24第五章第三节资金等效值与复利计算(一)(2013新版)

第三节 资金等效值与复利计算 一、资金等效值的概念（考点）

与某一时间点上一定金额的实际经济价值相等的另一时间点上的价值。在以后的讨论中，把等效值简称为等值。

例如，现在借入100元，年利率是15%，一年后要还的本利和为115元。这就是说，现在的100元与一年后的115元虽然绝对值不等，但它们是等值的，即其实际经济价值相等。

在资金等效值计算的过程中，人们把资金运动起点时的金额称为现值，把资金运动结束时与现值等值的金额称为终值或未来值，而把资金运动过程中某一时间点上与现值等值的金额称为时值。

【2008年试题】假定年利率为10%，2008年初的100元与2008年年末的110元的实际经济价值是相等的。（ ）

答案：√

【2008年试题】下列关于资金等效值概念的表述中，正确的是（ ）。 A．时值是资金运动起点的金额 B．终值是资金运动结束的金额

C．资金等值是指与某一时点上一定金额的实际价值相等的另一时点的价值 D．不同时点发生的绝对值相等的资金具有相同的价值 答案：C

解析：终值是资金运动结束时与现值等值的金额，故B选项不对。 二、复利计算 （一）常用符号

在复利计算和考虑资金时间因素的计算中，常用的符号包括P、F、A、G、s、n和i等，各符号的含义是：

P—现值；

F—终值（未来值）；

A—连续出现在各计息周期末的等额支付金额，简称年值；（史记：注意！年值≠时值） G—每一时间间隔收入或支出的等差变化值； s—每一时间间隔收入或支出的等比变化值；

1

n—计息周期数；（也称计息期）

i—每个计息周期的利率。（也称周期利率）

在复利计算和考虑资金时间因素的计算中，通常都要使用i和n，以及P、F和A中的两项。比较不同投资方案的经济效果时，常常换算成P值或A值，也可换算成F值来进行比较。

（二）公式与系数（重要考点） 1．一次支付的现值系数和终值系数

一次支付的现金流量图如图5－8所示。如果在时点t＝0时的资金现值为P，并且利率i已定，则复利计息的n个计息周期后的终值F的计算公式为：

F＝P（1＋i）n

上式中的（1＋i）n称为“一次支付终值系数”。

史家解读：公式F＝P（1＋i）n被称为一次支付终值系数公式。

图5－8

一次支付现金流量图

当已知终值F和利率i时，很容易得到复利计息条件下现值P的计算公式：

上式中的称为“一次支付现值系数”。

史家解读：公式推。

被称为一次支付现值系数公式，以下公式以此类

2．等额序列支付的现值系数和资金回收系数

等额序列支付是指在现金流量图上的每一个计息周期期末都有一个等额支付金额A，现金流

2

量图如图5－9所示。此时，其现值可以这样确定：把每一个A看作是一次支付中的F，用一次支付复利计算公式求其现值，然后相加，即可得到所求的现值。计算公式是：

图5－9 史家解读：

等额序列支付的现值系数公式是用等比数列前n项求和公式推导出来的，具体过程如下：

等额序列支付现金流量

Sn＝Aq＋Aq2＋…＋Aqn　　①

在公式两边同时乘以一个q，得

qSn＝Aq2＋Aq3＋…＋Aqn?1　　②

①－②，得

（1－q）Sn＝Aq－Aqn?1　，整理后，得

A（q1－qn）Sn＝　　③

1－q根据图5－9可得：P＝AAA，将q＝1/（1＋i）代入③式，可得＋＋…＋2n1?i（1?i）（1?i）P?A?1?1?。 ?n?i?(1?i)?由上式可以得到当现值P和利率i为已知时，求复利计息的等额序列支付年值A的计算公

式：

3．等额序列支付的终值系数和储存基金系数

3

所谓等额序列支付的储存基金系数和终值系数就是在已知F的情况下求A，或在已知A的情况下求F，现金流量图如图5－10所示。因为前面已经有了P和A之间的关系，我们也已经知道了P和F之间的关系，所以很容易就可以推导出F和A之间的关系。计算公式为：

