曾量子力学题库(网用)(1)

一、简述题：

1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问

题上的差别

2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论

5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理

8. （2）在给定的状态中测量某一力学量可得一测值概率分布。问在此状态中能否测得其它力学量的

概率分布？试举例说明。

9. （2）在给定状态下测量某一力学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件

11.（2）假设一体系的基态波函数在全空间上都大于零，试解释是否存在某一激发态，该激发态在全

空间范围内也都大于零。

12.（2）已知粒子波函数在球坐标中为?(r,?,?)，写出粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的几率以及在

(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的几率。

13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）?(x)??(x)是否定态？为什么？ 15.（2）设??1ikre，试写成其几率密度和几率流密度 r16.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 17.（3）简述和解释隧道效应

?018.（3）一维无限深势阱体系V(x)????态 ?(x)??0V(x)??x?0orx?a??0?x?a0?x?ax?0orx?a处于状

2?1ikx，请问该状态是否是定态？为什么？ (e?e?ikx)，其中k?a2a19.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。

20.（3）某一维体系，粒子的势能为2??2x2，其中?为粒子质量，说明该体系是什么体系，并写出体系能量的可能取值。

21.（3）说明共振能级与束缚态能级的区别，并用不确定度关系解释为何一维有限深方势阱中束缚态

能级低于相应的共振能级。

22.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 23.（4）简述力学量算符的性质 24.（4）试述力学量完全集的概念

25.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？

?、B?、B?对易，即[A?是否可同时取得确定值？?均与算符C?、C?,C?]?[B?]?0，A?,C26.（4）若算符A为什么？并举例说明。

27.（4）对于力学量A与B，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。

?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ ?x和x方向的角动量L28.（4）微观粒子x方向的动量px29.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式

30.（4）简述幺正变换的性质

31.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 32.（4）粒子处在V(x)?1??2x2的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态2Schr?dinger方程。

33.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。

?,B?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 34.（4）如果Aa)

1?31????1???) ?AB?BA) b) (AB?iBA b) (A22235.（5）试述守恒量完全集的概念

36.（5）全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？ 37.（5）试述守恒量的概念及其性质

38.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？

2??p???e?z。试判断p?x,p?y,p?z各39.（5）电子在均匀电场E?(0,0,?)中运动，哈密顿量为H2m量中哪些是守恒量，并给出理由。

40.（6）中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值 41.（6）写出中心力场中的粒子的所有守恒量

42.（6）试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较

43.（6）二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同，并给出二维、三维各向同性

谐振子能级简并度。 44.（6） 氢原子体系处于状态 ?(r,?,?)?13R3,1(r)Y1,1(?,?)?R3,2(r)Y2,?1(?,?)，给出L2和Lz22可能取值及取值几率，并说明该状态是否是定态？为什么？

45.（6）氢原子的基态波函数具有什么特点？

46.（6）分别处于2s、4p、5f状态的氢原子的径向波函数各有几个节点（不包括r?0及无穷远处的零

点）。

2?2?????(r2?)?L?V(r)，试列举出几种47.（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为H?r2?r2?r2?r2该量子体系力学量完全集的选取方案。

48.（7）什么是正常Zeeman效应？写成与其相应的哈密顿量，并指出系统的守恒量有哪些。 49.（8）试给出电子具有自旋的实验依据

50.（8）写出?z表象中?x、?y和?z的本征值与本征态矢

??0.8i?0.6k，σ为泡利算符，求： ?，其中单位矢量n 51.（8）已知磁场B?B0n?方向的投影矩阵； (1) 泡利算符σ在n (2) 此投影矩阵的本征值和本征态；

(3) 在此磁场中运动的电子因自旋引起的附加能量本征值。

52.（8）试述旋量波函数的概念及物理意义

53.（8）能否选择一个表象，该表象下自旋算符的三个分量Sx,Sy,Sz的表示矩阵都是实矩阵。 54.（8）以?和?分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。

