我的精品题库试题 - 20140222 - 210731

曲一线科学备考

精品题库试题

用户：郑郑郑昕颖 生成时间：2014.02.22 21:07:31

文数

1. (2008福建, 11, 5分)如果函数y=f(x)的图象如图, 那么导函数y=f '(x)的图象可能是( )

2. (2011福建, 10, 5分)若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值, 则ab的最大值等于( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 3.(2010福建, 11, 5分)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点, 点P为椭圆上的任意一点, 则

2

的最大值为( )

A. 2 B. 3 C. 6 D. 8

4.(2009福建, 4, 5分)若双曲线-=1(a>0)的离心率为2, 则a等于( )

A. 2 B. C. D. 1

5.(2008福建, 12, 5分)双曲线-=1(a>0, b>0)的两个焦点为F1、F2, 若P为其上一点, 且|PF1|=2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为( )

A. (1, 3) B. (1, 3] C. (3, +∞) D. [3, +∞)

6. (2011福建, 11, 5分)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1, F2. 若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, 则曲线Γ的离心率等于( )

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A. 或 B. 或2 C. 或2 D. 或

7.(2012福建, 5, 5分) 已知双曲线-=1的右焦点为(3, 0) , 则该双曲线的离心率等于( )

A. B. C. D.

8.（2013高考仿真卷一, 11, 5分）若双曲线-=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7∶5的两段, 则此双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

9.（2013高考仿真卷一, 12, 5分）已知函数f(x) =aln x+x2(a>0) , 若对任意两个不相等的正实数x1, x2都有

>2恒成立, 则a的取值范围是( )

A. (0, 1] B. (1, +∞) C. (0, 1) D. [1, +∞)

10.（2013高考仿真卷二, 11, 5分）若双曲线-=1(a>0, b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7∶3的两段, 则此双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

11.（2013高考仿真卷三, 9, 5分）在等比数列{an}中, a1=2, a8=4, f(x) =x(x-a1) (x-a2) ?(x-a8) , f '(x) 为函数f(x) 的导函数, 则f '(0) =( ) A. 0 B. 26

C. 29

D. 212

12.（2013高考仿真卷三, 11, 5分）已知抛物线y2=2px(p>0) 上一点M(1, m) (m>0) 到其焦点的距离为5, 双曲线-y2=1(a>0) 的左顶点为A. 若双曲线的一条渐近线与直线AM平行, 则实数a的值是( )

A. B. C. D.

13. （2013高考仿真卷四, 9, 5分）已知直线l: 2x+y+2=0与椭圆C: x2+=1交于A, B两点,

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P为C上的点, 则使△PAB的面积S为的点P的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. （2013高考仿真卷四, 10, 5分）设a∈R, 若函数y=ex+ax(x∈R) 的极值点小于零, 则( )

A. 0 B. a>-1 C. a>1 D. -1

15. （2013高考仿真卷四, 11, 5分）设M(x0, y0) 为抛物线C: y2=8x上一点, F为抛物线C的焦点, 若以F为圆心, |FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交, 则x0的取值范围是( ) A. (2, +∞) B. (4, +∞) C. (0, 2) D. (0, 4) 16.（2013高考仿真卷五, 11, 5分）若双曲线-=1(a>0, b>0) 上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心) 的对称点在y轴上, 则该双曲线离心率的取值范围为( ) A. (

, +∞) B. [, +∞) C. (1, ] D. (1,

)

17.(2013福建厦门一月质量检测，6,5分)已知F是抛物线

上的动点，则|FP|的最小值是

的焦点，P是圆

A．3 B．4 C．5 D．6

18.(2013福建，12,5分) 设函数f(x) 的定义域为R, x0(x0≠0) 是f(x) 的极大值点, 以下结论一定正确的是( ) A. ?x∈R, f(x) ≤f(x0) B. -x0是f(-x) 的极小值点 C. -x0是-f(x) 的极小值点 D. -x0是-f(-x) 的极小值点

19. (2009福建, 15, 5分)若曲线f(x)=ax2+ln x存在垂直于y轴的切线, 则实数a的取值范围是 .

