统计学原理期末复习纲要(1-4)

《统计学原理》期末复习纲要（1——4章）

第一章 绪论

本章的重点

1、统计学的认识对象

——统计学是一门适用于社会现象和自然现象数量方面研究的方法论科学。

——统计学的认识对象是大量社会现象和自然现象总体的数量方面以及数量发展规律的具体表现。

——统计学认识对象的特点是数量性、总体性、具体性和社会性。 2、研究方法 ——大量观察法 ——统计分组法 ——综合指标法 本章的难点

3、统计学的基本概念。 ——总体与总体单位：

总体

统计总体是由客观存在的、具有某种共同特征的许多个别事物所构成的整体。它是由特定研究目的而确定的统计研究对象，可简称总体。 1、总体具备同质性、大量性、变异性三个特征。 2、总体的分类

有限总体与无限总体；实体总体与行为总体；事物总体与数值总体。 总体单位

构成总体的每一个个别事物称为总体单位。 ——标志与标志表现

1、标志是说明总体单位特征的名称。标志按其性质可以分为品质标志与数量标志。从总体观察标志还有不变标志与可变标志。

2、标志表现是标志特征在总体各单位的具体表现，是统计调查所得的结果。 ——变异与变量

1、总体各单位在标志表现上的差别称为变异。变异是统计的前提。 2、可变的数量标志称为变量。变量的具体取值称为变量值。 ——统计指标与统计指标体系

（一）统计指标是表明现象总体数量特征的概念及取值。

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1、统计指标的涵义：指标是说明总体数量特征的名称。任何指标都可以用数字来表示。

2、统计指标的组成要素：指标由指标名称和指标数值两个要素构成。 3、统计指标的作用 4、统计指标的特点：

1、数量性。

即任何指标都可以用数值表示。没有不用数值表示的统计指标 2、综合性。

即任何指标都是综合说明总体数量特征的。 3、具体性。

即任何指标数值都是反映所研究现象在具体时间、地点、条件下的规模、水平。

4、指标与标志的区别与联系

区别：

（1）标志是说明总体单位属性或特征的名称，而指标是说明总体数量特征的名称；

（2）标志有品质标志（只能用文字表示）与数量标志（可以用数字表示）两种，而指标都可以用数字表示。 联系：

（1）许多指标值都是由数量标志值汇总而来的；

（2）由于总体和总体单位在一定条件下可以互相转化，则说明总体的指标和反映总体单位的标志之间也存在着变换关系。 5、统计指标的分类

（1）指标按其反映现象的数量特点不同分为：数量指标与质量指标 （2）统计指标按其数值表现形式不同分为：总量指标、相对指标与平均指标 （3）客观指标与主观指标 （二）统计指标体系

1、统计指标体系的涵义：统计指标体系是由一系列相互联系的统计指标所组成的有特定功能的整体。

2、统计指标体系设置的客观性 3、统计指标体系的框架

①按统计指标的内容不同可以分为：经济、社会、科技统计指标体系 ②按照研究目的和所起的作用不同可分为：描述、评价、决策统计指标体系

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③按照指标所反映的管理层级可以分为宏观（国家）、中观（地区、部门）和微观（基层单位）统计指标体系；

④按照研究范围不同可以分为综合指标体系和专题指标体系。

课堂练习：

例题1（单项选择题）

社会经济统计的研究对象是（ ）。 A、抽象的数量关系

B、社会经济现象的规律性

C、社会经济现象的数量特征和数量关系 D、社会经济统计认识过程的规律和方法 答案：C

例题2（单项选择题）

标志是说明总体单位特征的名称；标志值是标志的数值表现，所以（ ）。 A、标志值有两大类，品质标志值和数量标志值 B、品质标志和数量标志都具有标志值 C、品质标志才有标志值 D、数量标志才有标志值 答案：D

例题3（多项选择题）

总体和总体单位不是固定不变的，它们随着研究目的的不同（ ）。 A、总体可以转化为总体单位 B、总体单位可以转化为总体 C、只能是总体转化为总体单位 D、只能是总体单位转化为总体 E、总体和总体单位可以相互转化 答案：ABE

例题4（多项选择题）

在全国人口普查中（ ）。 A、全国所有人口数是总体 B、每一个人是总体单位 C、人的年龄是变量

D、全部男性人口的平均寿命是统计指标 E、某人的性别为―女性‖是一个品质标志 答案：BCD

例题5（填空题）

统计总体的基本特征是___________、____________和_____________。 答案：大量性、同质性、变异性 例题6（简答题）

简述统计指标和标志的关系？ 答案：

标志和指标既有区别，又有联系。区别：第一，标志是说明总体单位属性或特征的名称；而指标是说明总体数量特征的名称。第二，标志有只能用文字说明的品

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质标志和可以用数值表示的数量标志两种；而指标都能用数值表示。联系：第一，有许多统计指标的数值是由总体单位的数量标志值汇总而来的。第二，由于总体和总体单位是可变的，则说明总体的指标和反映总体单位的标志之间也存在着变化关系。 思考题

1、简述统计的涵义及其关系。 2、简述统计学与其他学科的关系。

3、什么是统计学的研究对象？它有什么特点？ 4、统计研究的基本方法是什么？

5、社会经济统计的任务和职能是什么？ 6、统计活动过程阶段及各阶段的关系如何？ 7、什么是总体与总体单位？ 8、简述标志和指标的关系。 9、什么是变量和变量值？

10、什么是统计指标体系？为什么统计指标体系比统计指标更重要？ 11、什么是连续变量和离散变量？如何判断？

第二章 统计调查

本章的重点是统计调查的方式和统计调查搜集资料的方法。 本章的难点是统计调查方案的设计和各种组织方式的结合运用。

1、统计调查的方式

?全面调查按调查对象包括的范围不同??非全面调查?经常性调查按调查登记的时间是否连续??一次性调查?统计报表按调查的组织方式不同??专门调查自填式方法???人员面访??电话调查按搜集资料的方法不同??直接观察法?电子数据报告???卫星遥感法

