小学六年级奥数经典讲义（上） - 图文

第一讲 循环小数与分数 第二讲 和差倍分问题 第三讲 行程问题 第五讲 质数与合数 第六讲 工程问题 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲 第十五讲 第十六讲 第十七讲 第十八讲 第十九讲 第二十讲 第二十一讲 第二十二讲 第二十三讲 第二十四讲 第二十五讲 第二十六讲 第二十七讲 第二十八讲 第二十九讲 第三十讲 第三十一讲 第三十二讲 第三十三讲 第三十四讲 第三十五讲 第三十六讲 牛吃草问题 包含与排除 整数的拆分 逻辑推理 通分与裂项 几何综合 植树问题 余数问题 直线面积 圆与扇形

数列与数表综合 数字迷综合 计数综合

行程与工程 复杂工程问题

运用比例求解行程问题应用题综合 数论综合2 进位制问题 取整问题 数论综合3 数论综合4 几何综合2 图形变换 勾股定理 计数综合 最值问题 构造与论证1 构造与论证2

第一讲 循环小数与分数

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．

1．真分数

a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是71??，3=0.428571???，4=0.571428?，?， 2=0.285714?=0.14285777771992，那么a是多少? 【分析与解】

5??． ??， 6=0. 857142=0.71428577a 因此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是

71+4+2+8+5+7=27，

.a? 又因为1992÷27=73??21,27-21=6，而6=2+4，所以=0.857142，即a=6．

7a 评注：的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变

7化．

?乘以一个数a时，?误看成1.23， 2．某学生将1.23把1.23使乘积比正确结果减少0.3．则

正确结果该是多少?

?a-1.23a=0.3，即：0.003?a=0.3，所以有： 【分析与解】 由题意得： 1.2333?a=1.23?× 90=123?2×90=111× 90=111． a?．解得a= 90，所以1.23900109090

???，结果保留三位小数． 3．计算：0.1+0.125+0.3+0.16??? 【分析与解】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.16 ≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666

= 0.7359 ≈0.736

??? 方法二：0.1+0.125+0.3+0.1611315????98990111?? 188

53?72??0.7361 ≈0.736

??0.12??0.23??0.34??0.78??0.89? 4．计算：0.01??0.12??0.23??0.34??0.78??0.89? 【分析与解】 方法一：0.01112?123?234?378?789?8????? 90909090909011121317181????? =

909090909090216= 90==2.4

??0.12??0.23??0.34??0.78??0.89? 方法二：0.01??0.02??0.03??0.04??0.08??0.09?) =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+(0.01?×(1+2+3+4+8+9) =2.1+0.01 =2.1+

1×27 90 =2.1+0.3 =2.4

方法三：如下式， 0.011111? 0.122222．．．

0.233333．．． 0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27) 0.788888．．．

+ 0.899999．．． 2.399997．．．

?=2.4．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999?=2.39

?=评注：0.9

9?=9?1． =1 ,0.0999010

??与0.179672??相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近5．将循环小数0.027似值的最后一位小数是多少?

【分

析

与

解

】

?? ??×0.179672??=27?179672?1?179672?4856?0.0048560.02799999999937999999999999循环节有6位，100÷6=16??4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l位是5．这样四舍五入后第100位为9．

16666666666

66666666664161166116661166661?,?,? ,?,?所以【分析与解】 找规律：

644664466644666644166666666661=

66666666664438538853888538888538888888885?2??3??4??...?评注：类似问题还有． 297299729997299997299999999976. 将下列分数约成最简分数：

0.5?236?59

1190.5?236?59118?5915960)×59=59-【分析与解】==(1?=58

1191191191191197. 将下列算式的计算结果写成带分数：

44802193418556÷÷1 8333259093525518556448021934【分析与解】 7÷÷1

35255833325909628112590935255?? = 833321934538113?7?3?99713?19935?641?11?? =

13?6412?11?9973?3?3?19937?5 =

2?35 =5

68．计算:7

1111111?????? 812825450810162032406481281111111??????【分析与解】原式? 81288128406420321016508254211111????? ? 8128406420321016508254111111????? ? 406440642032101650825411111???? ? 2032203210165082541111??? ? 10161016508254111?? ? 50850825411? ? 2542541 ?

127 9．计算：

10．计算：

153?219??(4.85??3.6?6.15?3)??5.5?1.75?(1?)? 4185?321?175719?3.6?(4.85?1?6.15)?5.5???? 443421135?19 =?3.6?10?5.5?

