高三数学高考一轮复习资料： 任意角和弧度制及任意角的三角函数

任意角和弧度制及任意角的三角函数

[最新考纲]

1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．

3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知 识 梳 理

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

?按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

(2)分类?

?按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 三角函数 定义 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

l|α|＝r(弧长用l表示) π?180?①1°＝180rad ②1 rad＝?π?° ??弧长l＝|α|r 11S＝2lr＝2|α|r2 正弦 余弦 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α ＋ ＋ － － 1

正切 yx叫做α的正切，记作tan α ＋ － ＋ － x叫做α的余弦，记作cos α ＋ － － ＋ 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 续表

三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 辨 析 感 悟 1．对角的概念的认识 (1)小于90°的角是锐角．(×)

(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)

(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×) 2．任意角的三角函数定义的理解

(5)(教材练习改编)已知角α的终边经过点P(－1,2)，则sin α＝

225

＝.225?－1?＋2

(√)

有向线段AT为正切线 (6)(·济南模拟改编)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．

(√)

(7)(·新课标全国卷改编)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，5

终边在直线y＝2x上，则cos θ＝5.

2

[感悟·提升]

(×)

1．一个区别 “小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下： π?π???小于90°的角的范围：?－∞，2?，锐角的范围：?0，2?，第一象限角的范围：

????π??

2kπ，2kπ＋?(k∈Z)．所以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，2???反之不成立．如(1)、(2)．

2．三个防范 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7).

考点一 象限角与三角函数值的符号判断

cos α【例1】 (1)若sin α·tan α＜0，且tan α＜0，则角α是( )． A．第一象限角 C．第三象限角

(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( )． A．小于0 0

C．等于0 在

解析 (1)由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，cos α

由tan α＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．

(2)∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2·cos 3·tan 4＜0. 答案 (1)C (2)A

规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．

3

B．第二象限角 D．第四象限角

B．大于

D．不存

θ?θθ?

【训练1】 设θ是第三象限角，且?cos 2?＝－cos 2，则2是

??

( )．

A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

θ

解析 由θ是第三象限角，知2为第二或第四象限角， θ?θθθ?

∵?cos 2?＝－cos 2，∴cos 2≤0，知2为第二象限角． ??答案 B

考点二 三角函数定义的应用

2

【例2】 已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sin θ＝4m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意得，r＝3＋m2，∴sin θ＝

m2

＝m. 3＋m24

∵m≠0，∴m＝±5.故角θ是第二或第三象限角．

当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， x－36y515

∴cos θ＝r＝＝－4，tan θ＝x＝＝－3. 22－3

当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． x－36y－515

∴cos θ＝r＝＝－4，tan θ＝x＝＝3. 22－3

615615

综上可知，cos θ＝－4，tan θ＝－3或cos θ＝－4，tan θ＝3. 规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．

3

【训练2】 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋cos α的值． 解 设角α终边上任一点为P(k，－3k)，

4

则r＝k2＋?－3k?2＝10|k|. 当k＞0时，r＝10k， ∴sin α＝

－3k3110k

＝－，cos α＝k＝10， 10k10

3

∴10sin α＋cos α＝－310＋310＝0； 当k＜0时，r＝－10k， －3k3

∴sin α＝＝，

－10k10－10k1＝cos αk＝－10，

3

∴10sin α＋cos α＝310－310＝0. 3

综上，10sin α＋cos α＝0.

考点三 扇形弧长、面积公式的应用

【例3】 已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 1审题路线 (1)角度化为弧度?求扇形的弧长?S弓＝S扇－S△?分别求S扇＝2lr，S

△

1

＝2r2sin α?计算得S弓．

(2)由周长C与半径R的关系确定R与α的关系式?代入扇形面积公式?确定S

扇

与α的关系式?求解最值．

解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则 ππ10π

α＝60°＝3，R＝10，l＝3×10＝3(cm)， 110π1πS弓＝S扇－S△＝2×3×10－2×102×sin 3 50503?π3?

＝3π－2＝50?－?(cm2)．

?32?

(2)法一 扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝

5

C， 2＋α

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