2、统计调查搜集资料

3、统计数据的类型（统计测量的有关概念）

统计指标的可量性决定了，在对于社会经济现象的数量方面进行研究时，必须予以量化，从数据量化的抽象程度不同大体分为以下几个层次：

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（一）定类尺度

定类尺度，或称作列名尺度，就是将研究对象按某种特征将其划分成若干部分，并给每一类别定名，但不对类别之间的关系做任何假定。定类尺度是最粗略、精度最低的计量尺度，也是最基本的尺度。例如，在人口统计中按地区分组、民族分组，并用数字作为代号，如北京为01，河北为02等。在形式上，定类尺度具有对称性和传递性两种属性，对称性说明各类之间彼此相对称，传递性则表示运算上各类量值只具有相等与不相等的性质。这种测定尺度和分组在实际统计活动中使用得很广泛，主要用于计算各组数值占总体数值的比重和众数等，但不能对各类编号进行加减乘除计算。 （二）定序尺度

定序尺度，或称为顺序尺度，它是把各类事物按一定特征的大小、高低、强弱等顺序排列起来，构成定序数据。例如，将产品按其质量高低列成一等品、二等品、三等品，学生的成绩排列为优、良、中、及格、不及格等，这种测定尺度的量度层次要比定类尺度高一些，它不仅可以分类，而且可以确定这些类别的顺序，各类之间还能比较等级和次序上的差别。在运算上，各类量值除了具有等与不等的特征外，还有大于或小于之分，但其序号仍不能进行加减乘除计算。定序尺度除了可用来计量比重(频率)外，还可进行累计频数(率)、中位数等数值的计算。 （三）定距尺度

定距尺度，或称间隔尺度，它是把定序排列的各类事物间的差距，以一定的度量单位明确起来，构成定距的数据。这是比前两种尺度更精确的计量尺度，一般要求建立某种物理的量度单位。如考试成绩以分计量：长度以米计量等等。成绩每分之间的间隔是相等的，80分与90分的差距等同于90分与100分的差距。在运算上，除了等于、不等于、大于、小于之外，还可进行加减运算，但不能进行乘除运算。例如可以说30℃与25℃相差5℃，且它与10℃与5℃之间的差距相等，但不能说10℃比5℃热一倍。 （四）定比尺度

定比尺度或称比率尺度，是量度层次最高的数据测定尺度。它是在定距尺度的基础上增加了一个绝对零点，并抽象掉事物的度量差异的测定尺度。换言之，定距尺度中的0只表示某一个值，即0值；而定比尺度中的0是绝对零点，表示没有。定距尺度与定比尺度的差别，在于是否存在绝对零点，0在两者间的意义是不同的，如：某人数学考试得0分，只能表示他的数学成绩是0分，不等于说他完全没有数学水平，但如说某人的身高为0米，则表示此人是不存在。在运算上，定比尺度可以用于任何统计运算和比较。因此，许多统计的最终结果是以定比尺度给出的，是广泛使用和值得推广的测定尺度。

在测定尺度的应用中，需要注意的是，同类事物用不同的尺度量化，就会得到不同的尺度数据。如农民收入数据按实际值填写就是定距尺度；按高、中、低收入水平分就是定序尺度；按有无收入计量则成为定类尺度了；而如说某人的收入是另一人的两倍，则是定比尺度。又如，学生成绩若具体打分就是定距尺度，用优、良、中、及格、不及格划分就是定序尺度。一般因研究的目的和内容不同，计量尺度也会不同，若不担心损失信息量，就可降低量度层次，从而实现它们间的转化。例如，性别在医学上若根据荷乐蒙的比例来区分的话，就是定距尺度，而性别分为男、女，则是定类尺度。

4、统计调查方案的设计

一个完整的统计调查方案应该包括以下基本内容：

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??按分组标志的性质不同??统计分组的种类???按分组标志的多少不同???品质标志分组??数量标志（变量）分组?简单分组??复合分组

2、分布数列的编制

分配数列的概念

分配数列又称次数分配，或次数分布，是指在统计分组的基础上，将总体的所有单位按组归类，并按顺序排列，形成总体中各单位在各组间的分布。 分配数列的构成要素

分配数列由两个要素构成，即：总体按某标志所分的各个组；各组次数或频率。 任何一个频率分布都必须满足两个条件：一是各频率大于等于0；二是各组频率之和等于1(100%)。 分配数列的种类

品质分配数列?单项式变量数列?变量分配数列?等距变量数列???组距式变量数列?不等距变量数列 ?次数与频率的累计分布

1、向上累计。

向上累计是指将各组次数或频率由变量值低的组向变量高的组累加。表明各组上限值及以下各组变量值共包含的次数或频率有多少。 2、向下累计。

向下累计是指将各组次数或频率，由变量值高的组向变量值低的组逐组累计，表明各组的下限值及以上各组变量值所包含的次数或频率有多少。

3、统计资料的表现形式

统计表

统计表的概念

统计表是把大量的统计数字资料，按一定顺序和格式列在表上，该表就是统计表。 统计表的构成。常见的统计表外形结构一般包括四个主要部分：总标题、横行标题、纵栏标题、数字资料等。

统计表的内容结构包括：主词和宾词两部分。主词是统计表所要说明的总体及其主要分组情况，通常列在横行标题的位置，所以该栏也叫主栏。宾词用以说明主词各组的其他标志或综合特征的具体表现，通常列在纵标题的位置，所以该栏也叫宾栏。

