华东师大二附中2020-2021学年高二数学上学期10月考试卷附答案解析

1 华东师大二附中2020-2021学年高二数学上学期10月考试卷

一、单选题

1．点

(),a b 关于直线1x y +=的对称点的坐标是（ ） A ．()1,1b a -- B ．()1,1a b -- C ．(),a b -- D ．(),b a --

2．在下列四个命题中，正确的共有（ ）

①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；

②直线的倾斜角的取值范围是[0,]π；

③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；

④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

3．设θ为两个非零向量a 、b 的夹角,已知当实数t 变化时||a tb +的最小值为2,则（ ）

A ．若θ确定,则||a 唯一确定

B ．若θ确定,则||b 唯一确定

C ．若||a 确定,则θ唯一确定

D ．若||b 确定,则θ唯一确定 4．在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）

A

．B

． C

D

二、填空题

5．已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________.

6．平面直角坐标系中点（1,2）到直线210x y ++=的距离为_________

7．已知直线l 过点()1,2P ，法向量()3,4=-，则其点法向式方程为________

8．已知单位向量,a b ，若a b ⊥，则3a b +与a 的夹角为__________. 9．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +最小值是____________.

10．直线l 过原点，且平分ABCD 的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l 的方程是 ．

11．若某直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+

=所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大

小为_______.

2 12．经过()1,2P 的直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=分别交于1P 、2P 两点，且满足

12

3PP PP =，则直线l 的方程为_________. 13．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ?=≠取值集合为__________．

14．在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM

--→?的取值范围为__________.

15．定义：对于实数m 和两定点,M N ，在某图形上恰有()*n n N ∈个不同的点i P ，使得

()·1,2,3i i PM PN m i n ==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，

2,3BC BM DN NA ==，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是__________．

16．已知点C 在以O 为圆心的圆弧

AB 上运动，且23AOB π∠=，若OC OA OB x y =+，则23x y +的取值范围为________.

三、解答题

17．已知点()1,2A

、()5,1B -，且A ，B 两点到直线l 的距离都为2，求直线l 的方程.

18．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =

. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；

（2）若()1,1b

=，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.

19．已知直线1:230l x y -+=及点(2,0)P ．

（1）求点P 关于直线1l 对称的点Q 的坐标；

（2）求过点P 且与直线1l 夹角为

4π的直线2l 的方程．

20．一束光从从光源(1,2)C 射出，经x 轴反射后（反射点为M ），射到线段,[3,5]y x b x =-+∈上N 处.

（1）若(3,0)M ，7b =，求光从C 出发，到达点N 时所走过的路程；

3 （2）若8b =，求反射光的斜率的取值范围；

（3）若6b ≥，求光从C 出发，到达点N 时所走过的最短路程.

21．如图，已知直线1:0l kx y +=和直线2:0(0,0)l kx y b b k ++=>≥点O 为坐标原点，()4,2P ，()4,4Q --，点A 、B 分别是直线1l 、2l 上的动点，直线1l 和2l 之间的距离为3.

（1）求直线OP 和直线OQ 的夹角的余弦值；

（2）已知A 、B 中点为M ，若||8PA PB +=，求PA PB ?的最大值；

（3）若0k

=，2AB l ⊥，求||||||PA AB BQ ++的最小值.

解析

华东师大二附中2020-2021学年高二数学上学期10月考试卷

一、单选题

1．点

(),a b 关于直线1x y +=的对称点的坐标是（ ） A ．()1,1b a -- B ．()1,1a b -- C ．(),a b -- D ．(),b a --

【答案】A

【分析】设对称点坐标为

(),x y ，由对称点连线与对称轴垂直和对称点连线段中点在对称轴上列出方程组可解得,x y ．

【详解】解：点(),a b 关于直线1x y +=对称的点为(),x y ， 则112

2b y a x a x b y -?=??-?++?+=??，解得： 11x b y a =-??=-?， 故选：A ．

4 【点睛】本题考查点关于直线对称问题．掌握对称的特征是解题关键．即若,P Q 关于直线l 对称 则PQ l ⊥，PQ 的中点在直线l 上．

2．在下列四个命题中，正确的共有（ ）

①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；

②直线的倾斜角的取值范围是[0,]π；

③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；

④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 【答案】A

【分析】根据倾斜角与斜率定义与关系进行判断选择.

【详解】由于和x 轴垂直的直线的倾斜角为90?，而此直线没有斜率，故①不正确；

直线的倾斜角的取值范围是[)0,180?，故②不正确；

若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为180k βα=+??，k Z ∈，且0180β?≤≤?，故③不正确； 若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率不一定为tan α，如当90α

=?时，tan α不存在，故④不正确． 综上可知，四种说法全部不正确．选A.

