江西财经大学历年微积分2试题

江西财经大学

06-07学年第二学期期末考试试卷

试卷代码：03034A 授课课时：64

课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2006级

试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平 一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）

1.若?f(x)dx?g(x)?c，则?sinxf(cosx)dx?________. 2.极限lim?x0cos2tdtxx?0?________.

3.已知z?xy而x?tan(s?t)，y?cot(s?t)则

4.设D??(x,y)0?x?1,0?y?1? 则??xexyd??________.

D?z?________. ?s5.微分方程y???2y?0的通解为________.

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.设?dx1?x2?________.

1A. arctanx?c B. ln(x?1?x2)?c C. 21?x2?c D. ln(1?x2)?c.

22.下列积分值为0的是________.

??111A. ? B. dx??1x2dx 01?x21?sinx21?xdx. C. ?( D. ?cosx)dx??1??1?x23.函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微的充分条件是函数在该点处________. A.有极限 B.连续 C.偏导数存在 D.有连续的偏导数. 4. ?dx?f(x,y)dy?________.

001xA. ?dy?f(x,y)dx B. ?dy?f(x,y)dx

000011y1C. ?dy?f(x,y)dx D. ?dy?f(x,y)dx .

000y1y115.下列级数收敛的是________.

?n?3nA．?2 B. ?()

n?12n?n?1n?11?n?n第 1 页 共29 页

?n!?12n?C． ???()? D. ?n.

3?n?1?nn?1n?三、（计算题请写出主要步骤及结果，每小题6分，共18分.） 1. ?xedx 2. ?12x4dxx(1?x) 3.请给出第七章（定积分）的知识小结.

四、（请写出主要计算步骤及结果，6分.） 已知方程xy?z?ex?z 确定函数z?z(x,y) 求dz. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

求??ln(1?x2?y2)d?,其中D为圆周x2?y2?1围成的区域.

D六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

求初值问题的解

?dy?(2x?y)dx ??yx?0?0七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求幂级数?(?1)nx的收敛半径，收敛区间.并求?nnn?0?n的和. n3n?0?八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

求由y?x2与x?y2所围成的平面图形的面积，并求此平面图形分别绕x轴，y轴旋转所成的体积.

九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

某厂生产某种产品的生产函数为Q?0.005x2y，若甲、乙两种原料的单价分别为1万元和5万元，现用150万元购原料，求两种原料各购多少时，能使生产量最大？最大生产量为多少？ 十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且有f?(x?M及f(a)?0，试证：

M?2(a?b)2?baf(x)dx

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06-07学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准

试卷代码：03034A 授课课时：64

课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2006级

试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平

一、1.?g(cosx)?c 2.1 3.sec(s?t)cot(s?t)?tan(s?t)csc(s?t)

22 4.e?2 5.y?c1cos2x?c2sin2x 二、1.B 2.C 3.D 4.D 5.D

三、1.

2x2x2xx2xx2xxxxedx?xde?xe?2xedx?xe?2xde?xe?2xe?2e?????dx

?xe?2xe?2e?c2xxx 2. t?xx?t2

2212tdt1t214?2(?)dt?2ln?2ln?2ln?2ln?1t1?t1?t1323t2(1?t)2?4dxx(1?x)1??1

四、F(x,y,z)?xy?z?ex?z

Fx?y?ex?z Fy?x Fz?1?ex?z

Fx?zy?ex?zy?xy?z ?????x?z?xFZxy?z?11?eFy?zxx ??????yFZ1?ex?zxy?z?1dz??z?zy?xy?zxdx?dy?dx?dy ?x?yxy?z?1xy?z?12?1五、??ln(1?x2?y2)d???d??ln(1?r2)rdr

D00211r?212?22212???d??ln(1?r)dr???rln(1?r)??dr? 2000021?r??第 3 页 共29 页

11?2?2121???ln2??ln(1?)dr???ln2??r??ln(1?r) 20001?r????ln2????ln2?2?ln2????(2ln2?1)

六、y??y?2x

?f(?1)dx y?e?2xe?(?1)dxdx?c?