统计表按照主词是否分组及分组的情况可以分为三种：简单表、简单分组表、复合分组表。 统计图

统计图是指利用各种图形来表现统计资料的形式。它是以点的多寡、线之长短、面积或体积之大小、颜色之浓淡、线条之疏密或曲线之倾斜度及象形图示等来说明问题、表现统计资料的。利用统计图来表现和分析统计资料的方法叫做统计图

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示法，它具有简明、直观、形象、感染力强等等优点。 统计数学模型

统计数学模型是指表示现象数量关系等资料的数学方程式或方程组。它是表现统计资料的一种主要形式、更是重要的统计分析工具。它把所研究的现象的各影响因素表示为数学形式的变量，把因素间的某种关系表示为方程式，对复杂的有机关系以方程组来描述和模拟。经过对各关系式的统计处理和检验，就会得到反映现象数量规律或事物关系的数学模型。 统计分析报告

统计分析报告是指对统计资料经过系统整理并进行了深入分析之后，将所得的分析研究结果，用文字报告(结合相应图表及模型)的形式表达，以供有关方面参考或使用的书面资料。它是统计分析成果的一种重要表述形式，按其内容可分为专题分析报告、定期分析报告、预计分析报告、综合分析报告等。

本章的难点在于统计分组中分组标志的选择与分布数列中组数、组距、组限等内容。

1、分组标志的选择

1、必须根据统计研究的目的选择分组标志。

对同一事物由于研究目的不同，选择分组标志也不同。如研究乡镇企业规模大小，就要按照职工人数、产值等能够反映企业规模的标志分组。如果研究各种类型的金融组织在金融交易中的作用，?就要按交易手段等标志进行分组。 2、必须选择能够反映现象本质的分组标志。

在大量总体单位所具有的许多标志中，有的标志能够反映现象的本质，有的标志则不能。必须按照事物的内在联系选择最能够反映现象本质的标志进行分组，这才是科学的分组。例如，研究社会经济类型时，要抓住事物的本质，首先按所有制进行分组。

3、要结合现象所处的具体历史条件选择分组标志。

现实中的许多事物，特别是社会经济现象随着时间、地点、条件的不同而经常发生变化。同一分组标志在过去适用，现在就不一定适用，在这一场合适用，在另一场合就不一定适用，因此，要对具体事物作具体分析。如企业按规模分组，在技术比较落后的条件下，一般是按职工人数来划分的，而在技术装备比较先进的条件下，则要采用固定资产的价值或生产能力来划分。总之，历史条件发生变化，分组标志也要随着变化。 2、组数、组距、组中值的确定

1、组限

组限是指各组变量值变动的两端界限，是每组的起点和终点。每组的起点称为下限，每组的终端为上限。由于变量有离散型和连续型两种。因此，其组限的划分也有所不同。

离散型变量分组?不重叠组限：只适用于?组限的划分方法??重叠组限：适用于离散型变量和连续型变量分组?

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重叠组限：即相邻两组的上下限为同一个数值。

不重叠组限：即相邻两组的上下限为两个不同的确定数值。

在统计分组时，凡遇到某总体单位的变量值刚好等于相邻两组上下限时，一般把此值归并到作为下限的那一组，称谓―上限不在内‖原则。 2、组距与组数。

组距。是指分组条件下每组变量值的变化范围，即每组变量区间的距离。 组距 = 本组上限 – 前组上限 （通用公式） 组距 = 本组上限 – 本组下限 （重叠式组限）

组距分组不可避免地使资料的真实性受到损害。如表3-6经分组，工人工资为600—700元这一组有158人，假如这158人中可能大多数偏于600元或700元，所有这些情况都被掩盖了，只假定工资在各组内的分配是均匀的。

组数。是指将全体变量值分成多少组。K=1+LGn/LG2（一般取不小于5不大于15的整数）

组距与组数的关系：

全距组距?组数

全距 = 最大变量值 – 最小变量值 组距与组数一般是用整数表示。 （3）等距分组与不等距分组。

等距式分组，指各组组距相同。凡是在变量值变动比较均匀的条件下，可以采用等距分组。例如、身高、体重、零件尺寸的误差分组等，都是常见的等距分组。采用等距分组便于各组间单位数与变量值的直接对比，也便于计算各项综合指标和进行对比分析。

不等距分组，指各组组距不相等的分组。当变量值变动很不均匀时，常采用不等距分组。不等距分组中，多数情况是根据事物性质变化的数量界限来确定组距。 如对少年儿童年龄的分组，必须注意到不同年龄生理变化的特点，可分为1岁以下，1-2岁，3-6岁，7-15岁等组。 （4）组中值。

组中值指各组上限和下限的中点数值。其一般计算公式为： 组中值＝(上限＋下限)/2

若是第一组出现―…以下‖或最末组出现―…以上‖字样的组叫做开口组。 开口组的组中值计算公式如下：

首组组中值＝上限－相邻组组距的一半； 末组组中值＝下限＋相邻组组距的一半

第三章 《统计数据整理》课堂练习：

例题1（单项选择题）

原始统计数据按某一标志分组后的结果表现为（ ）。

A、组内差异性，组间差异性 B、组内同质性，组间差异性 C、组内同质性，组间同质性 D、组内差异性，组间差异性 答案：B

例题2（单项选择题）

某管理局对其所属企业的生产计划完成百分比采用如下分组，请指出哪项是正确的

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（ ）。

A、80—90％ B、80％以下 C、90％以下 D、85％以下 90—99％ 80.1—90％ 90—100％ 85—95％ 100—109％ 90.1—100％ 100—110％ 95—105％ 110％以上 100.1—110％ 110—120％ 105—110％ 答案：C

例题3（多项选择题）

指出下面的数列属于什么类型（ ）。

按生产计划完成程度分（％） 80～90 90～100 100～110 合 计 企业数 15 30 5 50 A、品质分配数列 B、变量分配数列 C、组距变量分配数列 D、次数分配数列 E、等距变量分配数列 答案：BCDE