【点睛】本题考查斜率与倾斜角关系，考查基本分析判断能力，属基础题.

3．设θ为两个非零向量a 、b 的夹角,已知当实数t 变化时||a tb +的最小值为2,则（ ）

A ．若θ确定,则||a 唯一确定

B ．若θ确定,则||b 唯一确定

C ．若||a 确定,则θ唯一确定

D ．若||b 确定,则θ唯一确定 【答案】A

【分析】画图利用点与直线上的点的距离大小关系,以及向量的加减法性质判定即可.

【详解】如图,记OA a =、AB b =、A H tb =,则OH a tb =+,

当()b a tb ⊥+时,||a tb +取得最小值,

若θ确定,则||a 唯一,||b 不确定,

若||a 确定,θ可能有两解（图中OA a =或OA a '=）,

5 若||b 确定,则a 不确定,从而θ也不确定.

故选：A ．

【点睛】本题主要考查了平面向量的图形表示,需要结合点到直线的距离最值以及平面向量的加法性质分析.属于中档题.

4．在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则

432MA MB MC ++的最小值为（ ）

A

．B

． C

．8 D

．2 【答案】D

【分析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos 16

ABC ∠=，

结合同角三角函数的基本关系可求出sin ABC ∠=，从而可求出()0,0B ，()4,0C

，118A ? ??

，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值. 【详解】解：由余弦定理可知22222224311cos 222416

AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===????，

所以sin 16ABC ∠=== 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ，

因为1111cos 2168AB ABC ?∠=?=

，sin 2AB ABC ?∠==

则11,88A ? ??

，所以11,88MA x ?=- ??

，(),0MB x =-，()4,0MC x =

-，

6 因为()()11274324982x x x x ??-+-+-=- ???

，43020+?+?=

所以27

4329,22MA MB MC x ?++=- ??

， 则27432MA MB MC ?++= 2

27902x ??-≥ ???， 当32x =时等号成立，所以315432MA MB MC ++≥ 故选:D.

【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.

二、填空题

5．已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________.

【答案】2

【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可.

【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：

2=21

故答案为：2

【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.

7 6．平面直角坐标系中点（1,2）到直线210x y ++=的距离为_________

【答案】【分析】根据点到直线的距离公式完成计算即可.

【详解】因为点为()1,2，直线为210x y ++=，

所以点到直线的距离为：d ==

故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式的运用，难度较易.已知点()00,P x y ，直线0Ax By C ++=，则点P 到

直线的距离为：d =.

7．已知直线l 过点()1,2P ，法向量()3,4=-，则其点法向式方程为________

【答案】()()31420x y ---=

【分析】根据直线方程的点法向式方程的写法,可直接得点法向式方程.

【详解】由点法向式方程的定义, 直线l 过点()1,2P

，法向量()3,4=- 则点法向式方程为:()()31420x y ---=

故答案为:()()31420x y ---=

【点睛】本题考查了直线的方程表示形式, 点法向式方程的定义即方程写法,属于基础题.

8．已知单位向量,a b ，若a

b ⊥，则3a b +与a 的夹角为__________. 【答案】3

π 【分析】根据向量数量积的运算翻法则，先得到

()3a b a +?，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为,a b 为单位向量，a

b ⊥， 所以0a b ?=，1==a b ， 因此()

2331a b a a a b +?=+?=， 即向量3a b +与a 的夹角为θ，

8 则2231cos 2

432331a b a a b a a a b b θ+?====++?+?， 所以3π

θ=.

故答案为：3

π. 【点睛】

本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量的数量积运算法则即可，属于基础题型.

9．点(,)P x y 在直线40x y +-=

上，则22x y +最小值是____________.

【答案】8

【分析】22x

y +就是(,)P x y 到原点距离的平方，只需求出原点到直线的距离即可. 【详解】22x y +就是(,)P x y 到原点距离的平方，

(,)P x y 到原点距离的最小值为d =

=22x y +最小值为(28=，

故答案为8.

【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，考查了转化思想的应用，属于基础题.

10．直线l 过原点，且平分ABCD 的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l

的方程是 ．

【答案】；

【详解】试题分析：直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点（3，2），所以直线斜率为2023

03-=-，由斜截式可得直线l 的方程为2y x 3

=． 【解析】本题主要考查直线方程的求法．

点评：注意数形结合，分析图形的特征，探求解题方法．

11．若某直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为_______.

【答案】15?和75?

