流体力学第二版-李玉柱、范明顺 - - 习题详解 - 图文

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流体力学 _第二版 李玉柱 习题解答

第一章

绪论

1—1

?1.875?10?5????1.61?10?5m2/s?1.165解：

?????992.2?0.661?10?6?0.656?10?3Pas

1—2 解：

1—3 解：设油层速度呈直线分布

???dV1?0.1??20Pa dy0.0051-4 解：木板沿斜面匀速下滑，作用在木板上的重力G在斜面的分力与阻力平衡，即

T?Gsin300n?5?9.81?0.5?24.53N

??AdVdy

由T??Tdy24.53?0.001??0.114Ns/m2

AdV0.4?0.6?0.91-5 解：上下盘中流速分布近似为直线分布，即

dVV?dy?

在半径r处且切向速度为

???r

??? 切应力为

dVV?r????dyy????4d32?

转动上盘所需力矩为M=

?dM???dA

1 =

??d20d2?(2?rdr)r ??r2?r2dr ?

=

0???4d32?1-6解：由力的平衡条件 G??A

= 而

dV drdV?0.046m/s

???dr??0.15?0.1492?/2?0.00025

2

G??AdVdr

??GdrdVA?9?0.000250.046?0.15???0.1495?0.694Pas

1-7解：油层与轴承接触处V=0, 与轴接触处速度等于轴的转速，即

V??dn???0.36?200

6060?3.77m/sA??V?0.36?1

T????dl?0.73?3.77??2.3?104?1.353?104?N 克服轴承摩擦所消耗的功率为

N?M??TV?1.353?140?3.7?71-8解:

??dVV/dT dV

V??dT?0.00045?50?0.0225 dV?0.0225V?0.0225?10?0.225m3或，由

dVV??dT积分得 lnV?lnV0???t?t0?

V?V??t?t0?0e?10e0.00045?50?10.23m3

10.5d?1.051-9解:法一： 5atm

??0.538?10?9

10atm

??0.536?10?9

??0.537?10?9 d?

???dp

d????d?=0.537 x 10-9 x (10-5) x98.07 x 103 = 0.026%

法二：

d????d? ,积分得

51.kW0 23

ln??ln?0???p?p0?

??p?p?e???e0.537?10?0???0?0.026%?0?9??10?5??98.07?103?1.00026

1-10 解：水在玻璃管中上升高度 h =

29.8?2.98mm d 水银在玻璃管中下降的高度 H = 错误！未找到引用源。

10.5?1.05mm d第二章 流体静力学

2-1 解：已知液体所受质量力的x向分量为 –a ,z 向分量为-g。 液体平衡方程为

dp??(?adx?gdz)……………………（1）

考虑等压方面dP=0, 由式（1）得

?adx?gdz?0……………………（2）

积分该式，得等压面方程

?ax?gz?C

由边界条件确定积分常数C。建立坐标如图，选取位于左侧自由面管轴处得点 （x,z）= (0,h),将坐标值代入上式，得C=-gh，通过该点的等压面方程为

?ax?gz??gh……………………（3）

由该式可解出加速度

a?h?zg x 位于右侧自由面管轴处的点位于该等压面上，（x,z）=(L-0)满足等压面方程（3）将

x?L?30cm,h?

z?5?0?5代入上式，得cm 5?9.8m/s2 30a?2-2 解：设Pabs0表示液面的绝对压强。A点的绝对压强可写成 解得

pabs0?g?h=pa?g?z?p

pabs0?pa?g?(z?h)?p

4

??0.98?105?9.8?1000??0.5?1.5??4.9?103?Pa?93.1?10pa?93.1kPa3

液面的相对压强

p0?pabs0?pa??93.1?103?9.8?104?Pa??4900Pa

2-3解：（1）A 、B两点的相对压强为

FFF4?4?103pA?pB????pa

A?d2/4?d2??13?5.09?103pa

A’ 、B’两点的相对压强为

P'A?P'B?PA?g?h??5.09?103?9.8?1000?2?pa?2.47?104pa

(2)容器底面的总压力为

??d2?14F'?PA'A'?PA'??2.47?10????22N?7.76?104N ?4?4?p0?g?h?pa 故

2-4解：由题意得

h?pa?p09.8?10000?85?1000?m?1.33m

g?9.8?10002-5 解：设真空计内液面压强为P0，A点绝对压强为PabsA,

pabsA?p0?g?z,pa?p0?g?h

消去该两式的P0，得

pabsA?pa?g?h?g?z?pa?g?(z?h)

44???9.8?10?9.8?1000?1?2Pa?8.82?10Pa ????

A点的相对压强

pA?pabsA?pa??8.82?104?9.8?104?Pa??9800Pa

A点的真空度

hvA??pA9800?m?1.0m g?9.8?10002-6 解：设压力表G的读数 为PG。容器底压强可写成

pG?g?0?7.62?3.66g?G????g?G(9.14?1.52)

523.?66?1.

5

解出PG ,得

pG?g?G?9.14?3.66??g?0?7.62?3.66?

??9.8?1250?5.48?9.8?834?3.96?Pa??67130?32366?Pa?34764Pa

2-7解：压强分布图如图所示

2-8 解：压力表处得相对压强为

p?10at?100mH2O?9.8?105N

由于d=1m<<100m,可认为法兰堵头的平均压强近似等于P。故静

水总压力

P?p?d24?9.8?105??4?12N?7.70?105N

其作用点通过堵头圆心。

注释：根据精确计算，可得总压力为7.74 x 105N,作用点在圆心以下0.62mm处， 故上述近似方法满足设计要求。 2-9解：(1)闸门形心处得压强为

a???3?pC?g??h???9.8?1000??1??Pa?24500Pa

2???2? 故作用在闸门上的静水总压力

P?pcA?pc?ba??24500?2?3N?1.47?105N

(2)设压力中心的位置在D点，则D点在水下的深度为

6

?3JC?a?ba3/122?33/12?yD?yc???h?????1???m?2.8m

ycA?2?bh?h?a/2??22?3??1?3/2??2-10解：(1)设闸门宽度为b。当H=1m时，闸门的压力中心 D在水下的深度

?3JChbh3/122?33/12?yD?yc??H????1???m?2.8m

ycA2bh?H?h/2??22?3??1?3/2?? 可知，D点位于距闸门底

H?h?yD??3?1?2.8?m?1.2m

(2)当静水压作用点位于门轴上方时，闸门才能在静水压的逆时针力矩作用下自动打开。若门轴置于C处，压力中心D位于门轴下面，显然闸门不可能自动打开。

2-11 图示一容器，上部为油，下部为水。已知h1=1m，h2=2m，油的密度ρ0 =800kg/m3 。求作用于容器侧壁AB单位宽度上的作用力及其作用位置。

解（1）设油、水对容器壁AB的作用力分别为P1和P2 ，水的密度ρ，容器侧壁宽度b=1m。有

P1?g?0hc1A1?g?0h1bh12sin600

=

11?19.8?800??N?4.5?103N

o2sin60

bh21P2?pc2A2?(g?0h1?g?0h1?g?h2)2sin60o =

bh21(g?0h1?g?h2)2sin60o

1?(9.8?80?0?1?21?2?9.81?00?02)oN?sin603?40.N7410

故容器壁AB单位宽度上的作用力为

333P?P1?P2?(4.53?10?40.74?10)N?45.27?10N

（2）对B点取矩，有

MB?P1(h2h1/3h2/2h2/3?)?P?P 2122oooosin60sin60sin60sin60其中

P21?g?0h1bh2h2bh23?18.1?10N,P?g??22.6?103N22oosin602sin60

故作用力矩

7

MB?1[4.53?103?(2?1/3)?18.1?103?(2/2)?22.6?103?(2/3)]N?m osin6010.570?18.1?15.06733?10N?m?50.50?10N?m

osin60px?MB。得

?设总压力作用点到B点的距离为x，有

3MB50.5?010x??m?1.12m

3P45.2?7102-12 绘制图中AB曲面上的水平方向压力棱柱及铅垂方向的压力体图。 答 压力棱柱如图所示，但也可绘制曲面AB的水平投影面的压力棱柱代之； 各压力体如图所示。

2-13 图示一圆柱，转轴O的摩擦力可忽略不计，其右半部在静水作用下受到浮力Pz，则圆柱在该浮力作用下能否形成转动力矩？为什么？

答 圆柱表面任一点上压强方向指向圆心O，不能形成转动力矩。

2-14 一扇形闸门如图所示，圆心角向。

解 水平推力（宽度b=1m）

??45o，半径r=4.24m，闸门所挡水深H=3m。求闸门每米宽所承受的静水压力及其方

Px?g?hCAx?g?H(bH) 2

3????9.8?1000???1?3??N?44.1?103N

2??8

铅直向下的垂向作用力（设压力体abca的体积为V）

??

