特级教师、优秀教师的教案、教例分析

第二章 特级教师、优秀教师的教案、教例分析

案例1 直线与平面垂直的定义及判定

江苏省睢宁高级中学 黄安成

一、教案例描述 教学目标

1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容；

2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力； 3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践，并应用于实践的这一哲学理念；

4.培养学生的数学观念，能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分析事物、解决问题，并在此过程中提高学习数学的兴趣.

教学目标是教师预期的，在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径，也是科学加艺术的教育技艺的体现，所以笔者一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法，而是在教学过程中于不知不觉间实现这些目标.

教学过程

1.引言

我们生活在三维空间中，对直线和平面是非常熟悉的，就拿学校旗坛中的旗杆来说，它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的，请大家再列举一些生活中“直线与平面垂直”的具体事例，….

不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，将旗杆（是许多事物的代表）看成直线l ，将地面（也是许多事物的代表）看成平面?，今天就来研究直线l与平

l 面?垂直的有关知识.

2.进行新课

?如图1，直线l代表旗杆，平面?代表地面，那么你 认为l与?内的直线有什么关系？

? 1 学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言部分指出将“旗杆看成直线

l，将地面看成平面?”，但现在面对抽象图形反过又来又将直线l看成旗杆，将平面?看成地面，意图是

运用抽象与具体的结合，引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中，教者试图用三角板来度量从而判断l与?内的直线是否垂直，学生往往会发出会意的笑声，教者说：“是的，立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来的，也是度量不出来的，而是用心‘想’出来的.”这既复

①

习了直线与直线互相垂直（特别是异面垂直）的观察、想象、判断、识别和论证，又为后继的学习准备了条件.

反过来，如果l（旗杆）与?（地面）内的直线都垂直，那么l与?是什么关系？

要求学生在不看课本的前提下总结出直线与平面垂直的定义，尽管总结的语言很可能不太理想，教者也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖，相信学生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言，这样形成的知识也就能形成更加牢固的记忆.

麻烦大了，要判断直线l与平面?垂直，必须确定直线l与平面?内的所有（或任意一条）直线垂直.人们在研究和解决问题的过程中总是想采取简便的方式，现在我们追求的就是找到一种简易可行的判断直线与平面垂直的方法.

下面我们来模拟植树的活动，请一位学生上来演示，其他学生在课桌上同时演示，观察判断如何确定“树”是否与地面垂直，既充分又逐步体验简化了的判断直线与平面垂直方法的形成过程.

提出下面的系列问题：

（1）直线与平面内的一条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？ （2）直线与平面内的两条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？ （3）直线与平面内的一万条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？ （4）直线与平面内的无数条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？ （5）要想让直线与平面垂直，这条直线至少要与平面内的几条直线垂直？ （6）要想让直线与平面垂直，这条直线要与平面内的两条什么样的直线垂直？ 在上述研究的基础上提出猜想：如果直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

通过演示和对上述系列问题的研讨，学生会慢慢领悟判定直线与平面垂直的本质：如果直线垂直于平面内无数条直线，也不能判定这条直线与这个平面垂直.因为这无数条直线有可能是互相平行的，这时这无数条直线只代表着一个方向，它只“相当于一条直线”.但是如果与平面内两条相交直线垂直，情况就完全不同了，虽然只有两条，而它们是相交的，它们代表着不同的两个方向，人们在植树时判定树是否与地面垂直运用的就这个原理.

猜想不能代替证明，我们还要用严密的逻辑推理来证明这个结论.…通过转化问题归结为：若直线l与平面?内的两条直线垂直，证明直线l与平面?内的任意直线垂直，进而转

l⊥m 化为(如图2)：由

l l⊥n

m??

n?? ? l⊥g A m n m∩n＝A ? g是?内的 任意直线 2

②

这样处理的意图是：抓住本质，排除干扰，使下面的目标能集中浓缩于证明l⊥

g.具体过程略.在教

学时必须指出，这里应用的是构造全等三角形法和最简单的平面几何知识，消除学生的神秘感.

3.小结：

（1）直线与平面垂直的定义；

（2）直线与平面垂直的判定定理（编成诙谐的口诀：“线不在多，相交就行”，传神地点出问题的实质）；

（3）将和（1）与（2）综合起来，得右面的重要数学模式：

若l⊥m ，l⊥n,相交直线m、

n确定平面?，则l⊥?.又 g是?内的任意直线，则l⊥g 所谓数学模式，就是揭示事物本质的，具有相对固定格式的数学形式.模式由于它形式的简洁性，内容的深刻性，所以十分有利于理解、记忆、掌握、组装、检索、提取和运用.上述模式在以后的教学中，还要多次重复、强化，并与有关知识融合组装成有机的知识系统.该模式将成为立体几何中最重要、应用最频繁的得力“武器”.用方框围起来意在突出它的重要地位，再结合三种外显语言和大脑中的内部语言努力使该模式成为学生直观上的显然，以便运用时更加灵活自如、游刃有余.

4.A组练习

（1）将一本书掀开一点，直立在桌上（图略），那么书脊与桌面是什么关系？为什么？ （2）屋面是由两个矩形组成的（图略），那么屋脊与山墙所在的平面是什么关系？为什么？

（3）设△ABC，若直线l⊥AB，l⊥BC，求证：l⊥CA.