【分析】先由两平行直线的距离公式得直线1l 与2l 的距离为d =再结合直线被两平行线所截得的线段的长

9

为，求得该直线与直线1l 所成角30?，然后结合直线1l 的倾斜角为45?求解即可.

【详解】解：由两平行直线的距离公式可得：

直线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=

的距离为d ==

又直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=

所截得的线段的长为

即该直线与直线1l 所成角30?，

又直线1l 的倾斜角为45?，

则该直线的倾斜角大小为15?和75?，

故答案为：15?和75?.

【点睛】本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题.

12．经过()1,2P 的直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=分别交于1P 、2P 两点，且满足123PP PP =，则直线l 的方程为_________.

【答案】241800x y -+=

【分析】设()1,P a b ，可得3100a b -+=，由123PP PP =可得48

28033a b

--?+-=，联立方程可得

34

12

,77a b =-=，即可求出直线方程.

【详解】设()1,P a b ，则3100a b -+=（1），

()1,2P ，123PP PP =，

()()221,231,2P P a b x y ∴--=--， 则2248,33P P a

b x y --==代入2l 得4828033a b

--?+-=（2），

联立（1）（2）解得34

12

,77a b =-=， 则12

227344117

l k -==--，故直线l 的方程为22(1)41

y x -=-，

即241800x y -+=.

10 故答案为：241800x y -+=

【点睛】关键点睛：本题考查直线方程的求解，解题的关键是求出()1

,P a b 的坐标，通过条件建立其关于,a b 的两个方程3100a b -+=和4828033

a b --?+-=，解出()1,P a b 即可得出方程. 13．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,

1,2,3,)i j PP PP i j i j ?=≠取值集合为__________． 【答案】111,,,122?

?--????

【分析】根据数量积的定义，分别求2112PP PP ?、1122PP P P ?、1213PP PP ?、1132PP P P ?、3122PP P P ?、2132PP P P ?，即可得12(,

1,2,3,)i j PP PP i j i j ?=≠取值集合.

【详解】如图：

由向量数量积的定义得：

11212122cos01111PP PP PP PP ?==??=；

()12122121cos1801111PP P P PP P P ?==??-=-； 1212131311cos601122

PP PP PP PP ?==??=； 3112123111cos1201122PP P P PP P P ???==??-=- ???

； 2312122311cos1201122PP P P PP P P ???==??-=- ???

；

1212323211cos601122

PP P P PP P P ?==??=.

11 故构成的集合为：111,,,122?

?--????

【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题.

14．在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→?的取值范围为__________.

【答案】[]4,4-

【分析】先作出曲线||2||2x y +=对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解.

【详解】解：曲线||2||2x y +=对应的图像为如图所示的菱形ABCD ，

设00()M x y ，则()00,OM x y =，因为M 是曲线||2||2x y +=上的动点，

则00||2||2x y +=，又向量(2,1)a =，则002z a OM x y --→

=?+=，

由图可知：目标函数2z x y =+过点(2,0)A -时，函数取最小值2(2)104?-+?=-，

过点(2,0)C 时，函数取最大值22104?+?=，

即a OM --→?的取值范围为[]4,4-，

故答案为：[]4,4-.

【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.

15．定义：对于实数m 和两定点,M N ，在某图形上恰有()*n n N ∈个不同的点i P ，使得()·1,2,3i i PM PN m i n ==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，2,3BC BM DN NA ==，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是__________．

12 【答案】14

m =-或26m << 【解析】分析：根据定义，分类讨论P 点在四条边上的不同情况；转化成m 的表达式后，利用二次函数求得m 的范围；分析在四种情况下，哪个符合有4个解，即可得到m 的取值．

