2017-2018学年高中数学人教A版（浙江专版）必修2讲学案：第一章 1.2 空间几何体的三视图和直观图

空间几何体的三视图和直观图

1．2.1&1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图

预习课本P11～14，思考并完成以下问题 1．平行投影、正投影的定义是什么？ 2．正视图、侧视图、俯视图的定义分别是什么？ 3．怎样画空间几何体的三视图？ 4．如何识别三视图所表示的立体模型？ [新知初探]

1．投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．

2．中心投影与平行投影 投影 中心投影 平行投影 [点睛] 平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．

的投影 在一束平行光线照射下形成的投影 定义 光由一点向外散射形成特征 投影线交于一点 投影线互相平行 分类 正投影和斜投影 3．三视图 三视图 正视图 侧视图 俯视图 [点睛] 三视图中的每种视图都是正投影．

的投影图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图 概念 光线从几何体的前面向后面正投影得到一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样 规律 [小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的平行投影是直线( ) (2)圆柱的正视图与侧视图一定相同( ) (3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同( ) 答案：(1)× (2)× (3)√

2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( ) A．棱柱 C．圆柱

B．棱台 D．圆台

何

解析：选D 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几

体．由俯视图是圆环可排除A、B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.

3．沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )

解析：选D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线．

中心投影与平行投影

[典例] 下列命题中正确的是( ) A．矩形的平行投影一定是矩形

B．平行投影与中心投影的投影线均互相平行 C．两条相交直线的投影可能平行

D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点

[解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确．无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确．

[答案] D

画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影． [活学活用]

如图所示，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

解析：在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①.

答案：①②③

由几何体画三视图

[典例] 画出如图所示的正四棱锥的三视图． [解] 正四棱锥的三视图如图所示．

三视图的画法规则 (1)排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边． (2)画法规则： ①正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”； ②侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”； ③俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”． (3)线条的规则： ①能看见的轮廓线用实线表示； ②不能看见的轮廓线用虚线表示． [活学活用] 1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，如图所示，则其三视图为( )

解析：选A 其正视图为矩形，侧视图为三角形，俯视图中棱CC1可见，为实线，只有A符合．

2．画出如图所示的物体的三视图．

解：三视图如图所示．

由三视图还原几何体 [典例] 根据如图所示的三视图，画出几何体．

[解]

由正视图、侧视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．

由三视图还原几何体，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．只要熟悉简单几何体的三视图的形状，由简单几何体的三视图还原几何体并不困难．对于组合体，需要依据三视图将它分几部分考虑，确定它是由哪些简单几何体组成的，然后利用上面的步骤，分开还原，再合并即可．注意依据三视图中虚线、实线确定轮廓线． [活学活用] 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )

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