第3讲 解析几何之中点弦题型

第三讲.解析几何之中点弦题型

【教学目标】

1.掌握两点的中点坐标公式；

2.掌握韦达定理在解析几何中的应用； 3.会求解解析几何中相关的中点弦问题。

【知识、方法梳理】

1.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点坐标是(x1?x2y1?y2,) 22b?x?x????12a 22.一元二次方程ax?bx?c?0，则有??xx?c12?a?3.解析几何中遇到中点弦问题，基本解题思路是联立方程，利用韦达定理（注意判别式?）

【典例精讲】

x2y2??1交于A,B两点，求A,B的中点坐标。 例1.直线l:y?x?1与椭圆42【解析】：将直线代入椭圆，得3x?4x?2?0

设A(x1,y1),B(x2,y2)，中点(x0,y0)

2x?x2421??，y0?x0?1? ，x0?1323321所以中点(?,)

33则x1?x2??

【点评】：看到中点，想到韦达定理

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x21?y2?1于A,B两点，且A,B的中点为M(1,)，求直线l的方程。 例2.设直线l交椭圆22【解析】：直线l斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线l:y?1?k(x?1) 2121322代入椭圆方程，整理得(k?)x?2k(k?)x?k?k??0

22412k(k?)2，又因为M(1,1) 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?12k2?21k(k?)x?x22?1，解得k??1，经检验此时??0 所以1?12k2?23所以l:y??x?

2【点评】：联立方程利用韦达定理是解决中点问题的基本方法

y2?1与点P(1,2)，过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点. 例3.已知双曲线x?22（1）求直线AB的方程；

（2）若Q(1,1)，证明不存在以Q为中点的弦.

【解析】：（1）解：设过P(1,2)点的直线AB方程为y?2?k(x?1)，

代入双曲线方程得

(2?k2)x2?(2k2?4k)x?(k2?4k?6)?0

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

2k2?4k则有x1?x2?? 22?k由已知

x1?x2?xp?1 22k2?4k?2.解得k?1. ∴22?k又k?1时，??16?0，从而直线AB方程为x?y?1?0.

（2）证明：按同样方法求得k?2，而当k?2时，??0，所以这样的直线不存在.

【点评】：注意检验?的重要性，上题中中点在椭圆内部，检验?只是形式而已，而双曲线的情况较为复杂，检验的步骤必不可少，具体的情况我们以后会做分析。

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例4.若抛物线y?ax?1上总存在关于直线x?y?0对称的两点，求a的范围

2【解析】：设对称的两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，

考虑到直线AB应与x?y?0垂直，设直线AB:y?x?b，

x?x211，x0?1， ?a22a111点M也在x?y?0上，所以y0??x0??，即M(,?)

2a2a2a1代入直线AB，得b?y0?x0??

a12所以方程化简为ax?x??1?0

a3考虑到??0，解得a?

4x2?y2?1上有不同两点A,B关于y?x?b对称，求b的取值范围； 例5.已知椭圆2联立方程得，ax?x?b?1?0，所以x1?x2?2【解析】：设A(x1,y1),B(x2,y2)，A,B中点M(x0,y0)，

依题意AB被直线y?x?b垂直平分，所以kAB??1，

设AB:y??x?m，代入椭圆，整理得3x?4mx?2m?2?0 则x1?x2?22x?x42mm，x0?12?m，y0??x0?m? 3233m 3由于M(x0,y0)也在y?x?b上，所以y0?x0?b，b?y0?x0??考虑到有两个交点??0，解得m?(?3,3)

所以b?(?33,) 33【点评】：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A(x1,y1),B(x2,y2)，但不是真的求出

x1,y1,x2,y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2?y1y2?0是解决

本题的关键.

x2y2例6.椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1(?c,0)，F2(c,0)，过F1斜率为1的直线l与

ab椭圆C相交于A，B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列．

（1）求证：b?c；

（2）设点P(0,?1)在线段AB的垂直平分线上，求椭圆C的方程． 【解析】：（1）由题设，得2AB?AF2?BF2，

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由椭圆定义AB?AF2?BF2?4a，

4a． 3设A(x1,y1)，B(x2,y2)，F1(?c,0)，l：x?y?c，代入椭圆C的方程，整理得 (a2?b2)y2?2b2cy?b4?0， （*）

所以，AB?则AB?(x1?x2)?(y1?y2)?2(y1?y2)?2[(y1?y2)?4y1y2]

22222??2b2c?24b4?28b442222?， ??2????4bc?a?b??2a22222222?a2?b2?a?b?(a?b)?????(a?b)44b2?a， 于是有a?223a?b化简，得a?2b，故，b?c．