详解：以AB 为x 轴，AD 为y 轴，A 为原点建立平面直角坐标系．所以(4,2),(0,1)M N ．因为P 点位置不确定，所以分四种情况讨论：

当P 点在AB 上时，设(,0)P t ，(04)t ≤≤

所以()()4,2,1PM PN t t m ?=--=

所以

()2242

22m t t t =-+=--

根据二次函数的图像可知，当2m =- 时，有1个解

当22m -<≤ 时，有2个解

（2）当P 点在BC 上时，设(4,)P t ，(04)t ≤≤

所以()()0,24,1PM PN t t m ?=---=

所以

22

32

3124

m t t t =-+??=-- ??? 根据二次函数的图像可知，当1

4m =- 时，有1个解 当1

24m -<≤ 时，有2个解

当26m << 时，有1个解

（3）当P 点在CD 上时，设(,4)P t ，(04)t ≤≤

所以()()4,24,3PM PN t t m ?=----=

所以

()2246

22m t t t =-+=-+

13

根据二次函数的图像可知，当2m = 时，有1个解 当26m << 时，有2个解

（4）当P 点在AD 上时，设(0,)P t ，(04)t ≤≤

所以()()4,20,1PM PN t t m ?=--=

所以

22

323124

m t t t =-+??=-- ??? 根据二次函数的图像可知，当1

4

m =- 时，有1个解 当1

24

m -

<≤ 时，有2个解 当26m << 时，有2个解

由（1）可知，当22m -<≤ 时，有2个解．所以当1

4

m =- 时，也有2个解 综上所述，当1

4

m =-

或26m <<有4个解，满足“4度契合”． 点睛：本题考查了新定义问题，利用分类讨论思想求得参数取值范围，向量的数量积坐标表示等，分析量、计算量、都很大，需要细致分析才能解决问题，对思维有很高要求，属于难题． 16．已知点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，且23

AOB π∠=，若OC OA OB x y =+，则23x y +的取值

范围为________.

【答案】[2,

3

【分析】设OA 为直角坐标系的x 轴，建立平面直角坐标系.记OC 与OA 夹角为203

πθθ??

≤≤

??

?

,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,

可得到()233x y θ?+=+(

其中tan 4

?=

),结合三角函数的图象和性质,可得答案.

【详解】设OA 为直角坐标系的x 轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记OC 与OA 夹角为203

πθθ?

?≤≤

??

?

,

14 则(cos ,sin ),(1,0)OC OA θθ==

，1,22OB ??=- ? ???

，代入OC OA OB x y =+,

有

(cos ,sin )(,0),22y x θθ??=+- ? ???

,

∴cos ,sin 22y x θθ-==，

∴sin cos ,33x y θθθ=+=，

故()23sin 3

x y θ?+=+(其

中tan ?=), 203πθ≤≤,23π?θ??∴≤+

≤+，而sin ?

=

，2sin 3π???+=> ???

, 当2π

θ?+=时，23x y

+，当θ??+=,即0θ=时,23x y +取最小值2， ∴23x

y +的取值范围为，

故答案为: .

【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.

三、解答题

17．已知点()1,2A 、()5,1B -，且A ，B 两点到直线l 的距离都为2，求直线l 的方程.

【答案】3410x y +-=或34210y +-=或3x =或

7320244x y --=. 【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线L 与点()1,2A

和点()5,1B -两点的连线平行，一类是线L 过两点()1,2A 和点

()5,1B -中点，分类解出直线的方程即可.

15 【详解】∵

5AB ==，122AB >， ∴A 与B 可能在直线l 的同侧，也可能直线l 过线段AB 中点， ①当直线l 平行直线AB 时：123514

AB k --==--，可设直线l 的方程为34y x b =-+

依题意得：2=，解得：214b =或14b =， 故直线l 的方程为：3410x y +-=或34210y +-=

②当直线l 过线段AB 中点时：AB 的中点为13,2?? ???

， 当直线斜率不存在时：直线l ：3x =，符合题意；

当直线斜率存在时，可设直线l 的方程为()132

y k x -=-

依题意得：2=，解得：724

k =， 故直线l 的方程为：3x =或7320244

x y --=. 综上所述：直线方程为：3410x y +-=或34210y +-=或3x =或

7320244x y --=. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力.

18．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =

. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；

（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.

【答案】（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ??∈-+∞ ???

【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；

（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线.

【详解】解：（1）因为()1,2a =，且//c a ，

16 则(,2)c a λλλ==， 又25c =，所以22(2)20λλ+=，即2λ=±，

故2,4c

或()2,4--； （2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++，

由()1(1)2(2)0a a λb λλ?+=?++?+>，解得53λ>-

， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ?+≠?+，解得0λ≠，

故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3??-

?+∞ ???. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.

19．已知直线1:230l x y -+=及点(2,0)P ．

（1）求点P 关于直线1l 对称的点Q 的坐标；

（2）求过点P 且与直线1l 夹角为4

π的直线2l 的方程． 【答案】（1）(0,4)Q ；（2）360x y --=和320x y +-=．

【分析】(1)设()00,Q x y ,再根据直线PQ 与1l 垂直,且,P Q 的中点在直线1l 上列式求解即可.

(2)利用两直线夹角的斜率公式求解直线2l 的斜率,再利用点斜式求解直线2l 的方程即可.

