2017年郑州大学联合培养单位许昌学院655数学分析考研冲刺密押题

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2017年郑州大学联合培养单位许昌学院655数学分析考研冲刺密押题（一） (2)

2017年郑州大学联合培养单位许昌学院655数学分析考研冲刺密押题（二） (7)

2017年郑州大学联合培养单位许昌学院655数学分析考研冲刺密押题（三） (12)

2017年郑州大学联合培养单位许昌学院655数学分析考研冲刺密押题（四） (19)

2017年郑州大学联合培养单位许昌学院655数学分析考研冲刺密押题（五） (24)

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2017年郑州大学联合培养单位许昌学院655数学分析考研冲刺密押题（一）

注意：①本试题所有答案应写在答题纸上，不必抄题，写清题号，写在试卷上不得分；

②答卷需用黑色笔（钢笔，签字笔，圆珠笔）书写，用铅笔、红色笔等其他颜色笔答题，试题作废；

③答卷上不得做任何与答题无关的特殊符号或者标记，否则按零分处理；

④考试结束后试题随答题纸一起装入试题袋中交回。

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一、证明题

1． 证明下列命题：

(1)若

在

上连续増，

则为上的增函数。

(2)若

在

上连续，且

则

为

上的严格增函数，

如果要使

在

上为严格増，

试问应补充定义

【答案】(1)由

在

上连续及洛必达法则，得

因此F (x )在

点右连续，从而

在

上连续，又当

时，

根据积分中值定理，存在

使

所以

由在上单调增，得从而当

时，

故

为

上的増函数。

(2)由题设，可得

因此

在

内可微，且

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由知，函数

在上非负，且不恒为零，所以从

而

故

为

内的严格增函数.因

所以补充使函数

成为上的连续函数，再由可得

在

上严格增。

2． 给定积分作正则变换区域D 变为，如果变

换满足

证明：

【答案】利用复合函数的微分法，有

通过计算易知

注意到

可得

3． 设f 在

上连续

证明：存在

使得

【答案】设

中最小者为

最大者为

则有

若或.

则取就能满足题中要求.

若

对

在区间上应用连续函数的介值性定

理，可以得知存在使得

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4． 证明：函数项级数

在上不一致收敛，但和函数在上无穷次可微.

【答案】由于所以〈一致收敛于0,从而在

上不一致收敛. 对任意

的

存

在

使

得

由于对任意

的

，

有

且由根式判别法易知

收敛，

所以

在

|上一致收敛，从而用数学归纳法可得和函数在上无穷次可微.由

的任意性可知和函数在1上无穷次可微.

二、解答题

5． 求心形线

的切线与切点向径之间的夹角.

【答案】

由半角公式

得

故当

时当时

6． 求下列函数的全微分：

【答案】

7． 应用对参量的微分法，求下列积分：

【答案】(1)若

所以

同理

又因

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