Pz?g?V?g?b[Hr?r(1?cos?)??2?r]

2360

4.24?4.24?(1?cos45o)45??[9.8?1000?1?(3???4.242)]N

23603??9800?8.223?7.060N?11.40?10N ?????

总作用力以及作用力与水平向的夹角

P?Px2?Pz2?44.12?11.402?103N?45.55?103N

??tan?1Px11.40?tan?1?14.49o Pz44.1作用力通过圆心O 。

2-15 一圆柱形滚动闸门如图所示，直径D=1.2m，重量G=500 kN，宽B=16m，滚动斜面与水平面成闸门上的静水总压力P 及其作用方向；（2）闸门启动时，拉动闸门所需之拉力T。

解 (1)水平分力（向右）

2??D1.2px?g?hcA?g??BD???9.8?100?0?N?22??3112.?90N1 070o角。试求（1）圆柱形

垂直分力（向上）

px?g?V?g?B?D21???9.8?1000?16?42???1.22?83?N?88.67?10N ?总压力与水平面夹角（作用线过圆心O）

p?2px?pz2?112.92?88.672?103N?143.56?103N

??tan?1pz88.67?tan?1?38.15o px112.90（2）启门拉力T0。对图中a点取矩，有平衡方程

TD?P?得

DDsin?90o???70o??G?sin70o 229

T?1???4.698?1.219??105N?1.74?105N22-16解：设吸水管内液面压强为

11(Gsin70o?psin58.15o)???500?103sin70o?143.56?103sin58.15o?N22

p0.作用于圆球垂直向上的力为（V1为压力体体积）

??d2pa?p03?D?3?px1?g?V1?g???????

g?4?2????4?作用于圆球垂直向下的力为（2为压力体体积）

Vpx2?g?V2?g??d243?H1?H2?

3??D?圆球自重为G???g?0.球阀被吸起的条件为

4?2?px1?px2?G

将各项代入，得

33??d2pa?p03?g???g?4??4故

?D????2???d23??g?H?H??12??44???D???g?0 ?2?pa?p04??H1?H2??g??d2?4??D?3?0???????32???????=

2D3?0???20.1538510?1000?H?H2???4?2??mH2o?3.69mH2o 223d?30.11000??当液面真空度h0?pa?p0?3.69mH2o时才能将阀门吸起。

g?2-17解：长度为

?L的管段上，静水压力为p?D?L?,管壁拉力为??2??L?。写出静水压力与管壁拉力的平衡方程

pD?L?2???L

解得

??pD 2?2-18解： 设比重计在水中体积排量为V。在被测液体中读数为?h时，体积排量为

VF?V?A?h。在两种

10

液体中比重计受到的重力不变，依据浮力公式（2-33），有

?h?FVF??V 或 ?F?V?A???V

将???F?代入，得

?V?A?h?V解得

??

?h??V?VV??1?得证。

?AA?2-19解：依据浮力公式（2-33），提升球体的力等于露出水面部分的体积V与密度的乘积。球体最高点比水面高H。依据球缺体积公式，露出部分的体积为

?dH?V??H2???

?23?提升dH所作的功为

?dHdw??VdH???H2???23??dH?

由H=0积分到H=d,得到

d?dHW??dW????H2??0?23

11?34H?ddH???2dH?H??g?d4 ???H?01212?2-20 解：半圆柱体最低点的淹没深度h=0.9m,柱体半径r0=1.5m,长度L=10m，取水的 密度错误！未找到引用源。=1000kg/m3.淹没部分弓形的圆心角为

??cos?1r0?h1.5?0.9?cos?1?66.420?1.159rad r01.5依据公式（2-33），浮力F=错误！未找到引用源。

V，其中，体积排量

V?L[?r02?r0(r0?h)sin?]

=10??1.159?1.5??2?1.5?(1.5?0.9)sin66.42?m?17.835m3

设半圆柱体的密度为错误！未找到引用源。B。有

?B??r0L???V

?1?2由此解得木质材料的密度

?B?2?V2?1000?17.83533 ??kg/m?504.63kg/m22?r0L??r0L

11

2-21 解（1）沉箱的混凝土体积

V??5?3?6?4.4?2.4?5.7?m3?29.808m3

410701.?038 沉箱重量

G?g?V??9.8?2400?29.?80N8?A?5?3m2?15m2

沉箱水平截面面积

设吃水深度为h取水的密度

??1000kg/m3。浮力F等于重量G。有

G

701.084?103h???m?4.796m

g?Ag?A9.8?1000?15F 浮心D距底面为

h/2?2.385m.设重心C距底面为h'。有

6?6?0.3?h'V??5?3?6????4.4?2.4?5.7????0.3??80.3942?2?h'??80.369/29.808?m?2.697m

重心C位于浮心之上，偏心距

e?h'?h/2??2.697?4.769/2?m?0.312m

1?5?33m4?11.25m4,V?Ah?71.535m3 12 沉箱绕长度方向的对称轴y倾斜时稳定性最差。浮面面积A=15m2.浮面关于y轴的惯性矩和体积排量为

I0? 定倾半径

R0?I0/V??11.25/71.535?m?0.157m

?e，定倾中心低于重心，沉箱是不稳定的。

可见，R0(2)沉箱的混凝土体积

V??5?3?6?4.4?2.4?5.6?m3?30.864m3 G?g?cV?9.8?2400?30.6N84?A?5?3m2?15m2

3 10725.?921N 沉箱的重量

沉箱水平截面面积

设吃水深度为h,取水的密度

?=1000kg/m.浮力F等于重量G。有

3

725.921?103h???m?4.938m

g?Ag?A9.8?1000?15FG浮心D距底面为

h/2??4.938/2?m?2.469m 。设重心C距底面为h’。有

6?6?0.4?h'V??5?3?6????4.4?2.4?5.6????0.4??80.7652 ?2?h'??80.765?30.864?m?2.617m

12

重心C位于浮心之上，偏心距

e?h'?h/2??2.617?4.938/2?m?0.148m

沉箱绕长度方向的对称轴y轴倾斜时稳定性最差。浮面面积A=15m2。浮面关于y 轴的惯性矩和体积排量为

I0?1?5?33m4?11.25m4,VB?Ah?60.885m 12定倾半径

R0?I0/VB??11.25/60.885?m?0.152m

可见，R0>e,定倾中心高于重心，沉箱是稳定的。

第三章 流体运动学

3-1解：质点的运动速度

u?4?314?24?13 ?,v?,w??1010101010tt3t,y?y0?vt?2?,z?z0?wt?1? 10510质点的轨迹方程

x?x0?ut?3?3-2 解：

az?0d2xd?553?ax?2??0.01?t3/2??0.01??t1/2?0.0375t1/2

dt?222dt?d2yd?553?ay?2??0.01?t3/2??0.01??t1/2?0.0375t1/2dt?222dt?由

x?1?0.01t525和

xA?10,得

25?x?1??10?1?t??A????15.19

??0.01??0.01?故

ax?0.0375?15.191/2?0146,ay?ax?0.146,az?0a?a?a?a?0.146?0.146?0?0.2063-3解：当t=1s时，点A（1,2）处的流速

2x2y2z22

u?xt?2y??1?1?2?2?m/s?5m/sv?xt?yt?1?1?2?1m/s??1m/s流速偏导数

2?2?

