《物理学》李寿松 胡经国 主编 习题解答 一到十二章全部答案

全部答案 1

第一章 运动和力

选择题

1－1 下面陈述正确的是 （ C ） (A) 运动物体的加速度越大,速度越大;

(B) 做直线运动的物体,加速度越来越小,速度也越来越小; (C) 加速度的切向分量为正值时质点的运动加快;

(D) 法向加速度越大,质点运动的法向速度也越大.

1－2 对于运动的质点,下面的情况中不可能的是 （ A ） (A) 具有恒定的速度,但有变化的速率; (B) 具有恒定的速率,但有变化的速度; (C) 加速度为零而速度不为零; (D) 加速度不为零而速度为零.

1－3 一质点沿Ox轴运动时加速度与时间的关系曲线如图所示.由图中可与求出（ B ） (A) 质点在第6秒末的速度; (B) 质点在前6秒内的速度增量; (C) 质点在第6秒末的位置; (D) 质点在第6秒末的位移.

1－4 质点做曲线运动,r是位置矢量,r是位置矢量的大小,v是速率.则 （ B ） (A) v=drdr; (B) v?;

dtdtdrdt; (D) v<(C) v>dr. dt1－5 质点做匀速圆周运动,圆周的半径为r,转一圈的时间为T.它在时间间隔2T内,其平均速度的大小和平均速率分别为 （ B ）

2πr2πr2πr, ; (B) 0, ; TTT2πr(C) 0, 0; (D) , 0.

T(A)

1－6 质点从A向B做曲线运动,其速度逐渐减小.在下图中,正确地表示质点在点C时的加速度的图形为 （ C ）

全部答案 2

1－7 沿直线运动的物体,其速度与时间成反比,则加速度与速度的关系为 （ B ） (A) 与速度成正比; (B) 与速度平方成正比; (C) 与速度成反比; (D) 与速度平方成反比.

1－8 若以钟表的时针为参考系,分针转一圈所需的时间为 （ B ） (A) 55min; (B) 65(C) 655min; 1115min; (D) 55min. 4131－9 一质点从静止出发绕半径为R的圆周做匀变速圆周运动,角加速度为?.当该质

点转过一圈回到出发点时,其加速度的大小为 （ D ）

(A) R?; (B) 4πR?; (C) 2πR?; (D) 以上结果都不对.

Pr和2r. 1－10 一飞轮绕轴做变速转动,飞轮上有两点P1和2,它们到转轴的距离分别为P任意时刻P1与2两点的加速度大小之比

(A)

a1a2为 （ B ）

11; (B) ; 42(C) 要由该时刻的转速决定; (D) 要由该时刻的角加速度决定.

1－11 下列陈述中正确的是 （ D ） (A) 合力一定大于分力;

(B) 若物体的速率不变,则其所受的合外力为零; (C) 速度越大的物体,运动状态越不易改变; (D) 质量越大的物体,运动状态越不易改变.

1－12 用细绳系一小球,使其在竖直平面内做圆周运动.当小球运动到最高点时,下列陈述正确的是 （ C ）

(A) 小球将受到重力、绳的拉力和向心力的作用;

(B) 小球将受到重力、绳的拉力和离心力的作用; (C) 绳子的拉力可能为零;

(D) 小球可能处于受力平衡状态.

1－13 如图所示,质量相同的物块A和B用轻弹簧连接后,再用细绳悬挂着.在系统平衡后,突然将细绳剪断,则剪断后的瞬间 （ D ）

(A) A、B的加速度均为g; (B) A、B的加速度均为零;

全部答案 3

(C) A的加速度为零, B的加速度为2g; (D) A的加速度为2g,B的加速度为零.

1－14 物体从竖直放置的圆周顶端点A,分别沿不同长度的弦AB和ACAC?AB由静止下滑,如图所示.不计摩擦阻力,下滑到底的时间分别为tB和tC,则 （ A ）

(A) tB?tC ; (B) tB?tC;

(C) tB?tC; (D) 条件不足,不能判定.

计算题

1－15 某人自点O出发,先向东走30m,后向南走10m,再向西北走18m.求合位移的大小和方向.

解 取坐标如图,Ox轴向东,Oy轴向北. OA?30m,AB?10m,BC?18m,合位移r?OC.

合位移r?OC在Ox和Oy轴上的分量分别为

??x??30?18?cos45o?m?17.3my???10?18?sin45?m?2.73mo

合位移的大小为

r?x2?y2?17.32?2.732m?17.5m

合位移与Ox轴的夹角?的正切为

tan??y2.73??0.158 x17.3?在第一象限,大小为

全部答案 4

??8.98

1－16 已知质点的运动方程为

r??3?4t3?i

式中长度以m计,时间以s计.求:

(1) 质点在任意时刻的速度和加速度;

(2) 质点在第2秒末的速度和加速度; (3) 质点在第2秒内的平均速度.

解 (1) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为

v?dr?12t2im?s?1 dtdva??24tim?s?2

dt(2) 质点在第2秒末的速度和加速度分别为

v?12?22im?s?1?48im?s?1a?24?2im?s?48im?s(3) 质点在t?1s和t?2s时的位置分别为

?2?2

r1??3?4?13?im?7imr2??3?4?2?im?35im3

质点在第2秒内的平均速度为

v?r2?r135?7?im?s?1?28im?s?1 ?t1x?10?8t?4t2

1－17 一质点沿Ox轴做直线运动,运动方程为

式中t以s计,x以m计.求:

(1) 质点在第3秒末的位置;

(2) 质点在第3秒内的平均速度;

(3) 质点在第3秒末的加速度,并判断运动的性质. 解 (1) 质点在第3秒末的位置为

x??10?8?3?4?32?m??2m

(2) 质点在t?2s时的位置为

x0??10?8?2?4?22?m?10m

质点在第3秒内的平均速度为

v?(3) 质点的加速度为

x?x0?2?10?m?s?1??12m?s?1 ?t3?2

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d2xa?2??8m?s?2

dt质点作匀变速直线运动,在第3末的加速度为

a??8m?s?2

1－18 已知质点做圆周运动的运动方程为

x?Rcos?ty?Rsin?t式中R和?均为正值常量.

(1) 证明速度的大小不变,但方向不断改变;

v2(2) 证明加速度的大小为a?,方向指向圆心.

R证 (1) 质点的速度在Ox和Oy轴上的分量分别为

dx???Rsin?tdt

dyvy???Rcos?tdtvx?速度的大小为大小为

2v?vx+v2y??R

速度与Ox轴的夹角?的正切为

tan??vyvx??cot?t

由此可见,速度的大小不变,为v??R,但方向随时间不断改变.

