课堂新坐标高中数学 进位制教案 新人教版必修3

进位制

(教师用书独具)

●三维目标 1．知识与技能

了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换．

2．过程与方法

学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律．

3．情感、态度与价值观

领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系．

●重点难点

重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换．

难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计．

(教师用书独具)

●教学建议

本节课主要采用演示、讲解和练习三结合的教学方法，教学内容上选用趣味性较强的数字进行举例说明，使学生在学习的过程中随时有新的发现，让他们感觉到原来数字之间还有这么多的联系．这种方法充分体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则．通过具体实例，帮助学生理解十进制与其他进制之间的相互转换；通过练习，使学生进一步巩固所学到的知识．在课堂上让学生带着问题听老师讲解相关的知识，在此过程中，指导学生积极思考所提出的问题；然后布置相应的练习，让学生边学边练，实际操作，自我探索，自主学习，使学生在完成练习的过程中不知不觉实现知识的传递、迁移和融合；最后归纳总结，引导学生提出问题、讨论问题和解决问题，进一步加深对知识的理解和记忆，有助于知识的掌握．

●教学流程

创设问题情境引入问题：二进制，十进制之间怎样相互转化学生自主学习，主动探索二进制与十进制的相互转化

分组讨论、各组展示自己的成果教师总结，强调关键点及注意点通过例1的教学，使学生掌握k进制转化为十进制的方法

???

?通过例2及变式训练使学生掌握十进制转化为k进制的方法?通过例3的学习使学生掌握不同进位制间的相互转化?归纳整理，课堂小结、整体认识进位制间的关系?完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正

(见学生用书第25页)

课标解读 2.掌握不同进位制之间的相互转化．(难点) 1.了解进位制的概念．(重点) 进位制的概念 【问题导思】 十进制使用0～9十个数字，那么二进制使用哪些数字？六进制呢？ 【提示】 二进制使用0～1两个数字，六进制使用0～5六个数字． 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 进位制之间的相互转化 【问题导思】 二进制数110 011(2)化为十进制数是多少？

543210

【提示】 110 011(2)＝1×2＋1×2＋0×2＋0×2＋1×2＋1×2＝51. k进制化为十进制的方法

an·ana0.

－1

·an－2

……a0(k)＝

an×kn＋an－1

×kn－1

＋…a1k＋

(见学生用书第25页)

k进制转化为十进制 将二进制数101 101(2)化为十进制数． 【思路探究】 按二进制化十进制的方法，写成不同位上的数乘以基数的幂的形式，再相加求和．

543210

【自主解答】 101 101(2)＝1×2＋0×2＋1×2＋1×2＋0×2＋1×2＝32＋8＋4＋1＝45.

一个k进制的正整数就是各位数码与k的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1.

5432

例如：230 451(k)＝2×k＋3×k＋0×k＋4×k＋5×k＋1.

将下列各数化成十进制数． (1)11 001 000(2)；(2)310(8)．

【解】 (1)11 001 000(2)＝1×2＋1×2＋0×2＋0×2＋1×2＋0×2＋0×2＋0×2＝200；

210

(2)310(8)＝3×8＋1×8＋0×8＝200. 十进制转化为k进制 (1)将194化成八进制数； (2)将48化成二进制数．

【思路探究】 除k取余→倒序写出→标明基数 【自主解答】 (1)

76543210

∴194化为八进制数为302(8)． (2)

∴48化为二进制数为110 000(2)．

1．将十进制化成k进制的方法：用除k取余法，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数．

2．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．十进制数一般不标注基数．

将十进制数30化为二进制数． 【解】

∴30(10)＝11 110(2).

不同进位制之间的转化 将七进制数235(7)转化为八进制数． 【思路探究】 七进制→十进制→八进制

210

【自主解答】 235(7)＝2×7＋3×7＋5×7＝124， 利用除8取余法(如图所示)．

∴124＝174(8)，

∴235(7)转化为八进制为174(8)．

1．本题在书写八进制数174(8)时，常因漏掉右下标(8)而致误．

2．对于非十进制数之间的互化，常以“十进制数”为中间桥梁，用除k取余法实现转化．

将二进制数1 010 101(2)化为十进制数结果为________；再将该数化为八进制数结果为________．

6543210

【解析】 1 010 101(2)＝1×2＋0×2＋1×2＋0×2＋1×2＋0×2＋1×2＝85.