412【分析与解】 原式=

=9+5.5-4.5

=10

11．计算: 41.2×8.1+11×91+537×0.19 4【分析与解】 原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125) =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125 =412+11×8+11×1.25+19×1.25 =412+88+1.25×30 =500+37.5 =537.5

2255?7)?(?) 7979656555【分析与解】原式=(?)?(?)

79795555 =?13?(?)??(?)?13

797912．计算：(9

13．计算:

1?2?3?2?4?6?4?8?12?7?14?21

1?3?5?2?6?10?4?12?20?7?21?351?2?3?(13?23?43?73)1?2?32【分析与解】 原式=?? 33331?3?5?(1?2?4?7)1?3?55

14. (1)已知等式0.126×79+12

33×□-6÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? 510(2)设上题答案为a．在算式（1993.81+a)×○的○内，填入一个适当的一位自然数，

使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是x，0.126×79+12

33x-6÷25=10.08，解得：510x=0.03，即口所代表的数是0.03．

(2)设○内所填的数字是y，(1993.81+O.03)×y=1993.84×y，有当y为8时

1993.84×y=1993.84

×8=15050.94，所以○内所填的数字是8．

111111????)?385 23571113111111【分析与解】原式=(?385??385??385??385??385??385

2357111315．求下述算式计算结果的整数部分：(? ≈192.5+128.3+77+55+35+29.6

=517.4 所以原式的整数部分是517．

第二讲 和差倍分问题

各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的问题．基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中要注意单位“1”的恰当选取．

1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的多少倍?

【分析与解】 甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的

1，那么甲数是乙数的81，设这时的甲100数为“1”，则乙数为1×8=8，那么原来的甲数=l×100=100，则甲数是乙数的100÷8=12.5倍．

2. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的那么白子占全部棋子的几分之几? 【分析与解】 如下表所示：

2．如果把这三堆棋子集中在一起，5

设全部黑子为“5”份，则第三堆里的黑子为“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，将第一堆黑子和第二堆白子调换，则第二堆全部为黑子．

所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为3×3=“9”份，其中黑子占“5”份，则白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的4÷9=

4． 9

3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂

12，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台? 1312 【分析与解】 因为甲厂生产的是乙厂的，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那

13的生产量是乙厂的

么甲厂比乙厂少1份=8台．总共=8×(12+13)=200台．

4．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元?

【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有1+0.5=1.5． 原来收入为l×15=15，降价后收人为15×(1+元，则一张门票降价15-12=3元．

1)=18元，那么降价后门票为18÷1.5=125

5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的的恰好是没运来的

3，第二次运了50块．这时，已运来85．问还有多少块蜂窝煤没有运来? 75 【分析与解】 已经运来的是没有运来的，则运来的是5份，没有运来的是7份，

75537也就是运来的占总数的．则共有50÷(-)=1200块，还剩下1200×=700块．

1212812

6．有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的

8．问剪下的一段长多少厘米? 13【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为21－13=8厘米． 因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变．

设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份，则每份为8÷5=1．6(厘米)．

所以，剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)． 方法二：设剪下x厘米， 则

13?x8?，交叉相乘得：13×(13-x)=8×(21-x)，解得x=0.2， 21?x13 即剪下的一段长0.2厘米．

7．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的l

1倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天? 2 【分析与解】 如下表所示：

天数

1 2 3 4 5

工作量

甲 10 20 40 80 160 乙 10 15 22.5 33.75 50.625 当天工作量 20 35 62.5 113.75 210.625 已完成工作量 20 55 117.5 231.25 441.375

说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，

那么共用时间为4+68.75÷210.625=4

110天． 337

8．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷．麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷．那么菜地是多少公顷?

【分析与解】如下表所示：

菜地

1 2麦地

1 3?13公顷 ?78公顷

菜地3 麦地2

菜地2 菜地

麦地3 麦地

?72公顷 ?12公顷

1 31 2

即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷)．

而菜地减去麦地，为78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．

9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的

35和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等．问原计划要栽植这三种树各多少棵?

【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则： 杨树=5份；柳树=2份+30棵；槐树=2份-15棵， 则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，

有：杨树=5×165=825棵；柳树=165×2+30=360棵；槐树=165×2-15=315棵．

10. 师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的

11比徒弟加工零件个数的还多3410个．那么，徒弟一共加工了多少个零件?

【分析与解】 我们用“师”表示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有：

11“师”- “徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680． 34那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80个零件．

11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的1倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有

127的人去甲工地，其12他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天．那么这批工人共有多少名?