（4）做一个三角架，使三条腿中的任意两条腿都互相垂直（如图3），那么PA与BC、PB与CA、PC与AB分别是什么关系？为什么？

以上系列练习由浅入深，从具体到抽象，环环相扣， 层层递进，组成了一个使学生能力稳步增长的训练链条. 在教学中，运用多样化的手段增强训练的效果.如先口 述，继而写出规范的论证过程，再用黑板擦将图形擦得

P B E C H 图3 A D 模糊一些，要求在这种不十分清晰的情况下说出论证过程.若学生的基础较好，还可以将图形和字母全部擦去，借助于想象，运用动作和语言表述出论证过程.还可以运用“双簧”的表演形式，一个学生做动作，另一个学生口述.总之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来，并逐步能熟练的写出规范化的思辩论证过程，使《立体几何》的学习从这里走上阳光大道.虽然从本质看，这些都是重复性练习，但由于运用了多样化的形式，学生仍然乐于投入这样的教学活动，且能取得极佳的教学效果.

4.B组练习

（5）在（4）的条件下，作PH⊥平面ABC于H，则H是△ABC的什么心？为什么？ （6）如图3，若PA⊥BC，PB⊥CA，则PC与AB是什么关系？为什么？

③

（7）如图3，若PA⊥BC，PB⊥CA，作PH⊥平面于H，则H是△ABC的什么心？为什么？

A组练习是以B组练习为铺垫，同时又是B组练习的拓展延伸.在（5）中，将上述模式重复运用了两次，题中给出了平面ABC的垂线PH，正好给（6）的证明以一定的暗示量.但在解决（6）时，应先将PH擦去，让学生感到有一定的困难.这时教者问：“估计到结论是PC⊥AB，问题是如何证明.关键是如何建立几条线段之间的联系，?”经思考后，在上题的启示下，学生定会感悟到作PH⊥面ABC于H，那么问题便迎刃而解.教者说：“我们在学习《平面几何》时，感到最为困难的是作辅助线，似乎辅助线是从天而降，非常神秘，难以捉摸.怎么样，现在在《立体几何》中，我们不是顺利地作出了一条关键性辅助线，从而使解题取得重大突破了吗！将已知与欲证分析透彻了，辅助线就能自己‘蹦’出来，一点也不神秘，我们完全可以熟练驾驭它.辅助线PH好似一座桥，架桥铺路是解数学题的永恒的法则.除了辅助线外，我们以前曾引进过，今后还将引许多辅助‘角色’，如辅助圆、辅助体、辅助球、辅助角、辅助元、辅助函数、辅助数列、辅助不等式?等等这些辅助‘角色’都将成为我们的好朋友和合作伙伴.”为今后的教学设下了良好的伏笔.做了这番工作后，解决（7）已是水到渠成之事.学生通过积极的活动取得了丰硕的成果，课堂气氛越来越热烈，学生的情绪越来越高涨，最终达到高潮，在获得成功感、满足感、喜悦感中下课，并对未来的学习充满了信心，热切地盼望着再上下一节课.

二、教案分析

《高中数学课程标准（实验）》在《立体几何》部分有独特的要求：“通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.”这是确定这部分教学理念、内容、方法和程序的重要指导原则.直线与平面垂直是人们在生活中司空见惯的事实，充分利用学生在生活中已有的经验和感悟，经过提炼、概括形成抽象化的数学语言，并准确运用这些语言进行逻辑推理或计算，以解决数学和现实中的问题，是这节课的主线.这部分内容中，既有严密的、理性化的思辩论证，又需要利用数学悟性实现直观判断、猜想，所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点，是培养学生数学素养，发展学生数学综合能力的大好时机.学生开始学习立体几何往往有各种障碍，尤其是空间想象能力，画图、识图、辩图能力，三种数学语言（自然语言、图形语言、符号语言）的运用转化能力的不理想，严重地阻碍着前进的脚步.而学习《直线与平面垂直》应该是扫除这些障碍，从根本上提高这些能力的转折点.从这个意义上说，科学地设计并合理地实施这节课的教学程序，是学生从此走向《立体几何》学习的阳光大道的关键.

依据上述原则与精神，笔者设计和实施了如上的教学方案，并在有关之处作必要的剖析或说明.

此节课可算是“最普通、最平凡”的一节课，如何“出新”又“出彩”，确实是不容易的. 笔者在四十多年的教学实践中，孜孜以求的就是用科学加艺术的教学方式努力提高课堂教学的效率.这一节课也上过几十遍，特别是在学习、执行《高中数学课程标准（试验）》的过程中 ，更是投入更多的精力和智慧来思考，从而在新教学理念的指导下，逐步形成了自

④

[1]

己的一些想法和做法.下面就这一节课再提出一些个人的见解，供方家参考，并请教正.

（1）理性与悟性

数学文化最光辉灿烂的就是其理性精神，但这种理性精神应该与悟性思维方式融合，才能全方位地提高学生的数学素养.文[1]中，除了上面所引外，还在许多地方提到“领悟、内化”、“猜想”、“几何直观能力”等词语，可见新教学理念决不排斥悟性.这里所说的“悟性”应该是指“数学悟性”，笔者在文[2]中将其描述为“逻辑简约、直观洞察、预见猜想、灵感顿悟”，这在《立体几何》中体现得更加充分.直线与平面垂直的定义及判定，如果没有数学悟性的参与就不可能使学生形成“直觉上的显然”（德国著名数学家克莱因语）.解立几问题时，最终依靠的当然是思辩论证，但在探索、突破的过程中，却处处离不开悟性思考.因此，在本教案的设计和实施过程中，将数学悟性思维能力的培养与应用放在相当显著的位置上.

