2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)

数学（理科）试题A 第 1 页 共 17 页 试卷类型：A

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学

（理科）

2012.3

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写

在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改

液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多

涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()2222121n s x x x x x x n ??=-+-+???+-????，其中12n x x x x n

+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为

A ．2-

B ．1-

C ．0

D ．2 2．已知全集U =R

，函数y =的定义域为集合A ，函数()2lo g 2y x =+的定义域为集合B ，则

集合()U A B = e

A ．()2,1--

B ．(]2,1--

C ．(),2-∞-

D ．()1,-+∞

3．如果函数()s in 6f x x ωπ??=+

???()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为

A ．3

B ．6

C ．12

D ．24 4．已知点()P a b ，（0a b ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20a x b y r ++=，那么直

线l 与圆O 的位置关系是

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．不确定

数学（理科）试题A 第 2 页 共 17 页

5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ?=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，

则?a b 的值为

A ．8-

B ．6-

C ．8

D ．6

7．在△A B C 中，60A B C ∠=

，2A B =，6B C =，在B C 上任取一点D ，使△A B D 为钝角三角形的

概率为 A ．

16

B ．

13

C ．

12

D ．

23

8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的

坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72

D ．42

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分

（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．

10．已知()2

11d 4k x x +?2≤≤，则实数k 的取值范围为 ．

11．已知幂函数()2

2

6

57m y m m x

-=-+在区间()0,+∞上单调递增，

则实数m 的值为 ．

12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，

则实数a 的取值范围为 ．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小

石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，

被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作

312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．

5

12

1

22

图2

图1 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

数学（理科）试题A 第 3 页 共 17 页

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5c m ，点P 是弦A B 的中点，

3O P =c m ，弦C D 过点P ，且

13

C P C D

=，则C D 的长为 c m ．

15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的

参数方程分别为l ：1,

1x s y s =+??=-?（s 为参数）和C ：2

2,x t y t

=+??=?（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则A B = ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数()ta n 34f x x π?

?

=+

???

． （1）求9f π??

???的值； （2）设3,

2απ??∈π ??

?，若234f απ??+= ???，求c o s 4απ?

?- ???

的值．

17．（本小题满分12分）

如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中

的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．

已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．

（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．

（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）

如图5所示，在三棱锥ABC P -

中，A B B C ==

平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，

1A D =，3C D =

，P D =

．

（1）证明△PBC 为直角三角形；

（2）求直线A P 与平面PBC 所成角的正弦值．

图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5

B

P

A

C

D

图3

数学（理科）试题A 第 4 页 共 17 页

19．（本小题满分14分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2

322a a =．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()

25

2123n n n b a n n +=

++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆2

2

14

y

x +

=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，

的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线A P 与椭圆相交于另一点T ．

（1）求曲线C 的方程；

（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ?=；

（3）设T A B ?与P O B ?（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且P A P B uur uur

g ≤15，求22

12

S S -的取值范围．

21．（本小题满分14分）

设函数()e x

f x =(e 为自然对数的底数)，2

3

()12!

3!

!

n

n x

x

x

g x x n =+++

++

L （*

n ∈N ）．

（1）证明：()f x 1()g x ≥；

（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；

（3）证明：()1

2

3

222211e 2341n

n g n ????????+++++< ? ? ? ?+????????

≤L （*

n ∈N ）

．

数学（理科）试题A 第 5 页 共 17 页

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15

题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．

93 10．2

,23??

?

???

11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15

三、

解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π??

?

??

ta n 34ππ??=+ ???……………………………………………………………………………1分 ta n

ta n 3

4

1ta n

ta n

34

ππ

+=

ππ-…………………………………………………………………………3分 2=

=--

………………………………………………………………………4分 （2）解：因为3ta n 3

444f ααπππ???

?+

=++

? ?????

………………………………………………………………5分 ()tan α=+π……………………………………………………………………6分 tan 2α==．……………………………………………………………………7分

所以

s in 2c o s αα

=，即sin 2co s αα=． ①

数学（理科）试题A 第 6 页 共 17 页

因为22

sin co s 1αα+=， ② 由①、②解得2

1c o s 5

α=

．………………………………………………………………………………9分

因为3,

2απ??

∈π ?

?

?

，所以c o s 5α=-

，s in 5α=-10分 所以c o s 4απ??-

?

?

?c o s c o s sin sin 44

ααππ

=+ ………………………………………………………11分

5

25210?=-

+-?=- ??