【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”．

上午 下午

甲 乙

33? 1?347 1211? 1?34751-= 1212 于是甲工地一整天平均用了这批工人的(?工人的1-

372)?2?，乙工地一整天平均用了这批412321

?． 33

21 这批工人的完成了“1.5”的工作量，那么的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工

33作量，于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要4人工作1

天．

而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天． 所以原来这批工人共有40-4=36人．

12．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于原来的分数是多少?

【分析与解】 如果分子加1，则分数为

11；如果分母加1，这个分数就等于．问231x，设这时的分数为：，则原来的分数为22xx?1x?11?，交叉相乘得：3(x-1)=2x+1，解得x=4，则原分数为，分母加1后为：

2x2x?133． 8

13．图2-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的

36，竹林占圆形的，正方形和圆47形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积大450平方米．问水池的面积是多少平

方米?

【分析与解】 因为水池是正方形的

11，是圆的，则正方形是水池的4倍，圆是水47池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池=450÷3=150平方米．

14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的的

1，唐僧和沙僧共吃了总数211，唐僧和孙悟空共吃了总数的．那么唐僧吃了总数的几分之几? 34111 【分析与解】 唐+猪=、唐+沙=、唐+孙=．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+

234111111孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=++=1．则：2唐=，唐=．

2341212241 唐僧吃了总数的．

24

15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟?

【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整．

因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右；

小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟；

在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4=144个零件，并且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；

那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成． 所以共需202分钟才能完成．

方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个．

则在44分钟内小李做了：44÷4×3=33个，小张做了：44÷5.5×4=32个，他们一共做了：33+32=65个．

300÷65=4??40，也就是他们共同做了4个44分钟即：44×4=176分钟后，还剩下40个零件没有做完．

而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：4×2=16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7个，即这40个零件还需要26分钟．

所以共用时间：44×4+26=202分钟．

第三讲 行程问题（1）

涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑．

1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?

【分析与解】 设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间在从甲到乙花费了时间1÷55＝

2,现601千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是55211??. 605566即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．

2. 甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?

【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟．

而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时．

以下给出两种解法：

方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x小时,有50×x+40×?21?5??x??100,解得x?.

3?12?1小时. 3 所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后

方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.

512?1的路程,即依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了

2.5?26150501?50?小时. 行驶了100?100?千米的路程,距出发

63332.5?2

3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?

【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒． 则无风速度=

顺风速度＋逆风速度9＋7＝8米/秒 =22所以无风的时候跑100米，需100÷8=12.5秒.

1 24. 一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?

【分析与解】 如下画出示意图，

有A?B段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时, 有B?C段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时． 而从A?C全程的行驶时间为8-1=7小时．

设AB长x千米,有

x50?x??7,解得x=25． 12.55所以A,B两镇间的距离是25千米.

5.一条大河有A,B两个港口,水由A流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A向B行驶,各自不停地在A,B之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B两个港口之间的距离.

【分析与解】 设AB两地的路程为单位“1”,则：

甲、乙两人在A、B往返航行，均从A点同时同向出发,则第n次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2n；

甲、乙两人在A、B往返航行,均从A点同时同向出发,则第n次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2n；

甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相向出发,则第n次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2n-1)；

甲、乙两人在A、B往返航行,分别从A、B两点相向出发,则第n次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2n-1)．

有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时， 乙船的顺水速度为24千米/小时，逆水速度为16千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.

(一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了2～3个AB长度，乙走了2～1个AB长度，设甲走了2＋x个AB的长度,则乙走了2-x个AB的长度,有

11x11?x11??＝?，解得x?，即第二次迎面相遇的地点距A点AB的距322432241633离.

(二)①第二次甲追上乙时，有甲行走2y?z(y为整数，z≤1)个AB的长度，则乙行走了2y?4?z个AB的长度，有

yyzy?2y?2z????＝，化简得3y?z?20，显然无法满足y为整数，322432241624z≤1；

②第二次甲追上乙时，有甲行走2y?1?z(y为整数，z≤1)个AB的长度，则乙行走了2y?3?z个AB的长度，有

y?1yzy?1y?2z????，化简有3y?2z?13，有z?0.5，y?4. ＝32242424161611 即第二次甲追上乙时的地点距B点AB的距离，那么距A也是AB的距离．

22 所以，题中两次相遇点的距离为(?米.

6.甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B地、乙到达A地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米?

【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B、A两地.接着两船再分别从B、A两地往AB中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和. 有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速.

