浙江省杭州市萧山区第八高级中学2022_2022学年高二数学上学期期

浙江省杭州市萧山区第八高级中学2018-2019年高二数学上学期期末模拟试题（一）

一．选择题（每小题

4分，共

40分．）

1．直线22

x y

+=在x轴上的截距为()

A ． 1

B ． 2

C ．2

- D ．1

-

2．圆220

x y ax

++=的圆心横坐标为 1 ，则a等于()

A ． 1

B ． 2

C ．1

- D ．2

-

3．关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是() A．若αβ

⊥，则α内一定存在直线平行于β

B．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β

C．若αγ

⊥，βγ

⊥，l

αβ=，则lγ

⊥

D．若αβ

⊥，则α内所有直线垂直于β

4．已知双曲线

2

21

4

y

x-=上点P与左焦点

1

F的连线的中点M恰好在y轴上，则||

OM等于()

A ． 2

B ． 3

C ．3

D ．

1

4

5．设抛物线24

y x

=的焦点为F，不过焦点的直线与抛物线交于

1

(A x，

1

)

y，

2

(B x，

2

)

y两点，与y轴交于点C（异于坐标原点)

O，则ACF

?与BCF

?的面积之比为()

A ．1

2

x

x

B ．1

2

1

1

x

x

+

+

C ．

2

1

2

2

x

x

D ．

2

1

2

2

1

1

x

x

+

+

6．下列各图中，直线a与b平行的只可能是()

浙江省杭州市萧山区第八高级中学2018-2019年 A ． B ． C ． D ．

7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫

卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体其上下、左右、前后

完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90?榫卯起

来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁

放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的

厚度忽略不计）( )

A ．28π

B ．30π

C ．60π

D ．120π 8．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条

切线PA 、PB 、A 、B 为切点，则直线AB 恒过点( )

A ．(2,0)

B ．525(,)52-

C ．(1,1)-

D ．1(,1)2

- 9．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，P 为椭圆上与长轴端点不重合的一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，过2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，若||2OQ b =，椭圆

的离心率为e ，则22

2a e b

+的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．3 D ．1

10．如图，在二面角M l N --的一个M 内有Rt ABC ?，其中

90A ∠=?，

顶点B 、C 在二面角的棱l 上，AB 、AC 与平面N 所成的角分别为α、β，若二面角M l N --的大小为θ，则下

面的关系式中正确的是( )

A ．222sin sin sin αβθ+<

B ．222sin sin sin αβθ+=

浙江省杭州市萧山区第八高级中学2018-2019年 C ．222sin sin sin αβθ+>

D ．222sin sin sin 1αβθ++=

二．填空题（本题有6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共30分） 11．双曲线2

214

x y -=的实轴长是 ，焦点到渐近线的距离是 ． 12．已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，

则实数m = ，两直线之间的距离是 ．

13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则

a = ，该几何体的表面积为 ．

14．设直线:340l x y a ++=，圆222

:(2)2C x y -+=，若

在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=?，则a 的取值范围是 ．

15．已知实数x ，y 满足2268240x y x y +--+=，则22x y +的最小值为 ． 16．对于曲线22

:141

x y C k k +=--，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆； ②若曲线C 表示双曲线，则1k <或4k >； ③当14k <<时，曲线C 表示椭圆； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<． 其中所有正确命题的序号为 ．

二．解答题（本题有4小题，共50分，要求写出详细的演算或推理过程）

17．（本题满分12分）直线1:1(4)y k x -=-，圆22:(2)25C x y ++=． ①直线l 一定经过哪一点．

②若l 被圆C 所截得的弦长为45，求l 的方程．

③当k 为何值时，直线l 与圆C 相切．

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18．（本题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -底面是直角梯形，点E 是棱PC 的中点，BA AD ⊥，CD AD ⊥，2CD AB =，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB AD ===． （Ⅰ）判断BE 与平面PAD 是否平行，证明你的结论；

（Ⅱ）证明：BE ⊥平面PDC ；

（Ⅲ）求三棱锥A PDC -的体积V ．

19．（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是棱BC ，AC 的中点，

4PB PC AB ===，8AC =，43BC =，26PA =．

（Ⅰ）证明：BC ⊥平面PED ；

（Ⅱ）求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．

D A C P E

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7．（本题满分14分）如图，曲线C 由下半椭圆22

122:1(0)(0)y x C a b y a b

+=>>和部分抛物线22:1(0)C y x y =-连接而成，1C 与2C 的公共点为A ，B ，其中1C 的离心率为32

． （Ⅰ）求a ，b 的值；

（Ⅱ）过点A 的直线l 与1C ，2C 分别交于点P ，Q ，（均异于点A ，)B ，是否存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

