三角函数单元测试题

三角函数单元测试题 姓名_______

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

??1．已知函数f(x)=sin(x+)，g(x)=cos(x－)，则下列结论中正确的是（ ）

22A．函数y=f(x)2g(x)的最小正周期为2? B．函数y=f(x)2g(x)的最大值为1 C．将函数y=f(x)的图象向左平移?单位后得g(x)的图象

2D．将函数y=f(x)的图象向右平移

?2 y y y y 单位后得g(x)的图象 O O x O x x O x 2．函数y??x?cosx的部分图象是（ ） 3．已知?,?为锐角，且tan??1tan?，则有（ ） A B C D ?2A．??? B．??? C．????4．函数f(x)=cos2x+sin(

?2 D．?????2

+x)是( )

A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数 5．若sin??cos??12322，则tan??1tan?0的值为（ ）A 1 B 2 C -1 D -2

1?cos50206．设a?cos6?0sin6,b?02tan1321?tan130,c?,则有（ ）

A．a?b?c B.a?b?c C. b?c?a D. a?c?b

?7．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋?)其中｜?｜＜的图象，那么（ ）

2Aω＝

1011，?＝

?6 Bω＝

1011，?＝－

3?6 Cω＝2，?＝

?6 Dω＝2，?＝－

?6

??8．若?,??(0,)，cos(??)?222,sin(?2??)??12，则cos(???)的值等于（ ）

（A）?32 （B）?12 （C）

12 （D）

32

9．若sin??sin??1，则cos?????的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. ?1 D. —1 10．要得到函数y?sin(2x?A．向左平移

?6?3)的图象，只需将函数y?cos2x的图象（ ）

个单位 B．向右平移

?6个单位 C．向左平移

?12个单位 D．向右平移

?12个单位

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上．

11．若方程3sinx?cosx?a 在[0, 2?]上有两个不同的实数解，则a的取值范围为________________．

1

12．设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－

??34,，］上单调递增，则ω的取值范围是________________．

13．y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为__________________．

14．方程sinx＋3cosx = m在[0，?]上有两个解，则实数m的取值范围为__________________． 15．函数f(x)的定义域[?4,4]，图象如右图，则

f(x)sinx不等式?0的解集为_____________．

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知f(x)=2cos2x+3sin2x+a (a∈R , a为常数)， (Ⅰ) 若x∈R，求f(x)的单

?调增区间；(Ⅱ) 若x∈[0, ]时f(x)的最大值为4，求a的值，并指出此时f(x)的图象可由y = sin x的图

2象经过怎样的变换而得到．

17．（本小题满分12分）已知f（x）=5°2x+20°，g（x）=6°2x+30°是否存在整数T，使得对于任意的x的值，都有f（x+T）与f（x）、g（x+T）与g（x）均表示终边相同的角？若存在，求出T的值；若不存在，请说明理由．

18．（本小题满分12分）（山东省郓城一中2007-2008学年第一学期高三期末考试）已知?ABC中， 角A，B，C，所对的边分别是a,b,c，且2?a2?b2?c2??3ab，（1）求sin2A?B，（2）若c?2，求?ABC面积的

2最大值．

19．（本小题满分12分）已知函数f?x??sin?x????????，??sin?x???acosx?b（a,b?R，且均为常数）

6?6????（1）求函数f?x?的最小正周期；（2）是否存在常数a,b使得f?x?在区间????,0?上单调递增，且恰好能够取3?到f(x)的最小值2就是f?x?在R上的最值，若存在，试求a,b的值，若不存在请说明理由．

20．（本小题满分12分）是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a2cosx+大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由．

21．（本小题满分15分）(1) 已知tan（

58a－

32在闭区间［0，

?2］上的最

?4＋?）＝2，求1212sin?cos?＋cos?2的值．

(2)化简sin2?sin2?＋cos2?cos2?－(3)已知

cos2?cos2?．

35?4???3?4，0????4，cos(?4??)??，sin(3?4??)?513，求sin(? + ?)的值．

2

三角函数单元二轮作业 参考答案 D．D．C．D．B．D．C．B．D．Ｄ． 1．解：f(x)=sin(x+

?2)?cosx，g(x)=cos(x－

?2)?sinx

2．解：显然y??xcosx为奇函数，故排除（A）、（C）

令x?0且x?0，判断出相应的即当横坐标y?0，

x?0且x?0时，纵坐标y?0，故弃（B）选（D）

?23．解：cot??tan(上递增，????2?2代入条件，得tan??tan(??)，

?2?2??).又?,?2???(0,函数y?tanx在(0,)，

?2)??，即?????2.故选C．

122)?24．解：f(x)=cos2x+sin(5．解: tan??cot??而由sin??cos??故tan??cot??11232+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+

?cos?sin??1sin??cos?18］－1．答案：D

sin?cos?.