55.（8）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道

耦合项），试给出|α>和|β>态的守恒量完全集

??的矩阵分别为 ?表象中，H?与H??H??H??，H56.（10）若在H000?10?3000????100????010H0?0?,40100??6??00010???0.10.101???????0.10.200?， H?0015????1?052????看作微扰，从而利用微扰理论求解H?的本征值与本征态？为什么? 是否可以将H57.（11）利用Einstein自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。 58.（11）是否能用可见光产生 1阿秒(10?18s) 的激光短脉冲，利用能量—时间测不准关系说明原因。

59.（11）试给出跃迁的Fermi 黄金规则（golden rule）公式，并说明式中各个因子的含义。 60.（12）在质心坐标系中，设入射粒子的散射振幅为f(?)，写出靶粒子的散射振幅，并分别写出全

同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分散射截面表达式。?

二、判断正误题（请说明理由）

1. （2）由波函数可以确定微观粒子的轨道

2. （2）波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的

3. （2）平面波表示具有确定能量的自由粒子，故可用来描述真实粒子

4. （2）因为波包随着时间的推移要在空间扩散，故真实粒子不能用波包描述 5. （2）正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系 6. （2）测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准

?与时间t无关，则体系一定处于定态 7. （2）设一体系的哈密顿H8. （2）不同定态的线性叠加还是定态

9. （3）对阶梯型方位势，定态波函数连续，则其导数必然连续

?显含时间t，则体系不可能处于定态，H?不显含时间t，则体系一定处于定态 10.（3）H11.（3）一维束缚态能级必定数非简并的

12.（3）一维粒子处于势阱中，则至少有一条束缚态

13.（3）粒子在一维无限深势阱中运动，其动量一定是守恒量 14.（3）量子力学中，静止的波是不存在的 15.（3）δ势阱不存在束缚态

?x??i?16.（4）自由粒子的能量本征态可取为sinkx，它也是p17.（4）若两个算符有共同本征态，则它们彼此对易

18.（4）在量子力学中，一切可观测量都是厄米算符

?的本征态 ?x?,B?B?是厄米算符，其积A?不一定是厄米算符 19.（4）如果A20.（4）能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态

?,B?,B?对易，则A?在任意态中可同时确定 21.（4）若A?,B?,B?不对易，则A?在任何情况下不可同时确定 22.（4）若A23.（4）

?不可同时确定 ?x和Lpx?的本征函数必是B?的本征函数 A?,B?对易，则24.（4）若A25.（4）对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并

26.（4）若两个算符不对易，则它们不可能同时有确定值 27.（4）测不准关系只适用于不对易的物理量

28.（4）根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，只能求其平均值 29.（4）力学量的平均值一定是实数

30.（5）体系具有空间反演不变性，则能量本征态一定具有确定的宇称 31.（5）在非定态下力学量的平均值随时间变化 32.（5）体系能级简并必然是某种对称性造成的

33.（5）量子体系的守恒量无论在什么态下，平均值和几率分布都不随时间改变 34.（5）全同粒子系统的波函数必然是反对称的

35.（5）全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变

36.（5）描述全体粒子体系的波函数，对内部粒子的随意交换有确定的对称性

?是守恒量，那么L?就不是守恒量 37.（6）粒子在中心力场中运动，若角动量Lzx38.（6）在中心力场V(r)中运动的粒子，轨道角动量各分量都守恒 39.（6）中心力场中粒子的能量一定是简并的

40.（6）中心力场中粒子能级的简并度至少为2l?1,l?0,1,2,? 41.（8）电子的自旋沿任何方向的投影只能取?/2

42.（8）两电子的自旋反平行态为三重态

三、证明题：

??(r,t)??*(r,t)?(r,t)??j?0，其中??1. （2）试由Schr?dinger方程出发，证明????? i?*j(r,t)??(????c.c.)?t?2m?2. （3）一维粒子波函?(x)数满足定态Schr?dinger方程，若?1(x)、?2(x)都是方程的解，则有