(2) 质点的加速度在Ox和Oy轴上的分量分别为

dvx???2Rcos?tdt

dvyay????2Rsin?tdtax?加速度的大小为

v2a?a+a??R?

R2x2y2v2由此可见,质点的加速度大小不变,为a?.

R

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加速度的矢量式为

a???2Rcos?tti??2Rcos?tj ???2(Rcos?ti??2Rcos?tj) ???2r由此可见,加速度a和矢径r的方向相反,指向圆心.

1－19 一质点在Oxy平面上运动,运动方程为

x?3t?5 1y?t2?3t?42式中t以s计,x和y以m计.求：

(1) 质点在任意时刻的速度和加速度; (2) 质点在t?4s时的速度和加速度.

解 (1) 在任意时刻,质点的速度在Ox和Oy轴上的分量分别为

dx?3m?s?1dt

dyvy??(t?3)m?s?1dtvx?质点的速度为

v?[3i?(t?3)j]m?s?1

质点的加速度为

a?dv?1jm?s?2 dt(2) 在t?4s时,质点的速度和加速度分别为

v?[3i?(4?3)j]m?s?1?(3i?7j)m?s?1

a?1jm?s?2

1－20 一质点沿Ox轴做直线运动,其速度与时间的关系如图所示.设t?0时,x?0.试根据已知的v?t图画出a?t图和x?t图.

解 质点的加速度与时间的关系曲线a?t图,以及位置与时间的关系曲线x?t图如下:

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1－21 一质点做圆周运动,半径为0.1m,其角坐标为

??2?4t3

式中t以s计,?以rad计.求t?2s时,质点的速率、法向加速度和切向加速度.

解 质点的角速度和角加速度分别为

d??12t2dt

d????24tdt??质点的速率、法向加速度和切向加速度分别为

v?r??0.1?12t2?1.2t2an?r??0.1??12t222??14.4t4

at?r??0.1?24t?2.4tt?2s时,质点的速率、法向加速度和切向加速度分别为

v?1.2?22m?s?1?4.8m?s?1an?14.4?24m?s?2?230m?s?2 at?2.4?2m?s?2?4.8m?s?21－22 一质点做圆周运动,半径为2m,其角坐标为

??5t2?t

式中t以s计,?以rad计.求：

(1) 质点的角速度和角加速度;

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(2) t?1s时质点的线速度、切向加速度和法向加速度. 解 (1) 质点的角速度和角加速度分别为

d??(10t?1)rad?s?1dt

d????10rad?s?2dt??(2) t?1s时,质点的角速度和角加速度分别为

???10?1?1?rad?s?1?9rad?s?1??10rad?s?2

质点的线速度、切向加速度和法向加速度分别为

v?r??2?9m?s?1?18m?s?1at?r??2?10m?s?2?20m?s?2 v2182an??m?s?2?162m?s?2r21－23 汽车在水平面内沿半径r?400m的圆弧弯道行驶.设在某一时刻,汽车的速度大小为10m?s,切向加速度的大小为0.2m?s,其方向与速度方向相反.求汽车加速度的大小.

解 在该时刻,汽车的法向加速度为

?1?2v2102an??m?s?2?0.25m?s?2

R400汽车加速度的大小为

2a?an?at2?0.252?0.22m?s?2?0.32m?s?2

1－24 如图所示,在倾角??30的斜面上,放着两个相互接触的物体,它们的质量分别为m1?12kg和m2?8kg.今沿斜面方向向上施力F?100N作用在物体上,若物体与斜面之间的摩擦力忽略不计,求两物体的加速度及相互间的作用力.

o

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解 两个物体示力图和坐标选取如图所示.Ox轴沿斜面向上,Oy轴垂直于斜面.图中

FN为正压力,P为重力.两物体之间的相互作用力F21和F12是一对作用与反作用力,大小相

等.

对物体m1,根据牛顿第二定律,在Ox方向有

F?F12?m1gsin??m1a

对物体m2,根据牛顿第二定律,在Ox方向有

F21?m2gsin??m2a

联立解此二方程,可得两物体的加速度及相互间的作用力大小分别为

F?(m1?m2)gsin?100?(12?8)?9.8sin30oa??m?s?2?0.1m?s?2

(m1?m2)(12?8)F21?F12?m2(a?gsin?)?8?(0.1?9.8sin30o)N?40N

1－25 一根均匀的小棍AB放在水平桌子上,棍子的质量为m、长为L,与桌面之间的摩擦因数为?.现沿棍的长度方向用一恒力F推棍的A端,使其产生加速运动.设想把棍分成AC和CB两段,求:

4L时, AC段作用在CB上的力的大小; 51(2) 当AC?L时, AC段作用在CB上的力的大小.

5解 对小棍AB,根据牛顿第二定律,在A?B水平方向,有

(1) 当AC?F??mgsin??ma

由此可得,AB的加速度为

F??mgsin?

m设CB与AB的长度之比为x,则CB段的质量为xm.截面C两侧的棍子之间的相互作

a?用力大小相等.设这个力的大小为F1,则对于CB段,根据牛顿第二定律, 在A?B水平方向,有

F1??xmgsin??xma

将a?F??mgsin?代入上式,可得

mF1?xF

全部答案 10

411L时,x?,AC段作用在CB上的力的大小为F1?F. 555144(2) 当AC?L时,x?,AC段作用在CB上的力的大小为F1?F.

5551－26 一根柔软的链条,长为l.将此链条跨过一无摩擦的定滑轮,在一边的长度为

(1) 当AC??x?x??l?2x?l时,将链条由静止释放,证明链条的加速度为a?g. ?2?l证 设链条单位长的质量为?,忽略滑轮的大小.设滑轮两侧链条截面上的张力分别为

F1和F2,则对滑轮两侧的链条,根据由牛顿第二定律,在竖直方向上分别有

?xg?F1??xa

F2??(l?x)g??(l?x)a由于忽略滑轮的大小,F1和F2的大小相等.联立解此二方程,可得链条的加速度大小为

2x?lg l1－27 如图所示,小车B上放一质量为m的物块A,小车沿着与水平面夹角为?的斜面下滑,小车与斜面之间的摩擦力可以忽略.由于摩擦A和B之间没有相对滑动.求物体A和小车B之间的相互作用力.

a?

解 物块A和小车B作为一个整体的示力图、物块A的示力图以及坐标选取如图所示.

Ox轴沿斜面向下,Oy轴与斜面垂直.图中FN为正压力,Fr为摩擦力,P为重力.

将B的运动简化为沿斜面下滑,则可认为A和B一起平动,在运动过程中二者的相对位置不变化,因此可将A和B的组合看成质点.设A和B的质量和为m1,则根据牛顿第二定律,在Ox方向有

m1gsin??m1a

由此可得,A和B一起运动的加速度大小为

a?gsin?

