最新-2018中考数学 分类解析矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半练习 苏教版 精品

一． 2018分类解析．矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半 苏教版

二．选择题

（2018山东滨州，12，3分）如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿

中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

1BC．∵∠C=90°，∠B=60°，∴AB＝2BC，2【思路分析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝

AE＝BE＝BC．又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC＜BE．如图(1)，把△ADE绕点E旋转180°，使AE与BE重合，由题意可得∠C＝∠D＝∠F＝90°，则四边形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以构成邻边不等的矩形，则①成立．如图(2)，把△ADE绕点D旋转180°，使AD与CD重合，由题意可得BC＝BE＝EM＝MC，则四边形BCME是菱形，且∠B＝60°为锐角，则③成立．如图(3)，移动△ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DE∥BN，且DE≠BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则②成立．因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则④不成立．

【方法规律】在拼合时，可以把所有情况列举出来，再挑出符合条件的情况． 【易错点分析】

【关键词】三角形的中位线，直角三角形的性质，矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定

（2018四川宜宾，7，3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，

点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

ADFBCE（第7题图）

【答案】D

【思路分析】由矩形的性质可得BC＝AD＝8.因为△ABE≌△AFE，所以AB＝AF，BE＝FE＝3，EC＝BC－BE＝AD－BE＝8－3＝5.在Rt△EFC中，由勾股定理，得

FC?EC2?EF2?52?32?4.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2?BC2?AC2，即AB2?82?(AB?4)2.解得AB＝6.故选D.

【方法规律】本题可从条件入手，结合三角形全等、矩形的性质，利用线段代换，在Rt△ABC中，利用勾股定理，构造以所求线段为未知数的一元二次方程求解.

【易错点分析】因审题不深入，找不到已知与未知的关系，导致解题中断.

【关键词】矩形的折叠、勾股定理、三角形全等. 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】好题，易错题.

（2018湖北宜昌，13，3分）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为(2，

1).如果将矩形OABC 绕点0 旋转180°，旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1 的坐标为( ). A. (2，1) B.(-2,l) C.(-2,-l) D.(2，-1)

（第13题图）

【答案】C

【思路分析】矩形OA1B1C1是由矩形OABC绕原点旋转180°得到的，矩形OABC与矩形OA1B1C1关于原点成中心对称，因此B1的坐标为(-2,-l).

【方法规律】本题通过观察图形中点的坐标，找出图形的变换关系，确定点的坐标．

【易错点分析】解答中心对称有关问题时，要熟练掌握中心对称的性质并能灵活运用性质进行解答. 【关键词】图形变换 中心对称 坐标系 【推荐指数】★ ★ 【题型】常规题

（2018湖南永州，14，3分）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（ ）

y y t t O B． y t y t O D． O A． O C． （第14题）

【答案】A．

【思路分析】直线l在线段BD上匀速平移，从整个过程来看分三个阶段：直线l交矩形的边A B上，此时截线段EF的长度为y逐渐增大，且交于点A处最大，直线l交矩形的边A D上且F与C重合，此时截线段EF的长度为y不变，直线l交矩形的边CD上，此时截线段EF的长度为y逐渐减小。

【方法规律】本题为运动型问题，解题策略是“动中取静” ，从动态变化的角度分析分析题意，对三种不同状态下的函数关系进行分类，描绘出相应变量之间的关系，解决本题的关键能够根据图形中的位置与数量的变化来理解函数图像表达的意义。

【易错点分析】有的考生没考虑长度有一部分是不变的，而错选B. 【关键词】矩形、运动、图象 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】新题

三．填空题

（2018山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形，若∠CED′=56°，则∠AED的大

小是_______．

【答案】62°

1(180°－56°)＝2【思路分析】由折叠知，∠AED＝∠AED′，又∵∠CED′=56°，∴∠AED＝∠AED′＝

62°．

【方法规律】通过折叠得到的图形与原图形完全重合． 【易错点分析】

【关键词】矩形的性质，折叠 【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】常规题，操作题 （2018广东佛山，13，3）在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O,若AB=OB = 4,则AD=______

【答案】43 【思路分析】由于矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，所以OA＝OB，而AB=OB＝4，所以△AOB是等边三角形，所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝BD2?AB2＝82?42＝48＝43. 【方法规律】从图形的特征出发，将问题转化到直角三角形中来，再运用勾股定理求解. 【易错点分析】误认为AD＝2AB＝8.

