证券投资组合优化组合习题解答

第二章

1、 假设你正考虑从以下四种资产中进行选择：

资产1

市场条件 好 一般 差

收益% 16 12 8

概率 1/4 1/2 1/4

资产2

市场条件 好 一般 差

收益 4 6 8

概率 1/4 1/2 1/4

资产3

市场条件 好 一般 差

收益 20 14 8

概率 1/4 1/2 1/4

资产4

市场条件 好 一般 差

解答：

收益 16 12 8

概率 1/3 1/3 1/3

求每种资产的期望收益率和标准差。

11111E1?16%*?12%*?8%*?12% ?1?(16%?12%)2*?(8%?12%)2*?0.028

44424 同理 E2?6% ?2?0.01 4 E3?14% ?3?0.04 2 E4?12% ?4?0.03 32、 下表是3个公司7个月的实际股价和股价数据，单位为元。 时间

证券A

价格

股利

证券B

价格

股利

证券C

价格

股利

1

1 2 3 4 5 6 7 A. B. C. D. E.

657 8759 8359 8455 8256 859

333 368

1.35 1.35

6106

82108

8124

0.40 0.42

0.725

0.725

4368

82382

8386

6397

8392

260 82122

84135

86141

86165

8计算每个公司每月的收益率。 计算每个公司的平均收益率。 计算每个公司收益率的标准差。

计算所有可能的两两证券之间的相关系数。 计算下列组合的平均收益率和标准差：

1/2A+1/2B 1/2A+1/2C 1/2B+1/2C 1/3A+1/3B+1/3C

解答：A、 2 3 4 5 6 7 B、

A 3.68% 0.38% -6.53% 1.35% 6.18% 2.12% B 10.51% 0.5% 3.73% 0.98% 3.39% -1.45% C 1.41% 14.92% -1.41% 10.85% 4.92% 16.93% RA?1.2%RB?2.94% RC?7.93%C、

?A?4.295%?B?4.176% ?C?7.446%D、

2

?(AB)?0.14?(AC)?0.275 ?(BC)??0.77 E、

E 2.07% 4.57% 5.44% 4.03% 3、已知：

证券1 证券2

_? 3.2% 4.78% 2.49% 2.7%

期望收益

10% 4%

标准差

5% 2%

在RP??P空间中，标出两种证券所有组合的点。假设?=1 ，-1，0。对于每一个相关系数，哪个组合能够获得最小的解答：设证券1比重为w1

22?(1,2)?w12?12?(1?w1)2?2?2w1(1?w1)?1,2?1?2

?P？假设不允许卖空，?P最小值是多少？

??1 ?min?2% w1?0 w2?1

???1 ?min?0 w1?2/7 w2?5/7

??0 ?min?1.86% w1?4/29 w2?25/29

4、分析师提供了以下的信息。假设（标准定义）允许卖空。如果无风险借贷利率为5%，最优组合是什么？

证券 A B C

平均收益 10 12 18

标准差 4 10 14

A

协方差

B 20

C 40 70

解答：设证券A占Z1,B占Z2,C占Z3

3

?E(R1)?RF?Z1?12?Z2?12?Z3?13?796.524.8830.32 ,Z2?,Z3??E(R2)?RF?Z1?12?Z2?2?Z3?23 得 Z1?272027202720?2?E(R3)?RF?Z1?13?Z2?23?Z3?3因此每个证券投资比例为：X1=95.93% X2=2.99% X3=1.08%

5、考虑下面的数据。假设允许卖空（标准定义），最优组合是什么？并绘出有效边界。

数量

Ri

?i

1 10% 5 2 8 6 3 12 4 4 14 7 5 6 2 6 9 3 7 5 1 8 8 4 9 10 4 10

12

2

?ij?0.5，对所有i,j RF?4%

解答：设分别占比Z1……Z10，联立10个方程式

??6?25Z1?1Z52?Z103?1Z7.?45Z?55Z?7.65Z?72.Z5?8Z10?9Z10 ??4?15Z1?3Z62?Z123?Z2?14Z?65Z?96Z?37Z?182Z?1Z92160...

???8?5Z1?6Z2?4Z3?7Z?42Z?53Z?6Z?47Z?48Z?49Z10 解为 Z1=-0.082, Z2=-0.246, Z3=0.298, Z4=0.007, Z5=0.404 Z6=0.175, Z7=0.808, Z8=-0.202, Z9=0.048, Z10=2.596 则投资比例为

x1=-6% x2=-18% x3=21.7% x4=0.5% x5=-29.6% x6=12.7% x7=-59% x8=-14.8% x9=3.4% x10=189.1% 有效边界斜率

E(RP)?RF?=4.56 RF=4%

p得到有效边界方程为E(Rp)?4.56?p?0.04

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第三章

1、考虑下面三项投资。如果U(W)?W?(1/2)W，哪一项投资最好？

投资A 结果（元） 5 6 9 概率 1/3 1/3 1/3 4 7 10 投资B 结果 概率 1/4 1/2 1/4 投资C 结果 1 9 18 概率 1/5 3/5 1/5 2解答：EA??17 EB??19.7 5 EC??47. 8 投资A最好 2、假设效用函数U(W)??W?1/2。第1题中的哪一项投资最好？

解答：EA??0.396 EB??0.39 3 EC??0.44 7 投资B最好 3、考虑以下两项投资？ 投资A 结果（元） 7 10 14 概率 2/5 1/5 2/5 2投资B 结果 5 12 20 概率 1/2 1/4 1/4 如果效用函数是U(W)?2W?0.04W，应选哪一项投资？ 解答：EA?16.08 EB?15.0 6 投资A最好

4、考虑第3题中的选择。获得5元收益的概率是1/2，获得12元的概率是1/4。这些概率要如何改变才能使投资者对投资A和投资B无偏好差异？ 解答：设结果5的概率为x, 结果12的概率为y ????1?2?x*U?5??y*U??x?y?3/41/4U?*??2016.08?x?0.39 得?

y?0.36?结果5的概率为0.39 结果12的概率为0.36 5、考虑效用函数U(W)?W解答：U??W???1/2W?3/2?1/2。该函数的绝对和相对风险厌恶系数是什么？

,U???W??3/4W?5/2

绝对风险厌恶系数A(W)??U??(W)3?1?W

U?(W)2WU??(W)3? ?U(W)2，a和b是常数。假定投资者的偏好是越多越好，并且厌恶

5

相对风险厌恶系数R(W)??6、考虑效用函数U(W)?ae

?bW

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aufd.html