【详解】(1) 设()00,Q x y ,因为,P Q 关于直线1l 对称,故0000

202302201122x y y x ++?-?+=???-??=--?? , 即000028024x y y x -+=??=-+? ,解得0004

x y =??=?,故(0,4)Q . (2)设直线1l 的倾斜角为θ,1tan 2θ=.则直线2l 的倾斜角为4πθ+或4

πθ-. 当直线2l 的倾斜角为4πθ+时, 2l 的斜率tan 1tan 341tan πθθθ+??+== ?-?

?,故直线2l 的方程为()032y x -=-,

17 化简得360x y --=.

当直线2l 的倾斜角为34πθ+时, 2l 的斜率3tan 11tan 41tan 3πθθθ-??+==- ?+??

,故直线2l 的方程为()1023

y x -=--,化简得320x y +-=. 所以直线2l 的方程为360x y --=和320x y +-=.

【点睛】本题主要考查了求点关于直线对称点的坐标,同时也考查了求与已知直线呈一定夹角的直线的方程.属于中档题.

20．一束光从从光源(1,2)C 射出，经x 轴反射后（反射点为M ），射到线段,[3,5]y x b x =-+∈上N 处.

（1）若(3,0)M ，7b =，求光从C 出发，到达点N 时所走过的路程；

（2）若8b =，求反射光的斜率的取值范围；

（3）若6b ≥，求光从C 出发，到达点N 时所走过的最短路程.

【答案】（1

）（2）57[,]42（3

）77b S b ≤≤=> 【分析】（1）求出()1,2C

关于x 轴的对称点C '，进而可以求出反射光线所在直线C M l '，从而可以求出()5,2N ，求出C N '即可；（2）将8b =代入线段[],3,5y x b x =-+∈中，结合()1,2C 关于x 轴的对称点C '，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线y x b =-+垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与y x b =-+的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程．

【详解】（1）()1,2C 关于x 轴的对称点()1,2C '-，:3C M l y x '=-

[]353,57

y x x y x =-??=∈?=-+?，则此时()5,2N

所以光所走过的路程即

C N '= （2）对于线段[]8,3,5y x x =-+∈，令其端点()()3,5,5,3A B 则75,24C A C B k k ''==， 所以反射光斜率的取值范围是57,42??????

18 （3）若反射光与直线y x b =-+垂直，光所走过的路程最短，则由332y x b b x y x =-+?+?=?=-?

①当[]33,52

b x +=∈，即67b ≤≤时，光所走过的最短路程为点C '到直线y x b =-+的距离，

所以路程S ==； ②当()35,2b x +=

∈+∞，即7b >时，光所走过的最短路程为线段C B '，其中()5,5B b - 所以

C B S ===

'

综上：77b S b ?≤≤?=>

【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．

21．如图，已知直线1:0l kx y +=和直线2:0(0,0)l kx y b b k ++=>≥点O 为坐标原点，()4,2P ，()4,4Q --，点A 、B 分别是直线1l 、2l 上的动点，直线1l 和2l 之间的距离为3.

（1）求直线OP 和直线OQ 的夹角的余弦值；

（2）已知A 、B 中点为M ，若||8PA PB +=，求PA PB ?的最大值；

（3）若0k =，2AB l ⊥，求||||||PA AB BQ ++的最小值.

【答案】（1；（2）

554；（3）3. 【分析】（1）根据向量夹角公式先求出cos ,||||OP OQ OP OQ OP OQ ?<>=?，即可得出结果； （2）PA PB ?=216MA -，只需求出MA 最小值即可；

（3）作P 关于直线32y =-

的对称点P '，可得()4,5P '-，作Q 关于3

y =-的对称点Q '，可得()4,2Q '--，

19 则可得()()min min ||||||||||33PA AB BQ P B BQ P Q '''++=++=+.

【详解】（1）根据题意，(4,2)OP =，(4,4)OQ =--，

所以cos ,||||20OP OQ OP OQ OP OQ ?<>===?

，

直线夹角的范围是090????，， 故直线OP 和直线OQ ；

（2）2PA PB PM +=，4PM ∴=，

()()PA PB PM MA PM MB ∴?=+?+

()2PM PM MA MB MA MB =+?++?

216+=16MA MB MA =?-， 则当MA 取最小值时，PA PB ?取最大，

1l 与2l 的距离为3，M 是AB 中点，

MA ∴的最小值为3

2，PA PB ∴?的最大值为2

355

1624??-= ???.

（3）0k =，直线1:0l y =，直线2:30l y +=，如图所示，

2AB l ⊥，可知3AB =，故要使||||||PA AB BQ ++的值最小，只需||||PA BQ

+的值最小， 作P 关于直线3

2y =-的对称点P '，可得()4,5P '-，

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