例题4（多项选择题）

下列分组哪些是按品质标志分组（ ）。A、职工按文化程度分组 B、固定资产按用途分组

C、工人按工龄分组 D、人口按民族分组 E、企业按生产计划完成程度分组答案：ABD 例题5（填空题）

对总体只按一个标志进行分组称为_________分组，对总体按两个或两个以上标志层叠起来进行分组称为_________分组。

答案：简单、复合 例题6（简答题）

什么是统计分组？它有什么作用？如何正确选择分组标志？ 答案：

统计分组是根据研究目的及其对象特点，将统计总体按照某种标志区分为若干组成部分的方法。其作用有：

（1）区分现象的类型； （2）揭示现象的内部结构；

（3）分析现象间的相互依存关系。

正确的分组标志是实现统计研究目的的前提。选择分组标志时应注意： （1）在不同的研究目的下选择不同的分组标志；

（2）选择一定历史条件下最能反映现象本质差别及内在联系的标志作为分组标志； （3）分组标志的选择要随着历史、社会、经济条件的变化而变化。

思考题

1、什么是统计分组？它有什么作用？如何正确选择分组标志？

2、简述单项式分组与组距式分组的不同应用场合？组距与组数的关系如何？等距分组与不等距分组的适用场合？

3、什么是简单分组和复合分组？

4、什么是次数分配？它包括哪些要素？

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5、什么是变量数列？它有几种？ 6、简述统计表的结构和种类。

7、次数分布的类型有哪几种？各有什么特点？ 8、平行分组体系和复合分组体系的特点如何？

第四章 综合指标

本章的重点是各种统计综合指标的概念以及指标的计算。

一、总量指标

总量指标的概念

总量指标又称统计绝对数，总量指标是用绝对数形式表现的反映客观现象总体在一定时间、地点条件下的总规模、总水平或工作总量的统计指标（或总量指标是反映社会经济现象发展的总规模、总水平的综合指标）。其数值大小随总体范围的大小而增减。 总量指标的作用

总量指标的作用表现在以下几方面： 1、总量指标是对社会经济现象总体认识的起点，常用来反映国情国力的基本状况。 2、总量指标是编制计划，实行经营管理的主要依据。 3、总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。 总量指标的种类

总量指标主要有以下几种分类，即：

?总体单位总量按其反映总体内容不同??总体标志总量?时期指标按其反映时间状况不同??时点指标?实物指标?按其采用计量单位不同?价值指标?劳动量指标?

总体单位总量是总体内所有单位的总数。

总体标志总量是总体中各单位标志值的总和。

时期指标是反映某种社会经济现象在一段时间发展变化结果的总量指标。 时点指标是反映社会经济现象在某一时间(瞬间)状况上的总量指标。

时期指标和时点指标的特点。

（1）时期指标的数值可连续统计；而时点指标的数值不能连续统计，只能间断统计。

（2）时期指标的各项数值可直接相加，相加后表示现象在更长时间内发展变化总量；而时点指标的各项数值一般不能直接相加，相加后无意义（会出现同一单位或标志值在不同时点的重复计算）。

（3）时期指标的数值大小与其所包括的时期长短直接有关；而时点指标的数值大小与其所间隔时间长短无直接关系

实物指标是以实物单位计量的统计指标。采用的自然、物理计量单位

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价值指标是以货币单位计量的统计指标。如国内生产总值以―元‖为单位。

劳动量指标是以劳动单位即工日、工时等劳动时间计量的统计指标。采用复合计量单位。

二、相对指标

相对指标的概念

相对指标又称统计相对数。相对指标（相对数），它是将两个性质相同或相互有关的指标数值通过对比求的的商数或比例，用于反映现象总体内部的结构、比例、发展状况或彼此之间的对比关系。 相对指标的作用

1、相对指标赋予人们判断和鉴别事物的能力，一目了然地看出差别的程度。 2、相对指标可以使不能直接对比的现象找到共同比较的基础。 相对指标的数值表现形式

相对指标的数值表现形式（计量单位）有有名数和无名数，其中无名数无名数包括系数或倍数、成数、百分数和千分数。 相对指标的种类和计算 种类：

??比例相对指标??比较相对指标?静态相对指标?强度相对指标??计划完成程度相对指标?动态相对指标

计算

（一）结构相对指标

1、结构相对指标的概念和计算方法。

结构相对指标就是通常所说的―比重‖，它是在对总体分组的基础上，以总体总量作为比较标准，求出各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标。其计算结果一般是百分数（%）

各组（或各部分）总量结构相对指标?总体总量

（二）比例相对指标

1、比例相对指标概念和计算方法。

比例相对指标是总体中不同部分数量对比的相对指标，用以分析总体范围内各个局部、各个分组之间的比例关系和协调平衡状况。

总体中某一部分数值比例相对指标?总体中另一部分数值 （三）比较相对指标

1、比较相对指标的概念和计算方法。

比较相对指标是不同单位的同类现象数量对比而确定的相对指标，用以说明某一同类现象在同一时间内各单位发展的不平衡程度，以表明同类实物在不同条件下的数量对比关系。比较相对数计算结果通常用百分数或倍数表示。

甲总体某指标值比较相对指标?乙总体同类指标值

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结构相对指标（四）强度相对指标

1、强度相对指标的概念和计算方法。

强度相对指标是两个性质不同但有一定联系的总量指标之间的对比，用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度和普遍程度。它和其他相对指标根本不同的特点，就在于它不是同类现象指标的对比。强度相对指标以双重计量单位表示，是一种复名数。

