直线与方程知识点总结和练习

直线与方程的知识点

倾斜角与斜率

1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角 的范围是0 . 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即k tan . 如果知道直线上两点

y y1

. 特别地是，当x1 x2，y1 y2时，直线与x轴垂直，斜率kP(x1,y1),P(x2,y2)，则有斜率公式k 2

x2 x1不存在；当x1 x2，y1 y2时，直线与y轴垂直，斜率k=0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当0 90 时，斜率k 0，随着α的增大，斜率k也增大；当90 180 时，斜率k 0，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线l1 、l2，其斜率分别为k1、k2，有：

（1）l1//l2 k1 k2；（2）l1 l2 k1 k2 1.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….

直线的点斜式方程

1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为y y0 k(x x0). 2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为y kx b.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x x0 0，或x x0.

y y0

k与y y0 k(x x0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点P0(x0,y0)，后者才是4. 注意：

x x0整条直线.

直线的两点式方程

1. 两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为

y y1x x1

， y2 y1x2 x1

xy

1. ab

3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

x xy y2

4. 线段P1P2中点坐标公式(12,1).

222. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为

直线的一般式方程

1. 一般式：Ax By C 0，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程Ax By C 0(B 0)化为斜截式

ACAC

方程y x ，表示斜率为 ，y轴上截距为 的直线.

BBBB

2. 与直线l:Ax By C 0平行的直线，可设所求方程为Ax By C1 0；与直线Ax By C 0垂直的直线，可设所求方程为Bx Ay C1 0.

C 0（A2,B2不3. 已知直线l1,l2的方程分别是：l1:A1x B1y C1 0（A1,B1不同时为0），l2:A2x 2By2

同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

（1）l1 l2 A1A2 B1B2 0； （2）l1//l2 A1B2 A2B1 0,AC12 A2B1 0；

（3）l1与l2重合 A1B2 A2B1 0,AC12 A2B1 0； （4）l1与l2相交 A1B2 A2B1 0.

ABCABCAB

如果A2B2C2 0时，则l1//l2 1 1 1；l1与l2重合 1 1 1；l1与l2相交 1 1.

A2B2C2A2B2C2A2B2

两条直线的交点坐标

1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组

A1x B1y C1 0

. 若方程组有惟

Ax By C 0 222

一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时

两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程 (A1x B1y C1) (A2x B2y C2) 0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x B1y C1 0与A2x B2y C2 0的交点.

两点间的距离

1. 平面内两点P1(x1,y1)，P2(x2,y

2)，则两点间的距离为：|PP12|. 特别地，当P1,P2所在直线与x轴平行时，|PP1,P2所在直线与y轴平行时，12| |x1 x2|；当P|PP12| |y1 y2|；

点到直线的距离及两平行线距离 1. 点P(x0,y0)到直线l:Ax By C

0的距离公式为d

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线l1:Ax By C1 0，l2:Ax By C2

0之间的距离公式d 即

d

，推导过程为：在直线l2上任取一点P(x0,y0)，则Ax0 By0C

2

0，

Ax0 By0 C2. 这时点P(x0,y0)到直线l1:Ax By C1 0

的距离

为

一.选择题

1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0

2. 过点P( 1,3)且垂直于直线x 2y 3 0 的直线方程为（ ）A. 2x y 1 0 B. 2x y 5 0C. x 2y 5 0 D. x 2y 7 0

3. 已知过点A( 2,m)和B(m,4)的直线与直线2x y 1 0平行，则m的值为（ ） A. 0 B. 8 C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0

5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为 ，切sin cos 0则a,b满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0

6. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A、 -3 B、-6 C、 3 D、2

2

3

7.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 1 C 1 D 7

2

2

8. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）

9. （上海文，15）已知直线l1:(k 3)x (4 k)y 1 0,与l2:2(k 3)x 2y 3 0,平行，则k得值是（ ）

A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2

10、若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1

A、K1﹤K2﹤K3

B、K2﹤K1﹤K3

C、K3﹤K2﹤K1

x D、K1﹤K3﹤K2

11.（05北京卷）“m=

1

”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( ) 2

（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 12、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）

A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )

A. ab＞0，bc＞0 B. ab＞0，bc＜0 C. ab＜0，bc＞0 D. ab＜0，bc＜0 14.（2005北京文）“m=

1

”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 2

( )

A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x垂直，则原点到直线 l 的距离是( )

A. 2 B. 1 2C. 22 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )

2 4 24 - B. -， A. ，

55 55

4 42 2

D. ， - C. ，

5 55 5

二、填空题1. 点P(1, 1)到直线x y 1 0的距离是________________. 2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a的值为（ ）

3.经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A（3，－2）， B（－1，6）等距离的直线的方程是 。

4.（全国Ⅰ文16）若直线m被两平行线l1:x y 1 0与l2:x y 3 0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 三.解答题

1.已知两条直线l1:x 1 m y 2 m,l2:2mx 4y 16. m为何值时, l1与l2: （1）相交 （2）平行 （3）垂直

2. 求经过直线l1:2x 3y 5 0,l2:3x 2y 3 0的交点且平行于直线2x y 3 0的直线方程.

3.求平行于直线x y 2

0,且与它的距离为

4.已知直线 l1 : mx + 8y + n = 0与l2 : 2x + my - 1 = 0互相平行，求l1，l2之间的距离为时的直线l1的方程.

5.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。

6.求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。

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