江苏省扬州中学树人学校2015年中考数学一模试卷 (解析版)

江苏省扬州中学树人学校2015年中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请根据正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2015?湖州）﹣5的绝对值为（ ） A．

﹣5 B．

5 C．

﹣ D．

考点： 绝对值． 分析： 根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案． 解答： 解：﹣5的绝对值为5， 故选：B． 点评： 此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．（2013?湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（ ） A．

﹣

B． ﹣2

C． D． 2

考点： 一次函数图象上点的坐标特征． 分析： 把点（1，2）代入已知函数解析式，借助于方程可以求得k的值． 解答： 解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2）， ∴2=k， 解得，k=2． 故选D． 点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上． 3．（2013?丽水）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是（ ）

A． x≤2 B． x＞1 C． 1≤x＜2 D． 1＜x≤2

考点： 在数轴上表示不等式的解集． 专题： 计算题． 分析： 根据数轴表示出解集即可．

解答： 解：根据题意得：不等式组的解集为1＜x≤2． 故选D 点评： 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

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4．（2013?舟山）在某次体育测试中，九（1）班6位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.71，1.85，1.85，1.95，2.10，2.31，则这组数据的众数是（ ） A． 1.71 B． 1.85 C． 1.90 D． 2.31

考点： 众数． 分析： 根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可． 解答： 解：数据1.85出现2次，次数最多，所以众数是1.85． 故选B． 点评： 考查众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

5．（2013?宁波）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）

2

A． abc＜0 B． 2a+b＜0 C． a﹣b+c＜0 D．

2

4ac﹣b＜0

考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答： 解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0． 抛物线的对称轴x=﹣

=1＞0，则b＜0．

抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0， 所以abc＞0． 故A选项错误； B、∵x=﹣

=1，

∴b=﹣2a， ∴2a+b=0．

故B选项错误；

C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0）， ∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0）， ∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0． 故C选项错误；

22

D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b﹣4ac＞0，则4ac﹣b＜0． 故D选项正确； 故选D．

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点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 6．（2013?赤峰）如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为（ ）

2

A．

B．

C．

D．

考点： 扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 根据平行四边形的性质以及等边三角形的判定得出3个等边三角形全等，进而得出阴影部分面积等于△BCE面积，求出即可．

解答： 解：连接DO，EO，BE，过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD=OA=1， ∴AD=AO=DO，

∴△AOD是等边三角形，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，

∴∠CDO=∠DOA=60°， ∴△ODE是等边三角形，

同理可得出△OBE是等边三角形且3个等边三角形全等， ∴阴影部分面积等于△BCE面积， ∵DF=ADsin60°=

，DE=EC=1，

×1=

．

∴图中阴影部分的面积为：×故选：A．

点评： 此题考查了组合图形的面积，关键是得出阴影部分面积等于△BCE面积． 7．（2013?黄石）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（ ）

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A．

考点： 旋转的性质． 专题： 压轴题．

B． 5

C． 4 D．

分析： 先求出∠ACD=30°，再根据旋转角求出∠ACD1=45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，

再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答： 解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°， ∴∠DCE=90°﹣30°=60°， ∴∠ACD=90°﹣60°=30°， ∵旋转角为15°，

∴∠ACD1=30°+15°=45°， 又∵∠A=45°，

∴△ACO是等腰直角三角形， ∴AO=CO=AB=×6=3，AB⊥CO， ∵DC=7，

∴D1C=DC=7， ∴D1O=7﹣3=4， 在Rt△AOD1中，AD1=

=

=5．

故选B． 点评： 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点． 8．（2015?扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+中正确的个数为（ ）

．其

A．

1 B．

2 C．

3 D． 4

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考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析： 根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．

解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，

∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC，

∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF，

∴①说法正确； ∵CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∵∠AEF=60°， ∴∠AEB=75°， ∴②说法正确；

如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠CAF≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③说法错误； ∵EF=2，

∴CE=CF=，

设正方形的边长为a， 在Rt△ADF中， a2+（a﹣）2

=4， 解得a=

，

则a2

=2+，

∴S正方形ABCD=2+， ④说法正确，

∴正确的有①②④． 故选C．

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点评： 本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解决过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上）