某种现象总量指标强度相对指标?另一个有联系而性质不同的现象总量指标 （五）计划完成程度相对指标

1、计划完成程度相对指标的概念和计算方法。

计划完成程度相对指标是用来检查、监督计划执行情况的相对指标。它以现象在某一段时间内的实际完成数与计划数对比，来观察计划完成程度。

实际完成数计划完成程度相对指标?计划任务数 （六）动态相对指标

动态相对指标（发展速度）是某一事物报告期数值与基期数值对比的结果，用以说明事物在时间上发展的快慢程度。

报告期水平 动态相对指标? 基期水平

几种相对指标的区别

1、结构相对指标与比例相对指标的区别。

结构相对指标是以总体总量为比较标准，计算各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标。如：各工种的工人占全部工人的比重。比例相对指标是总体不同部分数量对比的相对数，用以分析总体范围内各个局部之间比例关系和协调平衡状况。如：轻重工业比例。 2、比例相对指标与比较相对指标的区别。

（1）子项与母项的内容不同，比例相对指标是同一总体内，不同组成部分的指标数值的对比；比较相对指标是同一时间同类指标在空间上的对比。

（2）说明问题不同，比例相对指标说明总体内部的比例关系；比较相对指标说明现象发展的不均衡程度。比较相对指标是不同单位的同类指标对比而确定的相对数，用以说明同类现象在同一时期内各单位发展的不平衡程度。 3、强度相对指标与其它相对指标的区别。

（1）其它各种相对指标都属于同一总体内的数量进行对比，而强度相对指标除此之外，也可以是两种性质不同的但又有联系的属于不同总体的总量指标之间的对比。

（2）计算结果表现形式不同。其它相对指标用无名数表示，而强度相对指标主要是用有名数表示。

（3）当计算强度相对指标的分子、分母的位置互换后，会产生正指标和逆指标，而其它相对指标不存在正、逆指标之分。

三、平均指标

平均指标的概念、特点和种类 （一）平均指标的概念

平均指标又称统计平均数，用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的综合指标。

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（二）平均指标的特点 1、它是一个抽象值。

即它是把总体某一数量标志在各单位之间的数量差异抽象化了的数值。 2、它是一个代表值。

即它用一个数值来代表总体各单位某一数量标志在具体时间地点条件下的一般水平（代表总体各单位标志值的一般水平）。 （三）平均指标的作用

平均指标的作用主要表现在：

1、它可以反映总体各单位变量分量分布的集中趋势； 2、可以用来比较同类现象在不同单位发展的一般水平； 3、用来比较同一单位的同类指标在不同时期的发展状况； 4、还可以用来分析现象之间的依存关系等。 （四）平均指标的种类

平均指标按计算方法不同，可分为算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数。前三种平均数是根据总体所有标志值计算的，所以称为数值平均数，两种平均数是根据标志值所处的位置确定的，因此称为位置平均数。 平均指标按反映时间不同，可分为动态平均数和静态平均数。 算术平均数

（一）算术平均数的概念和计算条件 1、算术平均数的概念。

算术平均数是分布数列（总体）中各单位标志值的总和除以全部单位数。算术平均数是计算平均指标的最常用方法，它的基本公式形式是总体标志总量除以总体单位总量。即：

总体标志总量算术平均数?总体单位总量

算术平均数是最常用的一种平均数，它的计算方法符合众多现象中总体各单位标志值的算术和等于其总体标志总量这一客观数量关系。 2、算术平均数的计算条件。

基本公式的分子（总体标志总量）与分母（总体单位总量）必须是同一总体，并且分子与分母在数量上存在着直接的对应关系，即其分子（总体标志总量）数值要随着分母（总体单位总量）数值的变动而变动。算术平均数的这一计算要求也是平均指标与强度相对指标的主要区别之一。例如，

2003年我国人均钢产量?（强度相对指标）职工平均工资?年钢产量年平均人口数?22233.6万吨128840万人?173公斤/人职工工资总额职工总人数?3130元5人?626元/人

平均指标与强度相对指标虽然都是两个总量指标对比，并且有的强度相对指标还带有平均的含义；其计量单位也是双重单位，但两者仍有明显区别。 强度相对指标与平均指标的区别主要表现在以下两点： （1）指标的含义不同。强度相对指标说明的是某一现象在另一现象中发展的强度、密度或普遍程度；而平均指标说明的是现象发展的一般水平。

（平均指标） - 18 -

（2）计算方法不同。强度相对指标与平均指标虽然都是两个有联系的总量指标之比，但是，强度相对指标分子与分母的联系，只表现为一种经济关系，其分子与分母在数量上不存在着直接的数量对应关系，而平均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总量的比例关系。分子与分母的联系是一种内在的联系，即其分子与分母在数量上存在着直接的对应关系。 （二）算术平均数的计算方法

在实际工作中，由于掌握资料的不同，算术平均数有两种计算形式：即简单算术平均数和加权算术平均数。

1、简单算术平均数（适用于计算未分组数列的平均数）。

如果已知各单位标志值和总体单位数，可采用简单算术平均数方法计算。其计算公式为：

x?x1?x2???xn?x?nn

式中：x：各单位标志值；n：总体单位数

注意：简单算术平均数中，各单位标志值出现的次数（频数）均相同。 2、加权算术平均数 (适用于计算分组数列的平均数) 。

如果已知各组标志值和各组单位数，可采用加权算术平均数方法计算平均指标。其计算公式为：

x1f1?x2f2???xnfnx??f1?f2???fn或x??x?f?xf?f

?ffx：加权算术平均数f：各组单位数x：各组标志值?f：各组单位数比重

（三）在计算加权算术平均数时应注意的问题 影响加权算术平均数的因素。

由加权算术平均数的计算公式可见：加权算术平均数的大小受两个因素的影响，其一是受各组标志值（x）大小的影响；其二是受各组单位数（f）或各组单位数比重

f /∑f大小的影响。

当各组标志值已确定，如果哪一组标志值分配的单位数越多，则该组标志值对平均数的影响越大。反之，影响越小。（即：在一个数列中，当标志值较大的单位数居多时，平均数就会趋近标志值大的一方；当标志值较小的单位数居多时，平均数就趋近标志值小的一方；当标志值较大的单位数与标志值较小的单位数基本平分时，平均数居中）。可见，各组标志值的单位数（频数）的多少对平均数的大小有权衡轻重的作用，所以称各组单位数为权数，用权数乘以各组标志值叫加权，由此计算的平均数叫加权算术平均数。

- 19 -

?f：各组单位数（绝对数权数）?权数?f??f：各组单位数比重（相对数权数）?

