第1讲2.1点、直线、平面之间的位置关系（教师版）

恒升教育高二数学课外提升大讲堂（一）教师版

直线、平面之间的位置关系

一、知识点梳理

1.平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

2.直线与直线的位置关系

?平行

?共面直线??

?相交(1)位置关系的分类??

?异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角. π0，?. ②范围：??2?3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.平行公理(公理4)

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

6.定理

Ⅰ.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. Ⅱ.过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.

二、基础巩固演练

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.

- 1 -

( √ )

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线. (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A. (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC. (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.

( × ) ( × ) ( × ) ( √ )

2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为________. 答案 相交或异面

解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾. 3.下列命题正确的个数为________.

①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. 答案 2

解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确； 命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确.

4.已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是________. ①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB； ③l?α，A∈l?A?α；④A∈α，A∈l?l∩α＝A. 答案 ③④

15.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：①MN≥(AC＋BD)；

2111

②MN>(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN<(AC＋BD).

222其中正确的是________. 答案 ④

解析 如图，取BC的中点O，连结MO、NO，

111

则OM＝AC，ON＝BD，在△MON中，MN

222

题型一 平面基本性质的应用

例1 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1 的中点.求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；

- 2 -

(2)CE、D1F、DA三线共点.

思维启迪 (1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面； (2)可以先证CE与D1F交于一点，然后再证该点在直线DA上. 证明 (1)连结EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EF

同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.

思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据.

(1)以下四个命题中

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是________.

(2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定________个平面. 答案 (1)1 (2)9

解析 (1)①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.

(2)∵a、b是异面直线，∴a上任一点与直线b确定一平面，共5个，b上任一点与直线a确定一平面，共4个，一共9个. 题型二 判断空间两直线的位置关系

例2 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、 B1C1的中点.问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.

思维启迪 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共 面；第(2)问可采用反证法.

解 (1)不是异面直线.理由如下：连结MN、A1C1、AC.

∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，

- 3 -

∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，

∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下：

∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾.∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线. 思维升华 (1)证明直线异面通常用反证法；

(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等； (3)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.

(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，

CD1的中点，则下列判断错误的是________.

①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直；③MN与BD平行；④MN与A1B1 平行.

(2)在图中，G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

答案 (1)④ (2)②④

解析 (1)连结B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1， ∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD. 又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故④不正确.

(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN， 因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH与MN异面. 所以图②、④中GH与MN异面. 题型三 求两条异面直线所成的角

例3 空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、 F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 思维启迪 取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角. 11

解 取AC的中点G，连结EG、FG，则EG綊AB，GF綊CD，

22由AB＝CD知EG＝FG，

∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为

- 4 -

AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF＝30°或150°.

由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.

思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.

直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1

与AC1所成的角等于________.

答案 60° 解析 如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形， ∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角.

易错题练习

典例：(5分)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条.

易错分析 忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.

解析 如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角 都相等，所成角的正切值都为2.联想正方体的其他体对角线，如连结 BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等， ∵BB1∥AA1，BC∥AD，

∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条. 答案 4

温馨提醒 求空间直线所成的角时，常犯以下错误： (1)不能挖掘题中的平行关系，找不到其所成的角； (2)线多、图形复杂、空间想象力不够，感觉无从下手.

方法与技巧

1.主要题型的解题方法

- 5 -

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).

(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范

1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].

A组 专项基础训练 (时间：40分钟)

一、填空题

1.下列命题正确的是________.(填序号)

①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. 答案 ②③

解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确； 两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确； 命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确.

2.平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定______个平面. 答案 1或4

解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面.

3.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是________.

- 6 -

答案 (0，2) 解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于2.

4.四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为________. 答案

5 5

解析 因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.

PA2＋AB2－PB2

在△PAB内，PB＝PA＝5，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝＝

2×PA×AB5＋4－55

＝. 2×5×25

5.设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________.(填序号)

①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α； ④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b. 答案 ③④

解析 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；a∩β＝P时，②错； 如图，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b?α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确.

6.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是________.(填序号)

答案 ④

7.a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

③若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 答案 ①

解析 由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确. 8.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对.

- 7 -

答案 24

解析 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线为面对 角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B， BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异 12×4面直线对共有＝24(对).

2二、解答题

9.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足 AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD 于点H. (1)求AH∶HD；

(2)求证：EH、FG、BD三线共点.

AECF

(1)解 ∵＝＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH，

EBFB平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴

AHCG

＝＝3.∴AH∶HD＝3∶1. HDGD

EF1GH1

(2)证明 ∵EF∥GH，且＝，＝，∴EF≠GH，∴EFGH为梯形.

AC3AC4令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH?平面ABD，又P∈FG，FG?平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点. 10.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥ 底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点. (1)求四棱锥O－ABCD的体积；

(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4， 18所以，四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.

33(2)连结AC，设线段AC的中点为E，连结ME，DE， 则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，

由已知，可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2， DE26

∴△DEM为直角三角形，∴tan∠EMD＝＝＝. EM33

B组 专项能力提升 (时间：35分钟)

1.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________.(填序号) ①l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3；②l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3；③l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面；

- 8 -

④l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面. 答案 ②

解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故①不正确；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故②正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故③不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故④不正确. 2.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N 分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是________. 答案 ②③④

解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.

3.(2012·四川)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、 CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________. 答案 90°

解析 如图，取CN的中点K，连结MK，则MK为△CDN的中位线，

所以MK∥DN. 所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角. 连结A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K＝?42?2＋32＝41，

11

MK＝DN＝42＋22＝5，A1M＝42＋42＋22＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.

224.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个 结论：

①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上). 答案 ③④

5.已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的投影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).

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答案 ①②④

6.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H 为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线. 证明 连结BD，B1D1， 则BD∩AC＝O，

∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D， B1D?平面BB1D1D， 则H∈平面BB1D1D，

∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1. 即D1、H、O三点共线.

7.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝

90°，BC綊12AD，BE綊1

2FA，G，H分别为FA，FD的中点.

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ (1)证明 由题设知，FG＝GA， FH＝HD，所以GH綊1

2AD.

又BC綊1

2AD，故GH綊BC，

所以四边形BCHG是平行四边形. (2)解 C，D，F，E四点共面.理由如下： 由BE綊1

2AF，G是FA的中点知，BE綊GF，

所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH， 故EC，FH共面.

又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.

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