532

9．（2013?台州）计算：x÷x= x ．

考点： 同底数幂的除法． 分析： 利用同底数的幂的除法法则：底数不变，指数相减即可求解． 解答： 解：x÷x=x=x．

2

故答案是：x． 点评： 本题考查了同底数的幂的除法法则：底数不变指数相减．

10．（2013?舟山）二次根式

中，x的取值范围是 x≥3 ．

5

3

5﹣3

2

考点： 二次根式有意义的条件． 分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 解答： 解：根据题意得：x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故答案是：x≥3． 点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

11．（2014?南充）分解因式：x﹣6x+9x= x（x﹣3） ．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 因式分解． 分析： 先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

32

解答： 解：x﹣6x+9x，

2

=x（x﹣6x+9），

2

=x（x﹣3）．

2

故答案为：x（x﹣3）． 点评： 本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式． 12．（2013?临夏州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6，4或5，5 ．

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．

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3

2

2

分析： 此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．

解答： 解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理； 当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理， 故该等腰三角形的另两边为：6，4或5，5． 故答案为：6，4或5，5． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中． 13．（2013?昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 BC=EF ，就得△ABC≌△DEF．

考点： 全等三角形的判定． 专题： 开放型． 分析： 补充条件BC=EF，首先根据AF=DC可得AC=DF，再根据BC∥EF可得∠EFC=∠BCF，然后再加上条件CB=EF可利用SAS定理证明△ABC≌△DEF． 解答： 解：补充条件BC=EF， ∵AF=DC，

∴AF+FC=CD+FC， 即AC=DF， ∵BC∥EF，

∴∠EFC=∠BCF，

∵在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故答案为：BC=EF．

点评： 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

14．（2011?乌鲁木齐）正比例函数y=kx的图象反比例函数y=的图象有一个交点的坐标是（﹣1，﹣2），则另一个交点的坐标是 （1，2） ．

考点： 反比例函数图象的对称性． 专题： 探究型． 分析： 根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．

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解答： 解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（﹣1，﹣2）， ∴另一个交点的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 点评： 本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 15．（2013?昆明）如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是

cm．

考点： 圆锥的计算． 专题： 计算题． 分析： 设圆锥的底面圆的半径为r，由于∠AOB=90°得到AB为圆形纸片的直径，则OB=

AB=2

cm，根据弧长公式计算出扇形OAB的弧AB的长，然后根据圆锥的侧面展开图为

扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算． 解答： 解：设圆锥的底面圆的半径为r， 连结AB，如图，

∵扇形OAB的圆心角为90°， ∴∠AOB=90°，

∴AB为圆形纸片的直径， ∴AB=4cm， ∴OB=

AB=2

cm，

=

π，

∴扇形OAB的弧AB的长=∴2πr=∴r=

π， （cm）．

．

故答案为

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点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式． 16．（2011?龙岩）如图，菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60°，则AC= cm．

考点： 菱形的性质；解直角三角形． 分析： 根据已知条件和菱形的性质，可推出△AOB为直角三角形、AB=2，∠OAB=30°，根据锐角三角函数推出OA的长度，即可求得AC的长度．

解答： 解：∵菱形ABCD周长为8cm．∠BAD=60°

∴△AOB为直角三角形，AB=2cm，∠OAB=30°，OA=OC， ∴OA=cm， ∴AC=2cm． 故答案为：2 点评： 本题主要考查菱形的性质、锐角三角函数等知识点，解题的关键是根据有关性质推出边和相关角的度数，解直角三角形． 17．（2015?扬州校级一模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=的值为

．

=

．已知sinα=（α为锐角），则sadα

考点： 解直角三角形． 专题： 新定义．

分析： 作BD⊥AC于D，根据sinα=，BD=3x，表示出AD、BD，求出CD，根据勾股定理求出BC，关键新定义求出答案．

解答： 解：作BD⊥AC于D， ∵sinα=

=，

设BD=3x，则AB=5x， 由勾股定理，AD=4x， CD=5x﹣4x=x， BC=则sadA=故答案为：

， ． =

x，

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点评： 本题考查的是新定义，理解新定义、掌握锐角三角函数的概念和勾股定理是解题的关键．