∴85化为八进制数为125(8)． 【125(8)

答

案

】

85

(见学生用书第26页) 算法案例在实际问题中的应用

(12分)古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内

报告，如图1－3－1所示，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？

图1－3－1

【思路点拨】 观察图形发现中间的烽火台未点火，得出其代表数字为0，其他都为1，由此得出二进制数，再将其转化为实际人数．

【规范解答】 由图易知这组烽火台表示的二进制数为11 011(2)，4分

43210

它表示的十进制数为11 011(2)＝1×2＋1×2＋0×2＋1×2＋1×2＝27，8分 由于十进制数的单位是1 000，故入侵敌人的数目为27×1 000＝27 000.12分

本题将军事知识与进位制之间的转化巧妙结合起来，在将二进制数转化为十进制数后，应明确此数并不是所求敌人的人数，不要忽视题目中条件“单位是1 000”．

把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：

1．必须除到所得的商是0为止；

2．各步所得的余数必须从下到上排列； 3．切记在所求数的右下角标明基数．

(见学生用书第26页)

1．下列各数中可能是四进制数的是( ) A．55 B．32 C．41 D．38

【解析】 四进制数中最大数不超过3，故B正确． 【答案】 B

2．110(2)转化为十进制数是( ) A．5 B．6 C．4 D．7

210

【解析】 110(2)＝1×2＋1×2＋0×2＝6. 【答案】 B

3．把153化为三进制数，则末位数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】 153÷3＝51，余数为0，由除k取余法知末位数为0. 【答案】 A

4．把154(6)化为七进制数．

210

【解】 154(6)＝1×6＋5×6＋4×6＝70.

∴70＝130(7)． ∴130(7).

154(6)

＝

(见学生用书第95页)

一、选择题

1．下列写法正确的是( )

A．858(8) B．265(7) C．312(3) D．68(6)

【解析】 k进制中各位上的数字均小于k，故A、C、D选项错误． 【答案】 B

2．(2013·洛阳高一检测)把89转化为五进制数是( ) A．324(5) B．253(5) C．342(5) D．423(5)

【解析】 故89＝324(5)． 【答案】 A

3．三位五进制数表示的最大十进制数是( ) A．120 B．124 C．144 D．224

【解析】 三位五进制数最大为444(5)，

210

444(5)＝4×5＋4×5＋4×5＝124. 【答案】 B

4．由389化为的四进制数的末位是( )

A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】 ∵

∴389＝12 011(4)，故选C. 【答案】 C

5．下列各数中，最小的数是( ) A．111 111(2) B．75 C．200(6) D．105(8)

543210

【解析】 111 111(2)＝1×2＋1×2＋1×2＋1×2＋1×2＋1×2＝63.

2

200(6)＝2×6＝72.

210

105(8)＝1×8＋0×8＋5×8＝69. 【答案】 A 二、填空题

6．将101 110(2)化为十进制数为________．

543210

【解析】 101 110(2)＝1×2＋0×2＋1×2＋1×2＋1×2＋0×2 ＝32＋8＋4＋2 ＝46.

【答案】 46

7．已知一个k进制数132(k)与十进制数30相等，则k等于________．

22

【解析】 132(k)＝1×k＋3×k＋2＝k＋3k＋2＝30，∴k＝4或－7(舍)． 【答案】 4

8．五进制数23(5)转化为二进制数为________．

10

【解析】 23(5)＝2×5＋3×5＝13，将13化为二进制数13＝1 101(2)． 【答案】 1 101(2) 三、解答题

9．在什么进制中，十进制数71记为47? 【解】 设47(k)＝71(10)，

10

则4×k＋7×k＝4k＋7＝71， ∴k＝16，

即在十六进位制中，十进制71记为47.

10．设m是最大的四位五进制数，将m化为七进制． 【解】 ∵m是最大的四位五进制数， ∴m＝4 444(5)，

3210

∴m＝4×5＋4×5＋4×5＋4×5＝624(10)， ∴

，

∴4 444(5)＝1 551(7)．

11．若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，求正整数a，b.