20. (2007福建, 15, 5分)已知长方形ABCD, AB=4, BC=3, 则以A、B为焦点, 且过C、D两点的椭圆的离心率为 .

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21.(2010福建, 13, 4分)若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程为y=±x, 则b等于 .

22.（2013高考仿真卷二, 13, 5分）双曲线-=1的离心率为 . 23. （2013高考仿真卷二, 15, 5分）已知双曲线-=1(a>0, b>0) 的一条渐近线方程为y=

x, 且其右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合, 则双曲线的方程为 .

24. （2013高考仿真卷四, 13, 5分）函数y=f(x) 的图象在点M(1, f(1) ) 处的切线方程为y=ex-e, 则f '(1) = .

25. （2013高考仿真卷四, 15, 5分）抛物线x2=4y的焦点为F, 点P是该抛物线上的动点, 若|PF|=2, 则点P的坐标是 . 26. (2012福建省高中毕业班质量检测，14,5分)若双曲线方程为等于_______________．

，则其离心率

27.(2013福建厦门一月质量检测，12,4分)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，实轴长为4，则双曲线的方程是 .

28.(2013福建，15,5分) 椭圆Γ: +=1(a> b> 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 焦距为2c. 若直线y=

(x+c) 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 则该椭圆的离心率等

于 .

29. (2011福建, 22, 14分)已知a, b为常数, 且a≠0, 函数f(x)=-ax+b+axln x, f(e)=2(e=2. 718 28?是自然对数的底数). (Ⅰ)求实数b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅲ)当a=1时, 是否同时存在实数m和M(m

都有公共点?若存在, 求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在, 说明

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30. (2010福建, 22, 14分)已知函数f(x)=x3-x2+ax+b的图象在点P(0, f(0))处的切线方程为y=3x-2. (Ⅰ)求实数a, b的值;

(Ⅱ)设g(x)=f(x)+是[2, +∞)上的增函数.

(i)求实数m的最大值;

(ii)当m取最大值时, 是否存在点Q, 使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形, 则这两个封闭图形的面积总相等?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在, 说明理由.

31. (2009福建, 21, 12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx, 且f '(-1)=0. (Ⅰ)试用含a的代数式表示b; (Ⅱ)求f(x)的单调区间;

(Ⅲ)令a=-1, 设函数f(x)在x1、x2(x1

(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若a>0, 求函数y=f(x)在区间(a-1, a+1)内的极值.

33. (2007福建, 20, 12分)设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R, t>0). (Ⅰ)求f(x)的最小值h(t);

(Ⅱ)若h(t)<-2t+m对t∈(0, 2)恒成立, 求实数m的取值范围.

34. (2011福建, 18, 12分)如图, 直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A. (Ⅰ)求实数b的值;

(Ⅱ)求以点A为圆心, 且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

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35. (2010福建, 19, 5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1, -2). (Ⅰ)求抛物线C的方程, 并求其准线方程; (Ⅱ)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l, 使得直线l与抛物线C有公共点, 且直线OA与l的距离等于

?若存在, 求出直线l的方程;若不存在, 说明理由.

36. (2009福建, 22, 14分)已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D. 椭圆C的右顶点为B, 点S是椭圆C上位于x轴上方的动点, 直线AS, BS与直线l:x=

分别交于M, N两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;

(Ⅲ)当线段MN的长度最小时, 在椭圆C上是否存在这样的点T, 使得△TSB的面积为?若存在, 确定点T的个数;若不存在, 说明理由.

37. (2007福建, 22, 14分)如图, 已知点F(1, 0), 直线l:x=-1, P为平面上的动点, 过点P作l的垂线, 垂足为点Q, 且2=2. (Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;

(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点, 交直线l于点M. (1)已知

=λ

1

=λ

2

, 求λ1+λ2的值;

(2)求||2||的最小值.

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38.(2012福建, 22, 14分) 已知函数f(x) =axsin x-(a∈R) , 且在(1) 求函数f(x) 的解析式;

(2) 判断函数f(x) 在(0, π) 内的零点个数, 并加以证明. 39.(2012福建, 21, 12分) 如图, 等边三角形OAB的边长为8E: x2=2py(p>0) 上. (1) 求抛物线E的方程; 上的最大值为.