122得:1?2sin?cos??2 ?sin?cos???2.答案选B．

6．解：a?012cos6?00sin6??sin24,b?002tan132001?tan13?tan26,c?0001?cos5020?sin250

tan26/sin25>tan250/sin250?1/cos250>1?tan26>sin25．选D．

7．由图可知，点(0，1)和点(

即sin?＝

1211?12，0)都是图象上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin?＝1，

，又｜?｜＜

1112?2，∴?＝

?6，又由“五点法”作图可知，点(

11?12，0)是“第五点”，所以ω

x＋?＝2π，即ω2

?2π＋?2?6＝2π，解之得ω＝2，故选C． ???68．由?,??(0,所以?－?2)，则?－?（－????1?3，），－??（－，），又 cos(??)?，sin(??)??，422242222＝??6，

?2－?＝－,解得?＝?＝?3，所以 cos(???)＝?12，故选B．

9．有界性和公式应用选D；由于sinα、sinβ∈［－1，1］仅当sinα＝sinβ＝±1时，sinα、sinβ才有可能等于1，这时α、β的终边一定同时落在ｙ轴的正半轴或负半轴上，此时cosα＝0，cosβ＝0，故cos

α2cosβ＝0.

?????10．解：y?sin(2x?)?cos[?(2x?)]?cos(?2x)?cos(2x?)，

32366由y?cos2x变换到y?cos(2x?11．解：原方程可化为a?2sin(x??6?6)，只需将图象向右平移

?12个单位，故选D．

)，由y?2sin(x??6)的图象(0?x?2?)可知，a∈（－2，1）∪（1，

2）时，方程3sinx?cosx?a在[0, 2?]上有两个不同实根．

3

12．解：由－

?2≤ωx≤

?2，得f(x)的递增区间为［－

?2?,

?2?］，由题设得

???????????33?2?3[?,]?[?,],?? 解得:??,?0???. 342?2?22??????2?413．令sinx－cosx＝t，则sinxcosx＝

1－t22，

因为t＝2sin（x－?4），所以t?[?2,2].又因为y＝t＋

1－t222＝－（t－1）＋1

12 所以当t＝－1时，ymax＝1， 当t＝－2时，ymin＝－14．方程可化为

m212－2．

?3= sin(x＋

?3)，根据此方程对应的图象可知，y1= sin(x＋

m2)，y2=

m2在同一坐标系中有

两个不同的交点，满足求．

32y ＜1，即3≤m＜2为所

32≤

O y =2?3m2 15．[-4,-?)?[?2,0)?[1,?) 16．解: (Ⅰ)f(x)=2cos2x+3sin2x+a= cos2x+3sin2x+

?a+1=2 sin(2x+) +a+1, ?.4分

6－?3 x ∴f(x)的单调增区间为[kπ- (Ⅱ) ∵x∈[0,

?2?3, kπ+

?6] k∈Z. ??..2分

?6]时，f(x)的最大值为4，∴?6≤2x+

?6≤

7?6．f(x)MAX=2+ a+1=4．∴a=1．

∴f(x)= 2 sin(2x+) +2．??2分

将y=sinx图象上任一点的横坐标缩小为原来的1倍(纵坐标不变)得到y= sin2x的图象，再将y=sin2x图象2?向右平移12个单位得到y= sin(2x+

?6)的图象，再将所得图象上任一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)

?6得到y= 2 sin(2x+分

?6)的图象，再将所得图象向上平移2个单位得到f(x)= 2 sin(2x+) +2的图象．??4

说明：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的性质等基本知 识，以及推理和运算能力．

17．解：∵f（x+T）=5°（x+T）+20°=f（x）+5°2T，

若f（x+T）与f（x）表示终边相同的角，则5°2T=k2360°（k∈Z），....6分 ∴T=72k1（k1∈Z）. 同理，有T=60k2（k2∈Z）. ....3分

∴T是72与60的公倍数，即T=360k（k∈Z）.故存在这样的整数T=360k（k∈Z）.

