幂函数性质、例题以及课后题

幂函数 分数指数幂

正分数指数幂的意义是：（，、，且） 负分数指数幂的意义是：（，、，且） 幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：

它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

时，幂函数图像过原点且在上是增函数． 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数． 任何两个幂函数最多有三个公共点．

奇函数 偶函数

非奇非偶函数

幂函数基本性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象

的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．

幂函数的应用 幂函数（、，且、互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ） 、为奇数且 为偶数，为奇数，且 为偶数，为奇数，且 奇数，为偶数，且

右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是 （ ） 解：取， 由图像可知：， ，应选．

比较下列各组数的大小： （1），，； （2），，； （3），，． 解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，

可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题． ∵在上单调递增，且， ∴．

（2）底数均为负数，可以将其转化为，，． ∵在上单调递增，且， ∴，即， ∴．

（3）先将指数统一，底数化成正数． ，，．

∵在上单调递减，且， ∴， 即：．

点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

若，求实数的取值范围． 分析：若，

则有三种情况，或． 解：根据幂函数的性质，

有三种可能：或或， 解得：．

例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值． 解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点， ∴，∴；

∵，∴，又函数图象关于原点对称， ∴是奇数，∴或．

例4、设函数f（x）＝x3， （1）求它的反函数；

（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．

解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．

（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）． ∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；

在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1； f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0． 点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦． 例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．

解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3． 当t＝－1时，ymin＝3．

∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法． 【同步练习】

1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ

2. 下列函数在上为减函数的是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ

3. 下列幂函数中定义域为的是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ

4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（ ） A．{x|x≠0或x≠2} B．（－∞，0）（2，＋∞） C．（－∞，0）］［2，＋∞］ D．（0，2）

解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案：B

5．函数y＝（1－x2）的值域是（ ） A．［0，＋∞］ B．（0，1） C．（0，1） D．［0，1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝． ∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1． 答案：D

6．函数y＝的单调递减区间为（ ）

A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［0，＋∞］ D．（－∞，＋∞）

解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B． 答案：B

7．若a＜a，则a的取值范围是（ ）

A．a≥1 B．a＞0 C．1＞a＞0 D．1≥a≥0 解析：运用指数函数的性质，选C． 答案：C

8．函数y＝的定义域是 。

解析：由（15＋2x－x2）3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5． 答案：A

9．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________． 解析：m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1． 答案：m＝－1

10、讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 思路：函数y＝是幂函数．

（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R． （2）∵xR，∴x2≥0．∴y≥0． （3）f（－x）＝＝＝f（x）， ∴函数y＝是偶函数； （4）∵n＝＞0，

∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增． 由于幂函数y＝是偶函数，

∴幂函数y＝在（－，0）上单调递减． （5）其图象如下图所示．

12．已知函数y＝．

（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝， （1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．

（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．

（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，

∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小． 又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大， ∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］． 答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数； （3）（1，3］．

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