观察对角线，浅谈中点四边形

观察对角线，浅探中点四边形

通过对华东师大版九年级《数学》下册中的《几何回顾》章节后的课题学习——中点四边形的探究活动，使我受益匪浅，加深了对平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质，三角形的中位线的性质以及相似三角形的性质理解和掌握，并能够灵活运用。下面结合自己的探究过程，展示我对中点四边形的形状、周长及其面积的简单地探究，与同学们学习交流。

一.准确判断中点四边形的形状 1.任意四边形

如图1，已知：任意四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA中点，连接EF,FG,GH,HE.求证:四边形EFGH是平行四边形.

1分析 方法一:连接BD.根据三角形中位线性质定理得,EH//BD,EH=BD;21同理FG//BD,FG?BD.得EH//FG,EF?FG,所以四边形EFGH是平行四边形.2 方法二:连接AC,BD.根据三角形中位线性质定理得,EH//BD,FG//BD,得EH//FG,同理EF//HG,所以四边形EFGH是平行四边形.11 方法三:连接AC,BD.根据三角形中位线性质定理得,EH=BD,FG?BD,22得EH=FG,同理EF=HG.所以四边形EFGH是平行四边形. 证明（略）.

AHDEGBF结论：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形。

（2）平行四边形（或梯形）的中点四边形是平行四边形。 2.对角线相等的四边形

由于中点四边形的各边与原四边形的对角线存在数量关系，如图1中，11EH=BD,EF=AC,又AC=BD,从而EF=EH,由于四边形EFGH是平行四边形，

22所以四边形EFGH是菱形。

结论：（1）矩形的中点四边形是菱形。

（2）等腰梯形的中点四边形是菱形。 3.对角线垂直的四边形

由于中点四边形的各边与原四边形的对角线存在位置关系，如图1中，

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图1C

EH//BD,EF//AC,又AC?BD,从而EF?EH,由于四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是矩形。

结论：（1）菱形的中点四边形是矩形。

（2）对角线互相垂直的等腰梯形的中点四边形是矩形。 4.对角线互相垂直且相等的四边形

由于中点四边形的各边与原四边形的对角线存在数量关系和位置关系，如图

111中，EH//BD,EF//AC,又AC?BD,从而EF?EH；EH=BD,EF=AC,又

22AC=BD,从而EF=EH, 由于四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是正方形。

结论：正方形的中点四边形是正方形。 由此可知：决定中点四边形形状的关键因素是原四边形的两条对角线的数量关系和位置关系。 二.中点四边形的周长 如图1中,E,F,G,H分别是四边形各边中点,易知四边形EFGH是平行四边形,C平行四边形EFGH?2(EF?EH),由于EF?从而C平行四边形EFGH?AC?BD.结论：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 三.中点四边形的面积

11AC,EH?BD, 22如图1中，四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形， 在三角形ABD中，EH//BD,EH?进而S三角形AEHS三角形ABD1BD,从而三角形AEH与三角形ABD相似，2SEH2111?()?,S三角形AEH?S三角形ABD;同理三角形CFG?,BD44S三角形CBD411S三角形CFG?S三角形CBD,从而S三角形AEH+S三角形CFG=（S三角形ABD+S三角形CBD）=

44111S四边形ABCD;同理S三角形BEF+S三角形DHG=（S三角形ABC+S三角形ACD）=S四边形ABCD.44411从而S三角形AEH+S三角形BEF+S三角形CFG+S三角形DHG=2?S四边形ABCD=S四边形ABCD.421所以S四边形EFGH=S四边形ABCD.4 结论：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。

总之，任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，决定中点四边形形状的关键因素是原四边形的两条对角线的数量关系和位置关系，与原四边形各边的数量和位置关系无关。中点四边形的周长与原四边形的对角线紧密联系，而中点四边形面积可以转化为三角形面积来研究，在这里三角形中位线和相似三角形的性质起到重要桥梁作用。

点评：小作者在探究中点四边形的问题时，思路清晰，方法得当，表述简练准确，能够充分应用特殊四边形的判定和性质、三角形中位线和相似三角形的性质来分析解决问题，综合分析解决问题能力强，数学素养底蕴丰厚。在研究方

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法上，能够灵活运用从一般到特殊，转化,分类讨论及化归的数学思想，整体分析解决问题意识比较强。不足之处缺乏对中点四边形更为全面的研究，如中点四边形的对角线有什么性质，中点五（六）边形的面积与原图形的面积有什么关系。另外，对中点四边形面积的推导时显得不够紧凑自然，不够全面具体。希望课后加强对这部分内容的学习与研究，学会运用多种方法分析解决问题。

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