18．解：（Ⅰ）?a?b?c?22232ab,?cosC?a?b?c2ab222?34?2分?

4

?A?B???C,?sin2A?B232?1?cos?A?B?222?1?cosC232?78?6分?

（Ⅱ）?a2?b2?c2?又?a2?b2?2ab,?341232ab,且c?2，?a?b?4?ab，

ab?2ab?4,?ab?8?8分?

?cosC?,?sinC?1?cosC?2?3?1????4?2?74?10分?

?S?ABC?absinC?7,

当且仅当a?b?22时，△ABC面积取最大值，最大值为7． 19．（1） f?x??sin?x?????????sinx?????acosx?b 6?6??3sinx?acosx?b??2sinxcos?6?acosx?b?a?3sin?x????b

2 （其中?由下面的两式所确定：sin??aa?32,cos??3a?32）

所以，函数f?x?的最小正周期为2?．?.6分

（2） 由（1）可知：f?x?的最小值为?另外，由f?x?在区间??????f???=??3??a?3?b，所以，?2a?3?b?2．

2

????????,0?上单调递增，可知：f?x?在区间??,0?上的最小值为f???，所以，3??3??3?a?3?b?2．解之得：a??1,b?4??.6分

2说明：三角函数的单调性、周期是本章考察的重点．三角函数的值域经常与二次函数等其它问题综合，考

察函数在确定区间上的最值．

20．解:y?1?cos当0?x?若a22x?acosx?58a?32??(cosx?a2)?2a24?58a?12.....2分?2时,0?cosx?1.......1分58a?32?1?1时,即a?2,则当cosx?1时,ymax?a?2013a232?2(舍去),......3分a2?a?若0??a?若

时,ymax?a2?1,即0?a?2,则当cosx?或a??4?0(舍去)......3分4?58a?12?1a2?0,即a?0,则当cosx?0时,ymax?58a?12?1?a?125?(舍去).....2分5

综合上述知，存在a?32符合题设. ???1分

21．每小题5分．另外每一小题要按步打分．

(1)分析：由已知易得tana得值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正余弦函

数，且分子是常数1，可将1化为sin2?＋cos2?，再利用同角三角函数关系式将所求式转化成正切函数来解决．

解：由tan（

?4＋?）＝1＋tana1－tana＝2，得tana＝

13．??2分

12（）＋11sin?＋cosatana＋123＝＝＝＝于是．?.3分 2212tana＋132sin?cos?＋cos?2sinacosa＋cosa2?＋13222(2)分析一：从“角”入手，复角化单角利用“升幂公式”． 解一：sin2?sin2?＋cos2?cos2?－= sin2?sin2?＋cos2?cos2?－= sin2?sin2?＋cos2?cos2?－cos2?cos2?＋cos2?＋cos2?－

12121212cos2?cos2?

(2cos2?－1)(2cos2?－1)

(4cos2?cos2?－2 cos2?－2cos2?＋1)= sin2?sin2?－

12= sin2?sin2?－cos2?(1－sin2?)＋cos2?＋cos2?－= sin2?sin2?＋cos2?sin2?＋cos2?－＋cos2?－

1212

12= sin2?( sin2?＋cos2?)＋cos2?－= sin2?=1－

12=

12．

12分析二：从“名”入手，“异名化同名”解法二：sin2?sin2?＋cos2?cos2? －sin2?sin2?＋(1－sin2?)2cos2?－= cos

12122cos2?cos2?=

12cos2?sin2?

1212?－sin

2?( cos

2?＋sin

2?)－cos2?cos2?= coscos2?)=

122?－sin

2?cos2?－

1?cos2?2cos2?cos2?= cos2?－cos2?( sin2?＋cos2?)=

?412(1＋cos2?)－cos2?(＋

．

3?4(3)∵????4，∴

3?4??∵0???，∴

23?4??4????，又cos(3?4?4??)??51335，∴sin(3?4?4??)?4????，又sin(??)??4，∴cos(3?445??)??51213?.1分 ?1分

∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ?sin[(??[sin(?4??)cos(3?4??)?cos(?4??)sin(??)?(??)]??..2分 ?(?1213)?35?513]?63653?4??)]??[．??1分