?1?2'??2?1'?常数（与x无关）

3. （3）设?(x)是定态薛定谔方程对应于能量E的非简并解，则此解可取为实解

4. （3）设?1(x)和?2(x)是定态薛定谔方程对应于能量E的简并解，试证明二者的线性组合也是该

定态方程对应于能量E的解。

5. （3）对于?势垒，V(x)???(x)，试证?势中?'(x)的跃变条件

??2d2?6. （3）设?(x)是定态薛定谔方程???V(x)??(x)?E?(x)的一个解，对应的能量为E，2?2mdx?试证明?*(x)也是方程的一个解，对应的能量也为E

7. （3）一维谐振子势场m?2x2/2中的粒子处于任意的非定态。试证明该粒子的位置概率分布经历

一个周期2?/?后复原。

?V1,V(x)?8. （3）对于阶梯形方势场 ??V2导数??(x)必定连续。

x?ax?a ，若(V2?V1)有限，则定态波函数?(x)及其

9. （3）证明一维规则势场中运动的粒子，其束缚态能级必定是非简并的 10.（4）证明定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数 11.（4）证明定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 12.（4）证明：在定态中几率流密度矢量与时间无关

?22?????x13.（4）令p，试证p为厄密算符 2?x2x2??p?2/2m为厄密算符 14.（4）试证T??

dU??是厄米算符。 ?15.（4）设U(t)是一个幺正算符且对t可导，证明H(t)?i?Udt?和B?2也是厄米算符 ?+B?是厄米算符，证明(A?)和A16.（4）已知A17.（4）试证明：任何一个力学量算符在它以自己的本征矢为基矢的表象中的表示为对角矩阵

?算符的矩阵元是(p)x'x\??i?18.（4）试证明x表象中p19.（4）试证明p表象中x算符的矩阵元是(x)p'p\?i???(x'?x\) ?x'??(p'?p\) ?p'???A?,?,B?具有共同本征函数，即A20.（4）若厄米算符An?nn??,B?]?0 状态的完备函数组，试证明[A21.（4）若?n(x);n?1,2,?构成完备基组，证明：?(x?x?)????B?，而且构成体系Bn?nn???n*n(x?)?n(x)

22.（4）证明两个线性算符之和仍为线性算符

?B?B??1，若?为F??A?，A??B?A?的本征函数，相应的本征值为?，求证??A??和23.（4）设算符F?的本征函数，并求出相应的本征值。 ??也是F??A24.（4）试证明?(xyz)??2属于本征值2?2的本征函数。 x?y?z是角动量平方算符l?? ?x25.（4）试证明表象变换并不改变算符的本征值

?x,?(x)]??i?26.（4）证明对易关系 [p27.（4）证明在l?z的本征态下lx?ly?0

1l?l?1??m2?2 229.（4）证明谐振子的零点能E0?1??是测不准关系ΔxΔp??的直接结果。

2228.（4）设粒子处于Ylm??,??状态下，证明??Lx???Ly2??2???30.（4） 一维体系的哈密顿算符具有分立谱，证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零

31.（4）如果厄米算符A对任何矢量|u>，有≧0，则称A为正定算符。试证明算符A=|a>

为厄米正定算符

?(1,2)，波函数为?(1,2)，试证明交换算符P?是个守恒量 32.（5）设全同二粒子的哈密顿量为H1233.（5）证明在定态下，任意不显含时间t力学量A取值几率分布不随时间改变。

34.（5）设力学量A是守恒量，证明在任意态下A的取值概率分布不随时间改变。 35.（5）证明：量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值不随时间改变。

36.（5）试证在一维势场V(x)中运动的粒子所受势壁的作用力在束缚定态中的平均值为0（提示：利

?,x]??用对易关系[Hi???x） p?与H?，厄米算符A?对易。试证明d?A?0，其中?A是A的均方根偏37.（5）设系统的哈密顿量为Hdt差，即?A??(A??A?)2?1/2，式中尖括号表示求平均值。

?的本征值必有简并。 ?,H?,B?]?[B?,H?]?0，但[A?]?0，试证明H38.（5）如果[A39.（5）粒子在对数函数型势场中运动，V(r)?Cln(r/r0)，其中常数C?0,r0?0。试利用Virial