物块A的加速度与此相同,大小为a?gsin?,方向沿Ox轴.对物块A,根据牛顿第二定律,在水平方向有

全部答案 11

Fr?macos?

在竖直方向有

mg?FN?masin?

将a?gsin?代入上两式,可得B作用在A上的摩擦力和正压力分别为

Fr?mgsin?cos? FN?mgcos2?

B作用在A上的合力大小为

2F?FN?Fr2?(mgcos2?)2?(mgsin?cos?)2?mgcos?

该合力与水平面夹角?的余弦为

cos??oFrmgsin?cos???sin? Fmgcos?因此,?与?之和为90,由此可见,B作用在A上的合力垂直于斜面,指向A.

A作用在B的力F?,是F的反作用力,大小亦为mgcos?,也垂直于斜面,但指向B.

1－28 如图所示,两根长为l的轻绳连住一个质量为m的小球,绳的另一端分别固定在

相距为l的棒的两点上.今使小球在水平面内绕棒作匀速圆周运动,求:

(1) 当小球的角速度为多大时,下面的绳子刚刚伸直;

(2) 在此情形下,上面绳子内的张力.

解 在下面的绳子没有伸直前,上面的绳子与棒之间的夹角为?时,小球在轨道上的一点

A处的示力图如图所示.图中P为重力,FT为张力;AN表示法线方向.设此时小球的转动角

速度为?,则对于小球,根据牛顿第二定律,在法线方向有

FTsin??mr?2

式中

r?lsin?

全部答案 12

在竖直方向有

FTcos??mg?0

联立解上述方程,可得小球的角速度和上面绳内的张力分别为

?? FT?og lcos?mg cos?(1) 下面的绳子刚刚伸直时,??60,此时小球的角速度为

??(2) 此时上面绳子内的张力为

g2g? lcos60olmg?2mg

cos60o1－29 如图所示,一质量为m的木块,沿一半径为R的环的内侧,在一无摩擦的水平面上滑动.木块与环壁之间的摩擦因数为?,当木块的速率为v时,求:

FT?(1) 作用在木块上的摩擦力; (2) 木块的切向加速度.

解 (1) 木块做圆周运动所需的法向力由木块与环壁之间的正压力提供.根据牛顿第二定律,其大小为

mv2FN?

R木块与环壁之间的摩擦力大小为

Fr??FN??mv2R

??mv2(2) 此摩擦力为木块沿环壁运动的切向力,即Ft?.将此代入Ft?mat,可得木

R块的切向加速度为

??v2at?

R式中的负号表明,切向加速度与速度方向相反.

1－30 如图所示,质量为m的小球,系于长为l的轻绳一端,绳的另一端固定于点O.小球可绕点O在竖直面内做圆周运动,当小球运动到绳与垂线的夹角为?时,它的速率为v.求:

(1) 在这个位置处,小球的切向加速度和法向加速度; (2) 此时绳中的张力.

解 绳与垂线的夹角为?时,小球运动到点A.此时小球的示力图如图所示.图中P为重

全部答案 13

力,FT为张力.AT和AN分别表示切线方向和法线方向.

(1) 对小球,根据牛顿第二定律,在点A处的切线方向有

?mgsin??mat

由此可得,小球的切向加速度为

at??gsin?

此时小球的法向加速度为

v2an?

l(2).对小球,根据牛顿第二定律,在点A处的法线方向有

mv2FT?mgcos??

l由此可得,此时绳中的张力为

mv2FT?mgcos??

l

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第二章 能量守恒 动量守恒

选择题

2－1 有一劲度系数为k的弹簧(质量忽略不计),垂直放置,下端悬挂一质量为m的小球.现使弹簧为原长,而小球恰好与地面接触.今将弹簧上端缓慢地提起,直到小球刚脱离地面为止,在上提过程中外力做的功为 （ A ）

m2g22m2g2 (A) ; (B) ;

2kkm2g24m2g2(C) ; (D) .

4kk2－2 一弹簧长l0?0.5m,劲度系数为k,上端挂在天花板上,当下端吊一小盘后,长度变为l1?0.6m.然后在盘中放一物体,使弹簧长度变为l2?0.8m.放物后,在弹簧伸长的过程中,弹性力所做的功为 （ C ）

(A) ?(C) ???0.80.60.3kxdx; (B) ?kxdx;

0.60.80.1kxdx; (D) ?kxdx.

0.10.82－3 如图所示,一单摆在点A和点A?之间往复运动,就点A、点B和点C三位置比较,

重力做功的功率最大位置为 （ B ）

(A) 点A; (B) 点B;

(C) 点C; (D) 三点都一样.

2－4 今有质量分别为m1、m2和m3的三个质点,彼此相距分别为r12、r23和r31.则它之（ A ）

(A) ?G?间

的

引

力

势

能

总

和

为

?m1m2m2m3m3m1??m1m2m2m3m3m1???G??; (B) ??; ?r23r31?r23r31??r12?r12

全部答案 15

?m1m2m2m3m3m1??m1m2m2m3m3m1?????(C) ?2G??; (D) 2G??. rrrrrr2331?2331??12?122－5 有下列几种情况:

(1) 物体自由落下,由物体和地球组成的系统;

(2) 使物体均匀上升,由物体和地球组成的系统;

(3) 子弹射入放在光滑水平面上的木块,由子弹和木块组成的系统; (4) 物体沿光滑斜坡向上滑动,由物体和地球组成的系统.

机械能守恒的有 （ C ）

(A) (1)、(3); (B) (2)、(4);

(C) (1)、(4); (D) (1)、(2).

2－6 质量分别为m和4m的两个质点,沿一直线相向运动.它们的动能分别为E和4E,它们的总动量的大小为 （ B ）

(A) 22mE; (B) 32mE; (C) 52mE; (D) (22?1)2mE.

2－7 质量为m的小球,以水平速度v与竖直的墙壁作完全弹性碰撞.以小球的初速度v的方向为Ox轴的正方向,则此过程中小球动量的增量为 （ D ）

(A) mvi; (B) 0;

(C) 2mvi; (D) ?2mvi.

2－8 如图所示,质量为1kg的弹性小球,自某高度水平抛出,落地时与地面发生完全弹性碰撞.已知在抛出1s后又跳回原高度,而且速度的大小和方向和刚抛出时相同.在小球与地面碰撞的过程中,地面给它的冲量的大小和方向为 （ A ）

(A) 9.8kg?m?s,垂直地面向上;

?1(B) 2?9.8kg?m?s,垂直地面向上;

?1(C) 19.6kg?m?s,垂直地面向上; (D) 4.9kg?m?s,与水平面成45o角.

