第10 空间向量的坐标运算（教师版）

第10 空间向量的坐标运算(教师版)

基础过关题

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3) (1) a±b＝ (2)

?a＝ ．

(3) a·b＝ ．

(4) a∥b? ；a?b? ． (5) 设A?(x1,y1,z1),B?(x2,y2,z2)

则AB＝ ，AB? ． AB的中点M的坐标为 ．

典型例题

例1. 若a＝(1,5,－1)，b＝(－2,3,5)

（1）若(ka+b)∥(a－3b)，求实数k的值； （2）若(ka+b)⊥(a－3b)，求实数k的值； （3）若ka?b取得最小值，求实数k的值． 解：(1)k??13；

(2)k?1063； (3)k??827

????????????????????????????变式训练1. 已知O为原点，向量OA??3,0,1?,OB???1,1,2?,OC?OA,BC∥OA，求AC．?????????解：设OC?x,y,z?,BC??x?1,y?1,z?2?，

????????∵????????????????????????OC?OA,BC∥OA，∴OC?OA?0，BC??OA???R?，

?3x?z?0,∴??3x?z?0,???x?1?3?,?，即x?1,y?1,z?2????3,0,1?? ???y?1?0,??z?2??.解此方程组，得x??710,y?1,z?2110,??110。

∴?????7????????????OC?,1,21???，AC?OC?OA???3711??10??10,1,?。

10??10?例2. 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1，底面?ABC中，CA＝CB＝1，?BCA?90?，棱AA1?2，M、

N分别A1B1、A1A是的中点．

(1) 求BM的长； (2) 求cos?BA1,CB1?的值； (3) 求证：A1B?C1N． z C1 B1 A 1 N M C B y

A

x

解：以C为原点建立空间直角坐标系O?xyz. (1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．?BM?(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.

(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.

?BA1?(1,?1,2),CB1?(0,1,2),BA1?CB1

?3,BA1?6,CB1?5 ?cos?BA?CB1,CB1??BA11?30.

BA1?CB110(3) 证明：依题意得

C1（0，0，2），N(11112,2,2),?A1B?(?1,1,?2),C1N?(2,2,0).

?A1B?C1N??12?12?0?0,?A1B?C1N

变式训练2. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，

BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离； (2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离． P

· E D C

A B

解：(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(3,

0, 0)、C(

3, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,

12, 1)，依题设N(x, 0, z)，则NE＝(－x,

12, 1－z)，

由于NE⊥平面PAC，

∴???NE?AP?0

??NE?AC?0?1??(?x,?2,1?z)?(0,0,2)?0?z?1?0即

?1???1

?(?x,??3x??0?2,1?z)?(3,1,0)?0?2????x?36，即点N的坐标为(

3?z?6, 0, 1)，

?1从而N到AB、AP的距离分别为1，

36.

(2) 设N到平面PAC的距离为d，则d＝|NA?NE|

|NE|31)?(?3,1＝

|(6,0,62,0)|?13|(?316,2)|12?3?12.

,0例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥P?ABCD中，?ABC?60?,PA?AC?a,PB?PD?2a，点E在

PD上，且PE:ED＝2:1．

P (1) 证明 PA?平面ABCD；

(2) 求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角?的大小； E ．

A D 解：（1）证明略；

（2）易解得??30?； B C 例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.

(1) 求EF和点G的坐标；

(2) 求GE与平面ABCD所成的角； (3) 求点C到截面AEFG的距离．

F 解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， Z E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴EF?(?1,0,1)

G E D 又∵z)，则(－1，0，z)

C y

AG?EF，设G(0，0，＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1) A (2)平面ABCD的法向量DG?(0,0,1).

x B GE?(1,4,2)，设GE与平面ABCD成角为?，则

cos(?DG?GE2??)??221

|DG|?|GE|21∴??arcsin22121

(3)设n0⊥面AEFG，n0＝(x0，y0，z0)

∵n0⊥AG，n0⊥AE，而AG＝(－1，0，1)，AE＝(0，4，3)

∴??x?x?0?z0?0?0?z034y???n0?(z0,?z0,z

?30?3z0?0??y0??4z040)取z0＝4，则n0＝(4，－3，4) ∵CF?(0,0,4),?d?|CF?n0|?1641|n0|41

即点C到截面AEFG的距离为

164141．

变式训练4. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG?13GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．

(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值； (2)求点D到平面PBG的距离；

P 解：(1)以G点为原点，GB、GC、GP为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)， P(0，0，4)，故E(1，1，0)，GE＝(1，1，0)， PC＝(0，

2，

A G F D

4)。cos?GE，PC??GE?PC?2，

|GE|?|PC|2?20?1010B E

C ∴GE与PC所成的余弦值为

1010．

(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) ∵GD?3AD?3BC?3，0)44(?3，22，

∴点D到平面PBG的距离为|GD?n |＝32.

。

归纳总结

对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4)

距离问题；(5) 探索性问题．

运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．

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