定理证明：各束缚态的动能平均值相等。

*??(x,t)dx证明力学量平均值随时间的变化为40.（5）试根据力学量平均值表达式F??(x,t)F??1dF?F?为体系的哈密顿 ?,H?]，其中H??[Fdt?ti?41.（4、5） 证明：宇称算符的本征函数非奇即偶

??,|x|?b?42.（5）设粒子处在对称的双方势阱中V(x)??0a?|x|?b

?V|x|?a?0 （1）在V0??情况下求粒子能级，并证明能级是双重简并； （2）证明V0取有限值情况下，简并将消失。

43.（5、6）证明在氢原子的任何定态?nlm(r,?,?)中，动能的平均值等于该定态能量的负值，即

?2/2??nlm??En ?p2?2???L2???44.（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为H(r)??V(r)，证明中心22?r2?r2?r?r力场中运动的粒子角动量守恒

45.（8）证明Pauli算符各个分量的反对易关系

?取值?/2或??/2的概率各为1/2。 ?的本征态。试证在此态中，S46.（8）若电子处于Syz??i?/2??cose??1??247. （8）设有两个电子，自旋态分别为????,???证明两个电子处于自旋单态（S=0）?。?0??i?/2?????sine?2??112?2???(1?cos),??(1?cos) 和三重态（S=1）的几率分别为ab222248.（10）在一定边界条件下利用定态薛定谔方程求解体系能量本征值与变分原理等价。

1?4?i?49.（12）已知在分波法中f(?)??(2l?1)elsin?lPl(cos?) ?kl?0k据此证明光学定理。

四、计算题：

1.（2）设一维自由粒子的初态为?(x,0)?eik0x?l?0? 2l?1ei?lsin?lYl0(?)，

，求?(x,t)。

??0;x??0,a?Vx?2.（3）质量为m的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为???

?;x?0,x?a??（1）求解能量本征值En和归一化的本征函数?n(x)； （2）若已知t?0时，该粒子状态为??x,0??1 ??1(x)??2(x)?，求t时刻该粒子的波函数；

2（3）求t时刻测量到粒子的能量分别为E1和E2的几率是多少？ （4）求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x。

3. （3）粒子在一维?势阱中运动V(x)??a?(x)波函数。

(a?0),求粒子的束缚定态能级与相应的归一化

4. （3）设有质量为m的粒子（能量E?0）从左入射，碰到?势垒V(x)???(x)试推导出?势中?'的跃变条件。

5. （3）质量为m的粒子，在位势

(常数??0)，

V(x)???(x)?V?x?0x?0(??0) 中运动，其中

0V??{V0a. b.

V0?0试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；

给出粒子处于x>0区域中的几率。它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？

??, 6. （3）一个质量为m的粒子在一维势场 V(x)?????(x)?0??|x|?a，求波函数满足的方程及连续性

|x|?a条件，并给出奇宇称能量本征波函数及相应的本征能量。

7. （3）质量为m的粒子在一维势场 V(x)??|x|?a 中运动。求

|x|?a①粒子的定态能量En与归一化的波函数?n(x)； ②粒子在态?n(x)上的位置平均值x。

8. （3）如图所示，一电量为?q质量为m的带电粒子处在电量为?Q固定点电荷的强电场中，并被约束在一直线AB上运动，?Q到AB的距离为a，由于?Q产生的电场很强，?q只能在平衡位置O附近振动，即a远大于粒子的运动范围，设平衡位置O为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。

9.（3）一电量为?q质量为m的带电粒子处在强度为E的均匀强电场

中，并被约束在一半径为R的圆弧上运动，电场方向如图所示，由于电场很强，?q只能在平衡位置O附近振动，即R远大于粒子的运动范围，设平衡位置O为能量参考点，试求体系可能的低能态能级。