还有从开始到甲第一次到达B地，乙第一次到达A地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的．

甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速．

从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB的路程,需时间80÷2=40分钟． 有4倍水速=1000???11?1???AB，为40千米，所以AB全长为240千23?6??40???1500,有水速=375米/小时=0.375千米/小时． 60??即河水的流速为每小时0.375千米．

7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【分析与解】 甲行走45分钟，再行走70－45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程． 甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126分钟．

即乙走一圈的时间是126分钟．

8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．

【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+

1圈的213＝圈的路程． 22 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为480米．

3圈，所以此圆形场地的周长为2

9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的甲跑第二圈时速度比第一圈提高了

2.311；乙跑第二圈时速度提高了．已知沿跑道看从甲、35乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?

【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为

12. 53的跑道长度． 521 有甲回到出发点时，乙才跑了的跑道长度.在乙接下来跑了跑道的距离时，甲以

3312“4”的速度跑了?2?4?圈．

33112 所以还剩下的跑道长度，甲以4的速度，乙以的速度相对而跑，所以乙跑了

35 如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点

11?12?12??1????4????圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点圈．

83?5?5??8

3119??圈， 584019?400米． 所以，这条椭圆形跑道的长度为190?40即第一次相遇点与第二次相遇点相差

10.如图3-2，在400米的环形跑道上，A,B两点相距100米.甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?

【分析与解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100÷(5-4)=100秒． 此时甲跑了100×5=500米，乙跑了100×4=400米．

而实际上甲跑500米，所需的时间为100+4×10=140秒，所以140～150秒时甲都在逆时针距A点500处．

而乙跑400米所需的时间为100+3×10=130秒，所以130～140秒时乙走在逆时针距B点400处．

显然从开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒．

11.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两点．甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【分析与解】 如下图,记甲乙相遇点为C.

当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC的路程． 由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A点所需时

间的

1. 21×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙2 即AC=

速度的2倍．

那么甲到达A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l圈400米．

所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．

12.如图3-3，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?

【分析与解】 开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米． 甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．

甲、乙的位置如右图所示：

显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．

而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=所以经过16+

13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?

【分析与解】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB顺时针的半跑道上．

易知小跑道AB逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB的顺、逆时针路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚．

当甲第一次到达B时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处．

2秒． 322=16秒后甲第一次看见乙. 33

而当乙第一次到达B点时，所需时间为200÷4=50秒,此时甲跑了50×6=300米,在B点300-200=100米处．

乙跑出小跑道到达A需100÷4=25秒,则甲又跑了25×6=150米,在A点左边(100+150)-200=50米处．

所以当甲到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达A处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒．

所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米．

14．如图3-5,正方形ABCD是一条环形公路．已知汽车在AB上时速是90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米,在DA上的时速是80千米．从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇．如果从PC的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB上一点N相遇．问A至N的距离除以N至B的距离所得到的商是多少?

【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD的边长为单位“1”.

有甲从P到达AB中点O所需时间为

PDDAAOPD10.5?????. 608090608090乙从P到达AB中点O所需时间为

PCBCBOPD10.5?????. 60120906012090有甲、乙同时从P点出发,则在AB的中点O相遇,所以有：

PD1PC1?=? 608060120且有PD=DC-PC=1-PC,代入有 所以PM=MC=

1?PC1PC15???,解得PC=. 608060120853,DP=. 168 现在甲、乙同时从PC的中点出发,相遇在N点,设AN的距离为x.

35?MDDAAN8161x?? 有甲从M到达N点所需时间为???； 6080906080905MCCBBN1611?x??乙从M到达N点所需时间为. ???60120906012090355?111x1611?x有816?，解得x?.即AN=. ????323260809060120901311??所以AN÷BN? 323231

15.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A，B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出发.丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上.问三角形BEF的面积为多少平方米?

【分析与解】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．

先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE的路程，乙20分钟走了60+AD+DF的路程．所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程．

?AD60?AE60?DF?AD?60?DF??有，有?

7AE?ED?560?AE101410?????? 然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,

丁10分钟行走了DF的距离． 有

EDDF?，即5ED＝2DF． 410?AD?AE?ED?60?DF?AE?87?? 联立?7?AE?ED??5?60?AE?，解得?ED?18

?DF?45?5ED?2DF?? 于是,得到如下的位置关系：

S?BEF?S四边形ABCD-S?ABE?S?EDF?S?FCB=60??87?18??×87－

1×60211?18?45??15??87?18??2497.5(平方米) 22

第五讲 质数与和数

与质数有关的构造问题，通过分解质因数求解的整数问题．

1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．

【分析与解】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．

评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是??，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，?，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、

4、?、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．

其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×?×n．

2、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．

【分析与解】 我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么后一个数即2或3与12的和一定也是2或3的倍数，将是合数，所以从5开始尝试．

有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．

3．9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?