??????x??2xedx?c?

?e??2?xde?c??e??2xe ?exx?xx?x?2?e?xdx?c

???2x?2?cex

因为yx?0?0 所以2?c 所求特解为y?2(e?x?1)

七、R?xann??1 an?1n?1 当x??1时

?n(?1)?n发散

收敛区间为(?1,1) 设S(x)??nxn?0??n?x?nxn?1

n?0 设T(x)??nxn?0n?1

xn0则

?x0T(x)dx??x?0?nxn?0n?1dx??xn?0???xn?n?0?1 1?xT(x)?1

(1?x)2x 2(1?x)所以S(x)?xT(x)?11?n1313?3? x?时 ?n?S()?14433n?03(1?)239第 4 页 共29 页

八、

y （1，1） 0 x

11

0312Vx????x?(x2)2?dx

?0???3 ??

10S??(x?x2)dx???Vy????0??1?y?23?(y2)2?dy??

??102九、解 F(x,y,?)?0.005xy??(x?2y?150) Fx?0.001xy???0

?x?100??2 Fy?0.005x?2??0 ?y?25

F??x?2y?150?0 Q?0.005*100*25? 十、f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a)2a???b

f?(x)?Mf(x)?M(x?a)?ba(x?a)2f(x)dx?M?(x?a)dx?M?a2bba?1M(b?a)2 2?

baf(x)dx??baf(x)dx

?ba2Mf(x)dx?(b?a)2 M?(a?b)22?baf(x)dx

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07-08学年第二学期期末考试试卷

试卷代码：03034A 授课课时：64

课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2007级

试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平 一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）

dz1.已知z?cos(xy)，而y??(x)可导,则?________.

dxf(x)x2.若?2dx??c,则f(x)?________.

1?xx3.p________时，广义积分??n211dx发散. 2p?1(x?1)x2n,x?(??,??),则函数sin2x的麦克劳林级数等于________. 4.若cosx??(?1)(2n)!n?05.微分方程y???ay??y?0的通解为y?c1e?x?c2ex，则a?________.

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）

'1.设z?xexy，则zx=________.

A.xyexy B.x2exy C.exy D.(1?xy)exy . 2.?A.

11?3x13132dx?________.

x3arcsinx?c B. arcsin13?c

C. arcsin3x?c D. arcsin3x?c.

3.下列结论正确的个数是________.

（1）?xdx??xdx （2）e??e?xdx?e?1

0011213?222（3）??20???xcosxdx?0 （4）[?sint2dt]??2xsinx2

1x2A.0 B.1 C.2 D.3. 4.?d??f(rcos?,rsin?)rdr? ________.

01第 6 页 共29 页

A. ?dy?f(x,y)dx B. ?dx?0001111?x201?x20f(x,y)dy f(x,y)dx.

C. ?dx?f(x,y)dy D. ?dy?0001115.微分方程y??y?1的通解是________. A．y?cex B. y?cex?1 C．y?cex?1 D. y?(c?1)ex.

三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.） 1. ?xarctanxdx 2. ?41dxx?x .

四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

已知方程xy?xsinz?yz 确定函数z?f(x,y) ，求dz. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

求??(x?y2)d?,其中D是由直线y?2，y?x及y?2x围成的区域.

D 六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

求由y?x与y?x3所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕x轴旋转所形成的立体的体积. 七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

?2n?1判断级数?的敛散性.

5n?0n?1

第 7 页 共29 页

八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

en求幂级数?(x?1)n的收敛半径，收敛区间.

n?1n?

九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

某工厂生产A、B两种产品，单位成本分别为2元和14元，需求量分别为Q1件和Q2件，价格分别为P1元和P2元，且满足关系式Q1?4(P2?P1)，Q2?80?4P1?8P2，试求A、B两种产品的价格P1，P2，使该厂总利润最大（要求利用极值的充分条件）.