2－9 一炮弹由于特殊原因,在弹道最高点处突然炸成两块,如果其中一块做自由落体下落,则另一块的着地点 （ A ）

(A) 比原来更远; (B) 比原来更近;

(C) 仍和原来一样; (D) 条件不足,不能判定.

2－10 在下列陈述中,正确的是 （ A ） (A) 物体的动量不变,动能也不变; (B) 物体的动能不变,动量也不变; (C) 物体的动量变化,动能也一定变化; (D) 物体的动能变化,动量却不一定也变化.

2－11 如图所示,一光滑圆弧形槽m?放置于光滑的水平面上,一滑块m自槽的顶部由静止释放后沿槽滑下,不计空气阻力,对这一过程,下列陈述正确的为 （ C ）

(A) 由m和m?组成的系统动量守恒;

?1?1

全部答案 26

另一端穿过小孔而执于手中.设开始时使小球以恒定的速率v在水平桌面上作半径为r1的圆周运动,然后拉绳使小球的轨道半径缩小为r2,新的角速度?2和原来的角速度?1的关系为

（ B ） (A) ?2=??r1??r1??=; (B) ????1; ?12r?r2??2?22?r2??r2??=(C) ?2=???1; (D) 2???1.

?r1??r1?3－7 在上题中,新的动能和原来的动能之比为 （ A ）

?r??r?rr(A) ?1?; (B) 1; (C) 2; (D) ?2?.

r2r1?r2??r1?3－8 刚体绕定轴高速旋转时,下列陈述正确的是 （ D ）

(A) 它受的外力一定很大; (B) 它受的外力矩一定很大; (C) 它的角加速度一定很大; (D) 它的角动量和转动动能一定很大. 3－9 芭蕾舞演员绕通过脚尖的竖直轴旋转,当她伸长手臂时的转动惯量为J,角速度为?.她将手臂收回至前胸时,转动惯量减小为

22J,此时她的角速度为 （ A ） 311?; (D) ?.

33(A) 3?; (B) 3?; (C) 3－10 三个完全相同的转轮绕一公共轴旋转.它们的角速度大小相同,但其中一轮的转

动方向与另外两个轮相反.今沿轴的方向施力,将三者靠在一起,使它们获得相同的角速度.此时靠在一起后系统的动能与原来三转轮的总动能相比是 （ B ）

(A) 减少到

11; (B) 减少到; 39(C) 增大到3倍; (D) 增大到9倍.

计算题

3－11 一电动机的电枢转速为1800r?min,当切断电源后,电枢经20s停下.求: (1) 切断电源后电枢转了多少圈;

(2) 切断电源后10s时,电枢的角速度以及电枢边缘上一点的线速度、切向加速度和法

?1

向加速度(设电枢半径为10cm).

解 (1) 切断电源时,电枢的转速为

?0?电枢的平均角加速度为

1800?2πrad?s?1?60πrad?s?1

60

全部答案 27

??0??0?60π?rad?s?2 ??3.0πrad?s?2 ?t2022由???0?2???,且??0,可得切断电源后电枢转过的角度为

2??60π???0????rad?600πrad

2?2???3π?2转过的圈数为

N???600π?r?300r 2π2π(2) 切断电源后10s时,电枢的角速度为

???0??t??60π?3.0π?10?rad?s?1?30πrad?s?1

此时电枢边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度分别为

v?r??0.10?30πm?s?1?3.0πm?s?1?9.42m?s?1at?r???0.10?3.0πm?s?2??0.30πm?s?2??0.942m?s?2 an?r?2?0.10??30π?m?s?2?90π2m?s?2?888m?s?23－12 一飞轮由直径为0.30m、厚度为2.0?10为8.0?10?2?22m的圆盘和两个直径为0.10m、长

m的圆柱体组成.设飞轮的密度为7.8?103kg?m?3,求飞轮对转轴的转动惯量.

解 飞轮上的圆盘的半径为r1?0.15m,圆柱体的半径为r2?0.05m. 飞轮上的圆盘质量为

m1??πr12h1?7.8?103π?0.152?2.0?10?2kg?11.0kg

圆柱体的质量为

m2??πr22h2??7.8?103π?0.052?8.0?10?2kg?4.90kg 飞轮的转动惯量是圆盘和两个圆柱体的转动惯量之和为

J?1?1m1r12?m2r22???11.0?0.152?4.90?0.0522?2?22?kg?m?0.136kg?m ?3－13 如图所示,质量分别为2m、3m和4m的三个小球,用长均为l、质量均为m的三根均匀细棒相连,如图所示(小球的半径r??l,可视为质点).求该物件对通过点O垂直于图面的转轴的转动惯量.

解 该物件的转动惯量是三个小球和三根细棒的转动惯量之和为

1J?2ml2?3ml2?4ml2?3?ml2?10ml2

3

全部答案 28

3－14 细棒长为l,质量为m,设转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直.求棒对此轴的转动惯量.

解 由平行轴定理,细棒的转动惯量为

J?Jc?mh2?1?1?ml2?mh2?m?l2?h2? 12?12?3－15 一个半径为R质量为m的均匀圆盘,挖去直径为R的

一个圆孔,如图所示.求剩余部分对通过圆心O且与盘面垂直的轴的转动惯量.

解 开孔圆盘的转动惯量等于完整圆盘的转动惯量减去位于圆孔部位的被挖去的小圆盘的转动惯量:

22??1311mRmR????22J?mR?????????mR

24?2????24?2??323－16 如图所示,某飞轮的直径为0.50m、转动惯量为2.4kg?m、转速为

21.0?103r?min?1.如果制动时闸瓦对轮的压力为490N,闸瓦与轮之间的滑动摩擦因数为

0.4,求制动后飞轮转多少圈才停止.

解 制动前,飞轮的转速为

2π?1.0?103?0?rad?s?1?105rad?s?1

60飞轮所受的制动力矩为

M???FnR??0.4?490?0.25N?m??49N?m

根据转动定律,M?J?,可得制动后飞轮的角加速度为

??M?49?rad?s?2??20.4rad?s?2 J2.422由???0?2???,且??0,可得制动后飞轮转过角度为

2??0?1052????rad?270rad

2?2?(?20.4)转过的圈数为

N?

??270?r?43.0r 2π2π

全部答案 29

3－17 如图所示,一物体质量为5kg,从一倾角为37的斜面滑下,物体与斜面的摩擦因数为0.25.一滑轮装在固定轴O处,轻绳的一端绕在滑轮上,另一端与物体相连.若滑轮可视为是实心圆盘,其质量为20kg、半径为0.2m,绳与轮间无相对滑动,且轮轴的摩擦阻力矩忽略不计.求：

(1) 物体沿斜面下滑的加速度;

(2) 绳中的张力.

o

解 物体和滑轮的示力图以及坐标选取如图所示.图中P为重力,FN为正压力,Fr为摩擦力,FT为张力,FT?FT?.Ox轴沿斜面向下,Oy垂直于斜面.设物体的质量为m1,滑轮的质量为m2,滑轮的半径为r.