补充题

6

1．(山东省济宁市2009届高三11月教学质量检测)

在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且A为锐角， f(A)?2sin(?2?A2)sin(??A2)?cos(2?2?A2)?cos(??2A2)

求f(A)的最小值；

解：f(A)??2cosA2sinA2?sin2A2?cos2A2

??sinA?cosA??2sin(A??4 )

?4?3?4QA是锐角，?0?A??2,??4?A?，

?当A??4??2时，f(A)min??2 ．

2．山东省淄博市2008年5月高三模拟试题

0???2， |?|?已知函数f(x)?Asin(?x??)?B(A?0，?2)的一系列对应值如下表： 11?6x y ??6 ?3 5?6 4?31 7?31 17?6 ?1 1 3 ?1 3 （Ⅰ）根据表格提供的数据求函数y?f(x)的解析式；

（Ⅱ） 若对任意的实数a，函数y?f(kx)（k?0），x?(a，a?不同的交点，求k的值． 解：（Ⅰ）依题意，T?2?2?3]的图像与直线y?1有且仅有两个

??2[5?6?(??6)] ∴ ??1

又

5?6?B?A?3，解得

B?A??15?6?A?2 B?1f()?2sin(??)?3， |?|??2，解得 ????3

∴ f(x)?2sin(x??3)?1为所求.

（II）由f(x)?2B，得sin(x?∵ x?[0， 2?]，∴?∴ x??3??3)??1?3??x?5?6?325?3

， x?7?6?6或x??3，即x??2为所求.

3．（宁夏区银川一中2008届高三年级第五次月考测试）

在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=（cosA, sinA），

n=(2?sinA,cosA)，若|m+n|=2，求角A的大小．

2

解：|m+n|=(cosA?2?sinA)?(sinA?cosA)

7

22

?4?22(cosA?sinA)

?4?4cos(A??4) ????3分 )?4 ∴cos(A?∴4?4cos(A??4?4)?0.

∵A?(0,?), ∴A??4

评析：主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．

4．（安徽省皖南八校2008届高三第三次联考）

（2cosx，1）设函数f(x)?a?b，其中向量a?，b?(cosx，3sin2x?m）．

(1)求函数f(x)的最小正周期和在?0，??上的单调递增区间；

?????(2)当x?0，时，f(x)的最大值为4，求实数m的值．

?6?（2cosx，1）?(cosx，3sin2x?m）解：（1）f(x)?a?b==2cosx?23sin2x?m

=cos2x?3sin2x?1?m?2sin（2x?2?2?6）?m?1?????????????3分

由函数f(x)的最小正周期T?由2k???2?2x??6?2k???2??. ??????????????????4分

?3?x?k???6（k?Z）得k???????????? 6分

∴f(x)在?0，??上的单调递增区间是?0，?、?，??.??????????8分

?6??3?（2）0?x??6?6?2??时，

?6?635?2x??2?6??，或（由①知f(x)在?0，?上是增函数）?9分 2?6????

∴x?，2x??，f(x)取最大值m?3?????????????11分

由m?3=1的m?1.?

（5．已知sin?2?a）?，则tana等于

9162A．

169

?2 B．

35 C．sina243

2 169D．

34

解：A sin(?a)?cosa?，tana?2cosa2?1?cosacosa2?.

6．定义：设函数f(x)的定义域为R，若存在正常数M，使得f(x)?Mx对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数．给出下列函数：

①f(x)?x，

2 ②f(x)?x2?2x?x，

8

③f(x)?， （2sinx?cosx） ④f(x)?4sin?2cos?2

其中是F函数的有 A．1个

D．4个

B．2个

C． 3个

解：B ①当f(x)?x2时，由f(x)?Mx，即x2?Mx，即x?M，则M不存在；

②f(x)?x2?2x?x时，f(x)?Mx，即

12?2x?x?M，又

12?2x?x?12，

故存在常数M?③f(x)?12，使f(x)?Mx对一切实数x均成立.

2，而Mx?0，与

时，取x?0，则f(x)?（2sinx?cosx）f(x)?Mx矛盾，故不存在M；

④f(x)?4sinx2cosx2?2sinx时，当x??2时，sinx?x，f(x)?2sinx?2x，当x??2时，

f(x)?2sinx?2???2x，

故存在M=2, 使得f(x)?Mx对一切实数x均成立.综上所述，②④ 是F函数.

9

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