十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.） 设f(x)为连续函数，试证：

?

x0f(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt.

00xt第 8 页 共29 页

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07-08学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准

试卷代码：03034A 授课课时：64

课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2007级

试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平

一、填空题（每小题3分，共15分）

?x?1.?sin[x?(x)][?(x)?x??(x)] 2. ?? 3.p?1

1?x??24.???1?n?1?n?122n?1x2n(2n)!x????,??? 5.0

二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.）

?xarctanxdx??arctanxd1.

12x(1分）2121x2?xarctanx??dx(3分）2221?x121x2?1?1 ?xarctanx??dx(5分）221?x2111?x2arctanx?x?arctanx?c22211?(x2?1)arctanx?x?c(8分）224?2.

4dxx?x1????dxx(1?x)2dx(1?x)4114(2分）(4分）(6分）(8分）1 .

?2ln(1?x)?2ln32四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

第 9 页 共29 页

F?xy?xsinz?yz(1分）Fx??y?sinz，Fy??x?z，Fz??xcosz?yF??zy?sinz??x??xFz?xcosz?yFy??zx?z????yFz?xcosz?ydz?y?sinzx?zdx?dyxcosz?yxcosz?y(5分）(6分）(8分）(4分）

五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

图

2(1分）

y22(x?y)d??dy(x?y)dxy????D02(3分）(5分）(6分） (7分）(8分）1??(x2?xy2)0222yy2dy31??(y2?y3)dy082112?(y3?y4)088??1六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

图

(1分）

10S??(x?x3)dx21?(x2?x4)345?1210310(3分）(4分）(5分）

Vx???[(x)2?x6]dx5?(8分）14七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

2n?1?5limn?1n??(7分）1n32?1 (4分）由比较判别法的极限形式知级数?n?1?1n32,?n?0?2n?1n?15敛散性相同，

第 10 页 共29 页

因为?

n?1

?

1

32

n?1n

八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

n?0,所以??2n?15收敛。(8分）

R?limn??anan?1enn?1?limnn??e?1en?11发散，?n?1n??(4分）

1因为x?1?,e(5分）

1x?1??e(?1)n收敛，?nn?1(6分）

11(8分）所以收敛区间为[1?,1?)。

ee九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

L?PQ11?P2Q2?2Q1?14Q222?8PP?4P?8P1212?184P2?48P1?1120

(2分）?1?8P2?8P?1?48?0?Lp??2?8P1?16P2?184?0??Lp(4分）

解得驻点:P1?P2?

(5分）

(7分）

??????A?LP??8?0,B?LP?8,C?LP??161P11P22P2?(15.75,8.5)2???????LP?LPLP??64?0P121P12P2所以P1?15.75P2?8.5时利润最大。

(8分）

十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.） 设?(x)??f(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt000xxt(1分）

x0则有??(x)??f(t)dt??xf(x)?xf(x)??f(u)du?00x(3分）

即?(x)为常数令?(x)?c0(4分）

0t则?(0)??f(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt?0?c000xxt000(5分）

(6分）

所以有?(x)?0??f(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt

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08-09学年第二学期期末考试试卷

试卷代码：03034B 授课课时：64（考试时间：150分钟） 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2008级

试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平

一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题2分，共14分.） 1.若fx?(x0,y0)，fy?(x0,y0)存在，则函数f(x,y)在点(x0,y0)处________. A.一定可微 B.一定连续 C. 有定义 D.无定义 .

?(1,1)?________. 2.设z?(1?y)xy，则zxA. 2 B. 1 C. 2ln2 D. ln2.

12n?13.设I?lim(2?2??2)，则I?________.

n??nnn11111x?11A. ?dx B. ?2dx C. ?xdx D. ?dx.

0x0x00x4.设f(x)??e?xdx，则?f(x)dx?________.

10x2111A. 0 B. 1 C. e?1 D. (e?1?1).

22sinx5.设f(x,y)?，则f(x,y)在由y?0，y?x及x?1围成的平面区域D上的平均值为

x________.