通过上式，可以很容易地推导出：

4．等差序列的现值系数和年费用系数

等差序列是一种等额增加或减少的现金流量序列，即这种现金流量序列的收入或支出每年以相同的数量发生变化。例如物业的维修费用往往随着房屋及其附属设备的陈旧程度而逐年增加，物业的租金收入通常随着房地产市场的发展逐年增加等。逐年增加的收入或费用，虽然不能严格地按线性规律变化，但可根据多年资料，整理成等差序列以简化计算。

如果以G表示收入或支出的年等差变化值，第一年的现金收入或支出的流量A1已知，则第t年末现金收入或支出的流量为A1＋（t－1）G，现金流量图如图5－11所示。计算等差序列现值系数的公式为：

4

上式中的称为“等差序列年费用系数”。

5．等比序列的现值系数和年费用系数

等比序列是一种等比例增加或减少的现金流量序列，即这种现金流量序列的收入或支出每年以一个固定的比例发生变化。例如，建筑物的建造成本每年以10%的比例逐年增加、房地产的价格或租金水平、运营费用每年以5%的速度逐年增加等。

如果以等比系数s表示收入或支出每年变化的百分率，第一年的现金收入或支出的流量A1

已知，则第t年年末现金收入或支出的流量为At＝Al（1＋s），现金流量图如图5－12所示。

计算等比序列现值系数的公式为：

t－1

5

史家解读：

等比序列的现值系数公式也是用等比数列前n项求和公式推导出来的，具体过程如下：

Sn＝A＋Aq＋Aq2＋…＋Aqn－1　　①

在公式两边同时乘以一个q，得

qSn＝Aq＋Aq2＋Aq3＋…＋Aqn　　②

①－②，得

，整理后，得 （1－q）Sn＝A－Aqn　A（1－qn）Sn＝　　③

1－q等比序列现值系数公式推导过程如下：

2n－1A1A（1+s）A（1+s）A（1+s）P＝＋12＋13＋?＋1n1+i（1?i）（1+i）（1+i）

nA1??1?s??1+sA1　其中，q＝，A＝，则P＝　　　　?1????　(当i?s时) i－s?1?i1?i1?i?????（三）复利系数的标准表示法

为了减少书写上述复利系数时的麻烦，可采用一种标准表示法来表示各种系数。这种标准表示法的一般形式为（X/Y，i，n）。斜线前的X表示所求的是什么，斜线后的Y、i、n表示已知的是什么。例如F/P表示“已知P求F”，而（F/P，10%，25）表示一个系数。这个系数若与现值P相乘，便可求得按年利率为10%复利计息时25年后的终值F。表5－1汇总了上述10个复利系数的标准表示法，以及系数用标准表示法表示的复利计算公式。

复利系数标准表示法及复利计算公式汇总表 系数名称 一次支付现值系数 一次支付终值系数 等额序列支付现值系数 标准表示法 所求 （P/F，i，n） P （F/P，i，n） F （P/A，i，n） P 已知 F P A P F A

表5－1

公式 P＝F（P/F，i，n） F＝P（F/P，i，n） P＝A（P/A，i，n） A＝P（A/P，i，n） A＝F（A/F，i，n） F＝A（F/A，i，n） 等额序列支付资金回收系（A/P，i，n） A 数 等额序列支付储存基金系（A/F，i，n） A 数 等额序列支付终值系数 （F/A，i，n） F 6页

等差序列支付现值系数 等差序列年费用系数 等比序列现值系数 等比序列年费用系数 记忆小窍门：

（P/G，i，n） P （A/G，i，n） A （P/s，i，n） P （A/s，i，n） A G，Al G，Al s，Al s，Al P＝Al（P/A，i，n）＋G（P/G，i，n） A＝Al＋G（A/G，i，n） P＝Al（P/s，i，n） A＝Al（A/s，i，n） 1）标准表示法中反斜杠后面的是已知条件，反斜杠前面的是要求的数值。

2）10个系数的含义理解：系数中有“现值”的是，用此系数要求的是“现值P”；系数中有“终值”的是，用此系数要求的是“终值F”。

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