（2）模式与创新

提到“模式”，很可能使人联想到“思维定势”，认为它是创造思维的障碍.这种认识是不全面的.文[1]说：“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求”.当然“全盘形式化是不可能的”，也是不可取的.数学模式就是揭示数学对象的本质特征及其普遍规律的，具有相对固定样式的形式.它具有两重性，对创造思维确会产生一些束缚作用，但它又是创造思维的原型.每一项发明创造都是在某个原型的启发下实现的，这就叫“原型启发”（巴甫洛夫的经典理论）.问题的关键是处理好模式与创新两者间的辨证关系.上面方框中的模式是解决千百道立几问题的“利器”，从本质上掌握它，再处理好立几图形的变形和变位问题，就可以出神入化地解决要求较高的问题.

（3）课堂容量

课堂容量大好还是小好？其实这是不言而喻的，在学生基础较好、教案设计科学合理、教师启发引导得法、师生关系融洽、课堂气氛活跃、学生的潜智得到充分开掘、现代化教学技术的加盟等条件下，课堂容量就是越大越好.上述教学内容，在过去是用两个课时完成的，但现在只用一个课时，从知识的发生、发展到应用，一切都显得十分自然、流畅与和谐，学生感到学得轻松、学得愉快、学得实在.

（4）主体与主导

笔者在这里提出一个“启发量”的概念.用字母“?”表示启发量，则有“?∈[0，1]”，“?=1”表示完全靠教师讲解，“?=0”表示完全让学生活动，教师必须寻求?的最佳值使教学取得最佳效果.但?的值并不是越小越好，要根据教材的具体情况合理确定?的值.如果片面强调学生的主体地位，完全忽视教师的主导作用，还要你教师干什么？像本节课中（图2），运用构造全等三角形的方法由“l⊥m ，l⊥n”证明“l⊥ g”，?的值就要适当地大一些，完全让学生去探索、发现、证明是不现实的.

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（5）例题练习

例题的讲解与练习的训练，都是尽量让学生活动，也就是尽量减小?的值，所以没有必要将两者截然分开，而是实行例题与练习的一体化.这样也可使教案在层次和结构上显得简洁明快.

（6）现代化教学技术的应用

计算机走进课堂是大势所趋，它在许多方面为提高教学效益起到了其他教学方式不可替代的作用.但必须认识到，多媒体课件永远是教学的辅助手段，它永远也不能取代黑板和粉笔.这一节课在一些地方也运用了课件，如图1、图2、图3就充分发挥了多媒体课件动画演示的优越性，取得了超乎寻常的效果.但在其他地方除了利用实物外，灵活机动地利用黑板和粉笔的特长也是取得教学效果的不可或缺的条件.

参考文献

[1]《普通高中数学课程标准（实验）》 中华人民共和国教育部制定 人民教育出版社 2003，4 [2]《谈数学悟性》 黄安成 数学教学（沪） 1999，3

作者简介

黄安成，1941年7月出生于江苏省兴化市，1962年毕业于徐州师范大学，分配至睢宁县任教至今，曾任徐州市中学数学教学专业委员会副理事长、睢宁中学数学教研组组长，1988年被评聘为中学高级教师，1990年被江苏省人民政府授予“中学特级教师”称号，现仍在睢宁县高级中学任教。在四十多年的中学数学教学实践与研究中，逐步形成了“纵横联系，情趣盎然，培养能力，教书育人”的教学风格，取得丰硕的教学成果，至今发表了近140篇教研论文， 2001年正式出版个人专著《黄安成数学教学论文选集》，应邀在省内外的几十所大、中、小学讲学，获得一致好评。

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案例2 “球的体积”教学 南京师大附中 马明

编者按：马明先生的这篇用“祖暅原理”来推导“球的体积公式” 的教案，风靡全国久矣。然现行高中立几教材对“球的体积公式” 已不用“祖暅原理”来推导，而采用 “分割，求近似和转化为准确和”的方法。本书之所以再次转载，是因为这篇教案魅力不减，仍极具教学参考和鉴赏阶值。

一、教案描述：

通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力，并注意完善学生认知结构.

[若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习——解几个一元方程：已知半径求体积；已知体积求半径，……这是降低教学要求，把高中课降为初中课的做法]

师:（板书）已知球的半径为R，求V球=？（出示小黑板——图23）[思维从问题开始]

师:为了计算半径为R球的体积，可以先计算半球的体积V半球 .观察图23，你一定能在V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符号（学生完成）得

V圆柱>V半球>V圆锥.

[提供类比,让学生目测大小,温故而知新,用以强化认识过程] 师:由于 是已知的，便得双重不等式（板书）:

V圆柱 =?R、 V圆锥=?R

3313[向“量化”过渡] 你能猜测V半球=?

[引诱学生猜想.猜想是发现的开始] 生:…… [诱导一下]

师:(πR3的系数―1‖改写为―

33‖,得?R>V>33313?R

3师:可以大胆一些,准许猜错. 生: V半球 =?R 对吗?

323[此答案不一定出自成绩最好的学生,而是胆大者,思维活跃者] 师:有一定理由,因为3/3>2/3>1/3嘛!然而,这太冒险了. [既鼓励,又提出更高要求,使学生仍处于激奋境地] [用行动支持敢于大胆猜想的学生]

⑦

师:我们不妨做一个试验,用以验证这个猜想.

