高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例习题 新人教A版必修1

函数模型的应用实例

一、选择题

1．下图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图；那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系，用下列哪个函数模型拟合最好？

图3-2-7

A ．指数函数：y ＝2t

B ．对数函数：y ＝log 2t

C ．幂函数：y ＝t 3

D ．二次函数：y ＝2t 2

【解析】 结合图象的变化趋势可以看出，红豆生长时间与枝数的关系大约成指数函数关系，故选A.

【答案】 A

2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图3-2-8所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )

图3-2-8

A ．310元

B ．300元

C ．290元

D ．280元

【解析】 设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，

函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，

则?????k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，解得?

????k ＝500，b ＝300， ∴y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300.

∴营销人员没有销售量时的收入是300元．

【答案】 B

3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如

下表：

( )

A ．200

B ．220

C ．240

D ．260

【解析】 由表中数据可以看出，n 与t 的函数关系式为n ＝2t 20，令n ＝1 000，则2t

20＝1 000，而210＝1 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t 最接近200分钟，故答案应选A.

【答案】 A

4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )

【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)．函数为对数函数，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.

【答案】 D

二、填空题

5．(2014·徐州高一检测)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34

，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.301 0)．

【解析】 设至少要洗x 次，则? ????1－34x ≤1100

， ∴x ≥1lg2

≈3.322，所以需4次． 【答案】 4

6．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如下图3-2-9表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min ，那么y ＝f (x )的解析式为________．

图3-2-9

【解析】 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得

y ＝f (x )＝?????115

x （0≤x ≤30），2 （30＜x ＜40），110x －2 （40≤x ≤60）.

【答案】 y ＝f (x )＝?????115x （0≤x ≤30），2 （30＜x ＜40），110x －2 （40≤x ≤60）.

7．(2014·宿迁高一检测)如图3-2-10所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝13，BC ＝3，在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF ，且AE ＝AH ＝CG ＝CF ＝x ，则x ＝________时，四边形EFGH 的面积最大，最大面积为________．

图3-2-10

【解析】 设四边形EFGH 的面积为S ，则

S ＝13×3－2????

??12x 2＋12（13－x ）（3－x ） ＝－2x 2＋16x ＝－2(x －4)2＋32，x ∈(0，3]．

因为S ＝－2(x －4)2＋32在(0，3]上是增函数，

所以当x ＝3时，S 有最大值为30.

【答案】 3 30

三、解答题

8．(2014·茂名高一检测)“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间．假设“学习曲线”符合函数t ＝5log 2? ????N B (B 为常数)，N (单位：字)表示某一英文词汇量水平，t (单位：天)表示达到这一英文词汇量所需要的学习时间．

(1)已知某人练习达到40个词汇量时需要10天，求该人的学习曲线解析式．

(2)他学习几天能掌握160个词汇量？

(3)如果他学习时间大于30天，他的词汇量情况如何？

【解】 (1)把t ＝10，N ＝40代入t ＝5log 2? ????N B ，得10＝5log 2? ??

??40B ， 解得B ＝10.

所以t ＝5log 2? ??

??N 10(N ＞0)． (2)当N ＝160时，t ＝5log 2? ??

??16010＝5log 216＝20(天)． (3)当t ＞30时，5log 2? ??

??

N 10＞30， 解得N ＞640.

所以学习时间大于30天，他的词汇量大于640个．

9．某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图3-2-11所示的曲线．

图3-2-11

(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；

(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．

【解】 (1)由题图得，当t ∈[0，1]时，函数的解析式为y ＝kt ，将M (1，4)代入得k ＝4，∴y ＝4t .

又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝? ??

??12t －a ，

将点(3，1)代入得a ＝3，∴y ＝? ????12t －3. 综上有y ＝f (t )＝?????4t ，（0≤t ≤1），? ??

??12t －3，（t ＞1）.

(2)由f (t )≥0.25，

解得116≤t ≤5.

∴服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝41516

个小时． [能力提升层次]

1．(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )

【解析】 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.

【答案】 C

2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝?????4x ，1≤x ＜10，x ∈N ，2x ＋10，10≤x ＜100，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，

x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )

A ．15

B ．40

C ．25

D ．130

【解析】 若4x ＝60，则x ＝15＞10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．

【答案】 C

3．(2014·温州高一检测)某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：

地震强度(x )和震级(y )的模拟函数关系可以选用y ＝a lg x ＋b (其中a ，b 为常数)．利用散点图可知a 的值等于________．(取lg 2＝0.3进行计算)

图3-2-12

【解析】 由记录的部分数据可知

x ＝1.6×1019时，y ＝5.0，

x ＝3.2×1019时，y ＝5.2.

所以5.0＝a lg (1.6×1019)＋b ①

5．2＝a lg (3.2×1019)＋b ②

②－①得0.2＝a lg 3.2×10191.6×1019，0.2＝a lg 2. 所以a ＝0.2lg 2＝0.20.3＝23

. 【答案】 23

4．设在海拔x m 处大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是y ＝C e kx ，其中C ，k 是常量．已知某地某日在海平面的大气压强为 1.01×105Pa ，1 000m 高空的大气压强为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．

【解】 将x ＝0，y ＝1.01×105，x ＝1 000，y ＝0.90×105分别代入y ＝C e kx ，得 ?????1.01×105＝C e k ·0，0.90×105＝C e 1 000k ，即?????C ＝1.01×105

，0.90×105＝C e 1 000k . 将C ＝1.01×105代入0.90×105＝C e

1 000k ，得 0．90×105＝1.01×105e 1 000k ，即0.9＝1.01e 1 000k .

两边取以e 为底的对数(自然对数)，

得k ＝11 000ln 0.91.01

≈－1.15×10－4， 所以y ＝1.01×105×e －1.15×10－4x .

将x ＝600代入，得y ＝1.01×105×e －1.15×10－4×600≈0.943×105.

答：在600m 高空的大气压强约为0.943×105Pa.

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