现代控制理论第5章答案

现代控制理论第五章习题答案

5-1已知系统状态方程为：

1 11 0

011 x 0 ux 101 1

试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。 解：依题意有：

1 11 0

A 011 ,b 0

101 1

系统 (A,b,C)的特征多项式为： 0

M b

Ab

011

3， 系统能控。 rankMA2b 012

112

I A ( 1)3 ( 1) 1 3 3 2 2 1

则将系统写成能控标准I型，则有

010 0

。 001x 0 ux

1 23 1

引入状态反馈后，系统的状态方程为：x (A bK)x bu，其中K为1 3矩阵，设K k0k1k2 ，则系统

K

(A,bK,C)的特征多项式为：

f( ) det[ I (A bK)] 3 ( 3 k2) 2 (2 k1) (1 k0)

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

f*( ) ( 1)( 2)( 3) 3 6 2 11 6

比较f( )与f*( )各对应项系数，可解得：k0 5k1 9k2 9，则有：K -5-9-9 。 5-3有系统：

21 0

xx u 0 1 1 y 10 x

（1） 画出模拟结构图。

（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。 解（1）系统模拟结构图如下：

（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统

(A,b,C)完全能控。

对于系统 M b （3）系统

(A,b,C)有：

01 rankM 2，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。 Ab

1 1

(A,b,C)的特征多项式为：

I A ( 2)( 1) 2 3 2

则将系统写成能控标准I型，则有x

01 0 。

x 2 3 1 u

引入状态反馈后，系统的状态方程为：x (A bK)x bu，设K k0k1 ，则系统为：

K

(A,bK,C)的特征多项式

f( ) det[ I (A bK)] 2 (3 k1) (2 k0)

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

f*( ) ( 3)2 2 6 9

比较

f( )与f*( )各对应项系数，可解得：k0 7k1 3，K 7 3 。

(s 1)(s 2)

(s 1)(s 2)(s 3)

5-4设系统传递函数为

试问能否利用状态反馈将传递函数变成

s 1 (s 2)(s 3)

若有可能，试求出状态反馈K，并画出系统结构图。

2

(s 1)(s 2)s s 2解：W(s) 3

(s 1)(s 2)(s 3)s 2s2 5s 6

由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。 能控标准I型为

01 00x 65y 21

令K k0

0 0

1 x 0 u 2 1 1 x

k1k2 为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为

f( ) det[ I (A bK] 3 (2-k2) 2 ( 5-k1) ( 6 k0 )

由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为

f*( ) ( 2)( 3)( 2) 3 7 2 16 12

比较f( ) 与

f*( ) 的对应项系数，可得

k0 18 k1 21 k2 5

即K 18 21 5 系统结构图如下：

题5-4 系统模拟结构图

5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。 （1）

1 2 2 2

,b 0 A 0 11

10 1 1

解：系统的能控阵为：

M b

Ab

2 40

rankM 3，系统能控。 Ab 0 01

11 5

2

由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统

(A,b,C)任意配置极点的充要条件是 0 (A,b,C)完全能控。又由

于rankM 3，系统

0 (A,b,C)能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。 5-7设计一个前馈补偿器，使系统

1 s 1

W(s)

1 s(s 1)

解耦，且解耦后的极点为 1, 1, 2, 2。 解：W(s) W0(s)Wd(s)

1

s 2

1 s

Wd(s) W0(s)-1W(s)

-1 1

1ss 2 W0(s)-1

-11 -s(s 1)s(s 1)(s 2) s(s 1)s 1

-1 1

-s s 2 ss 2 -(s 2)s(s 2) s(s 2)

1 -1

s 1s 1 s(s 1)s 1

Wd(s) W0(s) 1W(s)

s 2 (s 2)

s 1 s 2 (s 1)2

(s 2) (s 1)3

5-10已知系统：

1 s

(s 1)2 s(s 2) s 1 0

s

2 (s 2)

s (s 1)(s 2)

0

1 (s 2)2

01 0

xx u 00 1 y 10 x

试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r>0)。

c 10 满秩，系统能观，可构造观测器。

01 cA

1 01 2，所以有系统特征多项式为det I A det a 0,a 0,L 10 0 10

解：因为N

01 10 01 01

T 1 LN T 10

10 01 10

00 1 y 0,1 于是 T 1 T 1bu 10 0 u

引入反馈阵

，使得观测器特征多项式：

1

2

f det I

1

det

1 2 2 2 1

根据期望极点得期望特征式： f* r 比较

22

2r 3r 2r

f 与f* 各项系数得： 2 3r,1 2r2

2r2 01 2r2 3r ，反变换到x状态下G 2r2 3r10 3r

即

观测器方程为：

A Gc x bu Gyx 3r 2 2r

1 0 3r

u 2 yx0 1 2r

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/auym.html