对物体,根据牛顿第二定律,在Ox和Oy方向分别有

m1gsin37o?FT?Fr?m1a

FN?m1gcos37o?0

重力P2和轮轴对滑轮的压力FN2均通过转轴,对转轴的力矩为零.以垂直纸面向里为正

??r?FT?r.对滑轮,根据转动定律,有 方向,滑轮所受的力矩为M?FTFT?r?J?

而

a?r?

Fr??FN

J?1m2r2 2联立解以上方程,可得物体沿斜面下滑的加速度和绳中的张力分别为

全部答案 30

m1g1m1?m22

4?5?3 ???0.25????9.8 m?s?2?1.31 m?s?25?5?1?20?52?11FT?J?m2a??20?1.31 N?13.1 N

r223－18 如图所示,长为l、质量为m的均匀细棒可绕点O转动.此棒原先静止在竖直位

a??sin37o??cos37o?置,受微小扰动而倒下.若不计摩擦和空气阻力,求细棒倒至与竖直位置成?角时的角加速度和角速度.

解 细棒的倒下,可看成定轴转动,其转轴通过地面上细棒端点,垂直于细棒的转动平面.在细棒倒下的过程中,细棒与地球组成的系统机械能守恒.以地面为势能零点,设细棒倒至与竖直方向成?角时,角速度为?,有

1llJ?2?mgcos??mg 222而

1J?ml2

3由此可得,角速度为

? ?3g?1?cos?? l只有细棒所受的重力对转轴有力矩.以垂直纸面向里为正方向,细棒倒至与竖直方向成?角时,重力对转轴的力矩为M?mg律,有

lsin?.设此时的角加速度为?,则对细棒,根据转动定2lmgsin??J?

2将J?12ml代入上式,可得角加速度为 3??3gsin? 2l3－19 如图所示,两个物体质量分别为m1和m2.定滑轮的质量为m、半径为R,可视为圆盘.已知m2与桌面间的摩擦因数为?.设轻绳与轮间无相对滑动,且可不计滑轮轴的摩擦力矩,求m1下落的加速度和滑轮两边绳中的张力.

全部答案 36

4—8 摩尔定容热容为2.5R（R为摩尔气体常量）的理想气体,由状态A等压膨胀到状态B,其对外界做的功与其从外界吸收的热量之比为 （ C ）

(A) 2:5; (B) 1:5; (C) 2:7; (D) 1:7.

4—9 质量相同的同一种理想气体,从相同的状态出发,分别经历等压过程和绝热过程,使其体积增加一倍.气体温度的改变为 （ C ）

(A) 绝热过程中降低,等压过程中也降低; (B) 绝热过程中升高,等压过程中也升高; (C) 绝热过程中降低,等压过程中升高;

(D) 绝热过程中升高,等压过程中降低.

4—10 一理想气体的初始温度为T,体积为V.由如下三个准静态过程构成一个循环过程.先从初始状态绝热膨胀到2V,再经过等体过程回到温度T,最后等温压缩到体积V.在此循环过程中,下述说法正确的是 （ A ）

(A) 气体向外界放出热量; (B) 气体对外界做正功;

(C) 气体的内能增加; (D) 气体的内能减少.

4—11 有人试图设计一台可逆卡诺热机,在一个循环中,可从400K的高温热源吸收热量1800J,向300K的低温热源放出热量800J,同时对外界作功1000J,这样的设计是

（ D ） (A) 可以的,符合热力学第一定律;

(B) 可以的,符合热力学第二定律;

(C) 不行的,卡诺循环所做的功不能大于向低温热源放出的热量; (D) 不行的,这个热机的效率超过理论最大值.

4—12 对运转在T1和T2之间的卡诺热机,使高温热源的温度T1升高?T,可使热机效率提高??1;使低温热源的温度T2降低同样的值?T,可使循环效率提高??2.两者相比,有

（ B ）

(A) ??1???2; (B) ??1???2; (C) ??1???2; (D) 无法确定哪个大.

o4—13 在327C的高温热源和27C的低温热源间工作的热机,理论上的最大效率为

o

全部答案 37

（ C ）

(A) 100%; (B) 92%; (C) 50%; (D) 25%.

4—14 下述说法中正确的是 （ C ） (A) 在有些情况下,热量可以自动地从低温物体传到高温物体; (B) 在任何情况下,热量都不可能从低温物体传到高温物体; (C) 热量不能自动地从低温物体传到高温物体; (D) 热量不能自动地从高温物体传到低温物体.

4—15 热力学第二定律表明 （ D ） (A) 热机可以不断地对外界做功而不从外界吸收热量;

(B) 热机可以靠内能的不断减少而对外界做功;

(C) 不可能存在这样的热机,在一个循环中,吸收的热量不等于对外界作的功; (D) 热机的效率必定小于100%.

4—16 一个孤立系统,从平衡态A经历一个不可逆过程变化到平衡态B,孤立系统的熵增量?S?SB?SA 有 （ A ）

(A) ?S?0; (B) ?S?0; (C) ?S?0; (D) ?S?0.

计算题

o4—17 容器内装满质量为0.1kg的氧气,其压强为1.013?10Pa,温度为47C.因为

6漏气,经过若干时间后,压强变为原来的一半,温度降到27C.求:

(1) 容器的容积; (2) 漏去了多少氧气.

解 (1) 根据理想气体的物态方程pV?omRT,可得气体的体积,即容器的容积为 MV?m0.1?8.31?(373?47)3RT?m?8.20?10?3m3 ?36Mp32?10?1.013?10(2) 漏气使容器内气体的状态改变,根据理想气体的物态方程pV?1气体的质量为

m1RT1,可得剩余M132?10?3??1.013?106?8.20?10?3Mp1V2m1??kg?0.05kg RT18.31?(273?27)漏掉的气体质量为

??m?m?m1?(0.1?0.05)kg?0.05kg

54—18 如图所示,a、c间曲线是1000mol氢气的等温线,其中压强p1?4?10Pa,

全部答案 38

p2?10?105Pa.在点a,氢气的体积V1?2.5m3,求:

(1) 该等温线的温度;

(2) 氢气在点b和点d的温度Tb和Td. 解 (1) 根据理想气体的物态方程pV?得在等温线上,气体的温度为

mRT,可MMp2V1110?105?2.5T???K?301K

mR10008.31(2) 由

p2V2p1V2?,可得气体在点b的温度为 TbTcp210?105Tb?Tc??301K?753K

p14?105由

p1V1p2V1?,可得气体在点d的温度为 TdTap14?105Td?Ta??301K?120K 5p210?10?2?3354—19 2.0?10kg氢气装在4.0?10m的容器内,求当容器的压强为3.90?10Pa时,氢气分子的平均平动动能.

