2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级(上)开学数学试卷 (解析版)

2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级

（上）开学数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1．四个实数1，0，，﹣3中，最大的数是（）

A．1B．0C．D．﹣3

2．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM 等于（）

A．159°B．161°C．169°D．138°

3．若是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1

4．用三个不等式x＞0，x＜﹣3，x＞﹣2中的两个组成不等式组，其中有解集的个数为（）A．0B．1C．2D．3

5．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式2※x＞2，则不等式的解集为（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜2

6．给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cm

C．13cm，12cm，25 cm D．5cm，5cm，11cm

7．将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：

（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，

（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M ⊥AB，则∠DP1M的大小是（）

A．135°B．120°C．112.5°D．115°

8．将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

9．如图在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∠DEF＝3∠AEF，则∠AFE度数是（）

A．45°B．60°C．72°D．无法确定

10．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 11．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC

C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D

12．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：

①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的

结论个数有（）个．

A．4B．3C．2D．1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝度．

14．计算：﹣﹣|﹣5|＝．

15．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了场．

16．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是．17．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为．

18．如图，△ABC纸片中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：

①DF＝DA；②∠ABE＝22.5°；③△BDF的周长为8；④CD＝2BE．

正确的是（填上正确的结论序号）．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19．解方程组：

（1）；

（2）．

20．（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组并写出它的所有整数解．

21．完成下面的证明：

已知：如图，DE∥BC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，求证：∠1＝∠2．证明：∵DE∥BC，

∴∠ABC＝∠ADE，（）

∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，

∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，

∴∠3＝∠4，（）

∴∥，（）

∴∠1＝∠2．（）

22．如图，△ABD中，E，F，M分别在边AB，AD，BD上，BF，DE相交于点N，MN 平分∠BND．

（1）若∠A＝62°，∠ADE＝35°，∠ABF＝20°，求∠MND的度数．

（2）若MN∥AB，∠ADE＝35°，求∠A的取值范围．

23．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、BA为边作等边三角形BCD和等边三角形BAE，连接ED并延长交AC于点F．求证：

（1）∠BDE＝90°；

（2）AF＝DE﹣DF．

24．为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区．已知一个大包装箱价格为5元，可装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水．

（1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？

（2）药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该批药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案；

（3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？

25．（1）如图1，△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．

（2）如图2、3，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：

①如图2，若α+β＞180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）

②如图3，若α+β＜180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）

26．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．

（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN＝MN；

（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）

（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．

参考答案

一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．四个实数1，0，，﹣3中，最大的数是（）

A．1B．0C．D．﹣3

【分析】直接利用实数的比较大小的方法分析得出答案．

解：四个实数1，0，，﹣3中，

﹣3＜0＜1＜，

故最大的数是：．

故选：C．

2．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM 等于（）

A．159°B．161°C．169°D．138°

【分析】直接利用对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义得出∠BOM＝∠DOM，进而得出答案．

解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，

∴∠AOC＝∠BOD＝42°，

∴∠AOD＝180°﹣42°＝138°，

∵射线OM平分∠BOD，

∴∠BOM＝∠DOM＝21°，

∴∠AOM＝138°+21°＝159°．

故选：A．

3．若是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1

【分析】把代入方程nx+6y＝4得出﹣2n+6m＝4，求出3m﹣n＝2，再代入求出即可．

解：∵是方程nx+6y＝4的一个解，

∴代入得：﹣2n+6m＝4，

∴3m﹣n＝2，

∴3m﹣n+1＝2+1＝3，

故选：A．

4．用三个不等式x＞0，x＜﹣3，x＞﹣2中的两个组成不等式组，其中有解集的个数为（）A．0B．1C．2D．3

【分析】根据不等式组的解集是构成该不等式组的两个不等式解集的交集解答．

解：根据题意知，

所以不等式组有解．

故选：B．

5．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式2※x＞2，则不等式的解集为（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜2

【分析】根据新定义列出关于x的不等式，解之可得．

解：∵2※x＞2，

∴2x﹣2+x﹣2＞2，

解得x＞2，

故选：B．

6．给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A．3cm，4cm，5cm B．8cm，7cm，15cm