, 且其三个顶点均在抛物线

(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P, 与直线y=-1相交于点Q. 证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

40.（2013高考仿真卷一, 20, 12分）已知椭圆+=1(a>b>0) 过定点, 以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于以其短轴的两个端点和两个焦点为顶点的四边形的面积的2倍. (1) 求此椭圆的方程;

(2) 若直线x+y+1=0与椭圆交于A, B两点, x轴上存在一点P(m, 0) , 使得∠APB为锐角, 求实数m的取值范围.

41.（2013高考仿真卷一, 21, 12分）已知函数f(x) =x3+(1-a) x2-a(a+2) x(a∈R) , f '(x) 为f(x) 的导函数.

(1) 当a=-3时, 证明y=f(x) 在区间(-1, 1) 上不是单调函数;

(2) 设g(x) =x-, 是否存在实数a, 对任意的x1∈[-1, 1], 存在x2∈[0, 2], 使得f '(x1) +2ax1=g(x2) 成立?若存在, 求出a的取值范围; 若不存在, 说明理由.

42. （2013高考仿真卷二, 20, 12分）已知椭圆C的对称中心为原点O, 焦点在x轴上, 左、右焦点分别为F1和F2, 且|F1F2|=2, 点P(1) 求椭圆C的方程;

在该椭圆上.

(2) 过点F1的直线l与椭圆C相交于A, B两点, 若△AF2B的面积为, 求以F2为圆心且

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与直线l相切的圆的方程.

43. （2013高考仿真卷二, 21, 12分）已知函数f(x) =ax+ln x, 其中a为常数, 设e为自然对数的底数. (1) 当a=-1时, 求f(x) 的最大值;

(2) 若f(x) 在区间(0, e]上的最大值为-3, 求a的值.

44.（2013高考仿真卷三, 20, 12分）设F是抛物线G: y2=2px(p>0) 的焦点, 过点F且与抛物线G的对称轴垂直的直线被抛物线G截得的线段长为4. (1) 求抛物线G的方程;

(2) 设A, B为抛物线G上异于原点的两点, 且满足FA⊥FB, 延长AF, BF分别交抛物线G于点C, D, 求四边形ABCD面积的最小值.

45.（2013高考仿真卷三, 21, 12分）设f(x) =kx--2ln x. (1) 若f '(2) =0, 求过点(2, f(2) ) 的直线方程;

(2) 若f(x) 在其定义域内为单调增函数, 求k的取值范围.

46. （2013高考仿真卷四, 20, 12分）已知椭圆E: 而且过点H

.

+=1(a>b>0) 的一个焦点为F1(-, 0) , (1) 求椭圆E的方程;

(2) 设椭圆E的上, 下顶点分别为A1, A2, P是椭圆上异于A1, A2的任一点, 直线PA1, PA2分别交x轴于点N, M, 直线OT与过点M, N的圆G相切, 切点为T. 证明: 线段OT的长为定值, 并求出该定值.

47.（2013高考仿真卷四, 21, 12分）已知函数f(x) =px--2ln x. (1) 若p=2, 求曲线f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程;

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(2) 若函数f(x) 在其定义域内为增函数, 求正实数p的范围.

48. （2013高考仿真卷五, 20, 12分）已知椭圆+=1(a>b>0) 的右焦点为F(1, 0) , M为椭圆的上顶点, O为坐标原点, 且△OMF是等腰直角三角形. (1) 求椭圆的方程;

(2) 是否存在直线l交椭圆于P, Q两点, 且使点F为△PQM的垂心(垂心: 三角形三条高的交点) ?若l存在, 求出直线l的方程; 若l不存在, 请说明理由.

49. （2013高考仿真卷五, 21, 12分）已知f(x) =x-(1) 求函数f(x) 的极大值点; -aln x, 其中a∈R.

(2) 当a∈的取值范围. 50.

∪[1+e, +∞) 时, 若在上至少存在一点x0, 使f(x0) >e-1成立, 求a

51.