解 根据理想气体的物态方程pV?子的平均平动动能为

mMpV.此时气体分RT,可得气体的温度为T?MmR?t?kT?k323MpV3MpV?2mR2mNa?35?332?10?3.90?10?4.0?10 ??22.0?10?2?6.02?1023o的温度从27C升到177C,体积减少一半.求:

o

J?3.89?10?22J4—20 在一个具有活塞的容器中盛有一定量的气体.如果压缩气体,并对它加热,使它

(1) 气体的压强是原来压强的多少倍;

(2) 气体分子的平均平动动能是原来平均平动动能的多少倍. 解 (1) 由

p1V1p2V2?,可得压缩后与压缩前的压强之比为 T1T2

全部答案 39

p2V1T22(273?177)???3 p1V2T1(273?27)即压强增加为原来的三倍.

(2) 分子的平均平动动能与温度的关系为?t?的平均平动动能之比为

3kT.由此可得,压缩后与压缩前的分子2?t2T2273?1773????1.5 ?t1T1273?272即增加为原来的1.5倍.

o4—21 容器中储有氦气,其压强为1.013?10Pa,温度为0C.求:

7(1) 单位体积中分子数n; (2) 气体的密度;

(3) 分子的平均平动动能.

解 (1) 根据理想气体的物态方程p?nkT,可得单位体积中的分子数为

p1.013?107?327?3n??m?2.69?10m ?23kT1.38?10?273(2)根据理想气体的物态方程pV?mpMV.气体的密度为 RT,可得m?MRTmpM1.013?107?4?10?3????kg?m?3?17.9kg?m?3

VRT8.31?273(3) 分子的平均平动动能为

?t?kT??1.38?10?23?273J?5.65?1021J

4—22 如图所示,一系统从状态A沿ABC过程到达状态C,从外界吸收了350J的热量,同时对外界做功126J.

(1) 如沿ADC过程,对外界作功为42J,求系统从外界吸收的热量;

(2) 系统从状态C沿图示曲线返回状态A,外界对系统做功84J,系统是吸热还是放热?数值是多少?

解 根据热力学第一定律,Q?ΔE?A,可得从状态A沿ABC过程到状态C,系统内能的增量为

3232ΔE?Q?A?350J?126J?224J

全部答案 40

(1)从状态A经ADC过程到状态C,系统内能的增量为ΔE?224J.系统吸热为

Qa?ΔE?Aa?224J?42J?266J

(2)从状态C沿图示曲线返回状态A,系统内能的增量为ΔE??224J.系统吸热为

Qb?ΔE?Ab??224J?84J??308J

Qb<0表明,系统向外界放热308J.

4-23 如图所示,一定量的空气, 起始在状态A,其压强为2.0?10Pa,体积为2.0?105?3m3沿直线AB变

5化到状态B后,压强变为1.0?10Pa,体积变为

3.0?10?3m3.求此过程中气体对外界所做的功.

解 在此过程中气体作正功,大小为直线AB下梯形的面积

1?pA?pB??VB?VA?2

1 ??2.0?105?1.0?105??3.0?10?3?2.0?103?J?150J2A?4—24 在标准状态下,1mol的氧气经过一等体过程,到达末状态.从外界吸收的热量为

336J.求气体到达末状态的温度和压强.设氧气的摩尔定容热容CV,m?5R. 2?235解 1mol的氧气初始状态为标准状态,p0?1.013?10Pa,V0?2.24?10m,

T0?273K.

气体在过等体过程中,吸受的热量等于内能的增量,QV??E?经过等体过程后,

mCV,m?T.由此可得,Mm?1mol的氧气的温度变化为 M?T?QVQ336?V? K?16.1K CV,m2.5R2.5?8.31气体到达末状态时的温度为

T?T0??T?273K?16.1K?289K

全部答案 41

根据等体方程

pT?p0T0,可得气体到达末状态时的压强为

p01.013?105p?T??289 Pa?1.07?105Pa

T02734—25 在标准状态下,0.032kg的氧气经过一等温过程,到达末状态.从外界吸收的热量为336J.求气体到达末状态的压强和体积.

5解 0.032kg的氧气是1mol.其标准状态为p0?1.013?10Pa,T0?273K,

V0?2.24?10?2m3.在过等温过程中,气体吸受的热量等于其对外界所作的

功,QT?AT?p0V0lnVp?p0V0ln ,由此可得 V0p0lnQVp336?ln?T??0.148 5?2V0p0p0V01.013?10?2.24?10气体到达末状态的压强和体积分别为

p?p0e?0.148?1.013?105?e?0.148 Pa?8.74?104Pa

V?V0e?0.148?2.24?10?2?e?0.148 m3?2.60?10?2m3

4—26 1mol的氦气,从温度为27C、体积为2.0?10o?2m3,等温膨胀到体积为

4.0?10?2m3后,再等体冷却到?27oC,设氦气的摩尔定容热容CV,m?图,并计算这一过程中,氦气从外界吸收的热量和对外界做的功.

3R,请作出P?V2解 过程的P?V图如图所示.在等温过程AB中, 1mol的氦气吸受的热量等于对外所做的功,有

QT?AT?RTAlnVBVA4.0?10?2 ?8.31??273?27??ln J

2.0?10?2 ?1.73?103 J在等体过程BC中,气体做功AV?0,1mol的氦气吸受的热量为

全部答案 42

QV?CV,m?TC?TB??3R?TC?TB?23 ??8.31?[(273?27)?(273?27)] J??673 J2在过程ABC中,气体吸受的热量和所作的功分别为

Q?QT?QV??1.73?103?673? J?1.06?103 JA?AT?1.73?10 J3

4—27 将1mol理想气体等压加热,使其温度升高72K,气体从外界吸收的热量为

1.6?103 J.求:

(1) 气体对外界所做的功; (2) 气体内能的增量; (3) 比热容比.