[理、化有实验,数学也可以有实验,美国盛行―数学实验教学法‖,这对激发学生学习兴趣,培养学习能力都十分有利]

[取一个半径为R的半球面,再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个,都是铁皮制成的容器.将圆锥放入圆桶内(图24),再将半球容器装满细沙,然后把半球内的细沙倒入圆桶内,发现圆桶恰好被装满]

师:你能将实验结果用一个等式表达出来吗?

[鼓励学生将实验结果―量化‖(构造一个等式)是十分重要的数学方法]

生1:[板书] V圆柱―V圆锥=V半球

生2:[板书] V半球=V圆柱 ―V圆锥=?R-?R=331323?R

3师:于是得(板书) V球=?R

343 且V圆柱: V半球: V圆锥=3:2:1

师:中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠?还要进行论证才行. [中学理、化是建立在实验基础上的]

[用数学工具去证明实验结果,学生兴趣盎然]

师:我们现在的任务是证明这个实验结果,或者说,是要证明图23右边充满细沙的几何体与左边充满细沙的半球是等积形.而右边几何体的体积是已知的.[板书]

该几何体的体积=?R-?R=331323?R.如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”.

3我们就可以将它做为半球的参照体.

;

⑧

[为了运用祖暅原理,所引入的几何体必须符合两个条件:①它的计算公式是已知的②它符合祖暅原理的条件;该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时,截得的截面面积总相等.符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体,在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系]

该几何体与半球同高(R),这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间,剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等.

用与底面平行的任一平面去截图24的两个几何体,截面分别是圆面和圆环面(图25).如果截面与平面α的距离为l,那么圆面半径r?R?l22,圆环面的大圆半径为R,小圆半径为

l,因此

S圆=πr2=π(R2 –l2),

S圆环=πR2–πl2=π(R2 –l2), 所以S圆=S环

根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即

1V半球= ? R2?R??R2?R3

23 ??R3

所以V球 = ?R

343由此,“猜想”得到证明,可以写成定理形式:

[从猜想到证明是“质”的升华!是学习数学的最重要的素质] 定理:如果球的半径是R,那么它的体积是

V球 =?R

343师:你准备怎样记忆这个结论呢?

[不管是意义识记或是机械识记,在这里都是有效的,都是可行的.根据各个学生的学习习惯,不必强求一律]

生1:根据“细沙实验”

133V半球=V圆柱 ―V圆锥= ?R??R3

23 ??R3

? V球 =

43?R

3生2:我保要记住 V圆柱: V半球: V圆锥=3:2:1就行了.

师:还有其它的记忆方法吗?例如,把球体视为拟柱体,采用拟柱体的体积公工试试看. [数学教师要不要培养学生的记忆能力?这是有争议的.看来,数学教师有可能,也有必要去培养学生的记忆能力]

生:[板演]

⑨

V拟柱体=

16h?S?4S0?S/?

2对于球,h?2R,S?S??0,S0??R 所以V球= ?2R?0?4?R?0?6

21 =?R

343[随时复习与应用拟柱体公式]

师:这能作为球体积公式的证明吗?

生:球体不是拟柱体,不能作为证明,但可以作为一种记忆方法.

师:还有其它的记忆方法吗?例如,将球体分割成许多小的锥体,球心是这些小锥体的顶点,锥的底面不是平面,而是球面的一小部分(是曲面)请看图26.[是可贵的数学思想]

于是V球=许多小锥体之和,而这许多小锥体的高可视为球半径R，又因为所有小锥体的底面之和=球面积=4πR2，

1所以V球= ?S1?S2??h3

12 ??4?R?R3

43 ??R3

[发展学生的空间想象能力]

同样，这也不能作为球体积公式的证明.但是,使人感到兴趣的是,拟柱体\\小锥体与球体的这种“默契”,这种内部的一致,给人们和谐的感觉,它不仅可以帮助人们记忆,还给人以和谐美的感受![升华了]

师:现在再请大家自己解答一个问题[板书]

[不十分困难的例题由学生自己解答,然后再对照课本并进行议论,有时比教师直接讲解要收效大些,不妨一试]

有一种空心钢球,重142g,测得外径等于5.0cm , 求它的内径(钢比重是7.9g/cm3). 师:这是课本的例题,解完后自行对照课本.[同时由一位学生板演] 议论: (略)

师:今天这堂课的关键是构造一个球的参照体,而“细沙实验”帮助我们解决了这个问题.你能离开实验,经过分析直接构造这个参照体吗?

[代替小结,将课内效果引向课外——直接构造参照体]

二、教案分析

这份教案显然是写给别人看的,如果只是为了自己教学,我想,只要记下教学过程就行了: 1 提出问题V求=?

