辽宁省沈阳市 2010年高三年级教学质量监测（二）

辽宁省沈阳市

2010年高三年级教学质量监测（二）

数学试题（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．

2．选择答案用2B铅笔在答题卡上选涂，非选择题答案用黑色或蓝色笔工整书写在答题纸上，答在试卷上无效． 3．考试结束后，考生将答题卡和答题纸一并交回．

1V锥体?Sh

3

锥体的底面积为S，高为h

参考公式：回归直线方程：y=a＋bx，其中b??xyii?1ni?1ni?nxy2?x． ??y?b,a?xi2?nx

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A={xx2?1?0,x?R}，集合B满足A ∩B=A ∪B，则 RB为 A．（一1，1） C．（1，+∞） 2．下列说法中，正确的是

B．（一?，一1]∪[1，+?） D．（一∞，一1）∪（1，+∞）

（ ）

（ ）

A．命题“若am2

22B．命题“?x?R,x?x?0”的否定是“?x?R,x?x≤0” C．命题“p V q”为真命题，则命题“P”和命题“q”均为真命题 D．已知x?R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

??????3．已知|a|?|b|?1,|a?b|?3，则向量a与b的夹角为

A．

D．

（ ）

? 3B．

2? 3C．

? 43? 4（ ）

4．已知m、n是两条不同的直线，α、β、?是三个不同的平面，则下列命题中正确的是

A．若???,a???m,n?m,则n??或n?? B．若m不垂直于?理，则m不可能垂直于?内的无数条直线 C．若a???m,n∥m，且n??,n??，则n∥?且n∥? D．若???，m∥n，n??，m∥?

5．实验测得四组数据为（1．5，2）、（2．5，4）、（3，3．5）、（4，5．5），则y与x之间的回归直线方程为

A．y?（ ）

172x? 1313171x? C．y?1313172x? 1313171x? D．y??1313B．y??x226．已知双曲线2?y?1(a?0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上的一点，且?F1PF2=90°，则PF1?PF2的a

值为 A．

C．2

（ ） D．4

1 2B．1

7．如图所示，某几何体的主视图、左视图均是等腰

三角形，俯视图是正方形，则该几何体的全面 积（单位：cm3）为 （ ）

A．4?43 C．4?83 B．12 D．20

8．若不等式1?111127????n?1?(n?N?) 24264

C．9

D．10

（ ）

成立，则n的最小值是 A．7 B．8

9．已知x?(0,?]，关于x的方程2sin(x?

（ ）

?3)?a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为

A．[－3，2] B．[3，2] C．（3，2]

D．（3，2）

10．右图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该 框图所输出的最后一个数据是 （ ）

1 511C．

97A．1 1011D．

99B．

11．在R上定义运算：??a?cb???ad?bc，若不等式 d??x?1a?2????1对任意实数x成立，则实数a的最 a?1x??大值为

A．?C．

B．?D．

（ ）

1 23 21 23 2（ ）

12．已知实数a,b满足0?b?a?1，则下列关系式中可能成立的有

①2?3②log2a=log3b③a?b A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

ab22第Ⅱ卷（填空题）

二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，反答案填在答题纸上） 13．在复平面内，复数z?(1?i)?1对应的点位于复平面的第 象限.

14．已知圆C:x?y?2x?4y?1?0，则过圆心C且与原点之间距离最大的直线方程是 .

15．若函数f(x)?2x?lnx在其定义域内的一个子区间(k?1,k?1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 .

2222

16．我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，

?可以求出过点A（-3，4），且其法向量为n?(1,?2)的直线方程为1x(x?3)?(?2)?(y?4)?0，化简得x?2y?11?0.

?类比上述方法，在空间坐标系O?xyz中，经过点A（1，2，3），且其法向量为n?(?1,?2,1)的平面方程为 .

三、解答题（共6道小题，满分70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，且满足(2b?c)cosA?acosC?0.

（1）求角A的大小； （2）若a?3,S?ABC?33，试判断?ABC的形状，并说明理由. 4 18．（本小题满分12分） 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1的中点. （1）求证：平面B1FC//平面ADE；

（2）试在棱DC上取一点M，使D1M?平面ADE；

（3）设正方体的棱长为1，求四面体A1—FEA的体积. 19．（本小题满分12分） 某网站就观众对2010年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：

喜爱程度 人数 喜欢 560 一般 240 不喜欢 200 （1）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取

的人数为5人，则n的值为多少？

（2）在（1）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成

一个总体 ，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率.

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?lnx?ax(a?R)

（1）求f(x)的单调区间； （2）若a?1,且b?0，函数g(x)?数b的取值范围.