22（2）由（1）有b?c，方程（*）可化为3y?2by?b?0

1b设AB中点为M(x0,y0)，则y0?(y1?y2)?，

232b又M?l，于是x0?y0?c??．

3由PA?PB知PM为AB的中垂线，kPM??1，

??b?132由P(0,?1)，得?1?，解得b?3，a?18，

2b?3x2y2??1． 故，椭圆C的方程为189

例7.已知抛物线y?2px(p?0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A,B，且AB?2p。

(1)求a的取值范围

(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值 2【解析】：(1)设直线l的方程为：y?x?a，

代入抛物线方程得(x?a)?2px，即x?2(a?p)x?a?0

22?AB?2?4(a?p)2?4a2?2p，?4ap?2p?p即4ap??p2

222又

p?0，a??p。 4(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB的中点C(x,y), 由(1)知，y1?x1?a，y2?x2?a，x1?x2?2a?2p

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则有x?x1?x2y?yx?x?2a?a?p,y?12?12?p 222∴线段AB的垂直平分线的方程为y?p??(x?a?p), 从而N点坐标为(a?2p,0)

点N到AB的距离为|a?2p?a|?2p 21?2?4(a?p)2?4a2?2p?2p2ap?p2 2p当a有最大值?时，S有最大值为2p2。

4从而S△NAB?

【双基训练】

1.若直线x?y?2?0与抛物线y?4x交于A,B两点，则线段AB的中点坐标是_________

2x2y2??1于A,B两点，且A,B的中点为M(1,1)，求直线l的方程。 2.设直线l交椭圆32

y2?1与点P(2,1)，问能否过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，使得P为AB中3.已知双曲线x?22点？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由。

x2y2??1上有不同两点A,B关于y?4x?m对称，求m的取值范围； 4.已知椭圆43

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【纵向应用】

5.已知直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B点。

（1）求a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y?请求出a的值；若不存在，说明理由。

221x对称？若存在， 2【横向拓展】

6.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。

x2?y2?1。 已知椭圆C1:4x2y2??1，（1） 若椭圆C2:判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，164请说明理由；

（2） 写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程；若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线

y?x?1对称，求实数b的取值范围？

x2y2（3） 如图：直线l与两个“相似椭圆”2?2?1和

abx2y22???(a?b?0,0???1)分别交于点22abA,B和点C,D，证明：AC?BD

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【练习题答案】

1.(4,2) 2.y??25x? 333.能，y?2x?3

4.m????213213??13,13?? ???y?ax?1225.【解析】：（1）由?2消去y，得(3?a)x?2ax?2?0 2?3x?y?1?3?a2?0依题意?即?6?a?6且a??3

???0（2）如果存在的话，必须满足AB被y?代入（1）中方程得x?4x?2?0

设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB的中点M(x0,y0)，

21x垂直平分，所以a??2 2x1?x2?2，y0??2x0?1??3，即M(2,?3) 21但M(2,?3)不在y?x上，所以不存在这样的a。

2则x0?6.【解析】：（1）椭圆C2与C1相似。

因为椭圆C2的特征三角形是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1

x2y2（2）椭圆Cb的方程为：2?2?1(b?0)-

4bb设lMN:y??x?t，点M(x1,y1),N(x2,y2)，MN中点为(x0,y0)，

?y??x?t?222则?x2，所以5x?8tx?4(t?b)?0 y2?2?2?1?4bbx1?x24tt?,y0? 2555t4t?1，t?? 因为中点在直线y?x?1上，所以有?355则x0?7 www.1smart.org 中国领先的高端教育连锁集团

即直线lMN的方程为：lMN:y??x?5， 3由题意可知，直线lMN与椭圆Cb有两个不同的交点，

即方程5x?8(?)x?4[(?)?b]?0有两个不同的实数解，

2535322所以??(402255 )?4?5?4?(?b2)?0，即b?393（3）证明：

①直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以AC?BD； ②直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y?kx?n，A(x1,y1),B(x2,y2)， 线段AB的中点(x0,y0)，

?y?kx?n?2?(b2?a2k2)x2?2a2knx?(a2n2?a2b2)?0 ?xy2?2?2?1b?a?1a2knx?(x?x)??2?a2knnb2?0212b?a2k2,2) ???线段AB的中点为(?222222b?akb?ak?y?kx?n?nb00?b2?a2k2?a2knnb2,)， 同理可得线段CD的中点为(?2b?a2k2b2?a2k2即线段AB与CD的中点重合，所以AC?BD

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