13

?u?u?u?x?1m/s2,?t?1s?1,?2s?1?t?x?y

?v?v?v?t2?1m/s2,?t2?1s?1,??t??1s?1?t?x?y点A(1,2)处的加速度分量

Du?u?u?u??u?v??1?5?1???1??2?m/s2?3m/s2Dt?t?x?y

Dv?v?v?vay???u?v??1?5?1???1????1??m/s2Dt?t?x?yax?3-4解：(1)迹线微分方程为

dxdy?dt,?dt uu将u,t代入，得

dx??1?y?dtdy?tdt

利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得

y?12t 2将该式代入到式（a）,得dx=(1-t2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得

1x?t?t3

6联立（c）和（d）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程

2342y?y?2y?x2?0 93(2)流线微分方程为

=

.将u,v代入，得

dxdy?或?1?y?dy?tdx

1?yt将t视为参数，积分得

y?12y?xt?C 212y?xt 2据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为

y?3-5 答：

?1??u??v??w?0?0?0,满足?x?y?z?2??u??v??w?k?k?0?0，满足?x?y?z

14

?3??u??v??w??x?y?z?x?y?z2xy?x2?y22??x??2xy2?y22??0，满足

?4??u??v??w?0?0?0?0，满足?5??u??v??w?0?0?0?0，满足?x?y?z?6?满足ur1?u?kk???2?2?0?0，满足?rrr??rr

?8??ur?ur?1?u??0?0?0?0，满足?rrr???9??u??v?4，不满足?x?y?10??u??v?4y,仅在y?0处满足，其他处不满足?x?y?7??ur?3-6 解：

??r11V?2??udA?2??umax?1???r?r0A?r000???02?r0????2??rdrd??r0

r2?umax0?2umax?r2r3?r4?1?r?dr???umax??22?22???r00?r0?r0?24r0?023-7 证：设微元体abcd中心的速度为ur,u?。单位时间内通过微元体各界面的流体体积分别为

?u?ad面?ur?r?r??u?ab面?u???????urdr?dr??rd?,bc面u???r??r?dr?d?2??r2??

?ud??d????dr,cd面?u????dr2???2??根据质量守恒定律，有

?ud???ud???udr??udr??????dr??u????dr?0?ur?r?rd???ur?r??r?dr?d???u????r2?r2??2??2????????略去高阶无穷小项（dr）2和drd

,且化简，得

?urur1?u????0 ?rrr??3-8 解：送风口流量

Q?0.2?0.2?5m3/s?0.2m3/s

15

断面1-1处的流量和断面平均流速

Q1?3Q?3?0.2m3/s?0.6m3/sQ0.6V1?1?m/sA0.5?0.5断面2-2处的流量和断面平均流速

Q2?2Q?2?0.2m3/s?0.4m3/s,V2?断面3-3处的流量和断面平均流速

Q20.4?m/s?1.6m/s A0.5?0.5Q3?Q?0.5m3/s,V?Q30.2?m/s?0.8m/s A0.5?0.53-9解：分叉前干管的质量流量为Qm0=V0。设分叉后叉管的质量流量分别为Qm1和Qm2,则有

Qm0?Qm1?Qm2,Qm1?Qm2

故

Qm1?Qm2解得

Qm0?d02?d12?d22??V0?0?V1?1?V2?2844

2d0v0?050?25?2.62V1??m/s?18.05m/s

22?45?2.242d1?12d0v0?050?25?2.62V2??m/s?22.25m/s

22?40?2.32d2?23-10 解：

?1?线变形速率?xx??u?0,?yy??v?0?x?y角变形速率?xy1??u?v?1???????k?k??0??2??x?y?2

?2?线变形速率?xx??u??x角变形速率?yy2xy?x2?y2?2,?yy??v?2xy??y?x2?y2?2

1??v?u?1?y2?x2y2?x2?y2?x2???????2??2?222222222??x?y??????x?yx?yx?y??????

16

?3?线变形速率?xx??u?0,?yy??v?0?x?y角变形速率?xy?3-11解：线变形速率

1??v?u?1?????2?2?2??22??x?y??

?xx??u?v?2xy?2?1?2?4,?yy???2?1?2??4 ?x?y角变形速率

2222?????xy????2x?y?x?2y?2?1?2?1?2?2??

??2??x?y?2221??v?u?113涡量

?z??v?u??2x?y2?x2?2y?2?1?22?12?2?2??7 ?x?y????3-12 解：

?w?v????x?y??z?0?0?0??u?w?1????0?0?0,无旋流 ??y??z?x??v?u????z?x??y?k?k?0???x??y?0?2??,无旋流

??0?0?0?z??x??y?0?3??,无旋流 y2?x2y2?x2?????0?z222222x?yx?y???????x??y?0?4??,有旋流

??0??????z?5??x?6??x??y??z?0,无旋流 ??y??z?0,无旋流

?kx???x??y?0u?22?x?y??7??得??v?u?2xyk?????kyz?v??22?x?yx?y22??x?y????x2??2xyk2?y2?2,无旋流

?017

?ky???x??y?0u?22?x?y? ?8??得?v?uky2?x2ky2?x2????0,无旋流?v?kx??z??x??y?222222x?yx?y?x2?y2??????????（9）和（10）不满足连续方程，不代表流场

3-13 解：任意半径r的圆周是一条封闭流线，该流线上

线速度u?=

0r,速度环量

??2?ru??2??0r2

(2)半径r+dr的圆周封闭流线的速度环量为

??d??2??0?r?dr?得

2

d?????d?????2??0?r?dr??2??0r2?4??0rdr?2??0dr2

2忽略高阶项2

0dr

2

，得 d

d??4??0rdr

（3）设涡量为布，得

，它在半径r和r+dr两条圆周封闭流线之间的圆环域上的积分为d。因为在圆环域上可看作均匀分

?zdA?d?

将圆环域的面积dA=2rdr代入该式，得

?z2?rdr?d??4??0rdr

可解出=2+dr/r。忽略无穷小量dr/r，最后的涡量

?z?2?0

3-14 解：由ur和u?=Cr,得

u??Cy,v?Cx,?u?u?v?v?0,??C,?C,?0 ?x?y?x?y18

依据式（3-5a）和（3-5b）,有

?u?u?v??y.0?Cx??C???C2x?x?y

?v?vay?u?v??Cy.C?Cx.0??C2y?x?yax?u可见，ar=-C2(x2+y2)1/2=- u2?/r,a?=0。显然，ar代表向心加速度。

（2）由ur=0和u?=C/r,得

CyCx?u2Cxy?uCy2?x2u??2,v?2,?4,??yrr?xrr4?vCx2?y2?v2Cxy?,?4?x?yr4rax?u?????u?uCx2CxyCxCy?x?v??2?24?x?yrrrr4?22???C2x

?v?vCyCx2?y2Cx2CxyC2yay?u?v??2?2?444?x?yrrrrr可见，ar=-C2(x2+y2)1/2=- u?/r,a?=0。显然，ar代表向心加速度。

2??r43-15 解：当矩形abcd绕过O点的z向轴逆时针旋转变形。故有

时，在亥姆霍兹分解式（3-36）中，只有转动，没有平移，也没有

ud?u??zdy,vd?v??zdx

其中，称是z向角速率。据题意，=/4rad/s.

（2）因为矩形abdc的各边边长都保持不变，故没有线变性；ab边和ac边绕过O点的Z轴转动，表明没有平移运动；对角线倾角不变，表明没有旋转运动。根据亥姆霍兹分解式（3-36），有

ud?u??xydy,vd?v??yxdx

其中，角变形速率

?xy??yx?1d??d???rad/s

2dt8y和v=0，得

=0,

=

。依据式(3-33),角变形速率

3-16 解：（1）由已知流速u=

1??v?u?1?? ???xy??yx????0?????2??x?y?2219

依据式（3-32），得角速率

1??v?u?1?????z????0?????2?2??x?y?2

（2）t=0时刻的矩形，在时段dt内对角线顺时针转动的角度为

?1???zdt??2dt

在t=0.125和t=0.25时刻，转角为=和=因为==0，故没有线变形。矩形各边相对于对角线

所转动的角度为

?2??xydt??2dt

在t=0.125和t=0.25时刻，=dt=和=。因为对角线顺时针转动了，，故矩形沿

y向的两条边得顺时针角为，，而与x轴平行的两条边转角为0.