【关键词】矩形的性质、勾股定理. 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题

（2018河南，15，3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝60°，BC＝2AD＝23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点C，则△BFG的周长为 ．

（第15题图）

【答案】3＋23 【思路分析】∵AD平行且等于BE，且∠ABC＝90°，∴四边形ABED为矩形，∵△DEF是等边三角形，所以∠DEF＝60°，所以∠BEF＝30°，在Rt△DEC中，EC＝3，∠C＝60°，所以DE＝3，所以EF＝DE＝3，在△BEF中，BE＝3，EF＝3，∠BEF＝30°，可求得BF＝BE＝3，所以△BFG的周长为3＋23．

【方法规律】证明一个四边形是矩形的时候，先证明这个四边形是平行四边形，再证明有个直角的，在计算边长的时候，用到了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形边长相等等知识．

【易错点分析】不能求出BF的长，也就求不出△BFG的周长． 【关键词】等边三角形，矩形，梯形 【推荐指数】★★★★★ 【题型】新题，好题，难题

四．解答题

（2018山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF

交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（ ）

A．23 B．33 C．4 D．43 【答案】A

【思路分析】由题意知，点D,F分别为AC,AB的中点，所以DF为△ABC的中位线，所以DF∥BC,

所以∠C=∠CDE=90°，又∠E=90°，所以四边形CDEB为矩形，因为∠A=30°，BC=2,所以AC=23,所以CD=

1AC=3,所以四边形BCDE的面积为：BC×CD=2×3=23. 2【方法规律】求四边形的面积可考虑是否为特殊四边形.把求四边形BCDE的面积转化为求矩形的面积. 【易错点分析】计算容易出错.

【关键词】三角形中位线，四边形，矩形. 【难度】★☆☆☆☆ 【题型】常规题

（2018北京市，24，7分）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE?CF；

（2）若?ABC?90?，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若?ABC?120?，FG∥CE，FG?CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

ABDE图1 ADADCBECFG图2 BFE1 3 2 图3 CF

G【答案】(1)证明：如图1．

∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD．

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F． ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF

(2)∠BDG=45°

(3)解：分别连结GB、GE、GC（如图3） ∵AB∥DC，∠ABC=120° ∴∠ECF=∠ABC=120° ∵FG∥CE且FG=CE．

∴四边形CEGF是平行四边形． 由(1)得CE=CF，

平行四边形CEGF是菱形．

∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=

1∠ECF=60° 2∴△ECG是等边三角形 ∴EG=CG， ① ∠GEC=∠EGC=60°

∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG． ②

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB． ∴AB=BE．

在平行四边形ABCD中，AB=DC． ∴BE=DC． ③

由①②③得△BEG≌△DCG．

∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1 +∠3=∠2+∠3=∠EGC=60° ∴∠BDG=

180???BGD=60°．

2【思路分析】由角平分线及平行线的性质可推出CE=CF；连接BG、CG，由SAS可证△DGF≌△BGC，得到△

BGD为等腰直角三角形，所以∠BDG=45°；同理可得△BGD为等腰三角形，再证△BGD为等边三角形，从而得到∠BDG=60°。

【方法规律】特殊图形中包括着边角的关系，只要找到特殊的图形，就能沟通边角间的关系。 【易错点分析】不能做出辅助线从而找到特殊的三角形；不能证明∠BDG为60度。 【关键词】平行四边形，矩形，菱形，角平分线 【推荐指数】★★★★☆ 【题型】新题，好题

（2018山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直

线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

【答案】

当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时， 四边形AECF是矩形．………………2分

证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2．………………3分 又∵MN∥BC，∴∠1=∠3．

∴∠3=∠2，∴EO=CO．………………5分 同理，FO=CO．………………6分 ∴EO=FO．

又OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形．………………7分 方法一：又∵∠1=∠2，∠4=∠5， ∴∠1+∠5=∠2+∠4．………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠4=90°．………………9分

∴四边形AECF是矩形．………………10分

方法二：∵EO=CO，FO=CO，OA=OC，∴EO=CO=FO=OA，即AC＝EF．………8分 ∴平行四边形AECF是矩形．………………10分

【思路分析】矩形是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，则只有点O运动到AC的中点时，才能出现平分，才可能是平行四边形，才可能是矩形．

【方法规律】矩形的判定方法很多，常用方法是，先证明四边形为平行四边形，再证明有一个角为直

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