．……………………………………12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得

11(87899696)(87909395)4

4

a ?+++=

?++++，……………………………1分

解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分

所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()2222

2

1

879293929392959294s ??=

-+-+-+-=?

?.

……………………………5分

（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416?=种可能的结果．……………6分

所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分 由表可得1(0)16P X ==

，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16

P X ==

，3(6)16

P X ==

，1(8)16

P X ==

，2(9)16

P X ==

.

所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为

……………………10分

数学（理科）试题A 第 7 页 共 17 页

1214230123461616

16

16

16

16

E X =?

+?+?

+?

+?

+?

128916

16

+?

+?

…………………………11分

681716

4

==

.…………………………………………………………………………………………12分

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面P A C 平面A B C A C =， P D ?平面P A C ，AC PD ⊥，

所以P D ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分

记AC 边上的中点为E ，在△A B C 中，A B B C =，所以AC BE ⊥．

因为A B B C ==

4=AC

，所以

B E =

=

=

3分

因为P D ⊥AC ，所以△P C D

为直角三角形． 因为P D =3C D =，

所以

P C =

=

=．………4分

连接B D ，在R t △B D

E 中，因为B E =1D E =，

所以

B D =

=

=

5分

因为P D ⊥平面ABC ，B D ?平面ABC ，所以P D ⊥BD ． 在R t △P

B D 中，因为P

D =B D =

所以

P B =

=

=

6分

在PBC ?

中，因为B C =

P B =P C =

所以2

2

2

B C P B P C +=．

所以PBC ?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面P A C I 平面A B C A C =， P D ?平面P A C ，AC PD ⊥， 所以P D ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分 记AC 边上的中点为E ，在△A B C 中，因为A B B

C =，所以AC BE ⊥． 因为A B

B C ==

4=AC

，所以B E =

=

=

3分

连接B D ，在R t △B D E 中，因为

90B E D ∠=o

，B E

=，1D E =，

所以B D =

=

=

4分

在△B C D 中，因为3C D =

，B C =

B D =

所以2

2

2

B C B D C D +=，所以B C B D ⊥．……………………………………………………………5分 因为P D ⊥平面ABC ，B C ?平面ABC ，

所以B C P D ⊥．…………………………………………………………………………………………6分

B

P

A

C

D

E

数学（理科）试题A 第 8 页 共 17 页

因为B D P D D = ，所以B C ⊥平面P B D ．

因为P B ?平面P B D ，所以B C P B ⊥．

所以PBC ?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分

（2）解法1：过点A 作平面P B C 的垂线，垂足为H ，连P H ，

则A P H ∠为直线A P 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分

由（1）知，△A B C

的面积12

A B C S A C B E ?=

??=．…………………………………………9分

因为P D =

13

P A B C A B C V S P D -?=

?

?13

3

=

?=

10分

由（1）知PBC ?

为直角三角形，B C =

P B =

所以△P B C

的面积1132

2

P B C S B C P B ?=

??=

?=．……………………………………11分

因为三棱锥A P B C -与三棱锥P A B C -的体积相等，即A P B C P A B C V V --=，

即1

33

3A H ??=

，

所以3A H =12分

在R t △P A D

中，因为P D =1A D =，

所以

2A P =

=

=．………………………………………………………13分

因为3s in 2

3

A H A P H A P

∠=

==

所以直线A P 与平面PBC

3

．…………………………………………………14分

解法2：过点D 作D M A P ∥，设D M P C M = ，

则D M 与平面PBC 所成的角等于A P 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分

由（1）知B C P D ⊥，B C P B ⊥，且P D P B P = ，

所以B C ⊥平面P B D

．

因为B C ?平面P B C ，

所以平面P B C ⊥平面P B D ．

过点D 作D N P B ⊥于点N ，连接M N ，

则D N ⊥平面P B C ．

所以D M N ∠为直线D M 与平面PBC 所成的角．……10分 在R t △P A

D 中，因为P D =1A D =，

所以

2A P =

=

=．………………………………………………………11分

B

P A C

D

M N

数学（理科）试题A 第 9 页 共 17 页

因为D M A P ∥，所以D M C D A P

C A

=

，即

32

4

D M =

，所以32

D M =

．………………………………12分

由（1

）知B D =

，P B =

P D =

所以2

P D B D

D N P B

?=

=

=

．……………………………………………………………13分

因为2s in 33

2

D N D M N D E

∠=

=

=

，

所以直线A P 与平面PBC

所成角的正弦值为

3

．…………………………………………………14分

解法3：延长C B 至点G ，使得B G B C =，连接A G 、P G ，……………………………………8分 在△P C G

中，P B B G B C ===

所以90C P G ∠=o

，即C P P G ⊥．

在△P A C

中，因为P C =2P A =，4A C =

，

所以222

P A P C A C +=， 所以C P P A ⊥． 因为P A P G P =I ，

所以C P ⊥平面P A G ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作A K P G ⊥于点K ， 因为A K ?平面P A G ， 所以C P A K ⊥． 因为P G C P P =I ，