依据u=y知，当时流速u之差值为，在dt=0.125和dt=0.25时段，位移差值为，.这验证了

与y轴平行的两条边的顺时针转角。

第四章

174-1 社固定平行平板间液体的断面流速分布为

uumax?B2?y????B2??,y?0 总流的动能修正系数为何

??值？

解 将下面两式

?2?y?11B72V??AudA??Bumax?B?dy?umaxAB?28?2?B17

?AudA3???B2B?2U3max?2?y?dy?Bu3Bmax???2?B37

y u(y) 代入到动能修正系数的算式

oB umax x 20

??A?1Av3710783u?dA ?得

3??BumaxB???umax?3?1.045

4-2 如图示一股流自狭长的缝中水平射出，其厚度

?0?0.03m，平均流速V0?8ms ，假设此射流受中

（2）该处的水股厚度? 。 ??450 处的平均流速V；速

为

V0

，

故

射

流

平

均

流

速

为

平

分

立作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求（1）在倾斜角 解

⑴

在

θ

＝

45

°

处

，

水

v?vocos45??8m/s?11.31m/s

cos45?θ?45°处的单宽流量与喷口处相等，

⑵由连续性条件，在

即

vδ?vδo故

v8δ?oδo??0.33m?0.021m

v11.314-3 如图所示管路，出口接一管嘴，水流射入大气的速度

Vo δo δ 45° V2?20ms，管径d1?0.1m,管嘴出口直径d2 ?0.05m,压力表断面至出口断面高差H=5m,两断面间的水头损失为0.5V122g 。试求此时压力表

的读数。

??? 解 由总流连续性条件

4d12V22?2?4d22V22 ，得

2?d2V1???d?1根据总流伯诺里方程

??0.05??V???0.1???20m/s?5m/s ?2???p1α1V12p2α2V22?z1???z2??hwgρ2ggρ2gα1取

?α2?

?121，已知z1?z2?Hhw?0.52g，

p2?0，得

?p1V22V1220252??mH2O?H??0.5??5??0.5???gρ2g2g2?9.80?9.8??

21

?24.77mH2O?2.48at即压力表读数为2048个大气压。

4-4 水轮机的圆锥形尾水管如图示。一直A-A断面的直径

dA?0.6m ，流速VA?6ms，B-B断面的直接

22gdB?0.9m ，由A到B水头损失hw?0.15VA当A-A断面处的允许真空度为5m水柱高度时，A-A断面的最高位置解：⑴ 由水流连续性知

??。求（1）当z=5m时A-A断面处的真空度（2）

zmax

VB?dA???d?B??0.6??V???0.9???6m/s?2.66m/s ?A???22

取水面为基准面,ZB?pB?0，且取?B?1.0，得断面B-B的总能头 g?H0B?pBαBVB22.6672??M?0.363 ?ZB????0??gρ2g2?9.8???断面A-A与B-B之间能量方程可写成

pAαAVA2Z????H0B?hw

gρ2g其中，由A到B水头损失

A A z hw?0.15当z=5m时（取

V6?0.15??0.267m/s 2g2?9.8B 2a2?A?1.0），有

B 1m ?pAαAVA262??m??6.20m?H0B?hw?z???0.363?0.276?5??gρ2g2?9.8???

故A-A断面的真空度为vAh??pA?6.20mg?

pA??5m和z=z⑵将

gρzmax?H0B

，得max代入式（a）

A-A断面的最高位置

?αAVA2pA62??hw????0.363?0.276??m?3.802ggρ2?9.8??4-5 水箱中的水从一扩散短管流到大气中，如图示。若直径

d1?100mm 该处绝对压强pabs1?0.5at,而直径

22

d2?150mm求作用水头H (水头损失可以忽略不计)

解： 基准面0-0，断面1-1、2-2、3-3如图示。在1-1与2-2断面之间用伯诺里方程（取错误！未找到引用源。）

pabs1V12pabs2V22z1????g?2gg?2g

pabs1pabs2z?z2,?5m,?10m 已知1g?g?由水流连续性，得

?d2?2?150???V1???V???V2＝2.25V2

???100??d1?代入到伯诺里方程，

22 225??2.25V?2g2V224.063V2?5?10?或

2g2g解出流速水头

V22?1.23m

2g列出断面3-3、2-2之间的伯诺里方程

papabs2V22?H?z2??

2gg?2g将

pabs2?pa和z2?0代入得出作用水头

V22H??1.23m

2g4-6一大水箱中的水通过一铅垂管与收缩管嘴流入大气中，如图。直管直径dA=100mm，管嘴出口直径dB=500mm，若不计

水头损失，求直管中A点的相对压强

pA。

解： 断面1-1位于水面上，断面A和断面B分别通过A、B点。列出断面1-1与B

之间的伯诺里方程

p1α1V12pBαBVB2z1???zB???gρ2ggρ2g利用已知条件

Z1?ZB?(4?2?3)m?9mp1?0,pB?0,V1?0

23

且取

?1??B?1.0，得断面B的流速水头

VB2?z1?zB?9m

2g??50?VBVA1?VB????V??V?,?B?100??B42g2g????4?222由连续性，算出断面A的流速和水头

?dBVA???d?A?1VB9???m?162g16?22写断面1-1与A之间的伯诺里方程

p1?1V12pA?AVA2z1????zA?g?2gg?2g

将下列数据代入该式

z1?zA?2?3?5m,p1?0,va?0

?1??A?1.0，得

?pAVA29??z1?zA??? pA1.11H2O

?5?16??m?4.44m ,gρ2g???a=1.29kg/m3。

且取

4-7离心式通风机用集流器C从大气中吸入空气，如图示。在直径d=200mm的圆截面管道部分接一根玻璃管，管的下端插入水槽中。若玻璃管中的的水面升高H=150mm，求每秒钟所吸取的空气量Q。空气的密度

解： 设圆截面管道的断面平均流速 为V，压强为p.由于距离集流器C较远处大气流速 为

零以，若不计损失，假定集流器中空气密度与外部大气的密度相同，管道断面与远处大气之间的不可压气体的能量方程可写成

p?V2p???g??g??2gp??p??gH故从能量方程中可解得

玻璃管液面压强为p，若ρ为水的密度，有静压强关系

V?由此得

2??(p??p)?2g?H???2?9.8?1000?150?103m/s?47.470m/s1.29Q??d24V?47.740???0.224m3/s?1.50m3/s

4-8水平管路的过水流量Q=2.5L/s，如图示。管路收缩段由直径d1=50mm收缩成d2=25mm。相对压强 p1=0.1at，两段面间

24

水头损失可忽略不计。问收缩断面上的水管能将容器内的水吸出多大的高度h？ 解：在1与2两断面之间应用伯诺里方程

p1?1V12p2?2V22z1???z2???g?2gg?2g取

?1??B?1.0，已z1＝z2，p1=0.1at知可解出

2.5?10?3V1??m/s?1.273m/s

2?32?d1/4??(50?10)/4Q?d1??50???V2??V??25???V1?4?1.273m/s?2.093m/s ?d?1???2?故

22p2p?1gρgρ1?1.27325.0932?V12V22?m??0.241m????0.1?10???2g2g2?9.82?9.8???依据吸水管的静压强关

p?-p2=gρh系，得出高度

?0?(?0.241)?0.24(m）

h?p?gρ?p2gρ4-9图示矩形断面渠道，宽度B=2.7m。河床某处有一高度0.3m的铅直升坎，升坎上、下游段均为平底。若升坎前的水深为1.8m，过升坎后水面降低0.12m，水头损失hw为尾渠（即图中出口段）流速水头的一半，试求渠道所通过的流量Q。

解： 取断面1-1和2-2如图。依据连续性方程

0.12mm V1A1?V2A2，得

1.0BV1?(1.8?0.3?0.12)BV2

或

1.8m 升坎

1.8V1?1.38V2

p1V12p2V22V22z1???z2????0.5g?2gg?2g2g0.3m 写出两断面之间的能量方程

若基准面o-o取在图示升坎前来流的水面上，有

z1?p1p?0,z2?2??0.12m

g?g?代入到能量方程，得

25

V12V22??0.12?1.52g2g联立求解（a）、（b）两方程，得

V1 ＝1.231 m/s , V2=1.606m/s

故渠道能过的流量

Q＝A1 V1＝1.8×2.7×1.231＝5.98m3/s

4-10 图示抽水机功率为

P?14.7KW，效率为??75%，将密度?0?900kgm3的油

d?150mm ，油的流量Q?0.14m3s ，抽水机进口B

h?2.3m油柱高，问此时油箱内A点的压强为

从油库送入密闭油箱。已知管道直径

处真空表指示为-3m水柱高，假定自抽水机至油箱的水头损失为多少？

解： 选取面A位于油液面上，断面B位于抽水机进口。写出两面之间有能量输入的能量方程

pBVB2pAVA2zB???Hm?zA????hwB?A

g?02gg?02g其中，错误！未找到引用源。为单位重量油体通过抽水机后增加的能理。由水泵轴功率计算公式

g?QHmP??得

Hm?P0.75?14.7?103???8.929m 油柱

g?Q9.8?900?0.14Q?d2/40.14m/s?7.922m/s

2??0.15/4 由连续性，得

VB??

