河南省中原名校2013届高三第三次联考数学

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河南省中原名校 2013届高三第三次联考

数学（理）试题

（时间120分钟，满分1 50分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上，

第I卷（客观题共60分）

一、选择题：本大题共1 2小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上． 1．复数

10i= 1?2iB．4- 2i

C．2- 4i

D．2+4i

A．-4+ 2i

2．己知集合A?{x||x|?2,x?R},B?{x|x?2,x?Z}，则A?B=

A．（0,2） B．[0,2] C．{0,2} D．{0,1,2} 3．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）。可得这个几何体的体积是

13323B．cm

343C．cm

383D．cm

3A．cm

4．执行右面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 A．120 B．720 C．1440 D．5040

5．用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，

奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A．36 B．32 C．24 D．20

6．若tan??110????,??(,),则sin(2??)的值为 tan?3424B．

A．?2 102 10C．32 10D．72 10?7．若第一象限内的点A（x，y），落在经过点（6，-2）且具有方向向量a?(3,?2)的直线l上，则

log3y?log2x有

23 A．最大值

3 2B．最大值l C．最小值

3 2D．最小值l

?y?1?8．己知实数x，y满足?y?2x?1,如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m=

?x?y?m? A．2

B．5

C．6

D．7

9．如图所示为函数f(x)?2sin(?x??)(??0,0????)的部分图像，其中A，B两点之间的距

离为5，那么f（-1）=

A． 2

B．3

C．—3

D．—2

????????10．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OB?OC的

最大值是

A．2

B．1?2

C．π

D．4

11．已知点M（-3，0），N（3，0），B（l，0），动圆C 与直线MN切于点B，过M、N与圆C相

切的两直线相交于P，则P点的轨迹方程为

y2?1(x?1) A．x?82y2?1(x??1) B．x?82

y2?1(x?0) C．x?82y2?1(x?1) D．x?102 2

12．函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[,]?D，使得f(x)在[,]上的值域为[a,b]，那么就称函数y?f(x)为“优美函数”，若函数，则t的取值范围为 f(x)?logc(cx?t)(c?0,c?1)是“优美函数” A．（0，1）

B．(0,)

ab22ab2212C．(??,)

14D．（0，

1） 4第Ⅱ卷（主观题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第1 3题～第2 1题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．） 13．在（x -1）（x +1）8的展开式中，含x5项的系数是。 14．函数f(x)?x3?x2?x?1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于。

x2y2x2y215．已知a?b?0,e1,e2分别是圆锥曲线2?2?1和2?2?1的离心率，设m?lge1?lge2，

abab则m的取值范围是。

16．定义一个对应法则f:P(m,n)?P?(m,n),(m?0,n?0).现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M ′．当点M在线段AB上从点A开始

运动到点B结束时，点M的对应点M'所经过的路线长度为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分1 2分）已知数列{an}的前n项和Sn?2an?3?2n?4,n?1,2,3,?. （1）求数列{an }的通项公式；

（2）设Tn为数列{Sn?4}的前n项和，求Tn，

18．（本小题满分1 2分）甲乙两位篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率

为

12，乙投篮命中的概率为． 23 （1）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；

（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．

19．（本小题满分1 2分）如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，

CD=2，把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于成以下各小题：

（1）求A，C两点间的距离；（2）证明：AC⊥平面BCD．（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

3，对于图二，完3

20．（本小题满分1 2分）一条直线经过抛物线y2=2 px（p>0）的焦点F，且交抛物线于A、B两点，

点C为抛物线的准线上一点．

（1）求证：∠ACB不可能是钝角；

（2）是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求出点C的坐标；否则，说明理

由．

21．（本小题满分1 2分）已知函数f(x)?(x?3x?3)e,x?[?2,t](t??2)

（1）当t

（2）比较f（-2）与f （t）的大小，并加以证明；

（3）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区

间，设g(x)?f(x)?(x?2)e，试问函数g(x)在(1,??)上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由。

【选考题】

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做。则按所做的第一题计分。做答时请写清题号，并把答题卷上相应的题号涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O

交于点F，延长CF交AB 于E．（1）求证：E是AB的中点：（2）求线段BF的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

?3?x?3cos?(?为参数）和定点A(0,),F1，F2是圆锥曲线的左右焦点。已知圆锥曲线?3??y?22sin? （1）求经过点F2且垂直于直线AF1的直线l的参数方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程。 24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设f(x)?|x|?2|x?a|(a?0). （1）当a=l时，解不等式f(x)?8；

（2）若f(x)?6恒成立，求正实数a的取值范围。

2013届中原名校第三次联考高三数学(理科)参考答案

一、选择题：题号答案

1 A

2 D

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

8 B

9 A

10 A

11 A

12 D

二、填空题

13,14. 14. ； 15. （??，0） 16.