在分组数列的条件下，当各组标志值出现的次数或各组次数所占比重均相等时，权数就失去了权衡轻重的作用，这时用加权算术平均数计算的结果与用简单算术平均数计算的结果相同。

注意：权数对算术平均数大小的影响程度，并不取决于权数本身数值（f）的大小，而是取决于作为权数的各组单位数占总体单位数比重的大小，即频率（f /∑f）的大小。 例4-13，甲、乙两个企业各级别工资额、相应的工人数及工人数比重资料如表4-6。 表4-6 各组标志值 各组单位数 各组单位数比重 工资额（元） 460 520 600 700 850 合 计 工人数（人） 甲企业 f甲 5 15 18 10 2 50 乙企业 f乙 20 60 72 40 8 200 工人数比重 甲企业 f甲/∑f甲 10 30 36 20 4 100 乙企业 f乙/∑f乙 10 30 36 20 4 100 试计算甲、乙两个企业工人的平均工资，并观察计算结果。 解：

甲企业工人平均工资：x??x?甲f?f?460?10?520?30?600?36?700?20?850?4?592（元/人）乙企业工人平均工资：x??x?乙f?f?460?10?520?30?600?36?700?20?850?4?592（元/人）

第二，当各组单位数（频率）相等时，加权算术平均数等于简单算术平均数。

在分组数列的条件下，当各组标志值的单位数或各组单位数比重均相等时，权数就失去了权衡轻重的作用，这时用加权算术平均数计算的结果与用简单算术平均数计算的结果相同。即：

A?x?x?xf加权算术平均数x????x简单权算术平均数Ann?f 第三，关于加权算术平均数的权数选择原则。

?绝对数?被平均数的标志值x?绝对数?平均数?

- 20 -

权数选择的原则：各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量 （x） × （f ） = （x f ）

此等式必须有实际经济意义，（即三个量之间存在着客观的数量对等关系），各组单位数（f ）才是加权算术平均数的合适权数。即： 被平均的标志值（x）?分子数值?分母数值?各组标志总量（xf）各组单位数（f）?权数

如前例4-11计算工人平均工资时，被平均的标志值x（各组工资额）是绝对数。此时工人数为合适的权数（符合权数选择的原则）。

例4-14，某工业局所属企业产值计划完成％、企业数和计划产值资料如表4-7。 表4-7 产值计划完成程度（％） 90～100 100～110 110～120 合 计 企业数 5 8 2 — 计划产值（万元） 100 800 100 1000 试计算该工业局所属企业的平均产值计划完成程度。

解：此例被平均的标志值x（各组产值计划完成程度）是相对数。 本例以企业数（次数）为权数，不符合权数选择原则。 即：

各组产值计划完成％ × 企业数 = 各组标志总量 （x） × （f） = （x f）

95％ × 5 = 475%（无意义）

本例正确的权数（f）应为各组计划产值，它符合权数选择的原则。即： 各组产值计划完成程度(x)?各组实际产值(xf)各组计划产值(f)

各组产值计划完成％ × 各组计划产值 = 各组实际产值 （x） × （f） = （x f） 95% × 100（万元） = 95（万元）（等式有意义）

平均产值计划完成程度计算过程如表4-8。

表4-8 各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量

产值计划完成程度（％） 企业数 组中值 x 计划产值（万元） 实际产值（万元） f x f - 21 -

90～100 100～110 110～120 合 计 5 8 2 — 95 105 115 — 100 800 100 1000 95 840 115 1050 平均产值计划完成程度为：x??xf?f?0.95?100?1.05?800?1.15?1001050??10500100?800?100

由此可得出以下结论：当被平均的标志值是绝对数或相对数或平均数时，要选择

构成其绝对数或相对数或平均数的分母数值作为各组单位数，即权数（f）；要选择构成其绝对数或相对数或平均数的分子数值作为各组标志总量（x f）。 （四）算术平均数的数学性质和特点 1、算术平均数的数学性质。

（1）各变量值与其平均数离差之和等于零。

（x?x）?0 ?（x?x）f?0?

（2）各变量值与其平均数离差的平方和是一个极小值。

2即：（x?x）?最小值?22或 ?（x?x）??（x?x0） 其 中:x?x0

（3）如果原变量与新变量之间的关系是：y = a + b x 其中 a 和 b 为常数，

则，

y?a?bx

2、算术平均数的特点。

算术平均数易受极端标志值（极大值或极小值）和开口组的影响。 调和平均数

调和平均数的概念。

调和平均数是分布数列中各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又称―倒数平均数‖。

设有三个标志值分别为：x1、x2、x3，则， 算术平均数为：x?x1?x2?x33

调和平均数为：13?111111????x1x2x3x1x2x33

2、调和平均数的计算方法。

根据所掌握资料的不同，调和平均数具体计算可分为简单调和平均数和加权调和平均数。

（1）简单调和平均数。其计算公式为： H? - 22 -

H?1111????x1x2xnn?n111????x1x2xn?n1?x

（2）加权调和平均数。其计算公式为：

H?1m1m2mn????x1x2xnm1?m2???mn?m1?m2???mn?m1m2mn????x1x2xn?mm?x

当 m1 = m2 = … = mn = A 时， 加权调和平均数H??mm?x?Ann?11A??xx简单调和平均数

（二）调和平均数的应用（作为算术平均数的变形形式来应用）

H?m1?m2???mn?m1m2mn????x1x2xn?m?mx

式中：H：加权调和平均数； x：各组标志值； m = x f：各组标志总量

例4-15，某企业工人各级别的工资额及相对应的工资总额资料如表4-11。 表4-11 工资额（元） 460 520 600 700 850 合 计 工资总额（元） 2300 7800 10800 7000 1700 29600 试计算工人平均工资。