C．13cm，12cm，25 cm D．5cm，5cm，11cm

【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．

解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得

A中，3+4＝7＞5，能组成三角形；

B中，8+7＝15，不能组成三角形；

C中，13+12＝25，不能够组成三角形；

D中，5+5＝10＜11，不能组成三角形．

故选：A．

7．将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：

（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，

（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M ⊥AB，则∠DP1M的大小是（）

A．135°B．120°C．112.5°D．115°

【分析】由折叠前后对应角相等且∠P1MA＝90°可先求出∠DMP1＝∠DMA＝45°，进一步求出∠ADM＝45°，再由折叠可求出∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝22.5°，最后在△DP1M中由三角形内角和定理即可求解．

解：∵折叠，且∠P1MA＝90°，

∴∠DMP1＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°，

∵折叠，

∴∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝∠ADM＝22.5°，

∴在△DP1M中，∠DP1M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，

故选：C．

8．将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

【分析】由∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB＝45°，由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EDC的度数，结合三角形外角的性质可得结论．

解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，

∴∠ACB＝45°．

∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，

∴∠DEF＝30°．

∵EF∥BC，

∴∠EDC＝∠DEF＝30°，

∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．

故选：A．

9．如图在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∠DEF＝3∠AEF，则∠AFE度数是（）

A．45°B．60°C．72°D．无法确定

【分析】可设∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，∠AEF＝y°，则∠DEF＝3y°，根据多边形内角和定理可得4x+4y＝540，可得x+y＝135，再根据三角形内角和为180°即可求得∠AFE度数．

解：设∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，∠AEF＝y°，则∠DEF＝3y°，依题意有

4x+4y＝540，

解得x+y＝135，

则∠AFE＝180°﹣135°＝45°．

故选：A．

10．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．

解：∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，

故选：B．

11．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC

C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D

【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．

解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；

B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，

故此选项不合题意；

C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，

故此选项不合题意；

D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选

项符合题意；

故选：D．

12．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：

①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的

结论个数有（）个．

A．4B．3C．2D．1

【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；

由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠ADB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；

作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD，

④正确；

假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．

解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，

∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，

即∠AOC＝∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；

∵∠OAC＝∠OBD，

由三角形的外角性质得：

∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，

∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；

作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

则∠OGA＝∠OHB＝90°，

∵△AOC≌△BOD，

∴OG＝OH，

∴OM平分∠AMD，故④正确；

假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，

，

∴△AMO≌△DMO（ASA），

∴AO＝OD，

∵OC＝OD，

∴OA＝OC，

而OA＜OC，故③错误；

正确的个数有3个；

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝30度．

【分析】根据邻补角的定义得到∠EDC＝180°﹣135°＝45°，根据平行线的性质得到∠1＝∠ABC＝75°，根据三角形外角的性质即可得到结论．

解：∵∠CDF＝135°，

∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，

∵AB∥EF，∠ABC＝75°，

∴∠1＝∠ABC＝75°，

∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，

故答案为：30．

14．计算：﹣﹣|﹣5|＝0．

【分析】首先开方，化简绝对值，再按实数的加减运算顺序运算即可．

解：原式＝3﹣（﹣2）﹣5

＝3+2﹣5

＝0，

故答案为：0．

15．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了9场．

【分析】设该队胜了x场，负了y场，根据：①某队14场比赛；②得到23分；列方程

组即可求解．

解：设该队胜了x场，负了y场，依题意有

，

解得．

故该队胜了9场．

故答案为：9．

16．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是2≤m ＜3或﹣3≤m＜﹣2．

【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为18，可以确定整数解为6，5，4，3这四个数，再根据解集确定m的取值范围．

解：解不等式组得：m＜x≤6，

∵所有整数解的和是18，18＝6+5+4+3

∴x＝6，5，4，3，因此不等式组的整数解为①6，5，4，3，或②6，5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2

∴2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2；

故答案为：2≤m＜3或﹣3≤m＜﹣2．

17．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为3或5．

【分析】过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝4，由题意可证△PMN≌△PDE，可求OD的长．