A.1?cos1 B. 2?2cos1 C.1?sin1 D. 2?2sin1

6.设一阶微分方程的通解是y?ce?x，则此微分方程是________. A. dy?x2ydx?0 B. dy?2xydx?0 C. dy?x2ydx?0 D. dy?2xydx?0.

7. 设y?f(x)是微分方程y???2y??3y?0满足条件y(0)?0,y?(0)?1的特解，则

2?f(x)dx?________.

1111A．y?e?3x?ex?c B. y?e?3x?ex?c

441241111C．y?e?3x?ex D. y?e?3x?ex.

44124二、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题2分，共14分.）

第 12 页 共29 页

1.已知方程xz?lny?lnx确定函数z?f(x,y)，则2.已知f?(x)?sinx，则?f(x)dx?________.

?z?________. ?y?3.若limx?0ax0arctanxdxx2?1,则a?________.

4.???0xe?xdx?_______.

??xn2n?15若e??，则级数?? _______.

n!n?0n!n?2x6.交换二次积分次序?dy?f(x,y)dx??dy?0011y22?y0f(x,y)dx?_______.

7.?2(x2?3x?1)? ________.

三、求下列积分（请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共18分.）

211x2dx 2. ?1.?dx 3.?arctanxdx .

00xx?14?x2

四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

?2Z设函数z?f(x?y,xsiny) ，求dz和.

?x?y 五、（请写出主要计算步骤及结果，6分.）

求由曲线y?x2，直线y?2x所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕y轴旋转所形成的立体的体积. 六、（请写出主要计算步骤及结果，6分.） 求??(x?x2?y2)d?,其中D:x2?y2?1.

D

第 13 页 共29 页

七、判断级数的敛散性，如收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.） 1.?(?1)n?1?n?1?2n(?1)n?1 2.? . 2nn?1n?1

八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

(?1)n求幂级数?n(x?1)n的收敛半径，收敛区间及和函数.

n?1e?

九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

某产品的产量Q与原材料甲，乙，丙的数量x,y，z（单位均为吨）满足 Q?0.05xyz，已知甲，乙，丙的价格分别为3，2，4（单位为百元），若用5400元购买甲，乙，丙三种原材料，问购买量分别是多少，可使产量最大.

十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.） 设函数f(x)是连续函数，证明：

(1)?2a0bf(x)dx??[f(x)?f(2a?x)]dx.0baa

(2)(?f(x)dx)2?(b?a)?f2(x)dx.a

第 14 页 共29 页

江西财经大学

08-09学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准

试卷代码：03034B 授课课时：64

课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2008级

试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平 一、单项选择题（每小题2分，共14分.）

1. C 2.C 3.C 4. D 5.B 6. B 7. B 二、填空题（每小题2分，共14分.） 1. ?1 2.?sinx?c1x?c2 3. ?2 4.1 xy12?xx05. e 6. ?dx?f(x,y)dy7. 2

三、求下列积分（每小题6分，共18分.） 1.

11dx?(2分）?xx?1?(1?t2)t?2tdt1?2?dt

1?t2?2arctant?c(4分）?2arctanx?1?c(6分）2

?20x24?x2dx?x?2sint??20?4sin2t?2costdt??24sin2tdt02cost(2分）??2?2(1?cos2t)dt0(4分）(6分）

1?2(t?sin2t)2?20??3.

?10arctanxdx?xarctanx??=10xdx01?x2110(2分）(4分） .