解：该企业工人平均工资计算过程见表4-12。

表4-12 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 工资额（元） x 460 520 600 700 850 合 计 工资总额（元） m=x f 2300 7800 10800 7000 1700 29600 工人数（人） f=m/x 5 15 18 10 2 50 - 23 -

?各组工人数(f)?各组工资总额(xf)各组工资额(x)

平均工资为：H?m1?m2???mn2300?7800?10800?7000?1700?m1m2mn230078001080070001700????????x1x2xn4605206007008502300?7800?10800?7000?17005?15?18?10?2?29600?592（元/人）50

?与前面按加权算术平均数计算的结果完全相同。即：

?xf460?5?520?15?600?18?700?10?850?2平均工资：x???592（元/人）f5?15?18?10?2?

（三）调和平均数和算术平均数关系

加权调和平均数m?xf?H???xmf??x加权算术平均数

从上述关系式可见：在 m = x f 的条件下，根据同一标志值（x）资料，采用加

权调和平均数计算平均指标与采用加权算术平均数计算平均指标的结果完全相同，因为两者均符合总体标志总量（∑x f ）与总体单位总量（∑f）的对比关系，所以，加权调和平均数是加权算术平均数的变形。

两者不同在于计算平均指标时应用的权数资料不同，加权算术平均数是以各组单位数（f）为权数，加权调和平均数是以各组标志总量（m= x f）为权数。

例4-16，某工业局所属企业的产值计划完成%、企业数和实际产值资料如表4-13。

表4-13

产值计划完成程度（％） 90～100 100～110 110～120 合 计 企业数 5 8 2 — 实际产值（万元） 95 840 115 1050 试计算该工业局所属企业的平均产值计划完成程度。 解：该企业工人平均工资计算过程见表4-14。

表4-14 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 产值计划完成程度（％） 企业 数 组中值 x 实际产值（万元） m=x f 计划产值（万元）f=m/x - 24 -

90～100 100～110 110～120 合 计 5 8 2 — 95 105 115 — 95 840 115 1050 100 800 100 1000 各组产值计划完成%（x）?各组实际产值（各组标志总量xf?m）各组计划产值（各组单位数f）

平均产值计划完成程度为：H??m??mx95?840?11595?840?1151050???105?840115100?800?1001000??0.951.051.15

与前面按加权算术平均数计算的结果完全相同。即：

平均产值计划完成程度为：?xf0.95?100?1.05?800?1.15?1001050x????10500f100?800?100?

例4-17，某种蔬菜早、午、晚的价格及购买金额资料如表4-15。

表4-15 时 间 早 午 晚 合 计 价格（元/斤） 0.25 0.20 0.10 — 购买金额（元） 5 6 7 18 试计算该种蔬菜的平均购买价格。

解：该种蔬菜平均购买价格计算过程见表4-16。

表4-16 各组标志值 各组标志总量 各组单位数 时 间 早 午 晚 合 计 价格（元/斤） m=x f 0.25 0.20 0.10 — 购买金额（元） m=x f 5 6 7 8 蔬菜购买金额(xf)蔬菜购买量(f)

购买量（斤） f=m/x 20 30 70 120 蔬菜平均购买价格(x)? - 25 -

即：

（1）简单平均差：MD??x?xn（未分组数列）?x?xf（2）加权平均差：MD??f（分组数列）

显然，平均差弥补了全距之不足，它考虑了所有的标志值，能较好地反映总体各单位标志值的平均差异（离散）程度。

在计算平均离差时，要保证正、负离差和不至于在计算中相互抵销为零，则需取它们的绝对值。即数学处理上有困难，不符合代数方法演算，具有局限性。 （三）标准差

1、标准差的概念。

标准差是分布数列（总体）中各单位标志值与其算术平均数离差平方的平均数的平方根。即标准差是各变量值离差平方平均数的平方根。又叫均方差。用σ表示。而σ2称为方差。

标准差是测定标志变动程度的最主要的指标。标准差的实质与平均差基本相同，只是在数学处理方法上与平均差不同，平均差是用取绝对值的方法消除离差的正负号然后用算术平均的方法求出平均离差；而标准差是用平方的方法消除离差的正负号，然后对离差的平方计算算术平均数，并开方求出标准差。 2、标准差的计算方法。

由于掌握的资料不同，标准差的计算可分为简单标准差和加权标准差两种形式。即：

（1）简单标准差：???(x?x)n2（未分组数列）（2）加权标准差：???(x?x)?f2f（分组数列）

（四）变异系数

标准差（或平均差）其数值的大小不但取决于数列各单位标志值的差异程度，而且要受其数列平均水平高低的影响，并且在反映标志值的差异程度时还带有计量单位。因此，如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较其数列平均数的代表性大小），这时需消除平均水平不同或计量单位不同的影响，计算标志变异系数。

标志变异系数是分布数列（总体）中，标志变异指标（全距或平均差或标准差）与其算术平均数之比，以反映标志值差异的相对水平，即变异系数是反映单位平均水平下的标志值的离散程度，常用的是标准差系数。