7.9222VB2?m 油柱?3.202m 油柱

2g2?9.8pApBVB2VA2?(zB???Hm?(zA??hwB?A)g?0g?02g2g????-3 ???1.498 m油柱?0?0.93.02?8.929???(5?0?2.3)? m油柱＝????由能量方程可解出

油箱A压强

26

pA=1.498×9.8×900Pa=13.21×103 Pa

4-11 如图所示虹吸管由河道A向渠道B引水，已知管径

d?100mm，虹吸管断面中心点2高出河道水位

z?2m

，点1至点2的水头损失为

hw1?2?10V22g??，点2至点3水头损失

hw2?3?2V22g?? ，V表示管道的断面平均流速，若点2的真空度限制在

hv?7m以内，试问（1）虹

吸管的最大流量有无限制？如有，应为多大？（2）出水口到河道水面高差h有无限制？如有，应为多大？ 解：⑴ 取面1位于河道A的自同面上，断面2过点2.写出两断面间能量方程

p2V2V2z1?z2???10g?02g2g将

z1 -z2=z=2m代入，得

p2gρp2gρV2??2?112g?7m时，

当h??p2gρ??7m。因此有

?2?11求解后，得

p2??7(m)

g?

V?Q?V5?2?9.8?2.985m/s 11?4d2?2.985?π?0.12m3/s?0.0234m3/s 4即应当将最大流量限制在23.4 L/s以内

⑵ 断面3位于虹吸管的出口。写出面1与3之间的能量方程

V2V2z1?z3??(10?2),z1?z3?h

2g2g

解得

v2.982h?13?13??5.98m

2g2?9.8

故应限制h不应大于5.89m

27

4-12 图示分流叉管，断面1-1处得过流断面积

A1?0.1m2,高程z1?75m流速V1?3ms,压强p1?98kPa;断面2-2处A2?0.05m2,z2?72m；断面3-3处A3?0.08m2,z3?60m压强p3?196kPa，；断面1-1至2-2和3-3的水头损失分别为hw1?2?3m和hw1-3?5m.试求（1）断面2-2和3-3处的流速V2和V3;(2)断面2-2处的压强p2解： 取1-1和2-2断面，有

p1V12p2V22z1???z2???h1?2

g?2gg?2g

代入各项数据，得

98?10332p2V2275???72???3

98002?9.8g?2g??p2V2298?10332???75???72?3?m?10.459m??g?2g98002?9.8??(1)取1-1和3-3断面，有

由此解出

p1V12p3V32z1???z3???hw1?3

gρ2ggρ2g代入各项数据，得

196?10398?10332V32??60???5 75?98002?9.898002g解之得

V3＝3m/s。 由V1A1 =V2 A2+V3 A3，有

3×0.1＝0.05V2+0.08×3

解得

⑴

V2=1.2 m/s

?p21.22??m?10.39m ??10.459???2g2g??将其代入到式（a），得

故

P2＝9800×10.39Pa=1.018×105 Pa

4-13定性绘制图示管道的总水头线和测管水头线。

28

答 总水头线

H0和测管水头线Hp如图示。

4-14 试证明均匀流的任意流束在两断面之间的水头损失等于两断面的测管水头差。

证 在均匀流中断央1-1和2-2之间取任意流束，用z’、p’、V’ 表示流束断面的高程、压强和流速，h’w表示两断面之间流束的

能量损失。写出该流束的能量方程

p1??V1?2??V2?2α1p2α2????z1??z2??hw?

gρ2ggρ2g

设z、p表示总流断面的高程、压强。依据均匀流任一断面上测管水头等值，有

p1?pp?p????2?z2?2z1?z1?1, z2gρgρgρgρ

依据均匀流的任意两面都满足

?V2?2α1?V1?2α2?2g2gz1?

得

或

p1p?z2?2?h?wgρgρ

?p1??p2??????hw?z??z??Hp1?Hp2??Hp1?2 2?1???gρ??gρ??4-15当海拔高程z的变幅较大时，大气可近似成理想气体，状态方程为p?z???RT，其中R为气体常数。试推

aa求

?a?z?和pa?z? 随z变化的函数关系。

ρ?(z)=p?(z)/RT(z)，利用温度随z变化的线性关系T(z)=T0-βz

，得

解：设pao、T0分别表示z=0处的大气压强和温度，错误！未找到引用源。分别表示高程z处的大气压强和温度。将状态方程该

写成

ρ?(z)=p?(z)/RT(T0??z)

大气的压强足静压强分布规律，可依据式（2-11）写出

dpα(z)=-gpα(z)dz

将式（a）代入，得

或改写成

dpα(z)=-gpα(z)/RT(T0-βz)dz

29

dp?g??dz

p?R(T0??z)p(z=0)=pα0积分上式，得

利用边界条件α

pαgβzln=ln(1-)

pα0βRT0故αp(z)随z变化的函数关系为

?βz?pα(z)?pα0??1?T??0??=ρα(0)=ρα0/RT0g/βR

将该式代入式（a），令ρα0表示z=0处大气密度，得函数ρα(z)，即

g/βR

?pα0βz????α(z)?1??R(T0??z)?T0??g/βR??z????0??1?T??0??

4-16 锅炉排烟风道如图所示。已知烟气密度为

?s?0.8kg/m3，空气密度为

?a?1.2kgm3，烟囱高H?30m，烟囱出口烟气的流速为10ms（1）若自锅炉至烟囱

出口的压强损失为失应减小到多大？

解 （1）烟气密度与空气密度的差别较大，应考虑大气对烟气的浮力作用。取锅炉进风口断面1-1，烟囱出口断面2-2.依据式（4-42），取

（2）若不安装风机，而是完全依靠烟囱的抽吸作用排烟，压强损pw?200Pa，求风机的全压。

?1??2?1.0，有

p1?11?V12?pq?p2??V22?pw?g??s??a?H2s2s其中，风机全压

pq 是输入的能量。断面1-1和2-2的相对压强均为当地大气压强，即

p1?p2?0。忽略断

面1-1的动压

?sV12/2 ，可解出风机全压

30

1pq??V22?pw?g??a??s?H2s?1????0.8?102?200?9.8??0.8?1.2??30?Pa?122.4Pa?2?（

2

）

当

不

安

装

风

机

时

Pq?0，有

1?V22?pw?g??a??s?H2s由此得0?1pw?g??a??s?H??V222s??1??9.8??1.2?0.8??30??0.8?102?Pa?77.6Pa2??强损失应减小到77.6Pa以下

4-17 管道泄水针阀全开，位置如图所示。已知管道直径

这表明，压

d1?350mm，出口直径d2?150mm，流速

V2?30ms，测得针阀拉杆受力F=490N ，若不计能量损失，试求连接管道出口段的螺栓所受到的水平作用力。

解 管道流量

Q??42dV222??40.152?30m3s?0.530m3s

2管道内断面平均流速为

?d2V1???d?1??150??V????30ms?5.510ms ?2?350?? ，得

p1V12V22??根据能量方程

g?2g2gp11122??V2?V1??1000?302?5.512Pa?4.35?105Pa22????设螺栓作用力为R。出口段水体的动量方程为

31

p1?4d12?F?R??Q?V2?V1??4R??Q?V2?V1??p1d12?F?????1000?0.53??30?5.51??4.35?105??0.352?490????28.38?103?4??R为负表示作用力向左，即拉力。 4-18嵌入支座内的一段输水管，其直径由

d1?1.5m,变化到d2?1m，如图示。当支座前的压强

3，流量为Q?1.8m。 s时，试确定渐变段支座所受的轴向力R（不计水头损失）p1?4at（相对压强）

解 取图示1-1和2-2断面，由能量方程

p1V12p2V22???

g?2gg?2g其中，流速

V1?解得4Q?d21?4?1.8??1.52ms?1.019ms,V2?4Q?d22?4?1.8??12ms?2.292ms?2?100024p2?p1?V1?V2??4?9.8?10??1.0192?2.292222??3.899?105Pa设

??????Pa?R1为管道渐变段对水流的作用力，方向向右为正，则断面1-1和2-2之间的水体动量方程为

32

4解得p1?d12?p2?4?421d22?R1??Q?V2?V1??4R1??p1d?p2d22??Q?V2?V1???1.52?3.899?105???4?9.8?104???3.852?105???