432?3

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ） ∵a1?S1?2a1?2，∴a1?2． -——2分

当n?2时，an?Sn?Sn?1，an?2an?1?3?2n?1，于是分令bn?an33n?1b?b?1，则数列是首项、公差为的等差数列，； {b}n1n2n22anan?13??； ——42n2n?12∴an?2nbn?2n?1(3n?1)． --6分

（Ⅱ） ∵Sn?4?2n(3n?4)?3?2n?n?2n?2，

∴Tn?3(2?1?22?2???2n?n)?4(2?22???2n)， ——8分记Wn?2?1?22?2???2n?n①，则2Wn?22?1?23?2???2n?1?n②， ①-②有?Wn?2?1?22???2n?2n?1?n?2n?1(1?n)?2，

Wn?2n?1?n?1??2

2?1?2n?故Tn?3?2?n?1??2??4?2n?1?3n?7??14 ——12

1?2n?1分

18．解：（1）设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得，事件A、B相互独立

11111111212P(A)?()4?C4()?()3?C4()?()2?

22222161128222323P(B)?C4()?()2?C4()??()4?333339

∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为 P（A?B）=P(A)?P(B)?11811??——6分16918

（2）η的可能取值为-4,0,4,8.12；

824121322212P（?=-4）=(1)4?1 P（?=0）=C4()()? P（?=4）=C4()()? 3813381P（?=8）=C43(2)3(1)?32 P（?=12）=(2)4?16

33813813381 分布列如下：

? P ?4 0 8 814 8 32 8112

1 8124 8116 81 ——10分

E???4?1824321620?0??4??8??12??81818181813 ——12

分

19 解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE,CE，由AB?AD,CB?CD，得：AE?BD,CE?BD??AEC就是二面角A?BD?C的平面角，

?cos?AEC?33 ——2分

在?ACE中，AE?6,CE?2

AC2?AE2?CE2?2AE?CE?cos?AEC?6?2?2?6?2?3?43

?AC?2 ——4

分

（Ⅱ）由AC?AD?BD?22，AC?BC?CD?2

222222?AC?BC?AB,AC?CD?AD,??ACB??ACD?90? ——6分

?AC?BC,AC?CD，又BC?CD?C?AC?平面BCD． ——8

分

（Ⅲ）以CB,CD,CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系

C?xyz，则

A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,0,0)D(0,2,0)．

设平面ABD的法向量为

n?(x,y,z)，则

z A n?AB?0， n?AD?0，?2x?2z?0,2y?2z?0 取x?y?z?1，则n?(1,1,1)， ——10分于是AC与平面ABD所成角?的正弦即

|n?CA||0?0?2|3sin????3． ——12分 3?2|n||CA|B x E F C D y 20.解：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(?,m),直线AB的方程为x?ty?p。 2p2p?x?ty?由?2，得y2?2pty?p2?0，则y1?y2?2pt,y1y2??p2 ??y2?2px?从而x1?x2?ty1?22pp?ty2??t(y1?y2)?p?2pt2?p， 22y1y2(y1y2)2p2。 ——3分 x1x2???22p2p44p（1）?CA?(x1?,y1?m),CB?(x2?,y2?m)

?CA?CB?(x1?pp)(x2?)?(y1?m)(y2?m)22p2p2pp2?x1x2?(x1?x2)??y1y2?m(y1?y2)?m2?p2t2?2pmt?m2?(pt?m)2?0

24可见，CA,CB不可能为钝角，故∠ACB不可能为钝角 ——6分

（2）假设存在点C，使得△ABC是正三角形。由（1）得，线段AB的中点为M(pt2?,pt)

①若直线AB的斜率不存在，这时t?0,A(,p),B(,?p)点C的坐标只可能是(?,0)。由CM?p2p2p2p233AB得，p??2p这是不可能的， 22于是直线AB的斜率必存在。 ——7分 ② kCM?kAB??1即

C(?p,pt3?2pt) 2pt?m1???1，解得m?pt3?2pt，从而pptpt2??22CM?(pt2?pp2?)?(pt3?2pt?pt)2?p(t2?1)t2?1, 22AB?(t2?1)(y1?y2)2?4y1y2?(t2?1)(4p2t2?4p2)?2p(t2?1) —