52.(2013福建厦门一月质量检测，18，12分） 已知个极值点．

（I）求实数a的值；

是函数的一

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（Ⅱ）若，求函数的单调区间及最大值．

53.(2013福建厦门一月质量检测，21，13分）

某厂家研发甲、乙两种产品准备试产，经调研，生产甲产品需固定成本100万元，每生产一件产品，成本增加1万元，每件销售价格p（万元／件）与产量x（件）满足关系p= 25；乙产品的利润L（万元）与成本t（万元）的关系为L=现有

资金200万元，所生产的产品都能销售出去，并且甲产品必须生产． （I）要使甲产品的利润最大，应生产甲产品多少件；

（Ⅱ）若资金全部投入生产，如何分配对甲、乙的投资，能使厂家获得的利润最大？

54.(2013福建厦门一月质量检测，22，14分）已知A，B分别是椭圆:=1的左、

右顶点，P是椭圆上异于A,B的任意一点，Q是双曲线一点，a>b >0．

：=1上异与A,B的任意（I）若P（），Q（，1），求椭圆的方程；

（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是，求证：为定值；

（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．

55.(2013福建，22,14分)

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已知函数f(x) =x-1+(a∈R, e为自然对数的底数). (Ⅰ) 若曲线y=f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线平行于x轴, 求a的值; (Ⅱ) 求函数f(x) 的极值; (Ⅲ) 当a=1时, 若直线l: y=kx-1与曲线y=f(x) 没有公共点, 求k的最大值.

56.(2013福建，20,12分) 如图, 抛物线E: y2=4x的焦点为F, 准线l与x轴的交点为A. 点C在抛物线E上, 以C为圆心, |CO|为半径作圆, 设圆C与准线l交于不同的两点M, N. (Ⅰ) 若点C的纵坐标为2, 求|MN|; (Ⅱ) 若|AF|2=|AM|2|AN|, 求圆C的半径.

答案

文数1. A 2.D 3. C 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.D 12.B 13.C 14. D 15.A 16.C 17.B 18. D 19. (-∞, 0) 20. 21. 1 22. 23.

-=1 24. e 25. (±2, 1) 26.

27. 28.-1 29. (Ⅰ)由f(e)=2得b=2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=-ax+2+axln x. 从而f '(x)=aln x. 因为a≠0, 故:

(1)当a>0时, 由f '(x)>0得x>1, 由f '(x)<0得0

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(2)当a<0时, 由f '(x)>0得01.

综上, 当a>0时, 函数f(x)的单调递增区间为(1, +∞), 单调递减区间为(0, 1);当a<0时, 函数f(x)的单调递增区间为(0, 1), 单调递减区间为(1, +∞). (Ⅲ)当a=1时, f(x)=-x+2+xln x, f '(x)=ln x.

由(Ⅱ)可得, 当x在区间内变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:

x f '(x) f(x) - 1 (1, e) e 0 + 2- 单调递减 极小值1 单调递增 2 又2-<2, 所以函数f(x)

的值域为[1, 2].

据此可得, 若则对每一个t∈[m, M], 直线y=t与曲线y=f(x)都有公共点;

并且对每一个t∈(-∞, m)∪(M, +∞), 直线y=t与曲线y=f(x)都没有公共点.

综上, 当a=1时, 存在最小的实数m=1, 最大的实数M=2, 使得对每一个t∈[m, M], 直线y=t与曲线y=f(x)

都有公共点. 30. (Ⅰ)由f '(x)=x2-2x+a及题设得

即

(Ⅱ)解法一:(i)由g(x)=x3-x2+3x-2+得g'(x)=x2-2x+3-.

∵g(x)是[2, +∞)上的增函数, ∴g'(x)≥0在[2, +∞)上恒成立, 即x2-2x+3-+∞)上恒成立.

设(x-1)2=t. ∵x∈[2, +∞), ∴t∈[1, +∞),

≥0在[2,

即不等式t+2-≥0在[1, +∞)上恒成立.

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当m≤0时, 不等式t+2-≥0在[1, +∞)上恒成立. 当m>0时, 设y=t+2-, t∈[1, +∞).

因为y'=1+>0, 所以函数y=t+2-在[1, +∞)上单调递增, 因此ymin=3-m. ∵ymin≥0, ∴3-m≥0, 即m≤3.