3

【解】 ∵10b1(2)＝1×2＋b×2＋1＝2b＋9， a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，

∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7， ∵a∈{1,2}，b∈{0,1}， 当a＝1时，b＝1适合，

11

当a＝2时，b＝不适合．

2∴1.

a＝1，b＝

(教师用书独具)

计算机为什么要采用二进制呢？

第一，二进制只有0和1两个数字，要得到表示两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高．例如，电位的高与低，电容的充电与放电，晶体管的导通与截止，等等．

第二，在各种记数法中，二进制运算规则简单，有布尔逻辑代数作理论依据，简单的运算规则使得机器内部的操作也变得简单．

二进制加法法则只有4条： 0＋0＝0,0＋1＝1， 1＋0＝1,1＋1＝10，

而十进制加法法则从0＋0＝0到9＋9＝18，有100条． 二进制的乘法法则也很简单： 0×0＝0,0×1＝0， 1×0＝0,1×1＝1， 而十进制的乘法法则要由一张“九九表”来规定，比较复

杂.

(见学生用书第27页)

算法设计及其应用 1.算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，

它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．

2．对于给定的问题，设计其算法时应注意以下四点

(1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼与概括步骤． (2)将解决问题的过程划分为若干步骤．

(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表述． (4)用简练的语言将各个步骤表达出来．

2

设计一个算法，求方程x－4x＋2＝0在(3,4)之间的近似根，要求精确度为10

－4

，算法步骤用自然语言描述．

【思路点拨】 可以利用二分法的步骤设计算法． 【规范解答】 算法步骤如下；

2

第一步，令f(x)＝x－4x＋2，由于f(3)＝－1<0，f(4)＝2>0，所以设x1＝3，x2＝4.

x1＋x2

第二步，令m＝，判断f(m)是否等于0，若f(m)＝0，则m为所求的根，结束算法；

2

若f(m)≠0，则执行第三步．

第三步，判断f(x1)f(m)>0是否成立，若成立，则令x1＝m；否则令x2＝m.

－4

第四步，判断|x1－x2|<10是否成立，若成立，则x1与x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若不成立，则返回第二步．

已知平面坐标系中两点A(－1,0)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．

－1＋320＋2

【解】 第一步，计算x0＝＝＝1，y0＝＝1，

222

得AB的中点N(1,1)．

2－01

第二步，计算k1＝＝，得AB的斜率．

3－－21

第三步，计算k＝－＝－2得AB垂直平分线的斜率．

k1

第四步，由点斜式得直线AB的垂直平分线的方程．y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0. 程序框图及基本逻辑结构 程序框图是用规定的程序框、流程线及文字说明来准确、直观、形象地表示算法的图形，画程序框图前，应先对问题设计出合理的算法，然后分析算法的逻辑结构，画出相应的程序框图，在画循环结构的程序框图时应注意选择合理的循环变量及判断框内的条件．

1

写出求(共7个3)的值的一个算法，并画出流程图．

13＋

1…＋

3

11

【思路点拨】 引入计数变量i＝1，累加变量x＝，反复执行x＝，用循环结构3x＋3

求解．

1

【规范解答】 第一步，x＝，i＝1.

3

1

第二步，x＝. 3＋x第三步，i＝i＋1.

第四步，如果i＞6，则输出x；否则，返回第二步，重新执行第二步，第三步． 相应算法的流程图如图所示．

在音乐唱片超市里，每张唱片售价20元．商家为了促销，提出以下优惠措施：顾客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按九折收费；如果购买10张以上(含10张)唱片，则按八五折收费．画出根据购买唱片张数计算金额的程序框图．

【解】 收费额y(元)与购买张数x的函数关系

20xx＜，??

x＜，y＝?18x??17xx程序框图如图所示：

算法语句的设计 算法设计和程序框图是程序设计的基础，我们根据算法的三种逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构)，对应五种不同功能的基本算法语句(输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句)，同时兼顾基本语句的格式要求，特别值得注意的是条件语句中条件的表达和循环语句中有关循环变量的取值范围，从而完成程序设计．

图1－1

写出如图1－1所示的程序框图描述的算法的程序．

【思路点拨】 明确各程序框的含义，判断程序框图的结构，写出程序． 【规范解答】 程序如下所示： s＝1 i＝3 DO s＝s*i i＝i＋2

LOOP UNTIL i>99 PRINT s END

设计一个程序，输出落在圆x＋y＝100内且在第一象限的所有整点的坐标，并画出程序框图．

【解】 程序框图如图所示．

2

2

程序： r＝10 x＝1

WHILE x＜r y＝1

WHILE y＜r

IF x^2＋y^2＜r^2 THEN PRINT x，y

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