10. (3) 一维谐振子处于基态?0(x)?AOa?-qB++Q?ROE??2?e?122x，求谐振子的

-q1）平均值x2；2）平均值p2；3）动量的几率分布函数。

?（提示：①xne?Kxdx??0212?(n?1)2,K?0,?函数满足递推关系： n?12K1?(z?1)?z?(z),?(1)?1,?()?2???②?e??22?；

x?2i?xdx??e???2?2）。

11.（3）把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势， 对于下列一维模型（如图）

MetalAV(x)?V,x?0

V(x)?{00,x?0试就（1）E?0，（2）?V0Vacuumx?E?0两种情况计算

-V0BC接近金属表面的传导电子的反射和透射几率。 12.（3、4）设t?0时，质量为m、频率为?的谐振子处于

?(x,c)?Ae1??2x22[(cos?)H0(?x)?1/2sin?H2(?x)] 22?m?? 状态，其中A,?是实常数，???????（1） 求归一化常数A；

（2） 求t时刻体系的状态?(x,t)； （3） 求t时刻位置的平均值x(t)； （4） 求谐振子能量取值及相应几率

,Hn(?x)是厄米多项式。

13.（3）设一维粒子由x???处以平面波?in?eikx入射，在原点处受到势能V(x)?V0?(x)的作用。

（1）写出波函数的一般表达式；（2）确定粒子在原点处满足的边界条件；（3）求出该粒子的透 射系数和反射系数；（4）分别指出V0?0与V0?0时的量子力学效应。

14. （3、4、5）设一维线性谐振子处于基态

?x? （1）求?x?,?p （2）写出本征能量E，并说明它反映微观粒子的什么性质

22???x??x???x? （3）利用位力定理证明：?x?px??/2，其中 ? 22?x???p?x????px??p?1?n?1n??n?1??n?1?15. （4）设一维谐振子能量本征函数为?n。试利用递推公式x?n???求谐??22?振子坐标在能量表象中的矩阵表示

16.（4、5）一维谐振子t?0时处于基态?0和第一激发态?1的叠加态

?(x,0)?1??2x2212(?0(x)??1(x))

其中?0(x)?N0e，?1(x)?N1e1??2x222?x

（1）求t时刻位置和动量的平均值?x?t,?p?t；

（2）证明对于一维谐振子的任何状态，t时刻位置和动量的平均值有关系；

d1?x?t??p?t； dtm （3）求t时刻能量的平均值?H?t

17.（4）设体系处于??c1Y10?c2Y21状态（已归一化，即|c1|2?|c2|2?1）。求 ①l?z的可能测值及平均值；

?的可能测值及相应的几率。 ②l2 18．（4）设一量子体系处于用波函数?(??)?1(ei?sin??cos?)所描述的量子态中。试求4??的可能测值和各个值出现的几率；?的平均值 （1）在该态下l（2）lzz19.（6）t?0时氢原子的波函数为?(r,0)?跃迁。

（1）写出系统能量、角动量平方L及角动量z分量Lz的可能测值（表示成基本物理的函数即

可）；

（2）上述物理量的可能测值出现的几率和期望值； （3）写出t时刻的波函数。 20.（6）求势场V(r)?2

110[2?100??210?2?211?3?21?1]。忽略自旋和

AB?中的粒子的能级和定态波函数（A,B>0） 2rr? 21.（7、8）设有一个定域电子，受到沿x方向均匀磁场B的作用，Hamiltonian量（不考虑轨道运动）

eBeB???的平均值。 sx??x。设t?0时电子自旋“向上”（sz?），求t?0时smc2mc2 22. （8）假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B沿z轴正向，电子磁矩

??表为He???????gs，在均匀磁场中的势能为：V????B，其中（gs?2）为电子的磁矩,自旋用s2me??泡利矩阵s???表示。 ?2???； ??H?t??（2）假设t?0时，电子自旋指向x轴正向，即sx?，求t?0时，自旋s的平均值；

2?（3）求t?0时，电子自旋指向y轴负向，即sy??的几率是多少？

2?的粒子处于沿 x 方向的均匀磁场B中。已知t=0时，???S 23. （8）自旋s?1，并具有自旋磁矩M02（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：i?粒子的sz??，求在以后任意时刻发现粒子具有sy???的几率。

22?表象中求自旋角动量在(sin?cos?,sin?sin?,cos?)方向的投影 24.（8）在Sz??S?sin?cos??S?sin?sin??S?cos? Snxyz的本征值和所属的本征函数。