??—9分由CM?11分

此时点C(?,?42p)；检验知此时△ABC是正三角形。故存在点C(?,?42p)，使得△ABC是正三角形。——12分 21.解：（1）函数f(x)的导数f'(x)?(2x?3)ex?(x2?3x?3)ex?exx(x?1) 当?2?t?0时，x???2,t?,f'(x)?0,f(x)单调递增；

当0?t?1时，x???2,0),f'(x)?0,f(x)单调递增；x?(0,t?,f'(x)?0,f(x)单调递减。

综上所述，当?2?t?0时f(x)的单调递增区间为??2,t?，

当0?t?1时f(x)的单调递增区间为??2,0?, f(x)的单调递减区间为(0,t?—4分

（2）f(?2)?13e?2，f(t)?(t2?3t?3)et, 设

h(t)?f(t)?f(?2)?(t2?3t?3)et?13e?2,h'(t)?(2t?3)et?et(t2?3t?3)?ett(t-1)(t?-2). h'(t),h(t)，随t的变化关系如下表

t h'(t)

h(t)

(?2,0)

0 0 极大值

(0,1)

1 0 极小值

(1,??)

+ 增

- 减

+ 增

因为h(?2)?0，所以t?(?2,0)时，h(t)?0；又h(t)的极小值为

13e3?13h(1)?e?2??0

ee2综上所述，h(t)?0，所以f(t)?f(?2)?0，故f(?2)?f(t) ——8分（3）函数g(x)在(1,??)上不存在保值区间。证明如下：由题意，g(x)?(x2?3x?3)ex?(x?2)ex?(x2?2x?1)ex?(x?1)2ex

g'(x)?(2x?2)ex?ex(x2?2x?1)?(x2?1)ex

假设函数g(x)在(1,??)上存在保值区间?a,b?，因为x?1时，

g'(x)?0，g(x)为增函数

2a?g(a)?a,??(a?1)e?a,所以?即?2 bg(b)?b,???(b?1)e?b,也就是方程(x2?1)ex?x有两个大于1的相异实根。设?(x)?(x2?1)ex?x(x?1),

?'(x)?(x2?2x?1)ex?1;令k(x)??'(x);则k'(x)=(x2?4x+1)ex;由x>1得k'(x)?0?k(x)在（1，+?）内单调递增。 ?k(x)?k(1)?2e?1?0??(x)在（1，+?）内单调递增。 ??(x)在（1，+?）内最多只有一个零点。这与方程(x2?1)ex?x有两个大于1的相异实根矛盾。所以假设不成立，所

以函数g(x)在(1,??)上不存在保值区间。 —— 12分 22.解：（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，

因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以∠BCE=∠CDF，即∠CDO=∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，

所以EB=OC=AB．所以E是AB的中点． ——5分（2）解：连接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得∵ABCD是边长为a的正方形，所以BF=

BFCB? BECE12125a ——10分 5?x?3cos?x2y2(?为参数)化为普通方程??1 23.解：（1）圆锥曲线?98?y?22sin?所以F1(?1,0),F2(1,0)则直线AF1的斜率k?3 3于是经过点F2且垂直于直线AF1的直线l的斜率k'??3，直线l的倾斜角为120?，

1?x?1?t???x?1?tcos1202?(t为参数)所以直线l的参数方程是?即(t为参数) —5??0??y?tsin120?y?3t??2分

（2）直线AF2的斜率k1??3，倾斜角为150?， 3设P(?,?)是直线AF2上任一点，则

??sin(150???)?sin30?

?sin30??1 ?sin(150??)所以直线AF2的极坐标方程为3?sin???cos??1。 ——10分

?2?3x,x?0.24．解：（1）f(x)?x?2x?1???2?x,0?x?1.

??3x?2,x?1.当x?0时，由 2?3x?8,得?2?x?0；当0?x?1时，由2?x?8,得0?x?1；当x?1时，由3x?2?8,得1?x?103；综上，不等式f(x)?8的解集为??10???2,3??。 ?2a?3x,x?0.（2）因为f(x)?x?2x?a???2a?x,0?x?a.

??3x?2a,x?a.可见f(x)在(??,a)上单调递减，在(a,??)上单调递增，

所以当x?a时，f(x)取最小值a，所以a的取值范围是?6,???分

——5分 ——10

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