2 目测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系 3 得猜想：V半球?23?R

3 ⑩

入胜，这与教师的教学观念是密切相关的。

从这堂课的整体效果看，因从暴露思维的角度组织材料，所以学生学得轻松愉快，主动参与教学活动的热情高涨，变被动接受为主动学习，提高了学习效果。在教师的适当点拨下，学生在力所能及的发现中可以领略到数学的魅力，激发了他们的学习兴趣。

从教师的教学理念看，特别注重提高思维能力和创新意识的培养，于是设计出一个又一个富有成果的、有价值的问题。给学生以探索的机会，创造的热情，从而提高了素质。我们说演绎推理能力的培养，无疑是重要的，但对于寻找真理、发现真理和探索真理而言，更要重视合乎情理的推理能力的培养。这一切，传统的数学教学未予重视，于是说要设计一个好的教案，转变教学观念更是关键、是方向盘、是指南针。

（二）挖掘教材是教学设计的必修课。

现行教学教材是由很多教学教育专家经过反复修改、讨论才编就的，它的每一项内容乃至每一条题目，都有其精心的考虑。当然，编写者不可能也无必要把他们的所有想法都写进教材，这就要求我们深入钻研教材，充分挖掘教材的潜能，实际教学时，做到既源于课本，又高于课本、活于课本，以培养学生的创造性的思维能力和解决实际问题的能力。

本教案从一个反常规的问题入手，扣开了学生的创新思维，可能在学生的心目中，甚至在许多教师的心底里认为（3）式作为椭圆的标准方程是天经地义的，从来没有想过为什么要把（3）式作为标准方程，也从来没有想过（3）式的许多不足和缺陷。本课时正是在这一逆向思维的基础上，一下子吸引了学生的注意力，激活了他们的好奇心，整节内容设计成几课时，犹如一部优秀的电视连续剧，让人留恋忘返、欲止不能。

本教案的成功之处是充分的挖掘了教材的潜能，站在学生的层面上设计教学过程，把知识点的掌握转化为探索过程，并把探求的领域一次次地扩大，一次次地深入，这种有浅入深、由表及里、由小见大的教学设计方案，符合学生的心理特征和人们的一般的认知规律，值得借鉴和推广。

作者简介

蒋亮，男。1956年12月生，现任浙江省象山中学校长，是浙江省特级教师，宁波市首批名教师、宁波市享受正教授待遇的正高级教师。主要从事数学竞赛、数学管理和教育创新的研究，对学生创新能力、研究意识的培养有独到的见解和成效，在《数学教学》、《数学通讯》等刊物上发表多篇。《六年来高考内容的覆盖和应试秘方》一文曾被三家杂志转载，同年被评为全国优秀论文，参与编写新教材教参用书多种。

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案例4 函数最值的一些求法及错解分析

浙江省镇海中学 许克用

一、教案描述

教学课题：函数最值的一些求法及错误分析 教学目标：

1、 复习函数最值的一些主要求法； 2、 剖析求解过程中产生错误的原因；

3、 进一步树立“实践是检验真理的唯一标准”的唯物论。 教学重点：最值求法

教学难点：掌握解题中产生错误的原因

导 学：引导学生在自主解题和互相讨论的过程中抓住重点，突破难点，掌握主要的求

解方法及正误鉴别方法，从而提高思维能力。

教学过程：

亮题：这堂课拟通过大家对实例的研讨，进一步掌握求函数最值的一些主要方法及解题过程中产生错误的原因。

例1、已知函数y?2x2x?3(x?4)，请大家自己或与周围同学一起探讨出求这个函数最值的

各种方法。

（学生举手回答）解法一：

y?2x2x?3?2[(x?3)?9x?3?6]?2[2(x?3)?9x?3?6]?24

当且仅当，即x=6时（舍去x=0）ymin?24,但无最大值。

（教师指出）这种方法叫配凑法，同时用到了基本不等式，很好！应注意什么？（答：等号是否能取到）。

（学生举手回答）解法二： 令x-3=t，则≧x≥4，?t≥1。

y?2(t?3)t2?2(t?9t?6)?2(2t?9t?6)?24。余同解一。

（教师提问）此为何法？（答：换元法。）解题时应注意什么？（答：1、注意新变量t的变化范围；2、在利用基本不等式时什么时候取到等号。）

评：此法虽与解法一的实质是一样的，但它优于解法一。问：还有其他解法吗？ （学生举手回答）解法三：

≧x≥4，x-3≠0,?转化为方程2x2-yx+3y=0.利用判别式法得 Δ=y2-24y≥0，则y≥24或y≤0。≧x≥4，?y>0,?y≥24，即ymin?24，但无最大值。

（教师提问）此解法对吗？Δ≥0能保证根x≥4吗？部分同学认为不正确,如何改正？

???y2?24y?0??y??4?24?y?32（学生举手回答）利用实根分布法得(1)??2?2??f(4)?32?4y?3y?0?

?

对吗？（教师指导）实践检验，取y=40代入，得x?20x?60?0，解得x或x?10?210?42?10?210?4(舍)，可见存在x?10?210，使y=40>32，可见上述解法还存在问题，怎

样修正？（学生回答）上述不等式组仅仅给出在?4,???上有两个实根的情形，还应补上在?4,???上有一实根的情形:(2)、f(4)≤0，即y≥32。综上（1）、（2），得y≥24。?ymin?24，

但无最大值。

评：此法叫做实根分布法，有时简称判别式法。判别式法用到的是必要条件，并不充要，因此应慎用。

（教师问）还有什么解法吗？ （学生举手回答）解法四： ≧y?2x2x?3?21x?3?1x2??3(21x?16)?2112,

?当x=6时ymin?24。 又≧x≥4，?0?1x?14，当?3(1x?16)2?112时y???，但?3(1x?16)2?112，?y无最大值。

（教师提问）此为何法？（答：配方法。） （教师问）还有其它解法吗？

（学生举手回答）解法五（求导法）： 由y?2x2x?3得，

y??4x(x?3)?2x2?x?3?2?2x2?12x?x?3?2?2x(x?6)?x?3?2?0,即x=0（舍）或x=6时，y??0.列表如下：

x y?4 -16 32 （4，6） 6 — 0 （6，+≦） + y 24 由上表可得，当x=6时ymin?24，但无最大值。

教师指出：此法即为导数法。那么用导数法求最值的思路是：①、先通过求导求出各个极值和函数端点值；②、经比较，取其中最小的就是函数的最小值，其中最大的就是函数的最大值。上例中当x ?（6，+≦）时y递增，所以函数取不到最大值。