解 (1) 在此1mol理想气体等压过程中,气体对外界所做的功为

Ap?p(V2?V1)?R?T?8.31?72J?598J

(2) 根据热力学第一定律,Q??E?A,可得在此过程中气体内能的增量为

?E?Qp?Ap?(1.6?103?598)J?1.00?103J

(3) 气体的摩尔定压热容和定容热容分别为

CV,m比热容比为

1.60?103Cp,m??J?mol?1?K?1?22.2J?mol?1?K?1

?T72?Cp,m?R??22.2?8.31?J?mol?1?K?1?13.9J?mol?1?K?1

Qp??Cp,mCV,m?22.2?1.60 13.95?24—28 1mol理想气体盛于气缸中,压强为1.013?10Pa,体积为3.0?10m3.先将

此气体在等压下加热,使体积增大一倍.然后在等体下加热,使压强增大一倍.最后绝热膨胀使温度降为初始温度.请将全过程在p?V图中画出,并求在全过程中内能的增量和对外所做的功.设气体的摩尔定压热容Cp,m?5R. 2解 过程的P?V图如图所示.因为末状态D与初状态A的温度相同,所以,从状态A到状态D的全过程中内能的增量为零:

?E?0

根据热力学第一定律,Q?ΔE?A,且?E?0,可

得气体在全过程中吸受的热量等于对外界所做的功.气体在全过程中吸受的热量等于气体在

全部答案 43

等压过程AB和等体过程BC所吸热量之和.因此,对于1mol理想气体,在全过程中有

A?Q?Cp,m?TB?TA??CV,m?TC?TB?

将CV,m?5R、CV,m?Cp,m?R和pV?RT代入上式,可得 25353A??RTB?RTA???RTC?RTB???pBVB?pAVA???pCVC?pBVB?

2222由于pBVB?2pAVA,pCVC?2pBVB?4pAVA,因此全过程中气体对外所做的功为

A?1111pAVA??1.013?105?3.0?10?2 J?1.67?104 J 225o4—29 1mol的氮气,温度为27C,压强为1.013?10Pa.将气体绝热压缩,使其体

积变为原来的

1.求: 5(1) 压缩后的压强和温度;

(2) 在压缩过程中气体所做的功(??1.4).

解 (1) 在绝热过程中,pV为常数.由此可得,压缩后的压强为

??V?p?p0?0??1.013?105?51.4Pa?9.64?105Pa

?V?在绝热过程中,V??1?T亦为常数.由此可得,压缩后的温度为

??1?V?T?T0?0??V?(2) 将??1.4代入

?(27?273)?5(1.4?1)K?571K

5R.在绝热过程中,气体对外界所做的2CV,m?RCV,m??,可得CV,m?功,等于气体内能增量的负值.对于1mol的氮气,有

55AQ???E??CV,m(T?T0)??R(T?T0)???8.31?[571?(27?273)]J??5.63?103J22负号表明,在绝热压缩过程中,外界对气体做功.

4—30 一卡诺热机低温热源温度为7C,效率为40%,若要把它的效率提高到50%,高温热源的温度应提高多少开?

解 在效率为40%和50%的两种情况下,低温热源温度T2相同.由??1?况下的效率分别表示为

oT2,两种情 T1全部答案 44

?1?40%?1??2?50%?1?由此可得

T2T11T2T12

5T11?T23 T12?2T2高温热源的温度应提高

5?T273?7??T?T12?T11?T2?2???2?K?93.3K

333??4—31 一卡诺热机,高温热源的温度为400K,每一个循环从高温热源吸收75 J热量,并向低温热源放出60 J热量.求:

(1) 低温热源温度; (2) 循环效率.

解 (1) 对卡诺循环, 有

Q2T2?,由此可得低温热源的温度为 Q1T1Q260T1??400 K?320 K Q175T2?(2) 热机的循环效率为

??1?oQ260?1??20% Q175o4—32 一卡诺机,在温度127C和27C两个热源间运转. (1)若一个正循环,从

127oC热源吸收1200 J热量,求向27oC的热源放出的热量;(2)若此循环逆向工作,从

27oC的热源吸收1200 J热量,求向127oC的热源放出的热量.

解 (1) 对卡诺热机,有

Q2T2?.由此可得,一个正循环向低温热源放出的热量为 Q1T1Q2?T227?273Q1?1200? J?900 J T1127?273(2) 对卡诺制冷机,有

?T2Q2?.由此可得,一个逆循环向高温热源放出的热量为 Q1T1

全部答案 45

Q1?T14???1200 J?1600 J Q2T234—33 理想气体做卡诺循环,高温热源的热力学温度是低温热源热力学温度的n倍,求

在一个循环中,气体从高温热源吸收的热量有多少比例传给了低温热源.

解 对卡诺热机, 有

Q2T2T

?.将1?n代入,可得 Q1T1T2

1Q2?Q1

n气体从高温热源吸收的热量有

1传给了低温热源. n4-34 质量为m,摩尔质量为M的理想气体,其摩尔定容热容为CV,m.在可逆的等体过程中温度从T1升高到T2,试证明在这一过程中气体的熵增量为

?S?TmCV,mln2 MT1证 在可逆的等体过程中,气体的温度升高dT,吸热为

dQ?温度从T1升高到T2,气体的熵增量为

mCV,mdT MT2mTdQdTm?S?S2?S1????CV,m?CV,mln2

T1MTTMT14-35 质量为m,摩尔质量为M的理想气体,在可逆的等压过程中,温度从T1升高到T2,求在这一过程中,气体的熵增量.已知气体的摩尔定压热容为Cp,m.

解 在可逆的等压过程中,气体的温度升高dT,吸热为

dQ?温度从T1升高到T2,气体的熵增量为

mCp,mdT M?S?S2?S1??

T2mTdQdTm??Cp,m?Cp,mln2 T1MTTMT1

全部答案 46

第五章 静电场

选择题

5－1 关于电场强度定义式E?F,下列说法中正确的是 （ B ） q0(A) 电场强度E的大小与检验电荷的电荷量q0成反比;

(B) 对电场中某点,检验电荷所受的力F与其电荷量q0的比值不因q0的改变而变化; (C) 检验电荷在电场中某点所受电场力F的方向就是该处电场强度E的方向; (D) 若电场中某点不放检验电荷,则F?0,因而E?0.

5－2 下述关于某点的电势正负的陈述,正确的是 （ C ） (A) 电势的正负决定于检验电荷的正负;

(B) 电势的正负决定于外力对检验电荷所做的功的正负;

(C) 在电场中,空间某点的电势的正负,决定于电势零点的选取;

(D) 电势的正负决定于带电体所带电荷的正负,带正电的物体周围的电势一定是正的,带负电的物体的周围的电势一定为负.

5－3 在正六边形的顶角上,相间放置电荷相等的正负点电荷,则中心处 （ C ） (A) 电势为零,电场强度不为零;

(B) 电势不为零,电场强度为零; (C) 电势为零,电场强度也为零; (D) 电势不为零,电场强度也不为零.

5－4 一电子逆着电场线进入匀强电场,在前进过程中,其动能 （ B ） (A) 先增大后减小; (B) 越来越大; (C) 越来越小; (D) 先减小后增大.

