2005年GCT考试真题参考答桉（数学）

2005年在职攻读硕士学位全国联考A研究生研究生入学资格考试试卷

第二部分 数学基础能力测试（答案） （25题，每题4分，共100分）

1.

1??1??1??1??1??1??1??1??1?1?1?1?1?1?1?1?????????????????2??3??4??5??6??7??8??9?? 的值是（ ）。0.1?0.2?0.3?0.4?0.5?0.6?0.7?0.8?0.9A.

281 B.

29 C.

92 D.

812?19

1?2?3?4?5?6?7?8?91092分析：分子?确选项为A。

1234567823456789，分母??，所以正

2.设p为正数，则x?px?99?( )。

2（x?9）(x?11) B. （x?9）(x?11) A.

（x?9）(x?11) D. （x?9）(x?11) C.

分析：由于(x?9)(x?11)?x2?20x?99，(x?9)(x?11)?x2?2x?99，(x?9)(x?11)?x22根据题意便知正确选项?2x?99，(x?9)(x?11)?x?20x?99，

为C。

3.在四边形ABCD中对角线AC，BD垂直相交于O点。若AC=30，BD=36，则四边形ABCD的面积为（ ）。

A.1080 B.840 C.720 D.540

D

A C

分析：

1212B

如图，易知四边形ABCD的面积等于?ABD与?CBD的面积之和，其值为

AC?BD??30?36?540，即正确选项为D。

4.某项工程8个人用35天完成了全工程量的

13，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程

还需要的天数是（ ）。

A.18 B.35 C.40 D.60

分析：设完成剩余的工程还需要的天数是x，则8?35?项为C。

5.已知x?y?5且z?y?10，则x?y?z?xy?yz?zx?( )。 A.50 B.75 C.100 D.105 分

x222212(8?6)x，故x?40，即正确选

析

?y2：

?z2由于

x?y?5,z?y?1012[(x?y)2，

2所以

2z?x?5，从而

?xy?yz?zx??(z?y)故正确选项为B。 ?(z?x)]?75，

6.2005年，我国甲省人口是全国人口的c%，其生产总值占国内生产总值的d%；乙省人口是全国人口的e%，其生产总值占国内生产总值的f%，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ）。 A.

cdef B.

cedf C.

cfde D.

decf

分析：设全国人口为p，国内生产总值为h，则甲省人均生产总值为

dhcp，乙省人均生产总

值为

fhep，所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是

decf，即正确选项为D。

7.复数z?(1?i)的模z?( )。 A.4 B.222 C.2 D. 2 2分析：因为1?i?2，所以(1?i)2?1?i?2，即正确选项为C。

8.三个不相同的非0实数a,b,c成等差数列，又a,c,b恰成等比数列，则A.4 B.2 C.-4 D.-2

ab等于（ ）。

ac2acc2c分析：根据条件可知2b?a?c,c2?ab，从而?()，2???()?，由于

bbbbbbcb?1，所以

cbab??2，?0，

abcb?4，即正确选项为A。 ?0及2?ab?cb注：本题根据可直接用排除法得到正确选项A。

9.任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）。

A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

分析：当所取正整数的各位数是2或8时，其平方数的末位数字就是4，所有正整数的各位

数只有1，2，3，4，5，6，7，8，9，0等十种可能，所以要求的概率是正确选项为B。

10.一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如右图所示（单位：分米）。若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。

A.6 B.8 C.12 D.16

?2?分析：甲容器的容积是，乙容器的容积是，所以若用甲容器取水注满乙容器，则至

123210?0.2，即

少要注水8次，即正确选项为B。

11.在?ABC中，AB=10，AC=8，BC=6。过C点以C到AB的距离为直径作一圆，该圆与AB有公共点，且交AC于M，交BC于N，则MN等于（ ）。 A. 334 B. 445 C. 712 D. 1313

分析：

Ｂ Ｍ Ｐ

如图，根据条件可知?ACB是直角三角形，由于ＣＰ是圆的直径，所以圆周角ＣＭＰ和ＣＮＰ都是直角，从而ＭＮ和ＣＰ都是正方形ＭＣＮＰ的对角线，所以

MN?CP?8?610?445Ｃ Ｎ Ａ

，故正确选项为Ｂ。

212.已知a?0,cos??a?12a12，则cos???????。 ?的值是（ ）

6?A. ?32 B. ?12 C.

a2 D.

32

a2分析：由于当a??1时，

?12a?1，这与cos???12a矛盾，所以a??1,cos???1，

从而cos(???6)??32，即正确选项为Ａ。

13.已知p为反比例函数y?2x图像上的一点，过p分别作两坐标轴的平行线，交Ox轴

于M，交Oy轴于N，则?MPN的面积为（ ）。

A.