小结:综合以上,我们用到了哪些方法?(学生回答)配凑法、基本不等式法、换元法、判别式法（或实根分布法）、配方法、求导法等等。接下来我们拟通过对例1的变式再来复习一些求法。

变式一：将例1中的“x≥4”改为“x≥8”，其余条件不变。

（请同学们继续研究，讨论。教师有意识地请用换元法和配方法的同学来回答。） 解法一：（换元法）

令x-3=t，则≧x≥8，?t≥5。

y?2(t?3)t?242?2(t?9t?6)?2(2t?9t?6)?24。

?ymin。

询问：“对吗？” 学生答：“错了。≧等号成立当且仅当t2=9，此时t=〒3，而t≥5，?等号取不到。”

?

教师提出“怎么办”，并引导学生分析函数y≧y??1?x y??x?9x的单调性。

?9x2?x2?92?0x时，x=〒3，又x≠0，故可列表得：

（-≦，-3） -3 （-3，0） 0 （0，3） 3 （3，+≦） + 0 -6 ?x?9x- - 0 6 + y 根据上表，易得函数y的大致图像（如右下图所示）。 ?x?9xy 6 -3 O 由上表和右图可以清楚地看到函数y的单调性为： 分别在(??,?3],[3,??)上函数是单调递增的，而分别在[?3,0), (0,3]上函数是单调递减的。因此函数y上是增函数，故ymin?f(5)?2(5??2(t?9t?6)在区间 ，而无 3 -6 x [5,??)95?6)?2535最大值。

（向学生指出，这里我们就用到了函数的单调性法）

教师点评：当用基本不等式法因等号取不到而失效时，往往利用函数的性质(单调性法)去求函数的最值。可见利用不等式法时必须考虑自变量的取值范围是否能保证等号取到，这是一个陷阱，一定要小心！

解法二：配方法

因为y?2x2x?3??3(21x?16)?2112,其中x ? x??8,???,故0?1x?18,所以在这里我们遇到了自

变量有界的二次函数求最值问题，必须考虑到x≠，也就是说ymin61?24。为此观察式中分

母.

≧对称轴与x轴的交点坐标为（，0），而<，且抛物线开口向下

686111?

1x在?0,??1??8?上时?3(?251x?16)?2112为增函数，当x=时取到最大值，

81?当x=8时ymin35，但无最大值。

点评：用配方法求最值时，特别应注意抛物线的对称轴与自变量取值区间之间的相对位臵关系，当对称轴不落在区间内时，最小值是区间端点值，而并不是顶点函数值！若区间两端时开的，则无最值。

通过变式一我们又复习了用函数单调性求函数最值的方法，特别地，还遇到了两个极易产生错误的地方，这两个易错点务必请同学们弄懂并特别小心。

变式二：将例1中的“x≥4”改为“x≥a（a>3）”，其余条件不变。

（请同学们继续研究，讨论，我们是否可以用变式一中的两种方法去求解？） 解法一：（换元法） 令x-3=t，则

?

y?2(t?3)t2?2(t?9t?6)?2(2t?9t?6)?24。这显然不对。

ymin?2a2≧x≥a，?t≥a –3，?当a>6时等号取不到。此时利用函数单调性可得而当3

(3?a?6)此时x?6

(a?6)

此时x?a ，但无最大值。

解法二：配方法 因为y?2x2x?3??3(21x?16)?2112,

当a>6时，≧x≥a，?当3

1x?161?1???0,?6x???

ymin?f(a)?2a2a?3。

时,

ymin?24

综上可知，答案与解法一相同。

点评：

1、当自变量x的范围由参数给出时必须对参数进行分类来讨论函数所取得的不同最值 2、若本题将“a>3”改为“a> -1”，是否还存在最小值呢？请同学们课外去思考。 下面给出一道应用题请大家讨论研究。

例2、在函数y=3x2（-1≤x≤1）的图像上取A，B两点使AB

x轴且B的横坐标为t

（03）是ΔABC的边BC的中点，求ΔABC的面积取得最大值时C的坐标。 y C 先请同学们回答下列问题： （1）、B的坐标（ ， ），C的坐标（ ， ）； m M （2）、∣AB∣= ，AB边上的高∣CH∣= ； （3）、SΔABC=S（t）= 。 解：≧SΔABC=2t∣m-3t2∣=2t（m-3t2） （≧m>3, 00）

(6t2B A ?2m?6t362)3-1 O ?49mm1 x ?S?ABC当且仅当6t2?2t(m?3t)222?2 ?m?3t2，即t?m3时取到等号。

想一想：当m>3, 0

03,即39时取不到等号。

这就要由S(t)= 2t（m-3t2）在0

?