又m>0, 故0

(ii)由(i)得g(x)=x3-x2+3x-2+, 其图象关于点Q成中心对称. 证明如下:∵g(x)=x3-x2+3x-2+,

∴g(2-x)=(2-x)3-(2-x)2+3(2-x)-2+

=-x3+x2-3x++, 因此, g(x)+g(2-x)=. 上式表明, 若点A(x, y)为函数g(x)的图象上的任意一点, 则点B的图象上, 而线段AB中点恒为点Q

也一定在函数g(x), 由此即知函数g(x)的图象关于点Q成中心对称.

这也就表明, 存在点Q, 使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形,

则这两个封闭图形的面积总相等.

解法二:(i)由g(x)=x3-x2+3x-2+得g'(x)=x2-2x+3-.

∵g(x)是[2, +∞)上的增函数, ∴g'(x)≥0在[2, +∞)上恒成立, 即x2-2x+3-≥0在[2,

+∞)上恒成立, 设(x-1)2=t. ∵x∈[2, +∞), ∴t∈[1, +∞), 即不等式t+2-≥0在[1, +∞)上恒成立.

所以m≤t2+2t在[1, +∞)上恒成立.

令y=t2+2t, t∈[1, +∞), 可得ymin=3, 故m≤3, 即m的最大值为3.

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(ii)由(i)得g(x)=x3-x2+3x-2+, 将函数g(x)的图象向左平移1个长度单位, 再向下平移个长度单位, 所得图象相应的函数解析式为φ(x)=x3+2x+, x∈(-∞, 0)∪(0, +∞).

由于φ(-x)=-φ(x), 所以φ(x)为奇函数, 故φ(x)的图象关于坐标原点成中心对称. 由此即得, 函数g(x)的图象关于点Q

成中心对称. 这也就表明, 存在点Q

, 使得过点Q的

直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形, 则这两个封闭图形的面积总相等. 31. 解法一:(Ⅰ)依题意, 得f '(x)=x2+2ax+b. 由f '(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=x3+ax2+(2a-1)x, 故f '(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1). 令f '(x)=0, 则x=-1或x=1-2a. ①当a>1时, 1-2a<-1. 当x变化时, f '(x)与f(x)的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-∞, 1-2a) + 单调递增 (1-2a, -1) - 单调递减 (-1, +∞) + 单调递增 由此得, 函数f(x)的单调增区间为(-∞, 1-2a)和(-1, +∞), 单调减区间为(1-2a, -1). ②当a=1时, 1-2a=-1. 此时, f '(x)≥0恒成立, 且仅在x=-1处f '(x)=0, 故函数f(x)的单调增区间为R.

③当a<1时, 1-2a>-1, 同理可得函数f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a, +∞), 单调减区间为(-1, 1-2a).

综上:当a>1时, 函数f(x)的单调增区间为(-∞, 1-2a)和(-1, +∞), 单调减区间为(1-2a, -1); 当a=1时, 函数f(x)的单调增区间为R;

当a<1时, 函数f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a, +∞), 单调减区间为(-1, 1-2a).

(Ⅲ)由a=-1时, 得f(x)=x3-x2-3x.

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由f '(x)=x2-2x-3=0, 得x1=-1, x2=3.

由(Ⅱ)得f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(3, +∞), 单调减区间为(-1, 3), 所以函数f(x)在x1=-1, x2=3处取得极值.

故M, N(3, -9).

所以直线MN的方程为y=-x-1.

由得x3-3x2-x+3=0. 令F(x)=x3-3x2-x+3.

易得F(0)=3>0, F(2)=-3<0, 而F(x)的图象在(0, 2)内是一条连续不断的曲线, 故F(x)在(0, 2)内存在零点x0, 这表明线段MN与曲线f(x)有异于M, N的公共点. 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)同解法一.

(Ⅲ)当a=-1时, 得f(x)=x3-x2-3x. 由f '(x)=x2-2x-3=0, 得x1=-1, x2=3.

由(Ⅱ)得f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(3, +∞), 单调减区间为(-1, 3), 所以函数f(x)在x1=-1, x2=3处取得极值,

故M, N(3, -9).

所以直线MN的方程为y=-x-1.

由得x3-3x2-x+3=0.