21．（本小题满分12分）

13bx?bx，若对任意的x1?(1,2)，总存在x2?(1,2)，使f(x1)?g(x2)，求实3

x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点

ab2????????M为椭圆的上顶点，且满足MF?FB?2?1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为?PQM的垂心. 若存在，求出直线l的方程；若不

存在，请说明理由.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙

O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P． （I）求证：．AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲

已知直线l的参数方程为： x?2?ty?3t（t为参数），曲线C的极坐标方程为：?2cos2??1．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求直线l被曲线C截得的弦长． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)?log2(x?1?x?5?a)．

（I）当a=2时，求函数f(x)的最小值；

（Ⅱ）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．

参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1—5BBACA 6—10CBBDD 11—12DC 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．一

14．x?2y?5?0 15．?1,?

16．x?2y?z?2?0 三、解答题

17．（1）解法一：?(2b?c)cosA?acosC?0

由正弦定理得

?3??2?(2sinB?sinC)cosA?sinAcosC?0 2分 ?2sinBcosA?sin(A?C)?0,sinB(2cosA?1)?0 ?0?B??

?sinB?0,cosA??0?A??,?A?1 4分 2

?3 （法二）

?(2b?c)cosA?acosC?0

由余弦定理，得

b2?c2?a2a2?b2?c2(2b?c)??a??0 2分

2bc2ab整理，得b?c?a?bc, 4分

222

b2?c2?a21?cosA??

2bc2?0?A??,?A?

?3

（2）?S?ABC?133， bcsinA?2433 4

即bcsin??3??bc?3 ① 7分

?a2?b2?c2?2bccosA,

?b2?c2?6 ② 9分

由①②得b?c?3 ??ABC为等边三角形 12分 18．（1）证明：?E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1棱BB1和DD1中点.

?DF//B1E且DF=B1E

?四边形DFB1E为平行四边形，

即FB1//DE， 由?AD//B1C1 2分

又AD?DE?D,B1C1?B1F?B1

?平面B1FC//平面ADE. 4分

（2）证明：取DC中点M，连接D1M， 由正方体性质可知，D1M?B1C1， 且?DD1M??C1D1F 5分 所以?DC11F??DD1M,

又?DC11F??D01FC1?90 所以?D1D1M??D01FC1?90 所以D1M?FC1 6分 又FC1?B1C1?C1

?D1M?平面B1FC1

又由（1）知平面B1FC1//平面ADE. 所以D1M?平面ADE. 8分

（3）方法一：由正方体性质有点F到棱AA1的距离及点E到侧面A1ADD1的距离都是棱长1 ?S?11?AA1F2?AA1?1?2

?V111A1?AEF?VE?AA1F?3?2?1?6 12分

方法二：取EF中点O1，

把四面体分割成两部分F—AA1O1，E—AA1O1 VE?AA1F?VF?AAO11?VE?AAO11 10分 E、F分 为正方体ABCD—A1B1C1D1棱BB1和DD1中点，

由正方体性质有，O1为正方体的中心.

?EF?平面AA11O，VE?AA1F?3S?AA1O1?EF

O1到AA1的距离h?为面对角线的一半，

S1122?AA1O1?2?AA1?h??2?1?2?4

V1121E?AA1F?3S?AA1O1?EF?3?4?2?6 12分

19．解：（1）采有分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为n:1000 2分

则不喜爱小品观众应抽取

n1000?200?5人

?n?25. 5分 （2）由题意得，女性观众抽取2人，男性观众抽取3人，

设女性观众为a1,a2，男性观众为b1,b2,b3

9分

则从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有10种可能：

(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3), 8分

其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有7种可能：

(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3), 10分

所以从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众，至少有一名为女性观众的概率为7

??12分

20．（1）f(x)?lnx?ax， ?x?0，

即函数f(x)的定义域为（0，+∞）

?当a?0时，f(x)在（0，+∞）上是增函数 当a?0时,?f(x)=11?axx?a?x ?f?(x)?0,则1-ax>0,ax<1,x<1a

f?(x)?0,则1-ax<0,ax>1,x>1a

即当a?0时f(x)在(0,1a)上是增函数，

在(1a,??)上是减函数. 4分

（2）设f(x)的值域为A， g(x)的值域为B，

则由已知，对于任意的x1?(1,2)， 总存在x2?(1,2)，

使f(x1)?g(x2),得A?B 6分

由（1）知a?1时,f(x)在(1,??)上是减函数， ?f(x)在x?(1,2)上单调递减，

?f(x)的值域为A?(ln2?2,?1) 8分

?g?(x)?bx2?b?b(x?1)(x?1)

?(1)当b?0时,g(x)在（1，2）上是减函数， 此时，g(x)的值域为B?(2b,?233b) 为满足A?B,又?23b?0??1 ?23b?ln2?2.

