奉贤秋季补习班,新王牌解析初中几何证明

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几何证明

【知识精要】

本节内容，是七年级下册知识的延续，包括两直线平行的判定和性质、等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定，通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式；通过本节的学习，使学生更能深刻理解演绎证明的方法，了解证明之前进行分析的基本思路；本节的难点是了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的几种辅助线. 了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的几种辅助线.（补短法，中线倍长法等）。 【精解名题】 基础题：

例1.已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD DC AD.

例2.如图，在Rt△ABC中, ∠BAC=90°.点D在BC上,AD=AB. 求证: ∠BAD=2∠C.

变式练习：将上题中条件”AD=AB”与结论“∠BAD=2∠C”互换，求证。

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例3. 如图所示，在四边形ABCD中，AD BC, ABC DCB,AB DC,AE DF; (1) 求证：BF=CE;

(2) 当点E、F相向运动，形成图2时，BF和CE还相等吗？

例4.如图，在△ABC外作正方形ABDE和ACGF,M是BC的中点，求证; AM

1

EF。 2

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提高题：

辅助线的添法：（截长补短）

例5、如图，在正方形ABCD中,E、F分别是AD、DC上的点,且AE+CF=EF,求证:∠EBF=45°

变式练习：如图上，在正方形ABCD中,E、F分别是AD、DC上的点,且∠EBF=45°,求证: AE+CF=EF

例7、如图，AD是△ABC的角平分线，且∠B=∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M． （1）若∠DCM=α，试用α表示∠BAD;

（2）求证：AB+AC=2AM

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例8、

如图，正方形ABCD中，M是DC的中点，∠BAE=2∠DAM，求证：AE=BC+CE

辅助线的添法：（倍长中线）

例9、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F， 求证：AF=EF

例10、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

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【真题再现】

1、已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF. 求证：BE‖CF.

2、已知，如图，DB⊥AB,DC⊥AC,且∠1=∠2.求证:AD⊥BC.

3、已知:如图，在 ABD

中,AC⊥BD,垂足为点C,AC=BC.点E在AC上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F.求证:BF⊥AD.

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命题&逆命题&线段垂直平分线&角平分线

【知识梳理】

※一、逆命题和逆定理：

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 注意以下几个问题：

（1）注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置. （2）通过举反例证明一个命题是假命题. （3）原命题正确，而它的逆命题不一定正确.

※二、线段垂直平分线定理与逆定理：

命题：如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么联结这个点和线段两个端点所得的两条线段的长度相等。

定理：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵ PE垂直平分AB

∴ PA＝PB

（线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。）

逆命题：如果一个点和一条线段的两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。 逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA＝PB

∴ P在AB的垂直平分线上。

（和一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。）

※三、角平分线的定理与逆定理：

命题：如果一个点在一角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。 定理：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。 几何语言：∵ AD平分∠BAC

DE⊥AC，DF⊥AB ∴ DE＝DF

(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)

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逆命题：如果一个点到一个角的两边距离相等，那么这个点在这个角的平分线

逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上和一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵DE＝DF

DE⊥AC，DF⊥AB ∴ AD平分∠BAC

（在一个角的内部（包括顶点），且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上） 【精解名题】 例1、原命题、逆命题

(1)下列说法正确的是（ ）

A．所有定理都有逆定理 B．所有命题都有逆命题 C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是真命题 (2)写出下列命题的逆命题，并判断原、逆命题是否是真命题。 ①三角形的一个内角小于180°；

②在三角形中，三个内角平分线交于一点； ③等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。

(3)下列定理是否有逆定理。 ①同角的余角相等； ②在三角形中，等角对等边。

例2、（1）如图1-22，△ABC中，AB=AC=12cm,BC=6cm，AB的垂直平分线交AC于D，则△DBC的周长为

（2）如图1-22，△ABC中，AB=AC, ∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC的度数是

（3）∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则三角形P1O P2的形状

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A

B

图1-22

C

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例3、已知：CD垂直平分线段AB，E是CD上一点，分别联结CA、CB、EA、EB.求证：∠CAE=∠CBE.

CE

A

D

B

例4、等边△ABC的边长为4，点D在BC边上移动，联结AD，作AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，联结DE，DF。

（1）设BD=x,用x的代数式表示△BDE和△CDF的周长； （2）点D移到BC边的什么位置时，△BDE和△CDF的周长相等

例5、已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是点D、E；BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC.

求证：OB=OC.

A

D

O

B

E

C

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例6、 已知△ABC的周长为16cm，∠A、∠B的平分线交点到边AB的距离为2cm，则S△ABC=

例7、如图：若BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，

求证：点P在∠BAC的角平分线上。

A

例8、如图，在△ABC中，AD是高，AB的垂直平分线交BC于E，EF⊥AC于F，交AD于G. 问：当∠B具备什么条件时，DG = DC？

例9、 如图，已知：在△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，且CE=EF。求证：FG//AC

A

F

D

B

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提高题：

例 10、(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D,且CD=CB,则∠A= . (2)如图2，EG、FG分别是∠MEF、∠NFE的平分线，交点是G,PB、PC分别是∠MBC和∠NCB 的平分线，交点是P，点F、点C在AN上，B、E在AM上，若∠G=68°，则∠P=

B

A

M

图1 图2

例 11、如图，在△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD，求证:AF=FG=BG.

例12、已知∠BAC与∠CBF的平分线相交于P，联结CP，分别过点B、C作PC、PB的垂线交AC、AB的延长线于E、F，G、H为垂足，求证：BF=CE

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B

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例13、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AG⊥EF，垂足为G，

求证：AB=AG

例14、如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC边的垂直平分线，∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，求证：OI垂直平分BC.

【真题再现】

1、如图：在 ABC中，AD平分 BAC，DE AB于点E，DF AC于点F。求证：AD

垂直平分EF。

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B

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2、如图1-24，已知：在△ABC中，∠ACB = 90°, 延长BC到D，BD的垂直平分线交AB于E， DE交AC于F，求证：点E在AF的垂直平分线上.

3、如图，已知四边形ABCD与BEFG都是正方形。求证：AH⊥EH

4、已知△ABC的周长为16cm，∠A、∠B的平分线交点到边AB的距离为4cm，求△ABC的面积

5、已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，∠A+∠C=180°，且AD=DC，求证：BD平分∠ABC

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B

C图1-24

B

F

E

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6、在△ABC中，AC的垂直平分线EP与△CBD的BD边垂直平分线FP相交于点P，联结BP、DP，AB=CD，求证：∠ABP=∠

CDP

7、已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的动点，联结AD，并作它的垂直平分线分别与边AB、AC相交于点E、F

（1）求证：△BDE与△DCF的周长的和始终等于△ABC的周长

（2）如果AB=6，BC=5，AC=4，△BDE和△DCF的周长相等，求BD：DC的值

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