解得x1=-1, x2=1, x3=3.

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当t=-

时, 两平行直线BS:x+y-2=0与l2:x+y-=0间的距离d2=.

∵S△TSB=, 且|BS|=. 故△TSB在BS边上的高d=.

∵d2

即线段MN的长度最小时, 椭圆C上仅存在两个不同的点T, 使得△TSB的面积等于. 37.解法一:(Ⅰ)设点P(x, y), 则Q(-1, y), 由y)2(-2, y), 化简得C:y2=4x.

2=2

得:(x+1, 0)2(2, -y)=(x-1,

(Ⅱ)(1)设直线AB的方程为:x=my+1(m≠0). 设A(x1, y1),

B(x2, y2), 又M消去x得: y2-4my-4=0,

. 联立方程组

Δ=(-4m)2+12>0, 由=λ

1

=λ

2

得:

y1+=-λ1y1, y2+=-λ2y2, 整理得:

λ1=-1-, λ2=-1-, ∴λ1+λ2=-2-=-2-2=-2-2=0.

解法二:(Ⅰ)由∴|

|=|

|.

2=2得:2(+)=0, ∴(-)2(+)=0, ∴-=0,

所以点P的轨迹C是抛物线, 由题意, 轨迹C的方程为:y2=4x.

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(Ⅱ)(1)由已知=λ

1=λ

2

, 得λ12λ2<0, 则:=-2, ①

过点A、B分别作准线l的垂线, 垂足分别为A1、B1,

则有:==. ②

由①②得:-2(Ⅱ)(2)由解法一, |

|2|

|=(

=, 即λ1+λ2=0.

)2|y1-yM||y2-yM|=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)+=42+m2+

≥42+2

=16.

|=(1+m2)-4+34m+=(1+m2)

当且仅当m2=, 即m=±1时等号成立, 所以||2||最小值为16. 38.(1) 由已知得f '(x) =a(sin x+xcos x) ,

对于任意x∈, 有sin x+xcos x>0.

当a=0时, f(x) =-, 不合题意;

当a<0, x∈时, f '(x) <0, 从而f(x) 在内单调递减,

又f(x) 在上的图象是连续不断的, 故f(x) 在上的最大值为f(0) =-, 不合题意;

当a>0, x∈时, f '(x) >0, 从而f(x) 在

上的最大值为f

内单调递增, 又f(x) 在

,

上的图象是连续

不断的, 故f(x) 在解得a=1.

, 即a-=

综上所述, 得f(x) =xsin x-.

(2) f(x) 在(0, π) 内有且只有两个零点.

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证明如下:

由(1) 知, f(x) =xsin x-, 从而有f(0) =-<0, f=>0,

又f(x) 在上的图象是连续不断的,

所以f(x) 在内至少存在一个零点.

又由(1) 知f(x) 在上单调递增, 故f(x) 在内有且仅有一个零点. 当x∈时, 令g(x) =f '(x) =sin x+xcos x.

由g=1>0, g(π) =-π<0, 且g(x) 在上的图象是连续不断的, 故存在m∈, 使

得g(m) =0.

由g'(x) =2cos x-xsin x,

知x∈时, 有g'(x) <0, 从而g(x) 在内单调递减.

当x∈时, g(x) >g(m) =0, 即f '(x) >0, 从而f(x) 在内单调递增,

故当x∈时, f(x) ≥f=>0, 故f(x) 在上无零点;

当x∈(m, π) 时, 有g(x) 0, f(π) <0, 且f(x) 在[m, π]上的图象是连续不断的, 从而f(x) 在(m, π) 内有且仅有一个零点.

综上所述, f(x) 在(0, π) 内有且只有两个零点. 39.解法一: (1) 依题意, |OB|=8∠BOy=30°.

设B(x, y) , 则x=|OB|sin 30°=4因为点B(4

, y=|OB|cos 30°=12.

) 2=2p312, 解得p=2. 故抛物线E的方程为

,

, 12) 在x2=2py上, 所以(4

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x2=4y.

(2) 由(1) 知y=x2, y'=x. 设P(x0, y0) , 则x0≠0, 且l的方程为

y-y0=x0(x-x0) , 即y=x0x-.