25．（8）两个自旋为1/2

??1???2?2

????的粒子，在(s1z,s2z)表象中的表示为?，其中，i 是第???????1??2?2i

个粒子自旋向上的几率，?i是第i个粒子自旋向下的几率。

?a. 求哈密顿量H?V0(?1x?2y??1y?2x)的本征值和本征函数（V0为一常数）；

??2?1,?2??1?0，求t时刻发现体系在态?1??2?0,?2??1?1

b. t=0时，体系处于态?1的几率（注：?ix,?iy为第i个粒子泡利算符的x, y分量）

??s?1?s?2，求总自旋的平方及 z 分量 26.（8）考虑由两个自旋为 1 的粒子组成的体系，总自旋S?,S?) 的共同本征态，并表示成s?1和s?2本征函数乘积的线性叠加（取?=1）(S。 z227.（8）一束自旋为

11的粒子进入Stern-Gerlach装置SG（I）后被分成两束，去掉其中sz??的一221束，另一束（sz???）进入第二个SG（II），SG（I）与SG（II）的夹角为?。则粒子

2束穿过SG（II）后又被分为两束，求这两束粒子的相对数目之比。

?z表象中??x的矩阵表示 28.（8）试求??和P?。令|29.（8）自旋为1/2的粒子，其自旋角动量算符和动量算符分别为S?的共同本征态，其本征值分别为?,P?,P?和S为Pzxyz试问：

（1）

（2）

px,py,pz,?1/2?

??S??P?。px,py,pz和??/2，算符A?是否为厄米算符？在以|p,p,p,?1/2?为基的空间中，A?的矩阵形式如何？ Axyz?的本征值是什么？求出A?,P?,P?,P?的共同本征函数系 Axyz??BS?的本征函数和本征值??AS30.（8）对自旋为1/2的粒子，Sy和Sz是自旋角动量算符，求Hyz（A与B是实常数）

?31.（8）电子处于沿y轴方向的均匀恒定磁场B中，t=0时刻在Sz表象中电子的自旋态为

?(0)????cos????，不考虑电子的轨道运动。 sin???（1）求任意t>0时刻体系的自旋波函数?(t)；

（2）在t时刻电子自旋各分量的平均值；

（3）指出哪些自旋分量是守恒量，并简述其理由。

32.（8）考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或

是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。

???（1）假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：S?s1?s2。

?2?求：S和Sz的本征值；

（2）假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，S和Sz的本征值；

（3）假设两电子系统哈密顿量为：H?Js1?s2，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。 33.（8）两个电子处在自旋单态?(00)??2???1[?(1)?(2)??(1)?(2)]中，其中?、?分别是自旋算符2Sz??/2 和Sz???/2的单粒子自旋态。

?1???2的本征态（??2分别是两个单电子的自旋算符）?1和? （1）试证明：?(00)是算符?；

（2）如果测量一个电子的自旋z分量，得Sz??/2，那么测量另一个电子的自旋Sz??/2的概

率是多少？

（3）如果测量?(00)态的一个电子的自旋Sy，测量结果表明它处在Sy??/2的本征态，那么再

测量另一个电子自旋x分量，得到Sx???/2的概率是多少？

34.（8）由两个非全同粒子组成的体系，二粒子自旋均为?/2，不考虑轨道运动，粒子间相互作用可

??As?1?s?2。设初始时刻（t?0）粒子1自旋朝上（s1z?1/2）写作H，粒子2自旋朝下

（s1z??1/2）。求t时刻

（1）粒子1自旋向上的概率； （2）粒子1和2自旋均向上的概率； （3）总自旋为0和1的概率

35.（8）质量为m的一个粒子在边长为a的立方盒子中运动，粒子所受势能V(x,y,z)由下式给出：

??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?V(x,y,z)??