解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，

∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，

∴PE＝PN，

在Rt△OPE和Rt△OPN中，，

∴Rt△OPE≌Rt△OPN（HL），

∴OE＝ON＝4，

∵OM＝3，ON＝4，

∴MN＝ON﹣OM＝1；

若点D在线段OE上，

在Rt△PMN和Rt△PDE中，，

∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL）

∴DE＝MN＝1

∴OD＝OE﹣DE＝3

若点D在射线EA上，

在Rt△PMN和Rt△PDE中，，

∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL），

∴DE＝MN＝1，

∴OD＝OE+DE＝5；

故答案为：3或5．

18．如图，△ABC纸片中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：

①DF＝DA；②∠ABE＝22.5°；③△BDF的周长为8；④CD＝2BE．

正确的是①②③④（填上正确的结论序号）．

【分析】由折叠的性质可得AC＝CF，AD＝DF，∠ACD＝∠DCB＝22.5°，由余角的性质可得∠EBC＝67.5°，可求∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝22.5°，由线段的和差关系可求△BDF的周长为8，延长CA，BE交于点H，通过证明△BCE≌△HCE和△ACD≌△ABH，可证CD＝2BE．

解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，

∴△ACD≌△FCD，

∴AC＝CF，AD＝DF，∠ACD＝∠DCB＝22.5°，故①正确；

∵BE⊥CD，

∴∠EBC＝67.5°，

∴∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝22.5°，故②正确；

∵△BDF的周长＝BD+DF+BF＝BD+AD+BF＝AC+BF＝CF+BF，

∴△BDF的周长为8，故③正确，

如图，延长CA，BE交于点H，

∵∠ACD＝∠BCD，CE＝CE，∠BEC＝∠CEH＝90°，

∴△BCE≌△HCE（ASA）

∴BE＝EH，

∴BH＝2BE，

∵∠EBA＝∠ACD＝22.5°，∠BAH＝∠CAD＝90°，AC＝AB，

∴△ACD≌△ABH（ASA）

∴CD＝BH，

∴CD＝2BE，故④正确，

故答案为：①②③④．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19．解方程组：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用代入消元法解答即可；

（2）把方程组整理后，利用加减消元法解答即可．

解：（1），

解：把②代入①，得6y﹣7﹣y＝13，

∴y＝4，

把y＝4代入②，得x＝17，

所以这个方程组的解是；

（2），

解：由①，得x﹣3y＝﹣6③，

②+③，得3x＝﹣3．

解得：x＝﹣1，

把x＝﹣1代入③，得，

所以这个方程组的解是．

20．（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组并写出它的所有整数解．

【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

解：（1）去分母，得：2（3x+1）﹣（5x﹣1）≤4，

去括号，得：6x+2﹣5x+1≤4，

移项、合并，得：x≤1，

将不等式的解集表示在数轴上如下：

（2）由3﹣x＞0得：x＜3，

由+1≥x得：x≥﹣1，

不等式组的解集是﹣1≤x＜3，

∴所有整数解是﹣1.0，1，2．

21．完成下面的证明：

已知：如图，DE∥BC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，求证：∠1＝∠2．证明：∵DE∥BC，

∴∠ABC＝∠ADE，（两直线平行，同位角相等）

∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，

∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，

∴∠3＝∠4，（等量代换）

∴BE∥DF，（同位角相等，两直线平行）

∴∠1＝∠2．（两直线平行，内错角相等）

【分析】依据平行线的性质，即可得到∠ABC＝∠ADE，再根据角平分线的定义，即可得出∠3＝∠4，进而得到BE∥DF，最后依据平行线的性质，即可得出结论．

【解答】证明：∵DE∥BC，

∴∠ABC＝∠ADE，（两直线平行，同位角相等）

∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，

∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，

∴∠3＝∠4，（等量代换）

∴BE∥DF，（同位角相等，两直线平行）

∴∠1＝∠2．（两直线平行，内错角相等）

故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；BE；DF；同位角相等，两直线平行；

两直线平行，内错角相等．

22．如图，△ABD中，E，F，M分别在边AB，AD，BD上，BF，DE相交于点N，MN 平分∠BND．

（1）若∠A＝62°，∠ADE＝35°，∠ABF＝20°，求∠MND的度数．

（2）若MN∥AB，∠ADE＝35°，求∠A的取值范围．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理，先求出∠NBD+∠NDB，再求得∠BND，最后根据角平分线求得结果；

（2）根据平行线的性质与角平分线的定义得∠BND＝2∠ABF，再由三角形的内角和定理得∠BND＝∠A+∠ABF+∠ADE，进而根据∠BND＜180°，得∠ABF＜90°，由上面的关系便可求得∠A的取值范围．

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