【分析与解】 大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数．

验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．

也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个．

4. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?

【分析与解】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．

有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．

所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．

5．3个质数的倒数之和是

11 【分析与解】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为、、

ab1F，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×b×c，求和得到的分数为,cabc如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积．

1661现在和为，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=331，检

1986验满足．

所以这3个质数的和为2+3+331=336．

1661，则这3个质数之和为多少? 1986

6．已知一个两位数除1477，余数是49．求满足这样条件的所有两位数．

【分析与解】 有1477÷除数=商??49，那么1477-49：除数×商，所以，除数×商=1428=2×2×3×7×17．

一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428，有84、51、68满足．

所以满足题意的两位数有51、68、84．

7．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少?

【分析与解】 有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小．

有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；

对应分数从小到大依次为而

124571014、、、、、、、? 140703528201410其中第三个最简真分数为．

8．某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?

【分析与解】 这个学校最少有35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995．

1995=3×5×133，在455～665之间的约数只有5×133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995÷665=3元．

9．在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?

【分析与解】 1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，

一一验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．

当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．

当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．

所以原来的积为1755或1800．

10.已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少?

【分析与解】 2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l，则和的个位为1或6．

有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数．

它们的差为68-43=25．

11．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?

【分析与解】 1764=2×2×3×3×7×7，1764对应为5个小于10的自然数乘积．

只能是1764=4×3×3×7×7 =2×6×3×7×7 =2×2×9×7×7 =1×6×6×7×7 =1×4×9×7×7

对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．

对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．

所以甲的总环数为24，乙的总环数为28．

12．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?

【分析与解】 如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．

ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．

当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;

当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意．

所以它们的乘积为11×2×17=374．

13.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?

【分析与解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34×34×34即343最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有33×34×35=39270．

所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．

则长方体的表面积为：2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．

方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足．

当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度．

而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35． 长方体的表面积为3927039270392702×(++)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．

333435

14．一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?

【分析与解】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．

1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．

它们的和为6+9+37=52(厘米)．

15．如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?

【分析与解】4875=3×5×5×5×13，

有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数． 那么它们的差为39-25=14．

评注：由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63． 而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等． 我们再对65，195，325，375，975等一一验证． 严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．

第六讲 工程问题

多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题．解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化．

1．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了2

2小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了5420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?

111－=. 8122421184 甲调出后，剩下工作乙需做(8—2)×(÷)=(小时)，所以乙每小时加工零件

582458422420÷=25个，则2小时加工2×25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420＝480(个)．

555【分析与解】乙单独加工，每小时加工

2．某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成．如果由甲、乙两人合作，

需48天完成．现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?

【分析与解】 由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20 天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天．

所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63÷3×4=84天， 即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程．

现在甲先单独做42天，相当于乙单独工作42÷3×4=56天，即乙还需单独工作112—56=56天即可完成这项工程．

3．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?

【分析与解】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为的工程量为

1111++=，那么它们6天完成101215413×6=，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1． 4231111 所以－1=是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需÷=5(天)才能完成的工

222102程量，所以甲队在6天内撤出了5天．

所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成．

4．一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半．现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少天?

【分析与解】 甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队做2天． 即甲的工作效率是乙的每段时间应是： 8÷(1+l+

22，从而乙单独做12×=8(天)完成，所以两段所用时间相等，332)＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)． 3

5．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的要多少天才能完成？

1．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需51，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两811人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的；

8161 由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的，即丙每天抄写书稿的

811111；于是可知乙每天抄写书稿的－－＝.

816482448【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的

所以乙一人单独抄写需要1÷

1=24天才能完成． 24

6．游泳池有甲、乙、丙三个注水管．如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池．那么，单开丙管需要多少小时注满水池?

113-=,

820401311 丙管每小时注满水池的-=. 6401201112010 因此，单开丙管需要1÷==10(小时)．

1201111【分析与解】 乙管每小时注满水池的

7．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁

两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

【分析与解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是

111、、. 8612 对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．

即

11111+－=，所以甲、丁合作的工作效率为． 81262424所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．

8．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做

18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?