所以A K ⊥平面P C G ．

所以A P K ∠为直线A P 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，B C P B ⊥， 所以P G P C ==．

在△C A G 中，点E 、B 分别为边C A 、C G 的中点，

所以2A G B E ==12分 在△P A G 中，2P A =，A G =P G =

所以2

2

2

P A A G P G +=，即P A A G ⊥．……………………………………………………………13分

因为sin 3

A G A P K P G

∠=

==

．

B

P

A

C

D

E

G

K

数学（理科）试题A 第 10 页 共 17 页

所以直线A P 与平面PBC

3

．…………………………………………………14分

解法4：以点E 为坐标原点，以E B ，E C 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系

E x y z -，…………………………………………………………………………………………………8分

则()0,2,0A -

，)0,0B

，()0,2,0C

，(

0,P -．

于是(

0,1,

A P =

，P B =

-

，(0,3,P C =

设平面P B C 的法向量为(),,x y z =n ，

则0,0.

P B P C

??=???=?? n n 即0,30.

y y +-=-=?? 取1y =，则z =x =

所以平面P B C 的一个法向量为=

n ．……………………………………………………12分

设直线A P 与平面PBC 所成的角为θ，

则s in c o s 3

A P A P A P θ?=<>===?

n ,n n

．

所以直线A P 与平面PBC 3

．…………………………………………………14分

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点E 为坐标原点，以E B ，E C 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系

E x y z -，…………………………………………………………………………………………………1分

则)0,0B

，()0,2,0C ，(

0,P -．

于是(

1,

B P =-

，(

)

2,0B C =

．

因为(

(

)

2,00B P B C =-=

，

所以B P B C ⊥ ．

所以B P B C ⊥．

所以PBC ?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分

A

A

数学（理科）试题A 第 11 页 共 17 页 （2）由（1）可得，()0,2,0A -．

于是(0,1,A P =

，P B =-

，(0,3,P C = ． 设平面P B C 的法向量为(),,x y z =n ，

则0,0.P B P C ??=???=?? n n

即0,30.

y y +-=-=??

取1y =

，则z =

x =

所以平面P B C

的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分 设直线A P 与平面PBC 所成的角为θ，

则s in c o s 3A P A P A P θ?=<>===?

n ,n n

． 所以直线A P 与平面PBC

3．…………………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有

45323

224,22.a a a a a +?=???=?即3452322,2.a a a a a =+???=??……………………………………………………………………2分 所以234

111222112,2.

a q a q a q a q a q ?=+??=??………………………………………………………………………………3分 由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ?=????=??或11,21.a q ?=???=-?……………………………………………………5分 又10,0a q >>，所以111

,22a q ==，…………………………………………………………………6分

所以数列{}n a 的通项公式为12n n a ??= ???

（*n ∈N ）．…………………………………………………7分

（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=?++()()251

21232n n n n +=?++．………………………………8分

数学（理科）试题A 第 12 页 共 17 页 所以21

1

21232n n b n n ??=-? ?++?? 11

1(21)2(23)2n n n n -=-++．…………………………………………………………………10分

所以12n n S b b b =+++L

()()21111111

3525272212

232n n n n -??????=-+-++-?? ? ????++??????L ()1

13232n n =-+．

故数列{}n b 的前n 项和()11

3232n n S n =-+．………………………………………………………14分

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分

设双曲线C 的方程为2221y

x b -=()0b >，

1=2b =．

所以双曲线C 的方程为2

214y x -=．……………………………………………………………………3分

（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线A P 的斜率为k （0k >），

则直线A P 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分

联立方程组()221,

1.4

y k x y x ?=+??+=??………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k

+++-=， 解得1x =-或2

244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分

数学（理科）试题A 第 13 页 共 17 页

同理可得，212

44k x k

+=

-．…………………………………………………………………………………7分

所以121x x ?=．……………………………………………………………………………………………8分

证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111

A P y k x =

+，221

A T y k x =

+．…………………………………………………………………………4分

因为A P A T k k =，所以

12121

1

y y x x =

++，即

()

()

2

2

1

2

2

2

12

11y y x x =

++．……………………………………5分

因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以2

2

1114

y x -

=，2

2

2214

y x +

=．

即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分 所以

()

()

()

()

2

2

12

2

2

12414111x x x x --=

++，即

1212111

1

x x x x --=

++．……………………………………………………7分

所以121x x ?=．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线A P 的方程为11(1)1

y y x x =

++，………………………………………4分

联立方程组()11

22

1,11.4

y y x x y x ?