2 B.1 C.

22 D.

24

分析：

Ｎ Ｐ Ｍ

如图，?MPN的面积为

12x?2x?22，即正确选项为C。

14.设一个圆的圆心为p?6,m?，该圆与坐标轴交于A?0,?4?，B?0,?12?两点，则p到坐标原点的距离是（ ）。 A.2

13 B.8 C.10 D.102 12分析：由于AB是圆的一条弦，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，从而

m?(?4?12)??8。

p到坐标原点的距离是62?(?8)2?10，即正确答案为C。

15.已知tan??1，若圆?x?cos?22?2??y?sin??2?1的圆心在第四象限，则方程

。 xcos??ysin??2?0的图形是（ ）A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 分析：由于圆

?x?cos?2?2??y?sin?2?2?1的圆心在第四象限，所以

cos??0,sin??0，从而xcos??ysin??2?0的图形是一个椭圆，即正确选项

为B。 16.设函数f?x?的定义域是?0,1?，则函数

1?x?f?1?cos?x?的定义域是（ ）。

g?x??1?x?f?sin?x??A. x?1 B. 0?x?1 C. x?0.5 D. 0.5?x?1

?1?x???1?x?分析：考虑??0?sin?0?1??0,0,?x?1,cos?x?1??1?x?1,?得?0?sin?x?1,解得0.5?x?1。即正确选项为D。 ??1?cos?x?0,?17.函数f?x??xx?x?1??x?2?在???,???上有（ ）。

A. 1条垂直渐进线，1条水平渐进线 B. 1条垂直渐进线，2条水平渐进线 C. 2条垂直渐进线，1条水平渐进线 D. 2条垂直渐进线，2条水平渐进线 分析：因为limf(x)??,limx?1x?2f(x)??,limx???f(x)?1,limx???f(x)??1，所以曲线

y?f(x)在???,???上有2条垂直渐进线，2条水平渐进线。即正确选项为D。

18.设f?1?2f在点处可导，且。 xx?0??????n?1,2,3,??,则f??0?=（ ）?n?nA.0 B.1 C.2 D.3 分析：因为f?x?在点x?0处可导，所以其在点x?0处连续，从而

1f()?f(0)12n?2。即正确选项为C。 f(0)?limf()?lim?0，f?(0)?lim1nn??n??n??nn19.若f?x?的二阶导数连续，且limf???x??1，则对任意常数a必有

x???x???lim????f??x?a??f。 ???x=（ ）

A. a B.1 C.0 D. af???a?

分析：根据微分中值定理可知，存在介于x和x?a之间的?使得

f?(x?a)?f?(x)?f??(?)alimx???。

limx???由于

x???lif???xm??，所1以

[f?(x?a)?f?(x)]?2f??(?)a?a。即正确选项为A。

20.设xlnx是f。 ?x?的一个原函数，则不定积分?xf?(x)dx=（ ）

A.

232xlnx?2319x?C B. 2x?xlnx?C

2232C. xlnx?x?C D.3xlnx?x?C

分析：由于

f(x)?x?2lnx???2xlnx?x,?22f(x)dx?x2lnx?C，所以

?xf?(x)dx?xf(x)??f(x)dx?xlnx?x?C。即正确选项为C。

21.设连续函数y?f是f且f?0??0，f?a??a，若g?x??x?在?0,a?内严格单调递增，

a?x?的反函数，则?0?f?x??g?x??dx=( )。

2A. fC. 2?a??g2?a? B.

af2?a?

a0?0f?x?dx D. 2?g?x?dx

分析：

a B A y?f(x) a a0如图，根据定积分的几何意义可知：?f(x)dx?A,?0ag(y)dy??0g(x)dxa?B，所以

?0a[f(x)?g(x)]dx?A?B?a2?f2(a)。即正确选项为B。

?0???1??1??0??????????1?10222.设向量?1???，则向量组??1,?2,?3,?4??2???，?3???，?4???，

??1??0??1??1???????????1??0???1??1?的一个极大线形无关组是（ ）。

A. ?3,?4 B. ?1,?2,?3,?4 C. ?1,?2,?3 D. ?1,?2,?4 ?0???1分析：因为?1??0?2?1?101?1011??0???1???1?0??0????1???02?1?201?1?111??0???1???1??0?1?????0?1??2?1001?1011???1?，所以向0???1??量组??1,?2,?3,?4?的一个极大线形无关组是?1,?2,?4。即正确选项为D。

?3?23.设A=2??1??10?11??1，则A的对应于特征值2的一个特征向量是（ ）。 ?2???1????1 C. ???0????10?1?1???A. 0 B.

???1????0???1 D. ????1????1???1 ???0????10?11??1??4??1????????1???1???2??2??1?，?????0?2???0??2????3?分析：因为?2?1??3??2?1??10?11??1??4??1??3????????1??0???3??2?0?，?2?????1??12???1??3?????10?11??0??0??0??3????????1??1????1??2?1?，?2??????1??12????1???3????1??1??2??1????????1??1???2??2?1?，所以A的对应于特?????0?2???0??0????1???征值2的一个特征向量是1。即正确选项为D。

???0???24.已知X为n维单位列向量，X于（ ）。

A. G B.?G C.1 D. En

分析：G2?XXTXXT?X(XTX)XT?XXT?G，即正确选项为A。

T为X的转置，En为单位矩阵，若G=XXT，则G等

2a25.设a,b,c是方程x?2x?4?0的三个根，则行列式b3bcaca的值等于（ ）。 bcA.1 B.0 C.-1 D.-2 分析：根据题意可知

x?2x?4?(x?a)(x?b)(x?c)?x?(a?b?c)x332?(ab?bc?ca)x?abc，

所以a?b?c?0,abc??4，从而

abcbcaca?3abc?ab33?b3?c3?3abc?[(a?2a)?(b3?2b)?(c3?2c)]

??12?(?4?4?4)?0,即正确选项为B。

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