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11. 4，1 12. 4，26

，18． 14. [6-，6] 15. 16 16. ②④

1．解： 因为直线方程为22x y +=，令0y =得1x =所以直线22x y +=在x 轴上的截距为 1 ，故选：A ．

2．解： 圆22

0x y ax ++=，即圆222()24a a x y ++=，它的圆心横坐标为12a -=，2a =-，故选：D ．

3．解：对于A ，假设a αβ=，则α内所有平行于a 的直线都平行β，故A 正确； 对于B ，假设α内存在直线a 垂直于β，则αβ⊥，与题设矛盾，故假设错误，故B 正确； 对于C ，设c α

γ=，d βγ=，在γ内任取一点P ，作PM c ⊥于点M ，PN d ⊥于点N

则PM α⊥，PN β⊥，且PM 、PN 不可能共线．又l α?，l β?，PM l ∴⊥，PN l ⊥．又PM PN P =，PM γ?，PN γ?，

l γ∴⊥．故C 正确．

对于D ，假设a α

β=，则α内所有平行于a 的直线都平行β，故D 错误．

故选：D ． 4．解： 双曲线2

2

14y x -=上点P 与左焦点1F 的连线的中点M 恰好在y 轴上，可知2PF x ⊥轴，224||41b PF a ===，则||2OM =．故选：A ．

浙江省杭州市萧山区第八高级中学2018-2019年 5．解： 如图，ACF BCF S AC S BC ??=，分别过A 作AM y ⊥轴， 过B 作BN y ⊥轴，则1AM x =，2BN x =，

而AMC BNC ??∽，

∴12ACF BCF S x AC AM S BC BN x ??===． 故选：A ．

6．解： 对于A ，B ，C 中分别在平面α，β内的

直线是异面直线，

则a 与b 是异面直线， 直线a 与b 不可能平行：

故选：D ．

7．解：由题意，该球形容器的半径的最小值为130254122

++=，∴该球形容器的表面积的最小值为：2304()30ππ?=．故选：B ． 8．解：P 是直线280x y --=的任一点，∴设(82,)P m m +，圆224x y +=的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是(4,

)2m m +，且半径的平方是222(4)4m r m =++，∴圆C 的方程是2

222[(4)]()(4)24

m m x m y m -++-=++，①又224x y +=，②，

②-①得，(82)40m x my ++-=，即公共弦AB 所在

的直线方程是：(82)40m x my ++-=，即

(2)(84)0m x y x ++-=，由20840

x y x +=??-=?得12x =，1y =-，∴直线AB 恒过定点1(2

，1)-，故选：D ． 9．解：如图，由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上

浙江省杭州市萧山区第八高级中学2018-2019年 一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，延长2F Q 交1F P 延长线于M ，得2PM PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PM MF a +==，连接OQ ，知OQ 是三角形12F F M 的中位线，OQ a ∴=，又2OQ b =，

2a b ∴=，则222244()a b a c ==-，即2234

c a =， 4222422331644228b b a e a c b a b b +++∴==33222388b b b b

=+=．当且仅当328b b =，即34b =时，222a e b

+有最小值为3．故选：C ． 10．解：作AD l ⊥于点D ，作AE ⊥平面N 于点E ，

连结BE 、CE 、DE AE ⊥平面N ，DE ∴是

AD 在平面N 内的射影AD l ⊥，DE l ∴⊥，

可得ADE ∠就是二面角M l N --的平面角，

ADE θ∠=又BE 、CE 分别是AB 、AC 在平面N 的射影ABE ∴∠、ACE ∠分别为AB 、AC 与平面N 所成的角，得ABE α∠=且ACE β∠=设AE x =，则Rt ABE ?中，sin AE AB α=，可得sin sin AE x AB αα==同理得到sin x AC β=，sin x AD θ=Rt ABC

?中，AD 为斜边BC 边上的高AB AC AD BC

∴=，得2222222111AB AC AD AB AC AB AC +==+，因此222222sin sin sin x x x

θαβ=+，化简得222sin sin sin αβθ+=故选：B ． 11．解：双曲线2

214

x y -=的2a =，1b =，415c =+=，即有24a =，焦点为(5±，0)，渐近线方程为12y x =±，则焦点到渐近线的距离是|5|114

=+，故答案为：4，1． 12．解：直线3230x y +-=与610x my ++=互相平行，36123m ∴-=-≠-， 4m ∴=，6410x y ∴++=，即为13202x y ++=，∴两直线之间的距离是

浙江省杭州市萧山区第八高级中学2018-2019年 221|3|713232

+=+，故答案为：4，713 13．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一平放的三棱柱，且三棱柱的高是3，底面三角形的边长为2，高为a ；∴该三棱柱的体积为123332V a =