由

得

所以Q.

设M(0, y1) , 令2=0对满足y0=(x0≠0) 的x0, y0恒成立.

由于

=(x0, y0-y1) , =,

由2=0, 得

-y0-y0y1+y1+=0,

即(+y1-2) +(1-y1) y0=0. (*)

由于(*) 式对满足y0=解得y1=1.

(x0≠0) 的y0恒成立, 所以

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0, 1) . 解法二: (1) 同解法一.

(2) 由(1) 知y=x2, y'=x. 设P(x0, y0) , 则x0≠0, 且l的方程为y-y0=x0(x-x0) , 即y=x0x-.

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由 得

所以Q.

取x0=2, 此时P(2, 1) , Q(0, -1) , 以PQ为直径的圆为(x-1) 2+y2=2, 交y轴于点M1(0, 1) 或M2(0, -1) ; 取x0=1, 此时P轴于M3(0, 1) 或M4

. , Q, 以PQ为直径的圆为

+=

, 交y

故若满足条件的点M存在, 只能是M(0, 1) . 以下证明点M(0, 1) 就是所要求的点.

因为

=(x0, y0-1) , =,

2=

-2y0+2=2y0-2-2y0+2=0.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M. 40. (1) 以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积S1=22a22b=2ab, 以短轴的两个端点和两个焦点为顶点的四边形的面积S2=22c22b=2cb. (2分)

因为===2, 即a=2c, 所以b2=3c2, 可设椭圆方程为+=1, 将点代入可得

c2=1, 所以所求椭圆方程为+=1. (5分) (2) 由∠APB为锐角得2所以2

>0, 设A(x1, y1) , B(x2, y2) , 则

=(x1-m, y1) ,

=(x2-m, y2) ,

=(x1-m) (x2-m) +y1y2=x1x2-m(x1+x2) +m2+y1y2>0,

联立椭圆方程+=1与直线方程x+y+1=0, 消去y并整理得7x2+8x-8=0, (7分)

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则|OM|2|ON|==, (10分)

而+=1, 所以|OM|2|ON|==4, 由切割线定理得|OT|2=|OM|2|ON|=4,

所以|OT|=2, 即线段OT的长度为定值2. (12分)

失分警示: (1) 未能将求解|OT|的问题利用切割线定理转化为求|OM|2|ON|的问题;

(2) 找不准圆G的圆心. 47. (1) 当p=2时, 函数f(x) =2x--2ln x, f(1) =2-2-2ln 1=0. 对函数f(x) 求导得f '(x) =2+-, 由题意知, 曲线f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为f '(1) =2+2-2=2. 从而曲线f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程为y-0=2(x-1) , 即y=2x-2. (5分)

(2) 由已知得f '(x) =p+-=. 令h(x) =px2-2x+p, 要使f(x) 在定义域(0, +∞) 上

是增函数, 只需h(x) ≥0在(0, +∞) 上恒成立. 由题意p>0, h(x) =px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线, 对称轴为x=∈(0, +∞) ,

∴h(x) min=h=p-, 只需p-≥0, 即p≥1,

∴要使f(x) 在定义域(0, +∞) 上是增函数, 只需p≥1.

∴正实数p的取值范围是[1, +∞) . (12分) 48. (1) 由△OMF是等腰直角三角形得b=1, a=b=,

故椭圆方程为+y2=1. (4分)

(2) 假设存在直线l交椭圆于P, Q两点, 且F为△PQM的垂心, 设P(x1, y1) , Q(x2, y2) , 因为M(0, 1) , F(1, 0) , 故kMF=-1, 故直线l的斜率k=1. (7分) 于是设直线l的方程为y=x+m,

由得3x2+4mx+2m2-2=0.

由题意知Δ>0, 即m2<3, 且x1+x2=-, x1x2=. (9分)

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由题意应有2=0, 又=(x1, y1-1) , =(x2-1, y2) ,

故2x1x2+(x1+x2) (m-1) +m2-m=0,

23-m(m-1) +m2-m=0, 解得m=-或m=1.