1?ln(1?x2)42?1??ln242?(6分） 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

第 15 页 共29 页

?z?f1?(x?y,xsiny)?f2?(x?y,xsiny)?siny(2分）?x?z?f1?(x?y,xsiny)?f2?(x?y,xsiny)?(xcosy)(4分）?y?z?zdz?dx?dy?[f1?(x?y,xsiny)?f2?(x?y,xsiny)?siny]dx?x?y?[f1?(x?y,xsiny)?f2?(x?y,xsiny)?(xcosy)]dy?2z?f11??(x?y,xsiny)?xcosyf12??(x?y,xsiny)?f21??(x?y,xsiny)?siny?x?y?xcosysinyf22??(x?y,xsiny)?cosyf2?(x?y,xsiny)(8分）

(6分）五、（请写出主要计算步骤及结果，6分.）

142s??(2x?x2)dx?(x2?x3)0?(3分）0334y1184vy???((y)2?()2)dy??(y2?y3)0??0221232

(6分）六、（请写出主要计算步骤及结果，6分.）

222(x?x?y)d??d?(rcos??r)rdr????D002?1(2分）(4分）

11??(r3cos??r4)10d?0342?11??(cos??)d?0342????2(6分）七、（请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.）

2n?1n?1(?1)un?1(n?1)2(3分）1.因为 lim ?lim?2?1 nn??un??2n(?1)n?12n所以?(?1)n?1?n?12n发散。2n(6分）

(?1)n?1n?12. 因为lim?1,0?1???.

n??1n而?n?1??(?1)n?11发散，所以?发散。nn?1n?1(3分）

第 16 页 共29 页

(?1)n?1111?,lim?0 是交错级数，且满足?n??n?1n?1n?2n?1n?1?(?1)n?1所以?收敛，且为条件收敛。

n?1n?1?(6分）

八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

n?(x?1)nnt??(?1)n 设t?x?1，则?(?1)neen?1n?1?n R?limn??anan?11ne?lim?en??1en?1?n(3分）

?en当t?e,级数?(?1)n??(?1)n发散

en?1n?1?(?e)n??1发散 当t??e,级数?(?1)nen?1n?1?n因此?e?x?1?e, 收敛区间为?1?e?x??1?en(6分）

x?1?(x?1)e??x?1(8分）且?(?1)n ?nx?1ee?1?xn?11?e

九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

?拉格朗日函数为L(x,y,z,?)?0.05xyz??(3x?2y?4z?54)(2分）

?(x,y,z,?)?0.05yz?3??0?Lx?L?(x,y,z,?)?0.05xz?2??0?y由?

?L(x,y,z,?)?0.05xy?4??0z???(x,y,z,?)?3x?2y?4z?54?0?L?解得唯一驻点：x?6,y?9,z?4.5(5分）

(7分）

(8分）

所以购买量分别是6，9，4.5吨时，可使产量最大.

十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）

第 17 页 共29 页

(1)?2a02a0f(x)dx??f(x)dx??0x?2a?t0aa2aaf(x)dxa0?2aaf(x)dx???f(2a?t)dt??f(2a?x)dxf(x)dx??f(x)dx??f(2a?x)dx??[f(x)?f(2a?x)]dx.000aaa

??(3分）(2)设D??(x,y)a?x?b,a?y?b?(?f(x)dx)??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(y)dyaaaaab2bbbb???f(x)f(y)dxdy?D122[f(x)?f(y)]dxdy??2D?112f(x)dxdy?f2(y)dxdy????2D2Dbb1b1b??f2(x)dx?dy??f2(y)dy?dxaa2a2a(b?a)b2(b?a)b2?f(x)dx?f(y)dy??aa22

?(b?a)?f2(x)dxab?(?f(x)dx)2??f2(x)dxaabb(6分）

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江西财经大学

09-10学年第二学期期末考试试卷

试卷代码：03034C 授课课时：64 考试用时：150分钟 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2009级

试卷命题人 杨寿渊 试卷审核人 邹玉仁 一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题2分，共14分.）

1.求z?x2?2x?y2的驻点为_____________________.

2.已知f(x)的弹性函数为x,则f(x)?_______________________. 3.设?(x)?????x??x0xe?tdt，则?'(x)?______________________________.

24.?edx?______________________________.

5.差分方程yt?1?4yt?t的通解为______________________________. 6.函数f(x)?sin2x的麦克劳林级数等于________.

7.微分方程y'?ycosx?cosx的通解为___________________________.