【分析与解】 方法一：对于工作效率有： (甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即的工作效率为

11113+－=为两倍乙的工作效率，所以乙89187221． 1441131－＝ 914448 而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为 那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷

1=48天． 4811121＋＋＝，所以(甲，891872212121乙，丙)=÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．

144144722111 那么丙单独工作的工作效率为－＝，那么丙一个人来做，完成这项工作需48

144848 方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝天．

9．某工程如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完成．那么这5个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程?

【分析与解】 由已知条件可得，

对于工作效率有：

(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)． 所以5个小队一起合作时的工作效率为： （

11111＋＋2×＋）÷3＝ 1278426所以5个小队合作需要6天完成这项工程.

评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.

10．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水?

【分析与解】 设甲管注入18吨水所需的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为“O.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为27÷18×0.5=0.75. 以下采用两种方法：

方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：

因此18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9吨，所以“1”

=36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水． 所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水．

方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的

3． 4 再设甲单独灌水的工作效率为“1”，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙=

3(2+丙)；所以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、4丙合灌时，丙也灌了27吨，那么水箱最多可容纳27+27=54吨水．

11.某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完．问水池中原有水多少立方米?

【分析与解】 甲每小时注水100÷10=10(立方米)， 乙每小时注水100÷15= 设排水管每小时排水量为“排”，

则(“排”－10－

20(立方米)， 32050)×3=(“排”－10)，整理得3“排”－3×=“排”－3310,2“排”=40，则“排”=20．

所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．

12．一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管．当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池．现在需要在2小时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管?

【分析与解】 记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效率为“排”，那么有：

11， 2“进”－“排”=. 51511211 所以有，2“进”=(－)=，那么“进”=，则“排”=.

515151515 4“进”－“排”=

题中需同时打开x个进水管2小时才能注满，有： x“进”－“排”=

1111，即x－=，解得x=8.5 215152所以至少需打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满．

13．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有

1池水．如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问经过6多少时间后水开始溢出水池?

【分析与解】 方法一：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开l小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的

111170－＋－=. 34566 最优情况为：在完整周期后的1小时内灌满一池水．因为此时为甲管进水时间，且甲的效率是四条管子中最大的．

那么在最优情况下：完整周期只需注入1－ 所需周期数为

111－＝池水． 632170302÷＝＝4 27671717＋×5=＋＝660612 那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水

3 4 剩下l－时).

所以，需5个完整周期即20小时，再加上

31113＝池水未灌满，而完整周期后l小时内为甲注水时间，有÷＝ (小4443433小时，即20小时后水开始溢出． 44方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的

11117－＋－= . 3456601717＋=. 6606017745＋×4=，在20小时后，只606060加上池内原有的水，池内有水：

再过四个4小时，也就是20小时后，池内有水：需要再灌水1－

451＝,水就开始溢出． 604113333 ÷= (小时)，即再开甲管小时，水开始溢出，所以20+=20(小时)后，水

434444开始溢出水池．

方法三：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的

11117－＋－＝. 345660171743一个周期后，池内有水：＋=,有待注入；

6606060

17724363＋=,即有先待注入； 6060606052473129 三个周期后，池内有水：＋＝，有待注入；

60606060317382211 四个周期后，池内有水：＋＝，即有待注入；

606060603038745151 五个周期后，池内有水：＋＝，即有待注入．

6060606041113 而此时，只需注入的水即可，小于甲管1小时注入的水量，所以有÷= (小时)，

4434333即再开甲管小时，水开始溢出，所以20+＝20 (小时)后,水开始溢出水池．

444 二个周期后，池内有水：

评注：这道题中要求的是第一次溢出，因为在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有

时增加有时又减少，所以不能简单的运用周期性来求解，这样往往会导致错误的解答，至于为什么?我们给出一个简单的问题，大家在解完这道题就会知晓．

有一口井，深20米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬6米，晚上掉4米，问蜗牛爬出井需多少时间?

14.一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空．如果打开A，B两管，4小时可将水池排空，那么打开B，C两管，将水池排空需要多少时间?

【分析与解】 设这个水池的容量是“1”

1+每小时渗入水量； 81 B管每小时排水量是： +每小时渗入水量；

101 C管每小时排水量是： +每小时渗入水量；

121 A、B两管每小时排水量是：+每小时渗入水量．

4111因为+每小时渗入水量++每小时渗入水量=+每小时渗入水量，因 此，每小时渗

81041111入水量是：－（＋）＝.