18．（2013?连云港）点O在直线AB上，点A1、A2、A3，…在射线OA上，点B1、B2、B3，…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为 （101+5050π） 秒．

考点： 规律型：图形的变化类． 专题： 压轴题；规律型．

分析： 观察动点M从O点出发到A4点，得到点M在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π?1+π?2+π?3+π?4）单位长度，然后可得到动点M到达A100点处运动的单位长度=4×25+（π?1+π?2+…+π?100），从点A100到点A101运动一个单位长度，然后除以速度即可得到动点M到达A101点处所需时间．

解答： 解：动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π?1+π?2+π?3+π?4）单位长度， ∵100=4×25，

∴动点M到达A100点处运动的单位长度=4×25+（π?1+π?2+…+π?100）=100+5050π， ∴动点M到达A101点处运动的单位长度=100+1+5050π，

∴动点M到达A101点处运动所需时间=（101+5050π）÷1=（101+5050π）秒． 故答案为：（101+5050π）． 点评： 此题主要考查了图形的变化类：通过特殊图象找到图象变化，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．也考查了圆的周长公式．

三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2015?扬州校级一模）（1）计算：（π﹣3）+

0

﹣2sin45°﹣（）．

﹣1

（2）解不等式组：

并写出它的所有的整数解．

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考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值．

分析： （1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；

（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，找出它的所有的整数解即可． 解答： 解：（1）原式=1+3

﹣2×

﹣8

=1+3﹣﹣8 =2﹣7；

（2）∵由①得，x≥1，由②得，x＜4， ∴不等式组的解集为：1≤x＜4， ∴它的所有的整数解为：1，2，3． 点评： 本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

20．（2013?曲靖）化简：

，并解答：

（1）当x=1+时，求原代数式的值． （2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？

考点： 分式的化简求值；解分式方程．

分析： （1）原式括号中两项约分后，利用乘法分配律化简，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值；

（2）先令原式的值为﹣1，求出x的值，代入原式检验即可得到结果． 解答： 解：（1）原式=[

﹣

]?

==

，

﹣

当x=1+

时，原式==1+；

（2）若原式的值为﹣1，即=﹣1，

去分母得：x+1=﹣x+1， 解得：x=0，

代入原式检验，分母为0，不合题意， 则原式的值不可能为﹣1． 点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．

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21．（2011?丹东）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m．请你根据以上数据计算GH的长．（≈1.73，要求结果精确到0.1m）

考点： 解直角三角形的应用． 专题： 几何综合题． 分析： 首先构造直角三角形，得出AE=

（x+2），BE=

x，进而求出x的长，进而得出GH的长．

解答： 解：根据已知画图，过点D作DE⊥AH于点E， 设DE=x，则CE=x+2，

在Rt△AEC和Rt△BED中，有tan30°=tan60°=∴AE=∴

，

（x+2），BE=

x，

，

（x+2）﹣x=10，

∴x=5﹣3，

∴GH=CD+DE=2+5﹣3=5答：GH的长为7.7m．

﹣1≈7.7（m）

点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得出DE的长是解题关键． 22．（2014?安庆二模）今年植树节，安庆某中学组织师生开展植树造林活动，为了了解全校1200名学生的植树情况，随机抽样调查50名学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图（均不完整）． 植树数量（棵） 频数（人） 频率 3 5 0.1 4 20 0.4 5 6 10 0.2 合计 50 1

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（1）将统计表和条形统计图补充完整；

（2）求抽样的50名学生植树数量的众数和中位数，并从描述数据集中趋势的量中选择一个恰当的量来估计该校1200名学生的植树数量．

考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 专题： 计算题．

分析： （1）求出植树量为5棵的人数，进而求出对应的频率，补全统计表与条形统计图即可； （2）根据题意得种3棵的有5人，种4棵的有20人，种5棵的有15人，种6棵的有10人，找出植树棵数最多的为4棵，即为众数，找出最中间的两个数，求出平均数得到中位数，求出平均每个学生植树的棵数，乘以1200即可得到结果． 解答： 解：（1）统计表和条形统计图补充如下：

