七年级数学上册 余角与补角

七年级数学上册 余角与补角

余角和补角

一、教学目标

1．知识目标：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，理解互余与互补的角的性质

2．能力目标：学会运用类比联想的思维方法思考，并初步学会用代数方法，(主要是列方程)解决几何问题.

3．情感目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力。

二、教学重点及难点

重点：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念.

难点：余角和补角的性质.

三、教学过程

（一）创设情境，自然引入

先观察如图，∠1+∠2与Rt∠AOB相等吗？你是怎样判断的？

A O 再观察如图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？你是怎样判断的？ B β A O B （让学生说出自己的方法：可以测量，也可以剪下来拼等等，学生的方法只要合理就应鼓励）

（二）设问质疑，探究尝试

教师用多媒体演示∠1+∠2与Rt∠AOB重合，再移动一角，问∠1+∠2与Rt∠AOB相等吗？ 同样∠α+∠β与∠AOB重合，再移动一角，问∠α+∠β与∠AOB相等吗？

通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是90°，有时两个角的和是180°，也就是两个角之和正好成一直角，或两个角之和正好成一平角，在这种情况下，我们给出两个新的概念：

1、互为余角定义：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．简称互余．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余．反之，因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°．

2、互为补角定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．简称互补．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=180°，所以∠1与∠2互补．反之，因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°．

（三）归纳总结，概括知识

1、试举出互余、互补角的例子．

七年级数学上册 余角与补角

2、30°与60°是互余的两角，能说30°是余角吗？

(要特别向学生指出：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置的改变)

3、若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角．

解：35°35′35″的余角为90°-35°35′35″=54°24′25″．

(在计算过程中将90°写为89°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便)

35°35′35″的补角为180°-35°35′35″=144°24′25″．

(在计算过程中将180°写为179°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便，也可以将35°35′35″的余角再加上90°就是35°35′35″的补角．)

4、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC = Rt∠,OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？说明你的理由。

C D O 师生共同总结出：同角的余角相等．同理可推出：同角的补角相等

再问：如果两个角相等，那么它们的余角和补角有什么关系？

由此得到补角和余角的性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．

注意：学生往往对“同角”、“等角”的认识不太清楚，在“同角”的情况时说“等角”，在“等角”的情况时说“同角”，因此要对学生强调指出：“等角是相等的角”，而“同角是同一个角”．另外，这个性质在目前的应用还不太多，但今后的应用是非常广泛的

（四）精讲细练，巩固提高

例1、 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。

解：设这个角为x°，则它的余角为(90-x)°，它的补角为(180-x)°．

由题意，得 180 – x = 4( 90 – x ) ,

解方程，得 x= 60º

答：这个角的度数为60°．

例2、互为余角的两个角的差为15°，求：

(1)较大角的补角的度数；

(2)较小角的补角与较大角的补角的差.

解：(1)设较大的角为x，则较小角为x-15，根据题意有：

x+(x-15)=90°

解得x＝52.5°

∴180°-x＝127.5°

(2)仍为15°

例3、一个角的补角加上80°的余角后，等于这个角的余角的5倍。求这个角的补角的度数。

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分析：本题要认真审题，弄清各角数量间的关系，本题运用方程的思想，往往事半功倍。

解：设这个角为x0 ，则这个角的余角为90°－x0，补角为180°－x0 。根据题意有 180 x (90 80) 5(90 x)

解得:x 65(度)

180 65 115 答：这个角的补角为115°.

（五）发散思维，解决问题

1．一个角的补角与这个角的余角的差是多少度。

2．一个角是它的补角的一半，求这个角的余角。

3.已知一个角的补角是它的余角的5倍，求这个角的度数.

4．已知两角之比为7:3，它们的差为72°，求这两个角的度数.它们互补吗 ?

5．甲、乙、丙三人同时从同一地点O出发，甲沿北偏东30°方向走了4千米 到达A地，乙沿南偏西30°方向走了3千米到达B地，丙沿南偏东60°方向走了3千米到达C地. 取1cm表示1千米，在纸上描出A、B、C三地的点.