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题2分，共14分.）

1.下列曲面方程中，表示柱面的是______________.

A.x2?2y2?1 B.x2?y2?z C.x2?2y2?z2 D.x2?y2?z .

2.下列函数中，连续但不可微的是________.

?sin(xy), (x,y)?(0,0),?A. f(x,y)??x2?y2 B. z?sin(x2?y2)

?0, x?y?0.??xy, (x,y)?(0,0),?22C. f(x,y)??x?y D.z?(1?xy)exy .

?0, x?y?0.?3.下列说法中正确的是____________.

A.一个二元函数在一点存在极值的必要条件是在该点处一阶偏导数全为0； B.一个一元函数如果存在原函数则一定连续；

C.一个二元函数如果存在一阶偏导数则一定连续；

D．一个二元函数如果存在连续的一阶偏导数则一定可微；

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4.下列广义积分中，收敛的是__________. A.

?11?10lnxdx B.

??1elnxdx C. ??exlnxdx D. ?1xdx

5.下列级数中收敛的是________.

??A. ?sin11n?1n B. ?cosn?1n

??(?1)n?1nnC. ?sinn? D. n?1?n?1(n?1)n. 6.设y1(x), y2(x)是一阶非齐次线性方程y'(x)?p(x)y(x?)f(x的两个不相同的特解，则)y'(x)?p(x)y(x?)f(x的通解是)______________. A. yy1(x)?y2(x) B. 1(x)y C. C(y1(x)?y2(x))?y1(x) D. y1(x)?y2(x) 2(x)7.?10?1?yy?1f(x,y)dxdy? ________. A. ?0x?11x?1?0f(x,y)dxdy??10?1?x0f(x,y)dxdy B. ?0dx?0f(x,y)dy

C. ?1?112?x?10f(x,y)dxdy D. ?0?0f(x,y)dxdy.

三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.） 1. ?1?sinx1?2dx 2. ??cosxdx 3. ?11x3?sin2x?13xdx

四、（请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.）

1.设z?arctanyx，求dz及?2z?2z?x2??y2.

2.求方程y''?y'?y?x的通解。

五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求??xy2dxdy,其中D??(x,y)1?x2?y2?2?.

D

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六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 设D??(x,y)(x?1)2?y2?1, y2?2x, x?2?，求： （1）区域D的面积；

（2）区域D绕y旋转一周所形成的立体的体积.

七、（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共8分.）

xsint?0tdt1.求极限lim

x?0x

?2．求定积分?20ln(1?sinx)dx

ln?1?sinx?cosx?sinxcosx?

八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

1sinxx2n求幂级数?(?1)的收敛区间及和函数，并利用所得结果计算?dx（写成数项级

0x2n?1!??n?0?n数）。

九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

消费者购买商品消费的目的是满足自身的某种欲望或需求，我们称这种从商品消费中获得的满足感为效用（utility），效用数量越多表示消费者从商品消费中获得的满足感越强。效用的多少依赖于消费者所消费的商品量，因此我们把效用视为商品数量的函数，例如某消费者消费X单位A商品和Y单位B商品所获得的效用可表示为

U?U(X,Y), X?0,Y?0.

我们称上面的函数为效用函数，并假设它具有连续的一阶和二阶偏导数，且

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''''''UX?0, UY?0, UXX?0, UYY?0。如果A，B两种商品在市场上的单位售价分别为PX和PY（它

们均为正），该消费者共有a单位货币，则他必须合理地分配自己的货币用于购买这两种商品，以获取最大的效用。这种最优的资金分配方案也可以用商品数量?X?,Y??来等价地表示，即