经检验, 当m=1时, △PQM不存在, 故舍去m=1;

当m=-时, 所求直线y=x-满足题意. 综上, 存在直线l, 且直线l的方程为3x-3y-4=0. (12分) 49. (1) 由已知得f '(x) =1+

-=

=

, x>0. (2分)

当a-1≤0, 即a≤1时, f(x) 在(0, 1) 上递减, 在(1, +∞) 上递增, 无极大值;

当0, 即1时, f(x) 在(0, a-1) 上递增, 在(a-1, 1) 上递减, 在(1, +∞) 上递增, 所以f(x) 在x=a-1处取极大值;

当a-1=1时, 即a=2时, f(x) 在(0, +∞) 上递增, 无极大值; 当a-1>1, 即a>2时, f(x) 在(0, 1) 上递增, 在(1, a-1) 上递减, 在(a-1, +∞) 上递增, 故f(x) 在x=1处取到极大值.

综上所述, 当a≤1或a=2时, f(x) 无极大值; 当1时, f(x) 的极大值点为x=a-1; 当a>2时, f(x) 的极大值点为x=1. (6分)

(2) 在上至少存在一点x0, 使f(x0) >e-1成立,

等价于当x∈

时, f(x) max>e-1.

由(1) 知, ①当a≤1+时,

函数f(x) 在上递减, 在[1, e]上递增,

∴f(x) max=max.

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∴要使f(x) max>e-1成立, 必须使f>e-1成立或f(e) >e-1成立.

由f=-(a-1) e+a>e-1, 解得a<.

由f(e) =e--a>e-1, 解得a<1.

∵<1, ∴a<1. (10分) ②当a≥1+e时, 函数f(x) 在∴f(x) max=f(1) =2-a≤1-e. 上递增, 在[1, e]上递减.

综上所述, 当a<1时, 在

上至少存在一点x0, 使f(x0) >e-1成立. (12分)

失分警示: (1) 在(1) 中忽略讨论a-1=1的情形; (2) 没有将?x0∈点点到定点

, 使得f(x0) >e-1, 转化为f(x) max>e-1. 50.解法一：（Ⅰ）因为动的距离与到定直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为

即曲线的方程为．???4分

（Ⅱ）假设是直角三角形，不妨设，

则，则.

设，，，必有，，

则，，

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所以． 又， 则

所以，

所以，

又，，

所以，

所以，

整理得???????????8分

又,

所以.

又，

所以.

所以，

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所以，即．

所以，①

又，

] 所以，

整理得即．② 由①②得，所以．③

设，则有，

则．

所以无解，

所以方程③无解，所以假设不成立，

所以△ABC不可能是直角三角形．???????12分 解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设，，，由，

得，．

当轴时，，，从而，，

即点的坐标为．

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由于点在上，所以，即，

此时，，，

所以,

很明显此时△ABC不可能是直角三角形．????8分

当与轴不垂直时，

设直线的方程为：，代入，

整理得：，则． 假设，则直线的斜率为，同理可得：．

由，得，，．

由，可得．

从而，

整理得：，即，①

设，则，

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则．

所以方程所以方程①无解，

无解， 所以假设不成立，不可能是直角.

同理可证和也不可能是直角，

综合得可知不可能是直角三角形．???????12分 51.解法一：（Ⅰ），

所以函数的图象在点处的切线斜率=10，

解得．???????4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

令．

因为，，

所以在至少有一个根．

又因为，

所以在上递增，

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所以函数在上有且只有一个零点，

即方程有且只有一个实根．??????? 7分

（Ⅲ）证明如下：

由，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

即．??????? 8分

记

，

则．

（1）当，即时，，

对一切成立，

即此时在上是增函数．

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又，

所以当时，，当时，，

即此时存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．?????? 12分

（2）当，即时，

当时，；

当时，；

当时，．

所以函数在上是减函数，在上是增函数．

又，

所以当时，；当时，，

即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.

即此时不存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切

线的两侧．??????? 13分

（3）当，即时，

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当时，；

当时，； 当时，．

此时在上是增函数，在上是减函数． 由（2）知，

所以当时，；当时，，

即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．

即此时不存在点线的两侧．

，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切综上所得，存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．??????? 14分 解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

方程，即为，也就是，

在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，如图所示.

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