变异指标（σ或DM或R）变异系数?算术平均数（x） 标准差系数的计算方法如下

v甲??x

- 31 -

本章的难点是各种平均指标的计算以及应用条件，计算标志变异指标的方法。

课堂练习：

例题1（单项选择题）

人均粮食消费量是一个（ ）

A、强度相对指标 B、结构相对指标 C、比较相对指标 D、平均指标 答案：D

例题2（单项选择题）

权数对算术平均数的影响作用，实质上取决于（ ）。 A、各组标志值占总体标志总量比重的大小

B、作为权数的各组单位数占总体单位数比重的大小 C、标志值本身的大小 D、各组单位数的多少 答案：B

例题3（单项选择题）

已知两个同类型企业的职工工资水平的标准差分别为5元/人、6元/人，则甲、乙两个企业职工平均工资的代表性是（ ）。

A、一样的 B、甲企业＞乙企业 C、甲企业＞乙企业 D、无法判断 答案：D

例题4（多项选择题）

在什么条件下，加权算术平均数等于简单算术平均数（ ）。 A、各组次数相等 B、各组变量值不等 C、变量数列为组距数列 D、各组次数都为1 E、各组次数占总次数的比重相等 答案：ADE

例题5（多项选择题）

权数对平均数的影响作用表现在（ ）。

A、当标志值较大的组次数较多时，平均数接近于标志值较大的一方 B、当标志值较小的组次数较少时，平均数接近于标志值较小的一方 C、当标志值较大的组次数较少时，平均数接近于标志值较大的一方 D、当标志值较小的组次数较多时，平均数接近于标志值较小的一方 E、当各组次数相同时，对平均数没有作用 答案：ADE

例题6（填空题）

某厂生产了三批产品，第一批产品的废品率为1％，第二批产品的废品率为1.5％，第三批产品的废品率为2％；第一批产品数量占这三批产品总数的25％，第二批产品数量占这三批产品总数的30％，则这三批产品的废品率为_____________。

答案：1.6%

例题7（简答题）

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简述加权算术平均数与加权调和平均数的异同。 答案：

算术平均数和调和平均数的计算都符合总体标志总量除以总体单位总量这一基本原理，且当m＝xf时，二者存在着变形关系。在实际计算时平均数时，由于所掌握的资料不同，计算方法也不同，如果掌握被平均标志值的次数时用加权算术平均法，已知标志总量时用加权调和平均法；在由相对数或平均数计算平均数时，如掌握相对数或平均数的分母资料时用算术平均数计算；如掌握其分子资料时用调和平均数计算。

例题8（计算题）

例，某厂工人各级别工资额和相应工人数资料如表

工资额（元） 460 520 600 700 850 合 计 工人数（人） 5 15 18 10 2 50 试计算工人平均工资。 解：工人平均工资计算过程如表4-3。

表4-3 各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量

工资额（元） x 460 520 600 700 850 合 计 各组工资额（x）?工人数（人） f 5 15 18 10 2 50 各组工资总额（xf）各组工人数（x）

工资总额（元） x f 2300 7800 10800 7000 1700 29600 平均工资为：x??xf460?5?520?15?600?18?700?10?850?2??592（元/人）5?15?18?10?2?f

注意：由组距数列计算加权算术平均数，可用组中值代表各组变量值。

例题9（计算题）

例，某公司所属6个企业，按生产某产品平均单位成本高低分组，其各组产量占该公司总产量的比重资料如表 按平均单元成本分组（元/件） 10～12 12～14 14～18 合 计

企业数 1 2 3 6 - 33 -

各组产量占总产量比重（%） 22 40 38 100 试计算该公司所属企业的平均单位成本。

解：该公司所属企业的平均单位成本计算过程如表 按平均单元成本分组 （元/件） 企业数 组中值 x 11 13 16 — 各组产量占总产量比重（%） f /∑f 10～12 12～14 14～18 1 2 3 22 40 38 合 计 平均单位成本：6 100 x??xf?f?11?0.22?13?0.4?16?0.38?13.7（元/件）

例题10（计算题）

某企业某月生产三批产品的合格率及各批产品产量资料如表

合格率（％） 90 95 98 产量（件） 1000 2000 3000 试计算产品平均合格率。

解：产品平均合格率计算过程如表

各组标志值 × 各组单位数 = 各组标志总量 合格率（％） x 90 95 98 合 计 合格率（x）?合格品数量(xf)全部产品数量(f) 产量（件） f 1000 2000 3000 6000 合格品数量（件） x f 900 1900 2940 740 产品平均合格率：x??xf?f?5740?95.67`00

例题11（计算题）

某地20个商店，1994年第四季度的统计资料如下表4-29。 表4-29

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按商品销售计划完 成情况分组(％) 80－90 90－100 100－110 110－120 商店 数目 3 4 8 5 实际商品销售额 （万元） 45.9 68.4 34.4 94.3 流通费用率 （%） 14.8 13.2 12.0 11.0 试计算：

（1）该地20个商店平均销售计划完成指标； （2）该地20个商店总的流通费用率。

(提示：流通费用率=流通费用/实际销售额)某地有50个商店，2003年第四季度的统计资料如下表4-30）

参考答案：

（1）50个商店的平均销售计划完成程度=总的实际销售额/总的计划销售额，缺分母资料用加权调和平均数。

列表计算如表4-30 表4-30：

按商品销售计划完 成情况分组(％) 80－90 90－100 100－110 110－120 合 计 组中值 x 85 95 105 115 — H?实际销售额（万元） m 9.35 18.05 460 414 901.4 计划销售额 m/x 11 19 483 360 873 ?m?751.9?103.25%m743?x

结果表明50个商店的平均销售计划超额完成3.25%。

（2）总的流通费用率=流通费用额/实际销售额，缺分子资料用加权算术平均数。 列表计算如表4-31： 表4-31 流通费用率% x 14 12 11 10 合 计 实际销售额（万元） f 9.35 18.05 460 414 901.4 流通费用额（万元） xf 1.309 2.166 50.6 41.4 95.475 - 35 -

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