?X?,Y??是下列条件极值问题的解：

max U(X,Y) （i）

subject to XPX?YPY?a即求效用函数U?U(X,Y)在预算约束XPX?YPY?a下的最大值点。我们构造拉格朗日函数如下：

L(X,Y,?)?U(X,Y)??(XPX?YPY?a), （ii）

试证明：

（1） 如果X?,Y?,??是拉格朗日函数L(X,Y,?)的无条件最大值点，则X?,Y?一定是条件极

????值问题（i）的解；

（2） 如果X?,Y?是条件极值问题（i）的解，则XPX?YPY?a；

（3） 如果X?,Y?是条件极值问题（i）的解，则存在实数??使得X?,Y?,??是拉格朗日函

??????数L(X,Y,?)的驻点。

十、证明题（请写出推理步骤及结果，8分.）

?试证lim

2n??0?sinnxdx?0。

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江西财经大学

09-10学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准

试卷代码：03034C 授课课时：64 考试用时：150分钟 课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2009级

试卷命题人 杨寿渊 试卷审核人 邹玉仁

一、填空题（每小题2分，共14分）

1.(1,0) 2. f(x)?Ce2x 3.1?e?x?1xe?x 2114. 2 5. yt?C4t?t?

392n2n?1?11?n(2x)n?12, ???x?? 或 ?(?1)x2n, ???x?? 6. ??(?1)22n?0(2n)!(2n)!n?17. y?Ce?sinx?1

二、单项选择题（每小题2分，共14分）

1.A 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.A 三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.） 1.

1111dx??dx?1?x2?21?x1?x11?x?ln?C21?x(2分）

(4分）2.

?sinx?cosx1dx??3?sin2x?2??sinx?cosx?2d?cosx?sinx??sinx?cosx?d??22??sinx?cosx??1???2??1?sinx?cosx??arctan?(4分）?22???12?1(2分）(3分） .

3.

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01111(2分）??13xdx???13xdx??03xdxa111 ?lim??3dx?limdx?a?0?1b?0??b3xx33 ???(4分）221 (3分）

四、（请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.） 1.

dz??z?z?yxdx?dy?2dx?dy,?x?yx?y2x2?y2(3分）

(2分）

?2z???y?2xy??,?2222?22?x?x?x?y??x?y??2z??x??2xy??,???y2?x?x2?y2??x2?y2?2从而

(4分）

?2z?2z??0.?x2?y2(6分）

13i，所以其通解为 2. 齐次线性方程y''?y?0的特征方程的根为????22y?e1?x2?33?Csinx?Ccosx??2?122???(5分）

(3分）由待定系数法知非齐次方程有一特解

y??x?1因此非齐次方程的通解为

y?y?y?e?1?x2?33?Csinx?Ccosx??x?1?2?1?22?? (6分）

五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

图

(1分）

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??xydxdy??22?d??rcos??r2sin2??rdr2(3分）D01??2?31cos?sin205?d?(5分）??2?3105sin2?d(sin?)(6分）2??3115sin3?(7分）0?0(8分） 六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

（1）．图

(1分）

S?2?20?2x?2x?x2?dx(2分）?16

3??(4分）（2）.

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1??2?1?Vy?2????4?y2?dy????1?1?y202???1?(6分）2??21?1??y2?dy????4?1?1?y202????2??dy????1?12?1?? ?2???4?y?dy?2???4?y2??41?y2dy102?2???2?11? ?2???4?y2?dy?8??1?y2dy002??40? ??2?2(8分）3

七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 1．解：由洛毕达法则

?xsint?sintdt???0?0tdtt?lim?lim?x?0x?0x1sinx ?limx?0x ?1x'(1分）(3分）(4分）

2.用I表示所求定积分，则

??ln(1?sinx)ln(1?sinx)I??2dx??2dx0ln?1?sinx1?cosx?0ln1?sinx?ln(1?cosx)????????t??x2(5分）

????20ln(1?cost)dtln?1?cost??ln(1?sint)ln(1?cosx)dx,

ln?1?cosx??ln(1?sinx) (6分）???20因此

?ln(1?sinx)ln(1?cosx)2I??2dx??2dx0ln1?sinx?ln(1?cosx)0ln1?cosx?ln(1?sinx)?????? ??20ln(1?sinx)?ln(1?cosx)?dx?,ln?1?cosx??ln(1?sinx)2