植树量为5棵的人数为：50﹣5﹣20﹣10=15，频率为：15÷50=0.3，

植树数量（棵） 频数（人） 3 5 0.1 4 20 0.4 5 15 0.3 6 10 0.2 合计 50 1

（2）根据题意知：种3棵的有5人，种4棵的有20人，种5棵的有15人，种6棵的有10人， ∴众数是4棵，中位数是

=4.5（棵）；

=4.6（棵），

频率

∵抽样的50名学生植树的平均数是：=

∴估计该校1200名学生参加这次植树活动的总体平均数是4.6棵，

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∴4.6×1200=5520（棵），

则估计该校1200名学生植树约为5520棵． 点评： 此题考查了频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 23．（2015?扬州校级一模）在一个箱子中有三个分别标有数字1，2，3的材质、大小都相同的小球，从中任意摸出一个小球，记下小球的数字x后，放回箱中并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的数字y．以先后记下的两个数字（x，y）作为点P的坐标． （1）求点P的横坐标与纵坐标的和为4的概率； （2）求点P落在以坐标原点为圆心、为半径的圆的内部的概率．

考点： 列表法与树状图法；点与圆的位置关系．

分析： （1）首先根据题意列出表格，然后根据表格即可求得点M坐标的所有可能的结果，然后利用概率公式求解即可；

（2）确定满足条件的点的个数，利用概率公式求解，即可求得答案． 解答： 解：（1）列表得： 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 则点M坐标的所有可能的结果有九个：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3），和为4的有3种， 故P（和为4）==．

（2）因为点M在以坐标原点为圆心，以为半径的圆的内部，

22

所以x+y＜10，这样的点M有4种形式：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）， 所以点M在以坐标原点为圆心，以

为半径的圆的内部的概率P=．

点评： 考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．正确的列表或树状图是解答本题的关键，难度不大． 24．（2013?荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE=CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

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考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 专题： 证明题．

分析： （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可． 解答： 证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAE=∠EAC， 在△ABE和△ACE中，

∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF， ∴△ABF为等腰直角三角形， ∴AF=BF，

∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF， 在△AEF和△BCF中，

， ，

∴△AEF≌△BCF（ASA）． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键． 25．（2011?宝应县模拟）已知：△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF，AB为非直径的弦，且∠CBF=∠A．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

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（2）若∠A=30°，BC=2，连接OC并延长交EF于点M，求由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积．

考点： 切线的判定与性质；扇形面积的计算． 专题： 综合题．

分析： （1）连接BO并延长交⊙O于H，连接HC，首先根据圆周角定理得到∠H=∠A，由HB是直径得到∠HCB=90°，即∠H+∠CBH=90°，然后利用已知条件得到∠CBF+∠CBH=90°，即HB⊥EF，由此即可证明题目结论；

（2）在Rt△HCB中由BC=2，∠H=∠A=30°得到HB=4，OB=2，又∠BOM=2∠A=60°，根据三角函数可以求出MB，而 S=S△OBM﹣S扇形OBC=

，由此即可求出由弧BC、线段BM和CM所围成的图形

的面积．

解答： （1）证明：连接BO并延长交⊙O于H，连接HC， 则∠H=∠A，∵HB是直径，∴∠HCB=90° ∴∠H+∠CBH=90°． 又∵∠A=∠CBF

∴∠CBF+∠CBH=90° ∴HB⊥EF．

又∵OB是半径， ∴EF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△HCB中，BC=2，∠H=∠A=30°， ∴HB=4，OB=2．

∵∠BOM=2∠A=60°， ∴， S=S△OBM﹣S扇形OBC=

=

=．

．

∴由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积为

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点评： 此题主要考查了切线的性质与判定，首先利用切线的判定定理判定切线，然后利用切线的性质和三角函数的定义即可求解． 26．（2015?扬州校级一模）有甲、乙两个圆柱体的蓄水池，将甲池中的水以一定的速度注入乙池．甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，其中，甲蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数关系式为y=﹣x+2．结合图象回答： （1）求出乙蓄水池中水的深度y与注水时间 x之间的函数关系式；

（2）交点A表示的实际意义是 当注水时间为小时，甲乙两水池的水面高度相同，为米 ； （3）当乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积3倍时，求甲池中水的深度．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）如图，根据甲蓄水池的函数关系式求出放完水的时间，即函数图象与x轴的交点B，从而得到乙图象上的点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（2）联立两函数解析式，解方程组即可得到交点A的坐标，根据交点的纵坐标相等可知，两水池的水面高度相等；