答案：1．90 °

2．30°

3.67.5°

4．设其中一个角为7x，另一个角为3x

7x-3x=72°

解得：x＝18°

∴7x＝126°，3x＝54°

∴两角互补

5．(如下图)

1、这例题是利用代数方法解决几何问题，关键是正确设出未知数，正确列出方程，求出未（六）总结串联，纳入系统 知数的值．在设未知数的过程中，可以有不只一种设法．

2、注意题目中的隐含条件，若一个角为x时，它的余角为90-x，它的补角为180-x．

3、在设未知数的过程中，要注意写单位，但在列方程时，可以不带单位．

（七）布置作业，落实目标

P139 T6 T10

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四、教学检测

(一)请你选一选。

1．一个角的余角和补角也互为补角，这个角的度数是( )。

A.90° B.75° C.45° D.15°

2.若∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，则错误的是( )

A.∠2＞∠1

B.∠2＞∠3

C.0°＜∠1＜90°

D.∠1＞∠3

3.如下图,∠DOB为平角，∠AOC为直角，∠AOD=20°，则∠AOD的余角的补角是

( )

A.20°

C.110° B.70° D.160°

4．若∠α+∠β=90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是( )。

A.互余 B.互补 C.相等 D.不确定

5．如下图所示，O是直线AB上一点，∠BOC是直角，则∠COD的余角是( )。

A.∠BOC B.∠BOD

C.∠AOC D.∠AOD

6.互为补角的两个角( )。

A.是一个锐角、一个钝角或两个都是直角。

B.都是钝角。

C.都是锐角。

D.一定是一个锐角，另一个是钝角。

（二）请你填一填。

1.互余的两个角的度数之比是2∶7，则这两个角的度数分别为 和 .

2.已知∠α的余角是36°28′，那么∠α= 。

3.4点整时钟上的时针与分针所夹的角是 °。 4. 度角的余角比它的七分之二大9°.

5.一个角的余角和它的补角之比是2∶5，则这个角是

6．48°16′的补角是 ，72°39′16″的余角是 。

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7．一个角的补角是它的3倍，则这个角是 。

8．一个角比它的余角大15°，这角是 。

9．一个角等于它的补角的4倍，这个角的补角是 °.

10．已知∠α的余角等于∠α的补角的

（三）请你来思考。

1、某火车站的钟楼上装有一电子报时钟,在钟面的边界上,每一分钟的刻度都装有一只小彩灯,晚上九点三十五分二十秒时,时针和分针所夹的角之内装有多少只小彩灯?

2、如图，图1中有几个角，图2中有几个角，图3中有几个角，则n条射线可构成几个角？ 1，则∠α= °。 4

图1 图2 图

3

答案：

(一)请你选一选。

1.C 2. D 3. C 4．C 5.D 6.A

（二）请你填一填。

1.20° 70°

2.53°32′

3.120

4.63°

5.30°

6．131 °44′，17°20′44″

7．45°

8．52.5°

9．36°

10．60°

（三）请你来思考。

1、12

2、3；6；10； n(n 1) 2

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五、数学史话

3根指挥棒和12个直角

英国发明家瓦特（1736—1819）获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员一跃为波士顿──瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，引起了许多旧贵族的不满。据说，在一次皇家音乐会上，有个贵族故意嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已。”瓦特回答道：“是的，那的确是根棒子但是我可以用这样3根棒子组成12个直角，而你却不能做到。”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去，可始终无法摆出12个直角。

你能拼出12个直角吗？

你自己先试试看。

下面我们一起来讨论一下：

如果把图1中最下面的一根指挥棒向左平移，就摆成了6个直角（见图2）。如果把图2中最下面的指挥棒往上平移，就可以摆出8个直角（见图3）。

这时候，我们会发现，在桌面无论怎样摆法，直角数都不会超过8个。于是，我们可以得出结论：在桌面上，无法用3根指挥棒拼出12个直角。

图1

图2 图3

但是，瓦特并没有说“我能在桌面上拼出12个直角”！

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因此，我们应该离开桌面来讨论这个问题。

我们重新来考虑一下：

如果把2根指挥棒十字交叉地放在桌面上，另一根指挥棒的一端摆在前2根指挥棒的交叉处并使这根棒与桌面垂直（如图4），这时拼出的直角也是8个。

如果把摆在桌面上的两根指挥棒离开桌面，紧挨着与桌面垂直的小棒向上方平移（如图

5）。那么，这时我们会发现，12个直角出现了。

图4 图5

好了，现在问你另一个问题：我们知道，以3根火柴为边可以组成一个三角形。那么，用6根火柴能组成4个三角形吗？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/aua1.html