I??4. (8分）

八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

?x2n 令un(x)?(?1)，S(x)??un(x)则

(2n?1)!n?0nlimn??un?1(x)(2n?1)!2?limx?0,n??un(x)(2n?3)!(2分）

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因此幂级数S(x)的收敛域为(??,??)。(4分）

注意到

x2n?1xS(x)??(?1)?sinx, ???x???,(2n?1)!n?0?n(5分）

因此幂级数S(x)的和函数为

sinx, ???x???,x由逐项积分公式得 S(x)?1 (6分）?1??sinxx2n?1?1nndx?(?1)dx?(?1).????0x?0?(2n?1)!(2n?2)!n?0?n?0?(8分）

九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）

证明：（1）如果X?,Y?,??是拉格朗日函数L(X,Y,?)的无条件最大值点，则

??0??L??(X?PX?Y?PY?a),???X?,Y?,???(1分）

??从而XPX?YPY?a。此外对于任意满足约束条件XPX?YPY?a的点?X,Y?都有

U(X,Y)?U(X,Y)?(XPX?YPY?a) ?L(X,Y,1)?L?X?,Y?,??? ?U?X?,Y??,

(3分）因此X?,Y?是条件极值问题（i）的解。

??（2）如果

X?PX?Y?PY?a???a,

则令

X1??X???PX,

'?0，必有UX1?,Y??UX?,Y?，但这与X?,Y?于是X1?,Y?也满足预算条件（i），由于UX????????是条件最大值点矛盾，因此必有X?PX?Y?PY?a。

(5分）

（3）由（2）知条件极值问题（i）的解一定是下列条件极值问题的解

max U(X,Y) （iii）

subject to XPX?YPY?a第 27 页 共29 页

由（iii）约束条件解出Y?a?PXX，于是 PYdU?U?U?PX????dX?X?Y?PY??, ?dUdX?0，由此得到

X?如果X?,Y?是（i）的解，则它也是（iii）的解，因此

???U?U?X?X?,Y???Y?X?,Y???,PXPY令???1?U1?U?，则

??PX?X?X?,Y??P?YY?X,Y?(7分）

?L?U???PX?0,

?X?X?,Y?,????X?X?,Y???L?U???PY?0,

?Y?X?,Y?,????Y?X?,Y???L??(X?PX?Y?PY?a)?0.???X?,Y?,???

(8分）

十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）

?证法1：设In??2sinnxdx，首先由于In?In?1?0，limIn存在，不妨设limIn?I。

0n??n??(2分）

其次对任意自然数k?1，

In???k?1?k20sinxdx??n?2k?1?k2sinnxdxk?1?n?k?1??1?sin?,??k2?k2?k2

(4分）因此

?k?1?n?k?1??1???0?I?lim?sin?????2k,n??k2k2k2????由于k的任意性，必有I?0。

证法2：

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(6分）(8分）

?n0?0In??2sinxdx???2sinn?1xd(cosx)??0????sinn?12?(n?1)2sinn?2xcos2xdxxcosx???0

?(n?1)?2sinn?2x?1?sin2x?dx0??(n?1)(In?2?In)因此

(3分）n?1In?2, n?2,n当n?2k时， In? (4分）2k?12k?12k?3I2k?2?I2k?4?2k2k2k?22k?12k?312k?12k?31? ?I0??

2k2k?222k2k?2221??1??1?????1???1???1???, k?12k2k?2?????2?2In?I2k?lnI2kk1??1??ln??ln?1???ln?2????, k??

2i?1?2i?2i?1ik?因此limI2k?0。

k??(6分）

当n?2k?1时，

2k2k2k?2I2k?1?I2k?4?2k?12k?12k?1 2k2k?222k2k?22 ?I1?, k?1.2k?12k?132k?12k?13In?I2k?1?k1?1?lnI2k?1??ln?1??????, k?? ???2i?1?i?1i?12i?1k因此limI2k?1?0。

k??(8分）

综上所述limIn?0。

n??

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