即b?32ln2?3. 10分

102分

（2）当b?0时，g(x)在（1，2）上是单调递增函数，

此时，g(x)的值域为B?????23b,23b??? 为满足A?B,又23b?0??1.

??23b?ln2?2

?b??32(ln2?2)?3?32ln2,

综上可知b的取值范围是????,32ln2?3???3??????3?2ln2,????21．（1）根据题意得，F(c,0),A(?a,0),B(a,0),M(0,b) ?????MF?(c,?b),???FB??(a?c,0)

?????MF????FB??ac?c2?2?1 2分

又e?ca?22 ?a?2c

?2c2?c2?2?1

?c2?1,a2?2,b2?1

椭圆C的方程为x2?2?y2?1. 4分

（2）假设存在直线l满足条件，使F是三角形MPQ的垂心. 因为KMF??1,且FM?l， 所以k1?1,

所以设PQ直线y?x?m，

且设P(x1,y1),Q(x2),y2

?y?x?m

由??x2 ?2?2?y?1 消y,得3x2?4mx?2m2?2?0

??16m2?12(2m2?2)?0,m2?3

4m2m2

x?21?x2??3,x1x2?3.

y1y2?(x1?m)(x2?m)?x1x2?m(x1?x2)?m2

分 12

2m2?24m2m2?22???m?. 8分

333又F为?MPQ的垂心，

??????????PF?MQ,?PF?MQ?0

?????????又PF(1?x1,?y1),MQ?(x2,y2?1)

??????????PF?MQ?x2?y1?x1x2?y1y2?x2?x1?m?x1x2?y1y2

42m2?2m2?2??m?m???0

333??m4?m2??0， 33

4?3m2?m?4?0,m??,m?1 10分

3经检验满足m?3 11分

2?存在满足条件直线l方程为： x?y?1?0,3x?3y?4?0 12分

22．（1）连接AB，

?AC是?O1的切线，

??BAC??D 又??BAC??E， ??D??E

?AD//EC? 5分

（2）方法一：

?PA是?O1的切线，PD是?O1的割线，

?PA2?PB?PD, ?62?PB?(PB?9)

?PB?3 7分

又?O2中由相交弦定理， 得PA?PC?BP?PE ?PE?4 8分

?AD是?O2的切线，DE是?O2的割线，

?AD2?DB?DE?9?16， ?AD?12 10分

方法二：设BP?x,PE?y

?PA?6,PC?2，

?由相交弦定理得

PA?PC?BP?PE,xy?12 ①

?AD//EC,?DPPE?APPC ?9?xy?62 ② 由①②可得，

??x?3或?x???y?4?121（舍去）， ?y?? ?DE?9?x?y?16. 8分

?AD是?O2的切线，DE是?O2的割线，

?AD2?DB?DE?9?16，

?AD?12 10分

23．（1）由曲线C:?2cos2???2(cos2??sin2?)?1,

得?2cos2???2sin2?)?1,化成普通方程

x2?y2?1 ① 5分

（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程

???x?2?1

?2t（t为参数） ② ???y?32t 把②代入①得：

?2

??2?12t?2?????3??t?2???1 ? 整理，得t2?4t?6?0 设其两根为t1,t2，

则t1?t2?4,t1?t2??6 8分 从而弦长为|t21?t2|?(t1?t2)?4t1t2?42?4(?6)?40?210. 方法二：把直线l的参数方程化为普通方程为

y?3(x?2)，

代入x2?y2?1,

得2x2?12x?13?0 6分 设l与C交于A(x1,x2),B(x2,y2) 则x1?x2?6,x131?x2?2 8分

?|AB|?1?3?(x221?x2)?4x1x2?26?26?210. 10分

24．函数的定义域满足|x?1|?|x?5|?a?0，

分

10

即|x?1|?|x?5|?a, 设g(x)?|x?1|?|x?5|

?2x?6?则g(x)?|x?1|?|x?5|??4?6?2x?(x?5)(1?x?5) 3分 (x?1)

g(x)min?4,f(x)min?log2(4?2)?1. 5分

（2）由（1）知，g(x)?|x?1|?|x?5|的最小值为4. |x?1|?|x?5|?a?0，

?a?4,?a的取值范围是（-∞，4）

分

10

即|x?1|?|x?5|?a, 设g(x)?|x?1|?|x?5|

?2x?6?则g(x)?|x?1|?|x?5|??4?6?2x?(x?5)(1?x?5) 3分 (x?1)

g(x)min?4,f(x)min?log2(4?2)?1. 5分

（2）由（1）知，g(x)?|x?1|?|x?5|的最小值为4. |x?1|?|x?5|?a?0，

?a?4,?a的取值范围是（-∞，4）

分

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/auqo.html