5－5 处于静电场中的平面S1和曲面S2有共同的边界,则 （ B ） (A) 穿过平面S1的电场强度通量比穿过曲面S2的电场强度通量大; (B) 穿过平面S1的电场强度通量与穿过曲面S2的电场强度通量相等; (C) 穿过平面S1的电场强度通量比穿过曲面S2的电场强度通量小;

(D) 若电场是匀强的,穿过平面S1的电场强度通量与穿过曲面S2的电场强度通量相等,否则不相等.

5－6 下列叙述中,正确的是 （ D ）

全部答案 47

(A) 在匀强电场中,两点之间的电势差为零;

(B) 电场强度等于零的地方,电势也为零; (C) 电场强度较大的地方,电势也较高; (D) 在电场强度为零的空间,电势处处相等.

5－7 无限长均匀带电的直线的电荷线密度为?.在距离该直线为r处,电场强度的大小为 （ D ）

(A)

????; (B) ; (C) ; (D) .

4π?0r24π?0r2π?0r22π?0r

5－8 若两块无限大均匀带电平行平板的电荷面密度分别为?和??,则两平板之间的

电场强度和两平板之外的电场强度大小分别为 （ A ）

(A)

??????, 0 ; (B) , ; (C) , ; (D) , 0 . ?02?02?0?0?02?05－9 在电荷面密度分别为??和??的两块无限大均匀带电平行平板之间的电场中,

在任一条电场线上的不同点 （ B ）

(A) 电场强度E相同,电势U相同;

(B) 电场强度E相同,电势U不同; (C) 电场强度E不同,电势U相同; (D) 电场强度E不同,电势U不同.

5－10 如图所示,负的点电荷q的电场中有A、B两点.下面的说法正确的是 （ C ） (A) 点B场强的大小比点A的小, 点B的电势比点A的高; (B) 点B场强的大小比点A的小, 点B的电势比点A的低; (C) 点B场强的大小比点A的大, 点B的电势比点A的低; (D) 点B场强的大小比点A的大, 点B的电势比点A的高.

5－11 半径为R的球面上均匀分布电荷q,球心处的电势为 （ C ）

(A) 0; (B)

?qqq; (C) ; (D) .

4π?0R4π?0R2π?0R5－12 两块相互平行的无限大均匀带电平板，它们的电荷面密度分别为??,若平板之间距离为d,则两平板之间的电势差为 （ B ）

(A)

?d?d2?d?d; (B) ; (C) ; (D) . 2?0?0?04?05－13 一半径为R的均匀带电圆环,所带电荷为q,环心处的电场强度大小和电势分别为 （ D ）

全部答案 48

(A) E?q4π?0R2q4π?0R2, V?q; (B) E?0, V?0;

4π?0Rq.

4π?0R(C) E?, V?0; (D) E?0, V?5－14 关于真空平行板电容器,下面说法正确的是 （ C ） (A) 极板上的电荷增加一倍,其电容也增加一倍; (B) 极板之间的电压增加一倍,其电容也增加一倍; (C) 极板的面积增加一倍,其电容也增加一倍; (D) 极板之间的距离增加一倍,其电容也增加一倍.

5－15 一真空平行板电容器的电容为C0,充电至极板间电势差为U0时和电源断开,保持极板上的电荷不变.若在其极板间充满相对电容率为?r的电介质,则其电容C和极板间电势差U分别为 （ B ）

(A) C??rC0, U??rU0; (B) C??rC0, U?U0?r;

(C) C?C0?r, U?U0?r; (D) C?C0?r, U??rU0;

5－16 平行板电容器充电后仍与电源连接.若用绝缘手柄将两极板的间距拉大,则极板上电荷Q,极板间的电场强度E的大小和电场能量We的变化为 （ B ）

(A) Q增大, E增大, We增大; (B) Q减小, E减小, We减小; (C) Q增大, E减小, We增大; (D) Q减小, E增大, We增大.

计算题

?6?65－17 电荷为q1?2.0?10C和q2?4.0?10C的两个点电荷,相距10cm,求两

点电荷连线上电场强度为零的点的位置.

解 设电场强度为零的点到q1的距离为x,有

q1q2??0

4π?0x24π?0(l?x)2?6?6将q1?2.0?10Cq2?4.0?10C和l?10cm代入上式,可得

x2?20x?100?0

全部答案 49

解此一元二次方程，可得

x?(?10?102)cm

因为在x?0的区域,不存在电场强度为零的点,所以x?0的根是增根.电场强度为零的点到

q1的距离为

x?(102?10)cm?4.14cm

5－18 如图所示,两个等量异号的点电荷?q,相距为l.求两点电荷的连线上距离中点

O为x的点P的电场强度.若x??l,这两个点电荷组成的系统可看成电偶极子,求此情况下,点P处的电场强度表达式.

解 取坐标如图所示.q在点P的电场强度为

E1x?ql??4π?0?x??2??2

?q在点P的电场强度为

E2x??ql??4π?0?x??2??2

点P的电场强度为

????qqxl?i?qE=E1+E2?(E1x?Ex)i???i 2222??2π?l?l???0?2l?x??4π?0?x??4π?0?x?????2?2????2???若x??l,则

E?式中p?qli,为偶极子的电矩.

5－19 一半径为R,圆心角为

qlppi?i? 3332π?0x2π?0x2π?0x2π的圆环上均匀分布电荷?q.求圆心处的电场强度E. 3解 取坐标如图.圆环上电荷线密度的绝对值为

2πR3在环心O处的电场强度dE方向如图,大小为

??q?3q.如图所示,在?处取dq???Rd?,其2πR

全部答案 50

dE?dq?Rd??d??? 224π?0R4π?0R4π?0R由于对称, 圆环上的电荷在环心O处的电场强度沿Ox方向的分量Ex?dEx?0.在

?Oy方向上

dEy?sin?dE??sin?d?

4π?0R圆环上的电荷在环心O处的电场强度沿Oy方向的分量为

5π6π6Ey???sin?d?3?33q ??224π?0R4π?0R8π?0R33qj

8π2?0R2圆环上的电荷在环心O处的电场强度为

E?Eyj?5－20 正电荷q均匀地分布在长度为L的细棒上.求证在棒的延长线上,距离棒中心为

r处的电场强度的大小为

E?1q

π?04r2?L2证 取坐标如图所示.在棒上x处取电荷元dq??dx?中心r的点C处电场强度沿Ox轴正向,为

qdx,其在棒的延长线上,距离LdE??dx4π?0(r?x)2i

棒上的电荷在点C处的电场强度沿Ox轴的分量为

???dx??11?Ex??????4π?0(r?x)24π?0?r?Lr?L?

?22??Lq1 ??4π?04r2?L2π?04r2?L2L2L?2电场强度的大小为

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