481040 A管每小时排水量是：

那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示：

于是打开B、C两管，将水池排空需要

1÷（

11315＋-）=1÷=4.8（小时）. 81204024第七讲 牛吃草问题

牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难

度．

牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率. 下面给出几例牛吃草及其相关问题．

1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”．)

【分析与解】 27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；

23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草； 所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l头牛需吃12周．

评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了．

一般方法：

先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间乙)；

再进行如下运算：(甲牛头数-变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙．

或者：(甲牛头数-变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数．

2．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周?

【分析与解】 我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).36×12=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草)．于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草．

对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好．于是4公顷，配4÷2×6=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷(4÷2)=36周吃完2公顷．

所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36 ×(10÷2)÷20=9周．

于是50头牛需要9周吃10公顷的草．

3．如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光．(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把

1的牛放在阴影部分的草地中吃草，另3外号的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？

【分析与解】 一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8

1群牛，1天，吃了1块1天新长的. 612 又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，它们同时

33天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即吃完.所以，

19193?块地.那么需要??群牛吃新长的草，22624193193（1?）?2?=现在（?1?）（1?）?2??（1?）=30天. 于是.所以需要吃：

624624③=2?阴影部分面积.于是，整个为4?所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天.

4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?

【分析与解】 我们注意到：

牛、马45天吃了 原有+45天新长的草① ?牛、马90天吃了

2原有+90天新长的草⑤ 马、羊60天吃了 原有+60天新长的草② 牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草③ ? ? ?

马 90天吃了 原有+90天新长的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．

所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草. 所需时间为l÷(11?)=36天. 9060 所以，牛、羊、马一起吃，需36天．

5. 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是31公顷、310公顷和24公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?

【分析与解】 由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形．

所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7÷(18÷4)=0.6头牛，加上专门吃新长草的O．9头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草．

所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草．

第八讲 包含与排除

涉及互相重复的两类或三类对象的计数问题．解题可利用计算所有对象总个数的容斥原理，以及图示包含与排除关系．

1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?

【分析与解】 至少参加一个小组的同学有15+18-10=23人，所以有40-23=17人两个小组都不参加．

2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?

【分析与解】 数学、语文至少有一门得满分的学生有45-29=16人．所以语文成绩得满分的有16-10+3=9人．

3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，?，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?

【分析与解】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：

第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．

?50??50? 1?50之间，4的倍数有??=12,6的倍数有??=8，即是4的倍数又是6

?4??6??50?的倍数的数一定是12的倍数，所以有??=4．

?12?于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师．

4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多

少支?

?100??100? 【分析与解】 1～100，2的倍数有?=50，3的倍数有=33个，????2??3?因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有

?100?=16个． ??6?? 于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．

所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：

50×2+33×3+33×1=232支.

5. 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段? 【分析与解】 只需先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数． 从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．

?180??180? 有1～180，3的倍数有?=60个，4的倍数有=45个，而既是3的????3??4??180?倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有?=15个． ?12??注意到180厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以绳子被剪成89+1=90段．

6. 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅? 【分析与解】 将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级， 那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15-25)÷2=3幅．

7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有

233的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张．那

34么，这些卡片一共有多少张?

【分析与解】 设这些卡片的总数为“1”，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数．

\\??15?\，解得“1”对应36张． 所以有34即这些卡片一共有36张．

8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?

?1000? 【分析与解】 l～1000之间，5的倍数有?=200个，7的倍数有??5??1000?=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以??7???1000?这样的数有?=28个． ??35?所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．

9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．

【分析与解】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C．

A=25，B=35，C=27，B?C=12，A?B =8，A?C=9，A?B?C=4. A?B?C=A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C.

所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．

即这个班有62人．

10．如图8-1，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．

【分析与解】 设甲圆组成集合A，乙圆组成集合B，丙圆组成集合C．

A?B?C=30，A?B=6，B?C=8，A?C=5，A?B?C=73，

而A?B?C=A?B?C?A?B?B?C?A?C?A?B?C. 有73=30×3-6-8-5+A?B?C，即A?B?C=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2． 那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．

11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．

【分析与解】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合G．三者都参加的学生有z人． 有A?B?C=46，A=24，B=20，C=3.5，A?C=7A?B?C，

B?C=2A?B?C，A?B=10． 因为A?B?C?A?B?C??AB??AC??B，所C??A?BC以

46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都参加的有3人． 那么参加文艺小组的有3?7=21人．

12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?