?44???6.927?3.062?0.0127??105?12?1000??2.292?1.019?R1?0表示方向向左，即支座作用水流的力方向向左。

R??R1?3.85?105??? R?0表示支座所受轴向力的方向向右。

4-19斜冲击射流的水平面俯视图如图所示，水自喷嘴射向一与其交角成

。若喷嘴出口直600的光滑平板上（不计摩擦阻力）

径

d=25mm，喷射流量Q?33.4Ls，试求射流沿平板向两侧的分流流量Q1和Q2 以及射流

对平板的作用力F。假定水头损失可忽略不计，喷嘴轴线沿水平方向。 解喷嘴出口断面0-0的平均流速

V?4Q?d2?33.4?10?3?4??0.0252ms?68.042ms

由能量方程和水头损失不计的条件知，单面1-1和2-2-处的流速

V1?V2?V?68.042ms

由连续性有

Q?Q1?Q2

为了方便求解，建立图示坐标系，x轴沿平板法向，y轴沿平板切向。控制体取为喷嘴出口0-0断面、断面1-1和2-2之间的水体。因不计摩擦力，平板作用力的y向分量为零，故依据方程（4-48b）可写出总流的y向动量方程

??Q1V1??Q2V2??QVcos600其中，流出动量

???0

??Q1V1??Q2V2?中因为 V2 沿y反向，前面加负号。联解（a）和（b）两式，得

Vcos600?V2cos600?133Q1?Q?Q?Q??33.4?25.05L/sV1?V2244Q2?Q?Q1?33.4?25.05?8.35L/s在

x向上，控制体的流入动量为?QVsin600，流出动量为零。设平板对射流的作用力为F'，假定作用力矢量当沿x

33

正向时取正。依据方程（4-48a），写出总流的x向动量方程

0??QVsin600?F'由此得F'???QVsin600?-1000?33.4?10-3?68.042?sin600??-1968.1? 负值表示该作用力沿x轴反向。射流对平板的作用力

F??F'?1968.1?

它的作用方向沿x正向。

4-20 一平板垂直于自由水射流的轴线放置（如图示），截去射流流量的一部分

Q1，并引起剩余部分Q2 偏转一角度?。已

以及

知射流流量射流偏转角

Q?36L/s，射流流速V?30m/s，且Q1?12L/s，试求射流对平板的作用力R?（不计摩擦力和重力）

解 建立图示坐标系。控制体取为断面0-0、断面1-1 和2-2 之间的水体。作用力矢量当沿坐标轴正向时取正值。依

据方程（4-48），写出总流的x向、y向动量方程为

??Q2V2cos??QV??R??Q2V2sin??Q1V1??0

其中，R表示平板对射流的作用力。因为忽略摩擦，故平板对射流作用力的y向分量为零。由水流连续性，有

Q2?Q?Q1??26?12?L/s?24L/s

由能量方程有

V1?V2?V?30m/s 由式（b）中可解出射流偏转角

??Q1V1??1Q1?1?12??????sin?1??sin?sin?300

????QV?Q2?24??22?由式（a），得

R???Q2V2cos??QV??1000?0.024?30?cos300?0.036?30?

??456.5?负号表明，平板对射流的作用力方向向左（沿x反向）。射流对平板的作用力为-R，其大小为456.5N，方向向右（沿x正向）。

?? 4-21 水流通过图示圆截面收缩弯管。若已知弯管直径

dA?250mm，

dB?200mm，流量

Q?0.12m3/s。断面A-A的相对压强PA需的力

?1.8at，管道中心线均在同一水平面上。求固定此弯管所

FX与Fy（可不计水头损失）。

解 先计算断面A、B的面积和流速：

34

AA?AB?VA?4dA2?dB2??4?0.252m2?0.0491m2?0.22m2?0.0314m2

?4?4Q0.12??m/s?2.444m/sAa0.0491VB?Q0.12?m/s?3.822m/sAB0.0314 ， 得

pAVA2pBVB2由能量方程???g?2gg?2gpB?pA??2VA?VB22?1000??1.8?98000??2.4442?3.82222?????

?5?Pa?1.721?10Pa?作用力矢量当沿坐标轴 正向时取正值。依据方程（4-48），写出总流的x向动量方程

?QVBcos600?VA?Fx?pAAA?pBABcos600

因为断面B的压力沿x轴反向，故前面加负号。解该式，得

??Fx??pAAA?pBABcos600??QVBcos600?VA???0???1.8?98000?0.0491?1.721?105?0.0314?cos600?1000?0.12?3.822cos60?2.444???8661.24?2701.97?63.96????6023.23?负号表示管壁对水流的作用力实际方向沿x反向。故，固定弯管所需要的力大小为6023.23N，方向向左。 类似地，总流的y向动量方程可写成

???

?Q?VBsin600?0?Fy?pBABsin600

其中，因为断面B的压力沿y反向，故前面取负号。解得

??Fy???QVBsin600?pBABsin600???397.19?4779.95????5077.14???1000?0.12?3.822?sin600?1.721?105?0.0314?sin600?

??Fy?0表示该分量的实际方向沿y反向。故，固定弯管的力大小为4382.2N，方向向下。

4-22 试求出题4-5图中所示短管出流的容器支座受到的水平作用力。

V22?1.23m，V2?4.91m/s 解 习题4-5中已解出：2g选取短管出口断面上游的所有水体为控制体，取x轴方向沿着短管出流方向，设容器壁对水体的作用力为F，当沿坐标轴正向时

35

取正值。依据动量方程（4-48a）,有

?Q??2V2??1V1??F

d2?150mm,流量Q?其中 直径

?d224V2?0.0868m3/s

V1?0,V2?4.91m/s??1000kg/m3,??1.0,得

F??QV2?(1000?0.0868?4.91)??426.2?F>0.表明容器壁对水体的作用力沿

4-23 浅水中有一艘喷水船以水泵作为动力装置向右方航行，如图示。若水泵的流量

。 x正向。容器支座受到的水平推力大小为426.2N,方向向左（这就是射流的后座力）

Q?80L/s，船前吸水的相对速度

w1?0.5m/s，船尾出水的相对速度w2?12m/s。试求喷水船的推进力R。

解 选取控制体位于喷水船水管进口与出口之间，x方向向右，沿坐标轴正向的作用力分量取正值。依据动量方程（4-48a），写出x向动量方程

?Q?(?w2)?(?w1)???R其中，-R

R

沿着

是船体对水体的作用力，而喷水传推进力

x正向。解出

R??Q?w2?w1??1000?80?10?3?(12?0.5)?920N

4-24 图示一水平放置的具有对称臂的洒水器，臂悬半径R=0.25m，喷嘴直径d=10mm,喷嘴倾角α=45 若总流量Q=0.56L/s 求（1） 不计摩擦时的最大旋转角速度ω；（2）ω=5rad/s 时为克服摩擦应施加多大的扭矩M 以及所作功率P。 解 （1）喷嘴的喷射流速

v?Q2(?d2/4)?2Q?d22?0.56?10?3?m/s?3.565m/s??0.012

选取随旋臂一起转动的坐标系如图示，控制体为断面1-2之间的右侧弯头段。总流的y向动量方程为

F??Q2?Vsin???R?

F=0

时，有

其中，F为弯头对水流的作用力，左侧弯头的作用力为-F。当

Vsin?2.565sin450???rad/s?10.08rad/sR0.25（2）两个弯头的作用力形成力偶，其扭矩

M??2F?R。当

?

