b21c23【解析】由e 得2 ,1 2 ,2 ，选B.

a2a2a2【答案】Ｂ

x2y2

11.（2009福建卷文）若双曲线2 2 1 a o 的离心率为2，则a等于( )

a3

A. 2

B.

C.

3

D. 1 2

x2y2c【解析】

由2 1可知虚轴e= 2，解得a=1或

a3aa

a=3，参照选项知而应选D.

【答案】D

12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是(. ( )

A. B. C. D.

cx2y2c【解析】依据双曲线2 2 1的离心率e 可判断得

.e .选B。

aaba【答案】B

x2y2

13.（2009江西卷文）设F，F2，1和F2为双曲线2 2 1(a 0,b 0)的两个焦点, 若F1

abP(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A．

35

B．2 C． D．3

22

【解析】由tan【答案】B

6

cc2222

有3c 4b 4(c a),则e 2,故选B.

a2b3

x2y2

14.（2009江西卷理）过椭圆2 2 1(a b 0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点

abP，F2为右焦点，若 F1PF2 60，则椭圆的离心率为

A

11 B

C． D．

23

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/avtj.html