学怎样实施数学素质教育起到了一定的示范作用。数学教师认为：本课题有能力发展点，个性和创新精神培养点。通过直观演示让学生体验数形结合和特殊到一般思想，领会观察、猜想、证明的思想方法是符合学生的认知规律和心理发展规律的。教者艺术地将死的知识激活，不但能使学生主动建构组合数性质，而且有利于学生体验数学化的过程。本课使学生掌握组合数性质的同时，领会了由其内容反映出来的数学思想和方法，不但巩固了旧知识而且为后继学习作下了伏笔，尤其是课后思维发散性的作业，对培养学生创新意识和能力及科学研究的意识和能力有重要作用。学生认为：本节课具有开放性、探索性的特点，前后联系密切，不但使我们掌握了组合数的性质，领会了处理问题的思想方法，而且使我们开阔了眼界，学会了学习数学的方法。

这节课成功的原因主要有以下几条：

1、做到了右半脑的形象思维与左半脑的逻辑思考相结合。这节课传统的学习活动是纯粹的认知活动，未能引发学生的情趣。这个教学设计看到了传统学习的不完整性，运用图象情境把逻辑与直觉、理智与情感结合起来，使左右脑共同发挥作用，既能使学生在行为和认知方面得到完善，也能使学生在情感上有所体验。我们觉得这个教学设计是符合新课程“促进学生全面、持续、和谐发展”精神的。

2、体现了“数学教学是数学活动的教学”的思想。这节课传统的呈现方式是：给出结果（组合数的性质）→解释结果（组合数性质的结构分析）→证明结果→应用结果。这是关注结果的一元性教育，显然不符合新课程理念。传统做法的另一种呈现方式是：给出几个算式→观察、归纳得出结果→解释结果（组合数性质的结构分析）→证明结果→应用结果。这里虽关注了知识发生的过程，比第一种呈现方式多了一个阶段，即发现活动，但仍是一种认知行为，不能引发学生的情趣活动，我们觉得也是不完整的。这个设计的呈现方式是：创设情境→独立探究→合作交流→总结反思。我们觉得这种教学设计不但让学生经历了知识发生与发展的过程，而且能使学生感受“观察——猜想——证明”的思想方法，也能使学生在探究的过程中培养科学的态度与创新精神，体味到数学的魅力。

3、实践了课内外结合。这节课传统的做法在课前没有安排“先行组织者”，课后没有 向学生提出拓展性问题。我们觉得在学生学习方式没有根本转变的情况下，仅用课内几分钟时间，要求学生领悟数学思想方法，懂得数学价值，升华情感，对大多数学生来说可能要求太高，有效的办法可能是课内外结合。课前向学生布置相关的学习任务，使学生有足够的思考时间，课后提出一些拓展性问题，使学生对知识的认识更深刻。其实，许多数学课的课前或课后，都可以让学生走出课堂，走上社会，综合运用调查、访问、查找资料等多种方法、手段了解数学与自然、社会的关系。课内外结合，有利于整合教学内容（不同领域内容的整合、数学与其它学科知识的整合、知识与情境的整合、知识与方法的整合、知识与价值的整合），有助于学生领悟数学不是一堆孤立技巧和任意法则的集合，有利于学生对数学内在本质的认识，有利于增强学生用数学的意识，也有利于将形式化数学的学术形态转化为易于学生接受的教育形态。

4、渗透了研究性学习的思想。研究性学习一般用于专题学习，我们觉得将研究性学习的思想渗透在课堂教学也有其生命力，它的价值在于：能保持独立的探究兴趣；能丰富学习和探究的体验；能养成合作与分享的个性品质；能增进独立思考的能力；能建立合理的知识结构；能养成尊重事实的科学态度。

作者简介

邬云德，男，1956年生，浙江奉化人。特级教师，中共党员，毕业于浙江师范大学数学系，现任奉化市教科所所长，教师进修学校副校长，中学高级教师。从事数学教育与研究工作二十余年，在《高中数学复习课中对问题系列设计的探索》、《一次关于打好双基的测试调查》等论文分别发表在《数学通报》、《数学教育学报》等刊物上。

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案例7 二项式定理复习课

一．教案描述

教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理清基本概念外，，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。

1、会正用. 即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全必要的，例

题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。 例1、求x(2?3x)的展开式中含x5的项. 解：x2C6323(3x)3?4320x5

例2、求(1?2x)?(1?3x)展开式中前三项之和. 解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。

(1?2x)?(1?3x)?[1?5?2x?10?(?2x)??][1?4?3x?6?(3x)??]

2 ?(1?10x?40x??)(1?12x?54x??)?1?2x?26x??。

2654542222 展开式前三项之和为1?2x?26x2. 例3、求(2x?3x?1)展开式中x项.

解：若将(2x?3x?1)化为(2x?1)(x?1)来确定展开式中x项，解法不甚合理，注意

到2x2与x项无关，可转化为求(?3x?1)展开式中x项，即C87(?3x)??24x，解法较捷。本题较灵活，有助于提高学生转化能力。

2、会反用. 逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往不习惯，例

题和习题可逐步加深。

1n?12n?2n?14?Cn4???Cn4?1； 例4、求值(1)4n?Cn2828888122nn?2Cn???(?2)Cn. (2)1?2Cnn解：(1)原式即为(4?1)的展开式，?原式?5.

n(2)注意符号问题，原式?(1?2)?(?1).

例5、设函数f(x)?1?5x?10x?10x?5x?x.求f(x)的反函数f解：如果f(x)的表达式中第一项1改为-1，则为(?1?x)的展开式.

52345?1nn(x).