一定时,扭矩

41

Q??1??2????1??2??2?Q?lnr1?lnr2???Qln?r1r2????1??2??2?2? 当Q?1m31s 时，有?? ?ln?r1r2? 。在x=0壁面上，有2??1?tan?1yx?a,?2?tan?1yx?a壁面上流函数值为Q???2??yy??1?1?tanx?a?tanx?a???根据对称性，在x=0壁面上，有??Qu?0,?????x2???y?y??Qy?a2?y2?a2?y2????a2?y2???当Q=1、a=2时，有?y?y???22??2?y???4?y2?4-31 图示一盛水圆桶底中心有一小孔口，孔口出流时桶内水体的运动可以由兰金涡近似，其流速分布如图所示：中心部分

?r?r?u?r???ru?r??ur/ru?u?ru?u?r?R??00为有旋流动，外部

00，其中

0??rr?0?r0? 为有势流动

。设孔口尺寸很小,

r0也很小，圆桶壁面上的流速

R，流动是恒定的。（1）求速度环量

（2）求水面的形状 ? 的径向分布；

2???解（1）速度环量 ?0u?rd?。对中心部分 ?r?r??rd??2??r 积分，得???20220? 的流速分布式

u?r???r对外部

?r?r0?的流速分布式u?r??ur0/r积分，得

0???2?0rurd??2?rur0000

（2）在外部

?r?r0? ，依据无旋流动的伯诺里方程，对任意点均有

42

pu2z???C1?常数

g?2g自由面上

p?0，代入上式，得自由面方程

u2z??C1

2g利用桶壁条件方程可写成

uR?u?r?R??0和z?H,得常数C1?H?r0u0??r?0 故自由面

1z?2g在中心部分

????H,r?r?2 (a)

0流速分布

?r?r?u?r???r的有旋流动是一个柱状强迫涡， 其

与习题 4-28直立圆桶绕中心铅直轴等速运动的流速分布为速度分布为

u???y和???x 完全相同。由习题4-28知，自由面方程可写成

21??r??g?z?z0??0,r?r0 (b)

2g为了确定r=0处自由面高程

、（b）两式，消去z，得zz0,将r?r0 代入（a）?H0。故式（b）可改成

21??r??g?z?z0??0,r?r0

2g式（a）和（c）就是要求解的自由水面方程。

4-32 偶极子是等强度源和汇的组合，如图a所示：点源位于

x?????2,0?点源强度为Q>0;点汇位于

x?????2,0?，强度为-Q<0。点源与电汇叠加后,当偶极子强度M??Q 为有限值、而取??0时，就得到式（4-75）中偶极子的势函数和流函数。试利用偶极子与均匀平行流叠加的方法（图b），导出圆柱

绕流的流速分布（可参见习题4-26）。

解 先推到偶极子的势函数。根据叠加原理，图（a）位于可写成

x?x?的点源和位于x?x?的点汇诱导的流速势

???1??2?rQQQlnr1?lnr2?ln12?2?2?r2

43

其中，从点源

????x?x2,0?2和点汇

???2,0?

到P（x，y）的失径分别为

2r1?故

?x，

??/2??y流

2,r2?速

2?x势

??/2??y2可

写

成

2Q??ln2???/2??y22Q?ln?x??2??y2?ln?x??2??y2?4??令M??Q。取极限??0，得偶极子的流速势M2x1Mx?M?lim???4?x2?y22?x2?y2??022再推导均匀平行流场与偶极子叠加，均匀平行流场的速度势为的

流

速

势

可

???/2??y2?Qx??/2??y2?ln

224??x??/2??y???

?0?U?x，依据叠加原理，它与偶极子叠加后诱导

写

成

??x,y???M??0?M?2?U???1Mx??U?x?U??2?1?x2222?x?y?x?y?仿照式（4-77），令

a2?M2?U2,代入上式，得圆柱绕流的流速势

?a2??a2??????x,y????r2?1?U?x??r?r?U?cos?

????依据式（4-66）得圆柱绕流的的各速度分量

ur证毕。

?a2????1??1?a2?U?cos?,????sin???????1u???r?2?r2???rr??r????r?4-33 在圆柱绕流流场上再叠加上一个位于原点的顺时针点涡，得到有环量的圆柱绕流，如图示。（1）当

??4?aU?时，圆柱表面上的两个滞留点重合。求过滞留点的两条流线方程；（2）采用圆柱表面压强积分的方法，试推导出升力公式；（3）

??4?aU?，试确定滞留点位置。

解 由式（4-79）写出有环量的圆柱绕流的流函数

44

a2?I?(x,y)?U?(r?)sin??lnr （a）

r2π依据式（4-66），得各速度分量

1??a2ur??U?(1?2)cos?r??r

??a2Iu?????U?(1?2)sin????2πrr（1）

求当I=4πaU?时过滞留点的流线方程。将

u??0、r?a代入式（c）得滞留点满足的方程

?2U?sin??II?0或sin???2πa4πaU?满足该式的?值有两个，它们是下表面上的两个滞留点?1??sin?1II和?2??π?sin?14πaU?4πaU?

ππ当I?4πaU?时，有???，?2??，即两个滞留点重合到一起。22为了得出通过滞留点的两条流线的?值，将sin??1和I?4πaU?代入式（a），得?（x，y）??2U（?1?alna）利用流函数表达式（a）和同一流线上“?（x，y）?常数”的性质，得流线方程a2-IU（r?）sin??lnr??2U（??1?alna）r2π因为sin??sin（?π??），故上式代表两条流线。（2）推到升力公式。在圆柱面上，有r=a。代入带式（b）（c）得

ur?0,u???2U?sin??I2πa2p?U2pu?根据伯诺里方程???g?2gg?2g圆柱面上的压强为

2p?p??1/2?U???/（22U?sin??

I2） 2πa积分该式，得圆柱受到的流畅作用力

P??（?p）ad??n，n?icos??jsin?02π其y向量分量就是圆柱受到的升力Py?（?p）ad???/2?（2U?sin??022π2π

I）ad???U?I2πa45

确定I?4πaU?时滞留点的位置。将u??0代入到式（c），得a2I?U（1?）sin???0?22πrr若将柱面条件r?a代入上式，得I??4πaU?sin??4πrU?这说明，当I?4πaU?时，不可能在r?a上出现u??0，必须求解ur?0和u??0构成的方程组，才能找到圆柱外满足r?a的滞留点。为此令??Ia?1,z??14πaU?r、

由（b）（c）两式，得2u（r）?0：U（?1?z）cos??02u（?）?0：?U（?1?z）sin??2?U?z?0从式（d）中可解出cos??0，即滞点位于???π/2。将sin??1代入式（e），得z2?2?z?1?0可解出z????2?1因为圆柱外的滞点满足??1和z?1,只有取“?”才有意义故得两个滞点条件aII2??（）?1和???π/2r4πaU?4πaU?

4-34 设水平放置的

900弯管如图所示，内外壁位于半径分别为r1?200mm和r2?400mm的同

（1）求水流通过时弯管内外u?r?的断面分布与自由涡相同，轴线流速u?r0??2ms，

心圆上。若轴向流速

壁之压差；（2）验证流体的总机械能在弯管内外壁处相等。

解：（1）写出自由涡的流速分布

?r?0,???C/r

46

将r?r0?0.3m处流速值u(r0)=2m/s带入上式，得常数C=0.9，有

???0.6/r

?r1?0.2m,??1?3m/s;在弯道外侧，r?r2?0.4m,??2?1.5m/s。依据同心圆弯道

在弯道内侧，r的压强微分式，有

dp????2rdr

由r?r1和r?r2积分该式，得

?r2r1dp???r1r2??2rdr?3???2?11??? ?22??2?r1r2?故弯管内、外壁之压差为

0.62?1000?11??? p2?p1?220.42?0.2（2）压强水头差

??pa?3375pa ?p2?p13375?m?0.344m

g?9.8?1000 流速水头差

??22???212g1.52?32?m?0.344m

2?9.8可见，压强水头差等于流速水头差，故总机械能在弯道内、外壁处相等。

第五章 层流、紊流及其能量损失

5-1（1）某水管的直径d=100mm,通过流量Q=4L/s,水温T=20

0C;(2)条件与以上相同，但水管中流过的是重燃油，其运

动粘度

??150?10?6m2/s。试判断以上两种情况下的流态。

?Vd 解：（1）Re?Vd?4Qd4Q4?0.004???50425?2000

?d2v?d???0.1?1.01?10?64Q4?0.004??339.5?2000

?6?d???0.1?150?10流动为紊流流态。 （2）Re??0?流动为层流流态。

5-2（2）温度为0

C的空气，以4m/s的速度在直径为100mm的圆管中流动，试确定其流态（空气的运动粘度为

?621.37?10?5m2/s）。若管中的流体换成运动粘度为1.792?10m/s的水，问水在观众管中呈何流态？

47

解 流体为空气时，有 Re?Vd?Vd?4?0.1?29197?2000 紊流流态

1.37?10?54?0.1?223214?2000 紊流流态 ?61.792?10 流体为水时，有 Re???5-3（1）一梯形断面排水沟，底宽0.5m，边坡系数cot??1.5(θ为坡角)，水温为200C，水深0.4m，流速为0.1m/s，