=+?

+???+=??…………………………………………………………………………5分

整理，得222222

111114(1)24(1)0x y x y x y x ??++++-+=??

， 解得1x =-或22112

2

11

4(1)4(1)x y x x y +-=

++．…………………………………………………………………6分

将22

1144y x =-代入22112

2

11

4(1)4(1)x y x x y +-=

++，得1

1x x =

，即21

1x x =

．

所以121x x ?=．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），

则()111,P A x y =--- ，()111,P B x y =--

．

数学（理科）试题A 第 14 页 共 17 页

因为15P A P B ?≤

，所以()()21111115x x y ---+≤，即22

1116x y +≤．…………………………9分

因为点P 在双曲线上，则2

2

1114

y x -

=，所以22114416x x +-≤，即2

14x ≤．

因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分 因为1221||||||2

S A B y y =

=，21111||||||2

2

S O B y y =

=

，

所以()()2

2

2

22

22

2

12212

1121441544

S S y y x x

x x -=-

=---=--．……………………………11分

由（2）知，121x x ?=，即21

1x x =

．

设2

1t x =，则14t <≤，

22

1245S S t t

-=--

．

设()45t t

f t =--

，则()()()

2

2

2241t t f t t

t

-+'=-+

=

，

当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，

所以当4t =，即12x =时，()

()22

12m in

40S S f

-==

．……………………………………………12分

当2t =

，即1x =

()

()

2

2

12

m a x

21S S f

-==．………………………………………………13分

所以22

12S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分

说明：由()2

2

2

2

1212

12

54541S S x x x x -=-+≤-=，得()

2

2

12m a x

1S S -=，给1分．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）证明：设11()()()1x

x f x g x e x ?=-=--，

所以1()1x

x e ?'=-．………………………………………………………………………………………1分

当0x <时，1()0x ?'<，当0x =时，1()0x ?'=，当0x >时，1()0x ?'>．

数学（理科）试题A 第 15 页 共 17 页 即函数1()x ?在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分

因为1(0)0?=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ??=≥． 即1()()0f x g x -≥，

所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分

（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分

用数学归纳法证明如下：

①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．

②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分

令()()()k k x f x g x ?=-，11()()()k k x f x g x ?++=-，

因为对任意的正实数x ，()()11()()()k k

k x f x g x f x g x ?++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ?+'=->．…………………………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ?++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ??++>， 因为1(0)0k ?+=，所以1()0k x ?+>．

从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->．

即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．

这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +． 由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分

（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．

由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．

所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分

再证对任意正整数n ，()1232222112341n

n g n ????????+++++≤ ? ? ? ?+???????? 111112!3!!n =+++++ ．

数学（理科）试题A 第 16 页 共 17 页

要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!n

n n ??

≤ ?

+??

成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2n

n n +??

≤ ???

（*）成立．……………………………………10分

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：

方法1（数学归纳法）：

①当1n =时，1

111!2+??≤ ???

成立，所以不等式（*）成立．

②假设当n k =（*

k ∈N ）时，不等式（*）成立，

即1!2k

k k +??

≤ ???．………………………………………………………………………………………11分

则()()()1

111!1!1222k k k k k k k k +++????

+=+≤+= ? ?

????

．

因为

1

1

1

1

01

1

11

1

1

2211121C C C 2111

112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++??

?+???

???

??==+=+++≥ ? ?

?++++???

???

+?? ???

，…12分

所以()1

1

121!222k k k k k ++++??

??+≤≤ ?

???

??

．……………………………………………………………13分

这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n ，不等式()1

2

3

222211e 2341n

n g n ????????

+++++≤< ? ? ? ?+????????

成立．

……………………………………14分

方法2（基本不等式法）：

12n +≤

，……………………………………………………………………………………11分

1

2

n +≤

，

……，

12

n +≤

，

将以上n 个不等式相乘，得1!2n

n n +??

≤ ???

．……………………………………………………………13分

所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．

数学（理科）试题A 第 17 页 共 17 页 综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341n n g n ????????+++++≤< ? ? ? ?+??

?????? 成立． ……………………………………14分

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