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?f(x)?(?1?x)?2. 易得f5?1(x)?1?5x?2 (x?R)

3、会变用. 不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。这一层次要求学生有－定的

分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。 例6、求(x2?1x2?2)展开式中的常数项.

1x23解：一般有两种变形方法，其一变形为[(x2?其常数项即为第四项T4??C63??20.

)?2]，其二变形为(x?31x).后者较简，

6例7、设1?x?x2?x3???x16?x17?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2???a17(x?1)17,

求a2.

解：为了比较系数，将左式变形为1?[(x?1)?1]?[(x?1)?1]???[(x?1)?1].再展

12153?C4???C17?C18?816. 开之，展开式中(x?1)项的系数即为a2，a2?C20?C32172

4、会设项. 这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。 例8、(2?33)100的展开式中含有多少个有理项？

r100?r解：Tr?1?C1002r233,耍使其为有理数，即

100?r2?n，

r3?m (n，m为非负整数).

96共17个. 得r?2(50?n)，且r?3m. ?r是6的倍数,可取r?0，6，12,?，11n例9、设(3x3?x2)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t?h?272，试求展开式中x2项的系数.

nnnn解：此题应先定n，令x?1,得t?4.而h?2.?4?2?272.得2n?16，?n?4.

114?r?Tr?1?C4(3x3)r(x2)由

r4?r3?r2?2得r?4.?x项系数为C43240?1

5、会取值. 二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住机遇进行这

一基本思维方法的训练. 例10、求(x?2y)(2x?y)(x?y)展开式中各项系数的和.

65426解：设原式?a0x?a1xy?a2xy???a6y.令x?1，y?1，

23得a0?a1?a2???a6?216.

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在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题 例11、求(153x?y)15展开式中所有无理系数之和.

解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系数着手。有理系数项为：

(153x)15?3x15，(?y)15??y15.?有理系数之和为3?(?1)?2.令x?y?1，得展开

式各项系数之和为(153?1)15.?展开式中所有无理系数之和为(153?1)15?2. 例12、设(1?x?x2)n?a0?a1x???a2nx2n.求a0?a2?a4???a2n的值. 解：令x?1，得a0?a1?a2???a2n?3n.令x??1，得a0?a1?a2???a2n?1.

3?12n两式相加得a0?a2?a4???a2n?在取值过程中，要培养学生观察能力

.

例13、设(1?2x)100?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2???a100(x?1)100. 求a1?a3?a5???a99的值

解：令x?2，得a0?a1?a2???a100?5100.令x?0，得a0?a1?a2???a100?1.

5100两式相减，得a1?a3???a99??12.

6、会构造. 关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展开式的系数

而得。这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题和习题不宜太难，讲解中应慢慢引导，启发学生思维。 例14、证明下列各式

12n?1n?1nnn?9Cn???3Cn?3Cn?4. (1)1?3Cn1222n2n)?(Cn)???(Cn)?C2n. (2)(Cn0)2?(Cn1n?12n?22nnab?Cnab???Cnb. 证：(1)构造二项展开式 (a?b)n?Cn0an?Cnn122nn令a?1，b?3得 (1?3)?1?Cn?3?Cn?3???Cn?3

12n?1n?1nnn即1?3Cn?9Cn???3Cn?3Cn?4.

(2)构造恒等式 (1?x)?(1?x)?(1?x)nn2n.

n0n1n?12n?2n0n 两边含x项的系数相等，即Cn?Cn?CnCn?Cn?Cn???Cn?Cn?C2n

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≧Cnm?Cnn?m， 0?m?n

1222nnn?(Cn0)2?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.

7、会综合 在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其与数列、不等式和三角的

综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。 例15、若实数x，y满足x?y?1，求证：x5?y5?证：令x?12??,y?12??,则x511612

??)?5?y5?(12??)?(5116?52?2?5?4?116.

例16、已知等差数列{an}及等比数列{bn}中，a1?b1，a2?b2，且这两个数列都是递增

的正项数列，求证：当n?2时，an?bn

证：设 a1?b1?a，a2?b2?b, 则an?a?(n?1)(b?a),

bn?a(ba)n?1?a(n?1a?b?aa)n?1 ?a(1?b?aab?aa)n?1?a[1?Cn?11b?aa?Cn?1(2b?aa)

2 ???(b?aa)]?a[1?(n?1)?]?a?(n?1)(b?a)?an

利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例15）及“减项放缩法”（例16）较为普遍。

二．教案评析

通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方法。数学思想和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到了复习的实效。

二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的推导、性质及应用。如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾向，仅仅要求学生熟记公式、会代公式而言。其实，二项式定理内容虽不多，但分散于教材及习题的解法却丰富地展示了待定系数法、构造法、取特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想方法，因此也是比较集中复习中学数学思想方法、提高思维能力的好机遇。在复习中，应认真做好基本方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行知识、方法和技巧的训练，才能真正掌握二项式定理。同时对学生思维发展、能力的培养和数学素质的提高也是十分有益的。

作者简历

陈定生，1941年生，1964年毕业于浙江大学数学力学系，中学数学高级教师。历任舟山中学数学教研组长、教务主任、副校长、校长等职。长期从事中学教育工作，数学教育中注重能力培养、思维优化和数学思想方法的渗透。多年来致力于教育研究，在全国各数学刊物上发表论文数十篇，并参编数学参考书。1990年评为特级教师，1995年获全国教育系统劳动模范称号，1998年评为浙江省首届功勋教师。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aul3.html