???=， 解得3a =；∴该三棱柱的表面积为：

()22123223331323182

S S S ?=+=???+??+=+侧面．故答案为：3，

2318+． 14．解：圆222

:(2)2C x y -+=，圆心为：(2,0)，半径为2，在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=?，∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到(2,0)

C 的距离等于22，∴只需(2,0)C 到直线l 的距离小于或等于22，故222234+，

解得10261026a ---．

故答案为：[1026--，1026]-；

1522(3)(4)1x y -+-=．则曲线

2268240x y x y +--+=是以(3,4)为圆心，以1

为半径的圆．如图：

22x y +的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方，

则22x y +的最小值为

2222(||1)(341)16OC -=+-=．故答案为：16．

16．解：①当14k <<且 2.5k ≠时，曲线表示椭圆，所以①错误；

②若曲线C 表示双曲线，则(4)(1)0k k --<，解得1k <或4k >，正确；

③当 2.5k =时，41k k -=-，此时曲线表示圆，所以③错误；

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④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则104041k k k k ->??->??->-?

，解得1 2.5k <<，所以④正确．故

答案为：②④．

17．解：①，根据题意，直线1:(4)y l k x -=-，则有1040y x -=??-=?，解可得41x y =??=?

则直线过点(4,1)，

②，圆22:(2)25C x y ++=的圆心C 的坐标为(0,2)-，

设圆心C 到直线的距离为d

，则d =

又由若l 被圆C

所截得的弦长为

d =

=

=2k =或211

， ③，若直线l 与圆C 相切，即d r =

，则5d ==，解可得：43

k =， 18.（Ⅰ）证明：取PD 中点Q ，连EQ ，AQ ，则12

QE CD AB ==?（1分） //////QE CD CD AB QE AB QE AB ?????=?

且QE AB =?（2分）

?四边形ABEQ 是平行四边形//BE AQ ??（3分）

////BE AQ AQ PAD BE BE PAD ????????

平面平面平面PAD ?（5分）

（Ⅱ）证明：PA ABCD PA CD CD ABCD

⊥??⊥???平面平面，又CD AD ⊥，PA AD A = CD ∴⊥平面PAD 又AQ ?平面PAD AQ CD ∴⊥，又PA AD =，Q 为PD 的中点

AQ PD ∴⊥，又PD

CD D =AQ ∴⊥平面PCD 又//BE AQ BE ?⊥平面PCD ．?（10分）

浙江省杭州市萧山区第八高级中学2018-2019年 （Ⅲ）解：1124422ADC S AD DC ?==??=?（11分） 1833

A PDC P ADC

ADC V V PA S --?===．?（13分） 19.（1）证明：4AB =，43BC =；222AB BC AC ∴+=，BC AB ∴⊥； D ，E 分别是BC ，AC 中点，//DE AB ∴，BC DE ∴⊥；

又PB PC =，D 是BC 中点，BC PD ∴⊥，DE PD D =；

BC ∴⊥平面PED ；

（2）26PA =， 4PC =，8AC =；∴由余弦定理7cos 8

PCA ∠=； 在PCE ?中，4PC =，4CE =；∴由余弦定理得2PE =，2DE =，并可求得2PD =； PDE ∴?为等边三角形；PDE ∴?边DE 上的高为3，即三棱锥P ABC -的高为3． 设点C 到面PAB 的距离为d ，

2211264(6)215.1622PAB ABC S

S AB BC ??=??-==??= 由11333

PAB ABC S d S ??=?得85d = 直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为

255d PC =． 20.解：（Ⅰ）在1C ，2C 的方程中，令0y =，可得1b =，

且(1,0)A -，(1,0)B 是下半椭圆1C 的左右顶点，

设1C 的半焦距为c ，由3c a =及222a c b -=，可得2a =，所以2a =，1b =； （Ⅱ）由（Ⅰ），下半椭圆1C 的方程为2

21(0)4

y x y +=， 由题意知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =+≠，

代入1C 的方程，整理得2222(4)240k x k x k +++-=，

设点P 的坐标为(P x ，)P y ，

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因为直线l 过点A ，所以1x =-是方程的一个根，由求根公式，得2244P k x k -=+，284P k y k

=+，所以点P 的坐标为224(4k k -+，2

8)4k k +， 同理，由2(1)1,0

y k x y x y =+??=-?，得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ++， 所以222(4k BP k =-+，28)4k k

+，2(,2)BQ k k k =+， 假设存在直线l ，使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点，

可知BP BQ ⊥，所以0BP BQ =，即222228()(2)044k k k k k k k

-++=++， 即33228160k k k -++=，因为0k ≠，解得83k =-，

经检验，8

3k =-符合题意，故存在，且直线l 的方程为8(1)3y x =-+．

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