试判别流态；（2）如果水温保持不变，流速减小到多大时变为层流？ 解（1）梯形断面 面积

A?h(b?hm)?0.4?(0.5?0.4?1.5)m2?0.44m2

湿周

??b?2h1?m2?0.5?2?0.4?1?1.52m?1.942m

?A??水力半径 R?VR?0.44m?0.2266m

1.9420.1?0.22664?2.24?10?500 紊流流态 ?6?1.01?10VR （2）层流的上界雷诺数Re??500。解出

雷诺数 Re???500?500?1.01?10?6?m/s?2.23?10?3m/s V?R0.2266故流速减小到2.23?10?3m/s时变为层流。

5-4由若干水管组装成的冷凝器，利用水流经过水管不断散热而起到冷凝作用。由于紊流比流层的散热效果好，因此要求管中的水流处于紊流流态。若水温10解：水温t V0C,通过单根水管的流量为0.03L/s，试确定冷却管的直径。

?100C时，水的粘度??1.31?10?6m2/s。管道断面平均流速

Q4Q?2 A?dVd4Qd4Q由Re??2??2000,得

??d??d??

4Q4?0.03?10?3?m?0.0146m d?2000??2000??1.31?10?6故可选用标准管径d=14mm。

5-5 设有一均匀流管路，直径d=200mm，水力坡度J=0.8%，试求边壁上的切应力0和100m长管路上的沿程损失hf。 解：由式（5-16），管壁平均切应力

?48

0??g?RJ?9800?0.2?0.008N/m2?3.92N/m2 4沿程损失 hf?Jl?0.008?100m?0.8m

5-6动力粘度为

??0.048Pa?s的油，以

V=0.3m/s，的平均速度流经直径为d=18mm的管道，已知油的密度

??900Kg/m3，试计算通过45m长的管道所产生的测管水头降落，并求距管壁y=3mm处的流速。

解 该管流的雷诺数

Re??Vd900?0.3?0.018??101.25?2000?0.048

表明，油流为层流流态。由层流的水头损失公式（5-28），有

hf?32?l32?lV?V22gdg?d

长l=45m的均匀流段的测管水头降落于水头损失相等，得

?p32?l32?0.048?45?hf?V??0.3m?0.726m

22g?g?d9.8?900?0.018当y=3mm时，有

r?d?1131???y???? d?2?d2183将流层关系式（5-25）即

?max?2V代入到流层的流速剖面式（5-24），得

22???r???1?? ?(r)?2V?1?4????2?0.3??1?4????m/s?0.33m/s

?d???3????????5-7一矩形断面明渠中流动为均匀流，已知底坡i=0.005,水深h=3m,底宽b=6m。试求：（1）渠底壁面上的切应力0；（2）

水深h1??2m处的水流切应力?0

解（1）求渠底切应力0。水力半径 R??bh6?3?m?1.5m

b?2h6?2?3均匀流的水力坡度与底坡相等，即J=i=0.005m。由切应力公式（5-16），渠底壁面上的切应力 0??g?RJ?9800?1.5?0.005Pa?73.5Pa

?2m处的水流切应力?0以水深h1?2m处为界面，上侧水体构成一流束，其水力半径为

（2）求水深h1 R'?bh16?2?m?1.2m

b?2h16?2?249

均匀流各流束的水力坡度相等，有J=i=0.005。由式（5-14），该流束的周界上的平均切应力为 0?'?g?R'J?9800?1.2?0.005Pa?58.8Pa

'???0，即水深h1?2m处的切应力约为58.8Pa。

因为断面较宽，可看作

5-8有三条管道，其断面形状分别为图中所示的图形、方形和矩形，它们的断面面积均为A，水力坡度J也相等。（1）求

三者边壁上的平均切应力之比。（2）当沿程损失系数

?相等时，求三者流量比。

??gpRJ。又因为各断面J相等，可知

解（1）求三者平均切应力之比。由切应力公式（5-16），有0 1?:?2:?3?R1:R2:R3

其中，下标1，2，3分别表示圆形、方形和矩形断面。各断面的水力半径

R1?dAAA1AA2?,R2???A,R3???44?4a4A46b6A/26A

由此算得比值

R1:R2:R3?112::?0.282:0.25:0.2364?46

1?:?2:?3?28.2:25:23.6

hfl (2)求三者的流量比。由达西公式，得

J???V22dg???Q28gRA2

又因为各断面J相等，有QR。于是，得流量比

Q1:Q2:Q3?R1:R2:R3?0.531:0.5:0.486

5-9 两水平放置、间距为b的平板，顶板以速度U沿水平方向作匀速运动，板之间流动为层流流态，求其流速剖面。 解 选取长方形水体单元如图，依据x向受力平衡F1?F2，得单元上、下表面的切应力关系?1??2。因为单元任

取，故得到

???d??C?常数。积分该式，得??C1y?C2 dy其中两个积分常数由边界条件确定：由y=0处

??0,得C2?0；由y=0处??U，得C1?Ub。故流速剖面为直

线

??Uy。 b5-10厚度直径b的液体薄层在斜面上向上流动，如图示。设流动为均匀流、层流流态，试用脱离体法证明其流速剖面为

??g2b?y2sin? 2???其中，g为重力加速度，v为运动粘度，

?为斜面的倾角，y为自由液面以下的深度。

解 建立图示Oxy坐标系。取宽度B=1m、厚度为y的水体。由x向平衡条件，可写出

?Bdl???g??dlBysin??

50

或

??g?ysin?

???d?d????dzdy，得

依据牛顿内摩擦定律

g?ysin????d?dy。积分该式，得

11g?y2sin??C'???u 或 ??gsin?C?y222???

由条件y=b处

??0，得系数C?b2。故有 gsin?2b?y22? 证毕。

????

5-11 圆管直径d=150mm，通过该管道的水流速度V=1.5m/s，水温T?180C。若已知沿程损失系数??0.03，试

求摩阻流速

?*和粘性底层名义厚度?0。如果将V=2.0m/s，?*和?0如何让变化？若保持V=1.5m/s，而管径增大到d=300mm，

?*和?0如何让变化？

解 当温度

180C时，水的粘度为

??1.062?10?6m2/s。由（5-35）和（5-37）两式，有

?0?32.8?V??32.8?1.062?10?61.5?0.03m?1.341?10?4m

?11.6?1.062?10?6 ?*?11.6?m/s?0.0919m/s

?4?01.341?10当流速提高至V=2.0m/s时，设

?保持不变，有

1.5m?1.006?10?4m 2.0?0?1.341?10?4??*?0.092?

2.0m/s?0.122m/s 1.5当保持V=1.5m/s不变，而管径增大到d=0.3m，若

?不变，则?*和?0保持不变。

T?150C下进行实验，所得数据为

5-12半径

r0?150mm的输水管，在水温

??991.1kg/m3,??0.00114Pa?s,V?3.0m/s,??0.015.求：（1）管壁r?r0处、管轴r=0处

和r?1?0.5r0处的切应力；（2）若在r?0.5r0处的流速梯度为4.34s，求该点的粘性切应力和紊动附加切应力。

解（1）Re??Vd??3?2?0.15?991.1?782447.4 属于紊流流态。

0.00114991.1?32?16.725Pa。 由式（5-18），有?0??。故管壁切应力?0?0.015?88?V2

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