【分析与解】 设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．

A=33, B=44，C=55，A?B=29，A?C=25，B?C=36． 本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．

A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C,

当

A?B?C最大时，A?B?C有最大值.

也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多．

而A?B?C最大不超过A、B、C、A?B、B?C、A?C 6个数中的最小值，所以A?B?C最大为25．

此时A?B?C=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．

13．如图8-2，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?

【分析与解】 如下图，下图中“?”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“?”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．

14．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆? 【分析与解】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；

欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端。于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．

15．甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?

【分析与解】 只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；

欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．

评注：注意与14题的区别，本题中必须是从一端连续的排下去，而14题没有要求连续．

第九讲 整数分拆

1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大．也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数．

2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P．

3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大．

4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+?+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数． 如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1．

5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法．

即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2－1个奇约数． 6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：

m 如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角

线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分

拆方式．

我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆．

1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆．

【分析与解】 画出示意图即为13=1+3+4+5的共轭分拆．

，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，

2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等．则该电视连续剧最多可以播出几天?

【分析与解】 由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少．

选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8

即最多可以播出7天．

3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子?

【分析与解】 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球．

同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球．

类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数．

现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数?

因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数；

又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数； 又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数．

所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子

4．机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色： 凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之

和，1染黄色)．问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少?请说明理由．

【分析与解】 显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色， 3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6． 可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染成黄色． 下面统一观察其他自然数，说明其他自然数均要染成红色． 1)当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2(k－2)．

由于n≥10，所以k≥15，k－2≥3，2(k－2)与4均为合数，且不相等．于是，大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和，应染成红色． 2)当n为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2(k－4)．

由于n≥13，所以k≥6，k－4≥2，2(k－2)≥4与9均是合数，且不相等．也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色．

所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k≥2)．

所以第2000个染红色的数是2000+10=2010．

5.在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法. (1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数． (2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数．

【分析与解】 关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1”，就是用连续的整数的和的形式来表达 种数.

根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15)；

有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5；

根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2,3、6、9、10、27个数相加：

364+365；242+243+244；119+120+?+124；77+78+79+?+85；36+37+?+45；14+15+?+40．

6.从整数1开始不改变顺序的相加，中途分为两组，使每组的和相等.如从1到3的话，1+2=3；从1到20的话：1+2+3+?+14=15+16+17+?+20.

请问：除上述两例外，能够列出这样的最短的整数算式是从1到几?

【分析与解】 我们用这种阶梯图来表示连续的数相加，假设情况见下图，

我们通过图得知，c是公共部分，而b+c为原等式的右边，a +c为原等式的左边，所以有a=b，a部分面积为

A?(A?1) (可以看成从1一直加到A)，b部分面积为B×B(可以看2作从1一直加到B再又加到1)；

有

A?(A?1)=B×B． 2 可以表示为奇数×相邻的偶数÷2=B×B；

其中A是连续两个数中较小的一个，B的平方等于连续两个数的乘积除以2． 因为相邻的两个数互质，所以，偶数÷2后与原相邻奇数也互质； 所以，奇数必定为完全平方数；偶数÷2也为完全平方数，这样：

①奇数为1，则偶数为2，除以2，为1，均为完全平方数．A=l，B=1×2÷2=1，于是为A+B=2，A+2B=3；所以为l+2=3；

②奇数为9，则偶数为8，除以2，为4，均为完全平方数．A=8，B=8×9÷2=36，于是为A+B=8+6=14，A+2B=8+2×6=20；所以为1+2+3+?+14=15+16+17+?+20； 还可以偶数为10，除以2，为5，不是完全平方数，不满足．

③奇数为25，则偶数为24，除以2，为12，不是完全平方数，不满足； 还可以偶数为26，除以2，为13，不是完全平方数，不满足．

④奇数为49，则偶数为48，除以2，为24，不是完全平方数，不满足；

还可以偶数为50，除以2，为25，是完全平方数．A=49，B=49×50÷2=1225，于是为A+B=49+35=84，A+2B=49+2×35=119．所以等式为l+2+3+?+84=85+86+87+?+119(=3570)．

所以所求的式子为1+2+3+?+84=85+86+87+?+119(=3570)．

7．把一个整数写成非零自然数的和的形式．如果所用的几个自然数相同，只是写的顺序不同，也只算做一种方法．另外，只使用一个自然数，也算做一种方法． (1)比如，把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种：

6，5+1，4+2，3+3，4+l+1，3+2+1，2+2+2．请问：把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种?

(2)比如，把7用3以下的自然数的和来表示的方法有如下八种：

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