?,others??（i）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；

（ii）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写

出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为1，是费米子）； 2（iii）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？

并写出归一化系统基态波函数。

??? 36.（2、4、6、8）已知t?0时，氢原子的波函数为?(r,sz,t?0)???????1?100(r)?2?，其中

??3?211(r)?2??nlm(r)?Rn.(r)Ylm(?,?)满足归一化条件?|?nlm(r)|2d3r?1。试

（1）写出任意t时刻的波函数?(r,sz,t)

????的可能取值和相应的几率以及平均值 ?、自旋S（2）求能量E、轨道角动量L和Lzz2?的平均值S （3）计算t时刻自旋分量Sxx（4）写出t时刻电子处在以原子核为球心，半径为R的球体积内，且Sz?式

37.（6、10）粒子处在无限深球方势阱中（1）求其径向波函数Rnr,0(r)和能量本征值Enr,0；（2）今

加上一微扰V'??r（?为小量），求能量一级修正值（只求第一激发态nr?1的结果）。

?的几率的表达238. （6、10）一维无限深方势阱(0?x?a)中的粒子受到微扰

?'?Acos?x(0?x?a) Ha的作用，其中A为常数。求基态能量的二级近似与波函数的一级近似。

?2d2122??m?x,若再加上一个外场作用39.（3、10）一维谐振子的哈密顿为H0??22mdx2?'?ax(a??1)，使用微扰论计算体系的能量到二级修正，并与严格解比较。 H??H??H?'，在H?表象中，H?和H?'表示为 40.（10）有一两能级体系，哈密顿量为H000?E1? H0???0?0?01??'?b???,H?10??,E1?E2 E2?????的本征值和本征态。 ?'为微扰，b表示微扰程度，试求H H0??1c??0? 41. （10）设Hamilton量的矩阵形式为：H??c3?00c?2???（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值；

（3）在怎样条件下，上面二结果一致。

??的矩阵为 ?中，H?与微扰H??H??H??，H 42.（10）设在表象H000?100??011????????c?101? ??E?010? HH00?112??002?????其中E0与2E0分别是基态与激发态的零级近似能量，c是微小量。 (1) 求基态的一级近似能量与零级近似态矢 (2) 激发态的二级近似能量与一级近似态矢。

??1?43.（10）已知系统哈密顿量为H0??0?0?0?100??0a0????0?，H???a0b?。用微扰法求能量至二级修正。

?0b0??3?????00?x,y?a44.（10）设粒子在二维无限深势阱V(x,y)??中运动，设加上微扰

??otherwhere???xy(0?x,y?a)。求基态和第一激发态的一阶能量修正。 HI45.（10）一个取向用角坐标

?和

?确定的转子作受碍转动，用下述哈密顿描述：

??AL?2?B?2cos?2是角动量平方算符。试H2(?)，式中A和B均为常数，且A??B，L用一级微扰论计算系统的p能级(l=1)的分裂，并算出微扰后的零级近似波函数。

46.（3、10）对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为e??x，?为参数。用变分法求基态能量，并与严格解进行比较。

47. （3、10）一维无限深势阱加上如图所示的微扰， 则 势函数为

2?V0?x(V0为小量）0?x?aV(x)??a

?x?0或x?a??V0 试用微扰论求基态能量本和波函数至一级近似。

48. （10）氢原子处于基态：沿z方向加一个均匀弱电场?，视电场为微扰。求电场作用后的基态波函

数（一级近似），能级（二级近似），平均电矩和电极化系数（不考虑自旋）。

Ax(A?0)x?0?49.（10）考虑体系H?T?V(x)，且V(x)?{，

?x?02b??x2a. 利用变分法，取试探波函数为?1(x)?()1/2e2b，求基态能量上限；

2b.我们知道，如试探波函数为?2(x)?(1b?)1/22x2b2，则基态能量上限为eb?x2811/3A2h21/3E2?()()。对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？

4?m??x250.（10）以?数。 已知

?e?为变分函数， 式中?为变分参数， 试用变分法求一维谐振子的基态能量和波函

?0x2nexp??x2dx???1?3? ??（?2n?1)? n?12n?12a51.（10）质量为?的粒子在一维势场V(z)????,z?0中运动，式中G?0。

Gz,z?0? （1）用变分法计算基态能量时，在z?0区域内的试探波函数应取下列波函数中的哪一个？为什

么？

(a)z??z2,（2）算出基态能量。

(b)e??z,2(c)ze??z,(d)sin?z

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