（3）求出甲、乙两个蓄水池的底面积的比，再求出乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积3倍时的高度的比，然后根据两函数解析式列式求出x的值，然后代入甲求出相应的y的值即可． 解答： 解：（1）如图，当y=0时﹣x+2=0，

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解得x=3．

所以，点C的坐标为（3，4），

设乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y=kx+b， 则解得

， ．

所以，函数关系式为y=x+1；

（2）联立

，

解得．

所以，交点A的坐标为（，），

表示的实际意义是：当注水时间为小时，甲乙两水池的水面高度相同，为米， 故答案为：当注水时间为小时，甲乙两水池的水面高度相同，为米；

（3）∵甲水池的水降低2米时乙水池的水上升3米， ∴甲、乙两个蓄水池的底面积的比为3：2，

∴乙蓄水池中水的体积是甲蓄水池中水的体积3倍时的高度的比为9：2， ∴x+1=（﹣x+2）， 解得x=2，

把x=2代入y=﹣x+2得，y=米． 答：甲池中水深米．

点评： 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，难点在于（3）求出甲、乙两蓄水池的底面积的比． 27．（2015?扬州校级一模）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：

；若在国外销售，平均每件

产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：

．

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（1）用x的代数式表示t为：t= 6﹣x ；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系式为：y2= 5x+80 ；当4≤x＜ 6 时，y2=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润W（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x；

根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系y2=

及t=6﹣x即可求出y2与x的函数关系：

当0＜x≤4时，y2=5x+80；当4≤x＜6时，y2=100； （2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；

（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可． 解答： 解：（1）由题意，得x+t=6， ∴t=6﹣x； ∵y2=

，

∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，

此时y2与x的函数关系为：y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80； 当4≤x＜6时，0＜6﹣x≤2，即0＜t≤2， 此时y2=100．

故答案为：6﹣x；5x+80；4，6；

（2）分三种情况：

2

①当0＜x≤2时，W=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）=10x+40x+480；

2

②当2＜x≤4时，W=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）=﹣10x+80x+480；

2

③当4＜x＜6时，W=（﹣5x+130）x+100（6﹣x）=﹣5x+30x+600；

综上可知，W=；

（3）当0＜x≤2时，W=10x+40x+480=10（x+2）+440，此时x=2时，W最大=600；

22

当2＜x≤4时，W=﹣10x+80x+480=﹣10（x﹣4）+640，此时x=4时，W最大=640；

22

当4＜x＜6时，W=﹣5x+30x+600=﹣5（x﹣3）+645，4＜x＜6时，W＜640； ∵a=﹣5，

∴当x＞3时，W随x的增大而减小， ∴x=4时，W最大=640．

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2

2

故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元． 点评： 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、二次函数的性质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键．

28．（2012?河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D． （1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m；

①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题；数形结合．

分析： （1）已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得．

（2）①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值．

②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．

解答： 解：（1）由x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）． 由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）． ∵y=ax+bx﹣3经过A、B两点， ∴

2

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∴，

则抛物线的解析式为：y=x﹣x﹣3， 设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）． ∵PC∥y轴，

∴∠ACP=∠AEO． ∴sin∠ACP=sin∠AEO=

（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=x﹣x﹣3．则点P（m，m﹣m﹣3）． 已知直线AB：y=x+1，则点C（m，m+1）．

∴PC=m+1﹣（m﹣m﹣3）=﹣m+m+4=﹣（m﹣1）+ Rt△PCD中，PD=PC?sin∠ACP=[﹣（m﹣1）+]?∴PD长的最大值为：

．

2

2

2

2

2

2

2

==．

=﹣（m﹣1）+

2

②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G． ∵sin∠ACP=∴cos∠ACP=

， ，

又∵∠FDP=∠ACP ∴cos∠FDP=

=

，

PD=﹣（m﹣2m﹣8）．

2

在Rt△PDF中，DF=又∵BG=4﹣m， ∴

=

=

==．

当==时，解得m=；

当==时，解得m=．

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点评： 本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aug.html